专题39 有界磁场问题（精讲）-2019年高考物理双基突破（二）

专题39 有界磁场问题（精讲）-2019年高考物理双基突破（二）

‎1．带电粒子在有界磁场中运动的常见情形 ‎（1）直线边界（进出磁场具有对称性，如图所示）‎ ‎（2）平行边界（存在临界条件，如图所示）‎ ‎（3）圆形边界（沿径向射入必沿径向射出，如图所示）‎ ‎（4）矩形边界：如图所示，可能会涉及与边界相切、相交等临界问题。‎ ‎（5）三边形边界：如图所示是正△ABC区域内某正粒子垂直AB方向进入磁场的粒子临界轨迹示意图。已知边长为2a，D点距A点a，粒子能从AB间射出的临界轨迹如图甲所示，粒子能从AC间射出的临界轨迹如图乙所示。‎ ‎2．带电粒子在有界磁场中的常用几何关系 ‎（1）四个点：分别是入射点、出射点、轨迹圆心和入射速度直线与出射速度直线的交点。‎ ‎（2）三个角：速度偏转角、圆心角、弦切角，其中偏转角等于圆心角，也等于弦切角的2倍。‎ ‎3．几点注意 ‎（1）当带电粒子射入磁场时的速度v大小一定，但射入方向变化时，粒子做圆周运动的轨道半径R是确定的。在确定粒子运动的临界情景时，可以以入射点为定点，将轨迹圆旋转，作出一系列轨迹，从而探索出临界条件。‎ ‎（2）当带电粒子射入磁场的方向确定，但射入时的速度v大小或磁场的磁感应强度B变化时，粒子做圆周运动的轨道半径R随之变化．可以以入射点为定点，将轨道半径放缩，作出一系列的轨迹，从而探索出临界条件。‎ ‎4．求解带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界和极值问题的方法 由于带电粒子往往是在有界磁场中运动，粒子在磁场中只运动一段圆弧就飞出磁场边界，其轨迹不是完整的圆，因此，此类问题往往要根据带电粒子运动的轨迹作相关图去寻找几何关系，分析临界条件（①带电体在磁场中，离开一个面的临界状态是对这个面的压力为零；②射出或不射出磁场的临界状态是带电体运动的轨迹与磁场边界相切。），然后应用数学知识和相应物理规律分析求解。‎ ‎（1）两种思路 一是以定理、定律为依据，首先求出所研究问题的一般规律和一般解的形式，然后再分析、讨论临界条件下的特殊规律和特殊解；‎ 二是直接分析、讨论临界状态，找出临界条件，从而通过临界条件求出临界值。‎ ‎（2）两种方法 一是物理方法：①利用临界条件求极值；‎ ‎②利用问题的边界条件求极值；‎ ‎③利用矢量图求极值。‎ 二是数学方法：①利用三角函数求极值；‎ ‎②利用二次方程的判别式求极值；‎ ‎③利用不等式的性质求极值；‎ ‎④利用图象法等。‎ ‎（3）从关键词中找突破口：许多临界问题，题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”等词语对临界状态给以暗示。审题时，一定要抓住这些特定的词语挖掘其隐藏的规律，找出临界条件。‎ 一、带电粒子在圆形磁场中的运动 ‎ 【题1】圆心为O、半径为r的圆形区域中有一个磁感强度为B、方向为垂直于纸面向里的匀强磁场，与区域边缘的最短距离为L的O′处有一竖直放置的荧屏MN，今有一质量为m的电子以速率v从左侧沿OO′方向垂直射入磁场，越出磁场后打在荧光屏上之P点，如图所示，求O′P的长度和电子通过磁场所用的时间。‎ ‎【答案】‎ 由于原有BP⊥O″B，可见O、B、P在同一直线上，且∠O′OP=∠AO″B=θ，在直角三角形OO′P中，O＇P=（L+r）tanθ，而，，‎ 所以求得R后就可以求出O′P了，电子经过磁场的时间可用t=来求得。‎ 由得R=‎ ‎， ‎ ‎， ‎ ‎ ‎ ‎ 例2、如图，半径为r=10cm的匀强磁场区域边界跟y轴相切于坐标原点O，磁感强度B=0.332T，方向垂直纸面向里。在O处有一放射源S，可向纸面各个方向射出速度为v=3.2×106m/s的粒子。已知α粒子质量m=6.64×10-27kg，电量q=×10-27C，试画出α粒子通过磁场空间做圆周运动的圆心轨道，求出α粒子通过磁场空间的最大偏角。‎ ‎ ‎ ‎ 【答案】60°‎ ‎ 由几何关系可知，速度偏转角总等于其轨道圆心角。在半径R一定的条件下，为使α粒子速度偏转角最大，即轨道圆心角最大，应使其所对弦最长。该弦是偏转轨道圆的弦，同时也是圆形磁场的弦。显然最长弦应为匀强磁场区域圆的直径。即α粒子应从磁场圆直径的A端射出。‎ ‎ 如图，作出磁偏转角φ及对应轨道圆心O′，据几何关系得，得φ=60°，即α粒子穿过磁场空间的最大偏转角为60°。 ‎ 例4、如图所示，在真空中坐标xoy平面的x>0区域内，有磁感强度B=1.0×10-2T的匀强磁场，方向与xoy平面垂直，在x轴上的p（10，0），点，有一放射源，在xoy平面内向各个方向发射速率v=1.0×104m/s的带正电的粒子，粒子的质量为m=1.6×10-25kg，电量为q=1.6×10-18C，求带电粒子能打到y轴上的范围。‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ 如图所示，当带电粒子打到y轴上方的A点与P连线正好为其圆轨迹的直径时，A点既为粒子能打到y轴上方的最高点。因，，则。‎ ‎ 当带电粒子的圆轨迹正好与y轴下方相切于B点时，B点既为粒子能打到y轴下方的最低点，易得。‎ ‎ 综上，带电粒子能打到y轴上的范围为：。 ‎ ‎ 三、带电粒子在长方形磁场中的运动 ‎ 例5、如图，长为间距为的水平两极板间，有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感强度为B，两板不带电，现有质量为，电量为的带正电粒子（重力不计），从左侧两极板的中心处以不同速率v 水平射入，欲使粒子不打在板上，求粒子速率应满足什么条件。‎ ‎ ‎ ‎【答案】：或 ‎ ‎ ‎ 则其圆轨迹半径为，又由得，则粒子入射速率小于v1时可不打在板上。‎ ‎ 设粒子以速率v2运动时，粒子正好打在右极板边缘（图中轨迹2），由图可得，则其圆轨迹半径为，又由得，则粒子入射速率大于v2时可不打在板上。‎ ‎ 综上，要粒子不打在板上，其入射速率应满足：或。‎ 例6、长为L的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如图所示，磁感强度为B，板间距离也为L，板不带电，现有质量为m，电量为q的带正电粒子（不计重力），从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是： ‎ A．使粒子的速度v<； ‎ ‎ B．使粒子的速度v>；‎ ‎ C．使粒子的速度v>；‎ ‎ D．使粒子速度时粒子能从右边穿出。‎ 粒子擦着上板从左边穿出时，圆心在O＇点，有r2＝，‎ 又由r2＝m=得v2＝ ‎∴v2<时粒子能从左边穿出。‎ 综上可得正确答案是A、B。‎ ‎ 四、带电粒子在“三角形磁场区域”中的运动 ‎ 例7、在边长为2a的ΔABC内存在垂直纸面向里的磁感强度为B的匀强磁场，有一带正电q，质量为m的粒子从距A点的D点垂直AB方向进入磁场，如图所示，若粒子能从AC间离开磁场，求粒子速率应满足什么条件及粒子从AC间什么范围内射出。‎ ‎【答案】见解析 ‎ 又由得，则要粒子能从AC间离开磁场，其速率应大于v1。‎ ‎ 如图所示，设粒子速率为v2时，其圆轨迹正好与BC边相切于F点，与AC相交于G点。易知A点即为粒子轨迹的圆心，则。‎ ‎ ‎ 又由得，则要粒子能从AC间离开磁场，其速率应小于等于v2。‎ ‎ 综上，要粒子能从AC间离开磁场，粒子速率应满足。‎ ‎ 粒子从距A点的间射出。‎ ‎ 五、带电粒子在“宽度一定的无限长磁场区域”中的运动 ‎ 例8、如图所示，A、B为水平放置的足够长的平行板，板间距离为d=1.0×10-2m，A板中央有一电子源 P，在纸面内能向各个方向发射速度在0~3.2×107m/s范围内的电子，Q为P点正上方B板上的一点，若垂直纸面加一匀强磁场，磁感应强度B=1.0×10-3T，已知电子的质量m=9.1×10-31kg，电子电量e=1.6×10-19C，不计电子的重力和电子间相互作用力，且电子打到板上均被吸收，并转移到大地。求：‎ ‎ ‎ ‎ （1）沿PQ方向射出的电子击中A、B两板上的范围。‎ ‎ （2）若从P点发出的粒子能恰好击中Q点，则电子的发射方向（用图中角表示）与电子速度的大小之间应满足的关系及各自相应的取值范围。‎ ‎【答案】（1） 电子能击中B板Q点右侧与Q点相距2.68×10-3m~1.0×10-2m的范围。电子能击中A板P点右侧与P点相距0~2.0×10-2m的范围。（2）vsinθ=8×106，且，‎ ‎ ‎ 该电子运动轨迹圆心在A板上H处，恰能击中PQ板M处。随着电子速度的减少，电子轨迹半径也逐渐减小。击中B板的电子与Q点最远处相切于N点，此时电子的轨迹半径为d，并恰能落在A板上H处。所以电子能击中B板MN区域和A板PH区域。‎ ‎ 在MFH中，有，‎ ‎ ，‎ ‎ ，。‎ ‎ 电子能击中B板Q点右侧与Q点相距2.68×10-3m~1.0×10-2m的范围。电子能击中A板P点右侧与P点相距0~2.0×10-2m的范围。‎ ‎ （2）如图所示，要使P点发出的电子能击中Q点，则有，。‎ ‎ 解得vsinθ=8×106。‎ ‎ ‎ ‎ v取最大速度3.2×107m/s时，有，；v取最小速度时有，vmin=8×106m/s。‎ ‎ 所以电子速度与之间应满足vsinθ=8×106，且， ‎ ‎ 六、带电粒子在相反方向的两个有界磁场中的运动 ‎ 例9、如图所示，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场。左侧匀强电场的场强大小为E、方向水平向右，电场宽度为L；中间区域匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。一个质量为m、电量为q、不计重力的带正电的粒子从电场的左边缘的O点由静止开始运动，穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后，又回到O点，然后重复上述运动过程。求：‎ ‎（1）中间磁场区域的宽度d；‎ ‎（2）带电粒子从O点开始运动到第一次回到O点所用时间t。‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎ ‎ 可见在两磁场区粒子运动半径相同，如图所示，三段圆弧的圆心组成的三角形ΔO1O2O3是等边三角形，其边长为2R。所以中间磁场区域的宽度为 ‎ ‎ ‎ （2）在电场中，‎ ‎ 在中间磁场中运动时间 ‎ 在右侧磁场中运动时间，‎ ‎ 则粒子第一次回到O点的所用时间为。‎ 七、带电粒子在环形或有孔磁场中的运动 ‎ 例10、核聚变反应需要几百万度以上的高温，为把高温条件下高速运动的离子约束在小范围内（否则不可能发生核反应），通常采用磁约束的方法（托卡马克装置）。如图所示，环状匀强磁场围成中空区域，中空区域中的带电粒子只要速度不是很大，都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该区域内。设环状磁场的内半径为R1=0.5m，外半径R2=1.0m，磁场的磁感强度B=1.0T，若被束缚带电粒子的荷质比为=4×107C/kg，中空区域内带电粒子具有各个方向的速度。试计算 ‎（1）粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度。‎ ‎ （2）所有粒子不能穿越磁场的最大速度。‎ ‎【答案】（1）1.5×107m/s（2）1.0×107m/s 由图中知，解得r1=0.375m 由得 所以粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度为v1=1.5×107m/s。‎ ‎（2）当粒子以v2的速度沿与内圆相切方向射入磁场且轨道与外圆相切时，则以v1速度沿各方向射入磁场区的粒子都不能穿出磁场边界，如图所示。‎ 由图中知 由得 所以所有粒子不能穿越磁场的最大速度v2=1.0×107m/s ‎ 例11、如图所示，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝a、b、c和d，外筒的外半径为r，在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场，磁感强度的大小为B。‎ 在两极间加上电压，使两圆筒之间的区域内有沿半径向外的电场。一质量为ｍ、带电量为＋q的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝a的S点出发，初速为零。如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点S，则两电极之间的电压U应是多少？（不计重力，整个装置在真空中）‎ ‎【答案】‎