【物理】2020届一轮复习人教版 机械能守恒定律及其应用 课时作业 (1)
2020届一轮复习人教版 机械能守恒定律及其应用 课时作业
1．(2017·全国卷Ⅱ) 如图，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直。一小物块以速度v从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时对应的轨道半径为(重力加速度大小为g)( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 设小物块的质量为m，滑到轨道上端时的速度为v1。小物块上滑过程中，机械能守恒，有
mv2＝mv＋2mgR①
小物块能通过轨道最高点的条件是m≥mg②
联立①②式得R≤③
小物块从轨道上端水平飞出，做平抛运动，设水平位移为x，下落时间为t，有2R＝gt2④
x＝v1t⑤
联立①④⑤式整理得x2＝－16R2＋R⑥
可得x有最大值时对应的轨道半径R＝<，故选B。
2. (2017·江苏高考)(多选)如图所示，三个小球A、B、C的质量均为m，A与B、C间通过铰链用轻杆连接，杆长为L。B、C置于水平地面上，用一轻质弹簧连接，弹簧处于原长。现A由静止释放下降到最低点，两轻杆间夹角α由60°变为120°。A、B、C在同一竖直平面内运动，弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦，重力加速度为g。则此下降过程中( )
A．A的动能达到最大前，B受到地面的支持力小于mg
B．A的动能最大时，B受到地面的支持力等于mg
C．弹簧的弹性势能最大时，A的加速度方向竖直向下
D．弹簧的弹性势能最大值为mgL
答案 AB
解析 取A、B、C整体研究，三个小球皆静止时，地面对B、C球的弹力各为mg，当A球下降时，只要A球未达最大速度，就有竖直向下的加速度，A球就处于失重状态，此时地面对B球的支持力小于mg，A正确；A球的动能最大时，aA＝0，系统在竖直方向上F合＝0，则地面对B球的弹力为mg，B正确；弹簧的弹性势能最大时，对应着弹簧伸长量最大，A球运动到最低点，此时vA＝0，但aA≠0，加速度方向竖直向上，C错误；两杆间夹角由60°变为120°，A球下落的距离h＝Lsin60°－Lsin30°＝L，A球重力势能的减少量为ΔEp＝mgL，由能量转化知，弹簧的弹性势能最大值为mgL，D错误。
3．(2016·全国卷Ⅱ) (多选)如图，小球套在光滑的竖直杆上，轻弹簧一端固定于O点，另一端与小球相连。现将小球从M点由静止释放，它在下降的过程中经过了N点。已知在M、N两点处，弹簧对小球的弹力大小相等，且∠ONM<∠OMN<。在小球从M点运动到N点的过程中( )
A．弹力对小球先做正功后做负功
B．有两个时刻小球的加速度等于重力加速度
C．弹簧长度最短时，弹力对小球做功的功率为零
D．小球到达N点时的动能等于其在M、N两点的重力势能差
答案 BCD
解析 在M、N两点处，弹簧的弹力大小相等，故在M点弹簧压缩，在N点弹簧伸长，且压缩量和伸长量相等，如图所示，OP垂直于竖直杆，Q点与M点关于OP对称，在小球从M点到Q点的过程中，弹簧弹力先做负功后做正功，故A错误；在P点弹簧长度最短，弹力方向与速度方向垂直，故此时弹力对小球做功的功率为零，即C正确；小球在P点时所受弹簧弹力垂直于竖直杆，竖直方向上只受重力，此时小球加速度为g，当弹簧处于自由长度时，小球只受重力作用，此时小球的加速度也为g，故B正确；小球和弹簧组成的系统机械能守恒，小球在M点和N点时弹簧的弹性势能相等，故小球从M到N重力势能的减少量等于动能的增加量，而小球在M点的动能为零，故D正确。
4. (2018·河南适应性考试)(多选)如图所示，半径为R的竖直光滑圆轨道与光滑水平面相切，质量均为m的小球A、B与轻杆连接，置于圆轨道上，A
位于圆心O的正下方，B与O等高。它们由静止释放，最终在水平面上运动。下列说法正确的是( )
A．下滑过程中重力对B做功的功率先增大后减小
B．当B滑到圆轨道最低点时，轨道对B的支持力大小为3mg
C．下滑过程中B的机械能增加
D．整个过程中轻杆对A做的功为mgR
答案 AD
解析 因为初位置速度为零，则重力的功率为0，最低点速度方向与重力的方向垂直，重力的功率为零，可知重力的功率先增大后减小，A正确；A、B小球组成的系统，在运动过程中机械能守恒，设B到达轨道最低点时速度为v，由机械能守恒定律得：(m＋m)v2＝mgR，解得：v＝，在最低点，根据牛顿第二定律得：FN－mg＝m，解得：FN＝2mg，故B错误；下滑过程中，系统机械能守恒，而杆对A做正功，A的机械能增大，所以B的机械能减小，故C错误；整个过程中对A，根据动能定理得：W＝mv2＝mgR，故D正确。
5．(2018·江苏高考) 如图所示，钉子A、B相距5l，处于同一高度。细线的一端系有质量为M的小物块，另一端绕过A固定于B。质量为m的小球固定在细线上C点，B、C间的线长为3l。用手竖直向下拉住小球，使小球和物块都静止，此时BC与水平方向的夹角为53°。松手后，小球运动到与A、B相同高度时的速度恰好为零，然后向下运动。忽略一切摩擦，重力加速度为g，取sin53°＝0.8，cos53°＝0.6。求：
(1)小球受到手的拉力大小F；
(2)物块和小球的质量之比M∶m；
(3)小球向下运动到最低点时，物块M所受的拉力大小T。
答案 (1)Mg－mg (2)6∶5
(3)T＝
解析 (1)如图所示，设小球受AC、BC方向的拉力分别为F1、F2
F1sin53°＝F2cos53°
F＋mg＝F1cos53°＋F2sin53°
且F1＝Mg
解得F＝Mg－mg。
(2)小球运动到与A、B相同高度过程中，小球上升高度h1＝3lsin53°
物块下降高度h2＝lAC＋lBC－lAB＝2l
根据机械能守恒定律mgh1＝Mgh2
解得M∶m＝6∶5。
(3)根据机械能守恒定律，小球向下运动到最低点时回到起始点。设此时小球沿AC方向的加速度大小为a，物块受到的拉力为T
根据牛顿第二定律，Mg－T＝Ma
小球受AC方向的拉力T′＝T
根据牛顿第二定律，T′－mgcos53°＝ma
解得T＝。
配套课时作业
时间：60分钟 满分：100分
一、选择题(本题共10小题，每小题7分，共70分。其中1～6为单选，7～10为多选)
1．如图所示，光滑细杆AB、AC在A点连接，AB竖直放置，AC水平放置，两个相同的中心有小孔的小球M、N，分别套在AB和AC上，并用一细绳相连，细绳恰好被拉直，现由静止释放M、N，在运动过程中，下列说法中正确的是( )
A．M球的机械能守恒
B．M球的机械能增大
C．M和N组成的系统机械能守恒
D．绳的拉力对N做负功
答案 C
解析 细杆光滑，故M、N组成的系统机械能守恒，N的机械能增加，绳的拉力对N做正功、对M做负功，M的机械能减少，故C正确，A、B、D错误。
2．小球P和Q用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，P球的质量大于Q球的质量，悬挂P球的绳比悬挂Q球的绳短。将两球拉起，使两绳均被水平拉直，如图所示。将两球由静止释放。在各自轨迹的最低点( )
A．P球的速度一定大于Q球的速度
B．P球的动能一定小于Q球的动能
C．P球所受绳的拉力一定大于Q球所受绳的拉力
D．P球的向心加速度一定小于Q球的向心加速度
答案 C
解析 设小球的质量为m，绳长为L，根据机械能守恒定律得mgL＝mv2，解得v＝，LP
mQ，LP
mQ，所以P球所受绳的拉力大于Q球所受绳的拉力，故C项正确；向心加速度a＝＝2g，所以在轨迹的最低点，P、Q两球的向心加速度相同，故D项错误。
3. (2018·山西右玉一模)一小球以一定的初速度从图示位置进入光滑的轨道，小球先进入圆轨道1，再进入圆轨道2，圆轨道1的半径为R，圆轨道2的半径是轨道1的1.8倍，小球的质量为m，若小球恰好能通过轨道2的最高点B，则小球在轨道1上经过其最高点A时对轨道的压力为( )
A．2mg B．3mg C．4mg D．5mg
答案 C
解析 小球恰好能通过轨道2的最高点B时，有mg＝，小球在轨道1上经过其最高点A时，有F＋mg＝，根据机械能守恒，有1.6mgR＝mv－mv，解得F＝4mg，根据牛顿第三定律，小球在轨道1上经过其最高点A时对轨道的压力为4mg，C项正确。
4. (2018·贵阳模拟)如图所示，一质量为m的小球固定于轻质弹簧的一端，弹簧的另一端固定于O点。将小球拉至A点，弹簧恰好无形变，由静止释放小球，当小球运动到O点正下方与A点的竖直高度差为h的B点时，速度大小为v。已知重力加速度为g，下列说法正确的是( )
A．小球运动到B点时的动能等于mgh
B．小球由A点到B点重力势能减少mv2
C．小球由A点到B点克服弹力做功为mgh
D．小球到达B点时弹簧的弹性势能为mgh－mv2
答案 D
解析 小球由A点到B点的过程中，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，弹簧由原长到发生伸长的形变，小球动能增加量小于重力势能减少量，A项错误；小球重力势能减少量等于小球动能增加量与弹簧弹性势能增加量之和，B项错误；弹簧弹性势能增加量等于小球重力势能减少量与动能增加量之差，即mgh－mv2，D项正确；小球克服弹力所做的功等于弹簧弹性势能增加量，C项错误。
5. 如图所示，长为L的均匀链条放在光滑水平桌面上，且使长度的垂在桌边，松手后链条从静止开始沿桌边下滑，则链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为( )
A. B. C. D．4
答案 C
解析 用等效法结合机械能守恒求解。以桌上L链条为研究对象，重心下降L，mg·L＝mv2，解得v＝，故C正确。
6．如图所示，将一个内、外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水平面上，槽的左侧有一竖直墙壁。现让一小球自左端槽口A点的正上方由静止开始下落，从A点与半圆形槽相切进入槽内，则下列说法正确的是( )
A．小球在半圆形槽内运动的全过程中，只有重力对它做功
B．小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，小球处于失重状态
C．小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与槽组成的系统机械能守恒
D．小球从下落到从右侧离开槽的过程中机械能守恒
答案 C
解析 小球在槽内运动的全过程中，从刚释放到最低点，只有重力做功，而从最低点开始上升过程中，除小球重力做功外，还有槽对球的作用力做负功，故A错误；小球在A点加速度竖直向下，在最低点加速度竖直向上，故小球先处于失重状态，后处于超重状态，故B错误；小球在槽内运动的全过程中，从刚释放到最低点，只有重力做功，而从最低点开始上升过程中，除小球重力做功外，还有槽对球的作用力做负功，所以小球的机械能不守恒，D错误；小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，只有重力和系统内弹力做功，所以小球与槽组成的系统机械能守恒，故C正确。
7. 如图所示，一质量为m
的小球套在光滑竖直杆上，轻质弹簧一端与小球相连，另一端固定于O点。现将小球从A点由静止释放，沿竖直杆运动到B点，已知OA长度小于OB长度，弹簧处于OA、OB两位置时弹力大小相等，A、B两点间的距离为h。在小球由A到B的过程中，下列说法正确的是( )
A．弹簧处于OA、OB两位置时的弹性势能不相等
B．小球在B点时的动能为mgh
C．小球的加速度等于重力加速度g的位置只有一个
D．在弹簧与杆垂直时，小球机械能最小
答案 BD
解析 由于弹簧处于OA、OB两位置时弹力大小相等，根据胡克定律可知弹簧形变量大小相等，根据同一轻弹簧的弹性势能只与形变量有关，可知弹簧处于OA、OB两位置时的弹性势能相等，A错误；在小球由A到B的过程中，由机械能守恒定律可知小球在B点时的动能为Ek＝mgh，B正确；在小球由A到B的过程中，当小球下落到与O点在同一水平位置时，即在弹簧与杆垂直时，在竖直方向上只受重力作用，加速度为重力加速度g，在小球下落到轻弹簧恢复到原长时，在竖直方向上只受重力作用，加速度为重力加速度g，所以在小球由A到B的过程中，小球的加速度等于重力加速度g的位置有两个，C错误；在整个过程中，小球的机械能与弹簧弹性势能之和不变，又弹簧与杆垂直时，弹簧弹性势能最大，可知小球机械能最小，D正确。
8. 如图所示直角边长为R的光滑等腰直角三角形和半径为R的光滑圆柱的一部分无缝相接，质量分别为2m和m的物体A和小球B通过一根不可伸长的细线相连，小球B恰好位于桌面上。小球B可视为质点，若从静止释放小球B，当其运动到圆柱顶点时，则( )
A．物体A的速度大小为
B．物体A的速度大小为
C．绳的张力对物体B所做的功为mgR
D．绳的张力对物体B所做的功为mgR
答案 BC
解析 以A、B和绳为研究对象，由机械能守恒得(2m＋m)v2＝2mg·－mgR，解得v＝，B正确，A错误；以B为研究对象，根据动能定理得W－mgR＝mv2，解得W＝mgR，C正确，D错误。
9. (2018·重庆六校联考)如图所示，圆心在O点、半径为R的光滑圆弧轨道ABC竖直固定在水平桌面上，OC与OA的夹角为60°，轨道最低点A与桌面相切。一足够长的轻绳两端分别系着质量为m1和m2的小球(均可视为质点)，挂在圆弧轨道光滑边缘C的两边，开始时m1位于C点，然后从静止释放，小球m1能够沿圆弧轨道运动到水平桌面上。不计空气阻力，则( )
A．在m1由C点下滑到A点的过程中两球速度大小始终相等
B．在m1由C点下滑到A点的过程中重力对m1做功的功率一直增大
C．若m1恰好能沿圆弧下滑到A点，则m1＝2m2
D．在m1由C点下滑到A点的过程中轻绳对m2做的功等于m2的机械能增加量
答案 CD
解析 在m1由C点下滑到A点的过程中两球速度沿轻绳方向的分速度大小始终相等，A错误；m1在C点速度为零，重力的功率为零，运动到A点时m1的速度方向沿水平方向，与重力的夹角为90°，重力的功率也为零，而在圆弧轨道其他位置m1的重力的功率不为零，所以在m1由C点下滑到A点的过程中重力对m1做功的功率不会一直增大，B错误；若m1恰好能沿圆弧下滑到A点，由机械能守恒定律，m1gR(1－cos60°)＝m2gR，解得m1＝2m2，C正确；对m2，由功能关系可知，在m1由C点下滑到A点的过程中轻绳对m2做的功等于m2的机械能增加量，D正确。
10. 如图所示，在长为L的轻杆中点A和端点B处各固定一质量为m的球，杆可绕无摩擦的轴O转动，使杆从水平位置无初速度释放摆下。在杆转到竖直位置的过程中，下列说法正确的是( )
A．B球机械能守恒
B．A、B球、轻杆、地球组成的系统机械能守恒
C．杆转到竖直位置时A的速度vA＝
D．杆对B做功为0.2mgL
答案 BD
解析 如果把轻杆、地球、两球组成的系统作为研究对象，那么由于杆和球的相互作用力做功总和等于零，故系统机械能守恒，故B正确。杆对B球做功，B球机械能不守恒，A错误。设当杆转到竖直位置时，A球和B球的速度分别为
vA和vB，由系统机械能守恒，可得mgL＋mgL＝mv＋mv，又因A球与B球在各个时刻对应的角速度相同，故vB＝2vA，由以上两式得vA＝ ，vB＝ ，故C错误。根据动能定理，可解出杆对A球、B球做的功，对于A球有WA＋mg＝mv－0，所以WA＝－0.2mgL，对于B球有WB＋mgL＝mv－0，所以WB＝0.2mgL，故D正确。
二、非选择题(本题共2小题，共30分)
11. (14分)如图所示，在同一竖直平面内，一轻质弹簧一端固定，另一自由端恰好与水平面AB平齐，静止放于倾角为53°的光滑斜面上。一长为L＝9 cm的轻质细绳一端固定在O点，另一端系一质量为m＝1 kg的小球，将细绳拉至水平，使小球从位置C由静止释放，小球到达最低点D时，细绳刚好被拉断。之后小球在运动过程中恰好沿斜面方向将弹簧压缩，最大压缩量为x＝5 cm。(取g＝10 m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6)求：
(1)细绳受到的拉力的最大值；
(2)D点到水平线AB的高度h；
(3)弹簧所获得的最大弹性势能Ep。
答案 (1)30 N (2)16 cm (3)2.9 J
解析 (1)小球由C到D，由机械能守恒定律得：
mgL＝mv，解得v1＝①
在D点，由牛顿第二定律得F－mg＝m②
由①②解得F＝30 N，
由牛顿第三定律知细绳所能承受的最大拉力为30 N。
(2)由D到A，小球做平抛运动，v＝2gh③
tan53°＝④
联立①③④解得h＝16 cm。
(3)小球从C点到将弹簧压缩至最短的过程中，小球与弹簧系统的机械能守恒，即Ep＝mg(L＋h＋xsin53°)，代入数据解得：Ep＝2.9 J。
12．(16分) 一半径为R的半圆形竖直圆弧面，如图所示，用轻质不可伸长的细绳连接的A、B两球悬挂在圆弧面边缘两侧，A球质量为B球质量的2倍，现将A球从圆弧边缘处由静止释放。已知A球始终不离开圆弧内表面，且细绳足够长，若不计一切摩擦，求：
(1)A球沿圆弧内表面滑至最低点时速度的大小；
(2)A球沿圆弧内表面运动的最大位移。
答案 (1)2 (2)R
解析 (1)设A球沿圆弧内表面滑至最低点时速度的大小为v，B球的质量为m，则根据机械能守恒定律有
2mgR－mgR＝·2mv2＋mv
由图甲可知，A球的速度v与B球速度vB的关系为
vB＝v1＝vcos45°
联立解得v＝2。
(2)当A球的速度为零时，A球沿圆弧内表面运动的位移最大，设为x，如图乙所示，由几何关系可知A球下降的高度
h＝
根据机械能守恒定律有2mgh－mgx＝0，解得x＝R。
