【物理】2019届二轮复习万有引力定律与航天学案（全国通用）
第4讲 万有引力定律与航天
1．(多选)(2018·全国卷Ⅰ·20)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星( )
A．质量之积 B．质量之和
C．速率之和 D．各自的自转角速度
【考点定位】 双星问题
【点评】 考查双星模型的典型问题：线速度、角速度、总质量等问题
【难度】 中等
答案 BC
解析 两颗中子星运动到某位置的示意图如图所示
每秒转动12圈，角速度已知，
中子星运动时，由万有引力提供向心力得
＝m1ω2r1①
＝m2ω2r2②
l＝r1＋r2③
由①②③式得＝ω2l，所以m1＋m2＝，
质量之和可以估算，故B正确；
由线速度与角速度的关系v＝ωr得
v1＝ωr1④
v2＝ωr2⑤
由③④⑤式得v1＋v2＝ω(r1＋r2)＝ωl，速率之和可以估算，故C正确；
质量之积和各自的自转角速度无法求解，故A、D错误．
2．(2018·全国卷Ⅱ·16)2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2.以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为( )
A．5×109 kg/m3 B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3 D．5×1018 kg/m3
【考点定位】 万有引力与重力的关系
【点评】 求密度最小值即求一种临界情况：赤道上物体所受重力为0
【难度】 中等
答案 C
解析 脉冲星自转，边缘物体m恰对球体无压力时万有引力提供向心力，则有G＝mr，
又知M＝ρ·πr3
整理得密度ρ＝＝ kg/m3≈5.2×1015 kg/m3.
3．(2018·全国卷Ⅲ·15)为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍．P与Q的周期之比约为( )
A．2∶1 B．4∶1
C．8∶1 D．16∶1
【考点定位】 卫星运行规律
【难度】 较易
答案 C
解析 由G＝mr知，＝，
则两卫星＝.
因为rP∶rQ＝4∶1，故TP∶TQ＝8∶1.
4．(多选)(2017·全国卷Ⅱ·19)如图1所示，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0，若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经过M、Q到N的运动过程中( )
图1
A．从P到M所用的时间等于
B．从Q到N阶段，机械能逐渐变大
C．从P到Q阶段，速率逐渐变小
D．从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功
【考点定位】 开普勒定律、机械能守恒
【难度】 较易
答案 CD
解析 由行星运动的对称性可知，从P经M到Q点的时间为T0，根据开普勒第二定律可知，从P到M运动的速率大于从M到Q运动的速率，可知从P到M所用的时间小于T0，选项A错误；海王星在运动过程中只受太阳的引力作用，故机械能守恒，选项B错误；根据开普勒第二定律可知，从P到Q阶段，速率逐渐变小，选项C正确；海王星受到的万有引力指向太阳，从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功，选项D正确．
5．(2017·全国卷Ⅲ·14)2017年4月，我国成功发射的天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室完成了首次交会对接，对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道(可视为圆轨道)运行．与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的( )
A．周期变大 B．速率变大
C．动能变大 D．向心加速度变大
【考点定位】 卫星运行规律
【难度】 较易
答案 C
解析 根据组合体受到的万有引力提供向心力可得，＝ mr ＝m＝ma，解得T＝，v＝，a＝，由于轨道半径不变，所以周期、速率、向心加速度均不变，选项A、B、D错误；组合体比天宫二号的质量大，动能Ek＝mv2变大，选项C正确．
6．(2016·全国卷Ⅰ·17)利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯．目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍．假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为( )
A．1 h B．4 h
C．8 h D．16 h
【考点定位】 同步卫星、开普勒定律
【点评】 抓住卫星的高度(轨道半径)决定其周期
【难度】 中等
答案 B
解析 地球自转周期变小，卫星要与地球保持同步，则卫星的公转周期也应随之变小，由开普勒第三定律＝k可知卫星离地球的高度应变小，要实现三颗卫星覆盖全球的目的，则卫星周期最小时，由数学几何关系可作出卫星间的位置关系如图所示．
卫星的轨道半径为r＝＝2R
由＝得＝.
解得T2≈4 h.
每年基本上必有一题(只有17年卷Ⅰ没有、16年卷Ⅱ没有)，开普勒定律、行星和卫星的运行规律、变轨、能量问题、双星问题、万有引力与重力关系等都考过，难度也有易、有难，所以复习时要全面深入，掌握各类问题的实质．
考点1 开普勒定律的理解与应用
关于开普勒第三定律的理解
(1)适用于行星—恒星系统，也适用于卫星—行星系统等．
(2)只有在同一系统内k才是定值．
(3)k与中心天体质量有关．
(4)对椭圆轨道、圆形轨道都适用．
(2018·广东省佛山市质检一)哈雷彗星绕日运行的周期为T年，若测得它在近日点距太阳中心的距离是地球公转轨道半长轴的N倍，则由此估算出哈雷彗星在近日点时受到太阳的引力是在远日点受太阳引力的( )
A．N2倍 B. 倍
C.倍 D．倍
答案 B
解析 设地球公转轨道半长轴为R1，哈雷彗星围绕太阳运行的半长轴为R2，由开普勒第三定律可知＝；哈雷彗星在近日点距太阳中心的距离为NR1，在远日点距太阳中心的距离为2R2－NR1，哈雷彗星在近日点时受到太阳的引力F1＝，哈雷彗星在远日点时受到太阳的引力为F＝，则＝，故B正确．
1．(2018·湖北省天门中学模拟)已知地球和火星绕太阳公转的轨道半径分别R1和R2(公转轨迹近似为圆)，如果把行星与太阳连线扫过的面积与其所用时间的比值定义为扫过的面积速率．则地球和火星绕太阳公转过程中扫过的面积速率之比是( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 公转的轨迹近似为圆，地球和火星的运动可以看作匀速圆周运动，根据开普勒第三定律知，＝k，运动的周期之比＝，在一个周期内扫过的面积之比为＝＝，面积速率为
，可知面积速率之比为，故B正确，A、C、D错误．
考点2 万有引力与重力的关系
地球表面上的物体所受重力特点：
(1)重力与引力的关系
(2)自转可忽略时：G＝mg
可得：g＝，距地面h高处g′＝
M＝，GM＝gR2.
命题热点1 考虑星球自转时引力与重力的关系
(2018·山东省济宁市一模)假设地球为质量均匀分布的球体．已知地球表面的重力加速度在两极处的大小为g0、在赤道处的大小为g，地球半径为R，则地球自转的周期T为( )
A．2π B．2π
C．2π D．2π
答案 B
2．在例2中，若地球自转角速度逐渐增大，当角速度增大到某一值ω0时，赤道上的某质量为m′的物体刚好要脱离地面，万有引力常量为G，则地球的质量是( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 设地球质量为M，在地球两极有：＝mg0
在赤道上对质量为m′的物体刚要脱离地面时有：
＝m′ω·R
解得：M＝.
命题热点2 忽略星球自转时引力与重力的关系
(多选)(2017·高三第一次全国大联考(新课标卷Ⅰ))在地球表面以初速度v0
竖直向上抛出一个小球，经时间t后回到出发点．假如宇航员登上某个与地球差不多大小的行星表面，仍以初速度v0竖直向上抛出一个小球，经时间4t后回到出发点．则下列说法正确的是( )
A．这个行星的质量与地球质量之比为1∶2
B．这个行星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为1∶2
C．这个行星的密度与地球的密度之比为1∶4
D．这个行星的自转周期与地球的自转周期之比为1∶2
答案 BC
解析 行星表面与地球表面的重力加速度之比为＝＝，行星质量与地球质量之比为＝＝，故A错误；这个行星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为＝＝，故B正确；这个行星的密度与地球的密度之比为＝＝，故C正确；无法求出这个行星的自转周期与地球的自转周期之比，故D错误．
3．(2018·广东省惠州市第三次调研)宇航员登上某一星球后，测得该星球表面的重力加速度是地球表面重力加速度的2倍，而该星球的平均密度与地球的差不多，则该星球质量大约是地球质量的( )
A．0.5倍 B．2倍
C．4倍 D．8倍
答案 D
解析 由G＝mg得g＝
又M＝ρ·πR3
得g＝πGρR，即g∝R
所以该星球半径为地球半径的2倍，所以体积是地球体积的8倍，质量也是地球质量的8倍．
考点3 中心天体—环绕天体模型
中心天体—环绕天体模型
环绕天体做圆周运动的向心力由中心天体对它的万有引力提供，即G＝mr＝m＝ma等，可得：
中心天体质量M＝，ρ＝(r＝R时有ρ＝)
环绕天体运行速度v＝，加速度a＝.
命题热点1 中心天体质量、密度的计算
(2018·福建省龙岩市上学期期末)2017年4月，我国成功发射了“天舟一号”货运飞船，它的使命是给在轨运行的“天宫二号”空间站运送物资．已知“天宫二号”空间站在低于同步卫星的轨道上绕地球做匀速圆周运动，经过时间t(t小于其运行周期T)运动的弧长为s，对应的圆心角为β弧度．已知万有引力常量为G，地球表面重力加速度为g，下面说法正确的是( )
A．“天宫二号”空间站的运行速度为
B．“天宫二号”空间站的环绕周期T＝
C．“天宫二号”空间站的向心加速度为g
D．地球质量M＝
答案 A
解析 “天宫二号”空间站的运行速度为v＝，选项A正确；角速度ω＝，则周期T＝＝，选项B错误；根据a＝可知，“天宫二号”空间站的向心加速度小于g，选项C错误；根据G＝mω2r，v＝ωr，解得：M＝，选项D错误．
4．(2018·河南省濮阳市一模)探测火星一直是人类的梦想，若在未来某个时刻，人类乘飞船来到了火星，宇航员先乘飞船绕火星做圆周运动，测出飞船做圆周运动时离火星表面的高度为H，环绕的周期为T及环绕的线速度为v，引力常量为G，由此可得出( )
A．火星的半径为
B．火星表面的重力加速度为
C．火星的质量为
D．火星的第一宇宙速度为
答案 B
命题热点2 卫星运行参量分析
(2018·广东省深圳市一调)人造卫星a的圆形轨道离地面高度为h，地球同步卫星b离地面高度为H，h
vⅡ>vⅠ.
2．变轨时能量变化特点：
变轨时需要中心天体引力之外的力参与，所以机械能不守恒，轨道升高时(需加速)机械能增加，轨道降低时(需减速)机械能减小．
(2018·湖北省黄冈市质检)卫星发射进入预定轨道往往需要进行多次轨道调整．如图5所示，某次发射任务中先将卫星送至近地轨道，然后再控制卫星进入椭圆轨道．图中O点为地心，A点是近地轨道和椭圆轨道的交点，远地点B离地面高度为6R(R为地球半径)．
设卫星在近地轨道运动的周期为T，下列对卫星在椭圆轨道上运动的分析，其中正确的是( )
图5
A．控制卫星从图中低轨道进入椭圆轨道需要使卫星减速
B．卫星通过A点时的速度是通过B点时速度的6倍
C．卫星通过A点时的加速度是通过B点时加速度的6倍
D．卫星从A点经4T的时间刚好能到达B点
答案 D
7.(多选)(2018·安徽省蚌埠市一质检)如图6所示，从地面上A点发射一枚远程弹道导弹，沿ACB椭圆轨道飞行击中地面目标B，C为轨道的远地点，距地面高度为h，已知地球半径为R，地球质量为M，引力常量为G，不计空气阻力，则下列结论正确的是( )
图6
A．导弹在C点的速度大于
B．导弹在C点的加速度等于
C．导弹从A点运动到B点的时间为2π(R＋h)
D．地球球心为导弹椭圆轨道的一个焦点
答案 BD
解析 对在C点处的圆轨道上运行的物体，根据万有引力提供向心力得：＝，
则v＝，导弹在C点只有加速才能进入圆轨道，
所以导弹在C点的速度小于，故A错误；
导弹在C点受到的万有引力F＝G，
所以a＝＝，故B正确；
根据开普勒第三定律，＝k，椭圆轨道的半长轴小于圆轨道的半径，所以在椭圆轨道上运行的周期小于在圆轨道上运行的周期T＝2π，所以导弹从A点运动到B点的时间一定小于圆轨道上的周期，故C错误；导弹做的是椭圆运动，地球球心位于椭圆的焦点上，故D正确．
考点5 双星、多星问题
1．双星问题
双星各自做圆周运动的向心力由两者之间的万有引力提供，即G＝m1ω2r1＝m2ω2r2，
另：G＝ω2(r1＋r2)
双星总质量：m1＋m2＝.
2．多星问题
分析向心力来源是关键：一般是多个星球对它的万有引力的合力提供向心力．
(多选)(2018·安徽省滁州市联合质检)宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用相互绕转，称之为双星系统．在浩瀚的银河系中，多数恒星都是双星系统．设某双星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图7所示．若AO>OB，则( )
图7
A．星球A的质量一定小于星球B的质量
B．星球A的线速度一定小于星球B的线速度
C．双星间距离一定，双星的质量越大，其转动周期越大
D．双星的质量一定，双星间距离越大，其转动周期越大
答案 AD
解析 双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度，根据万有引力提供向心力得：G＝mArAω2＝mBrBω2，因为AO＞OB，所以mA＜mB，即A的质量一定小于B
的质量，故A正确；双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度，根据v＝ωr可知，星球A的线速度一定大于星球B的线速度，故B错误；根据万有引力提供向心力得：G＝mArA＝mBrB，解得T＝2πL，由此可知双星间距离一定，双星的总质量越大，转动周期越小，故C错误；根据T＝2πL，可知，若双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大，故D正确．
8．(多选)(2018·广东省高考第一次模拟)天文观测中心观测到有三颗星位于边长为l的等边三角形三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆做周期为T的匀速圆周运动，如图8所示．已知引力常量为G，不计其他星体对它们的影响，关于这个三星系统，下列说法正确的是( )
图8
A．三颗星的质量可能不相等
B．某颗星的质量为
C．它们的线速度大小均为
D．它们两两之间的万有引力大小为
答案 BD
解析 轨道半径等于等边三角形外接圆的半径，r＝＝l.根据题意可知其中任意两颗星对第三颗星的合力指向圆心，所以这两颗星对第三颗星的万有引力等大，由于这两颗星到第三颗星的距离相同，故这两颗星的质量相同，所以三颗星的质量一定相同，设为m，则2Gcos 30°＝m··l，解得m＝，它们两两之间的万有引力F＝G＝G＝，A错误，B、D正确；线速度大小为v＝＝·l＝，C错误．
1．(2018·广东省潮州市下学期综合测试)北京中心位于北纬39°54′，东经116°25′.有一颗绕地球做匀速圆周运动的卫星，每天上午同一时间在北京中心正上方对北京拍照进行环境监测．则( )
A．该卫星是地球同步卫星
B．该卫星轨道平面与北纬39°54′所确定的平面共面
C．该卫星运行周期一定是地球自转周期的整数倍
D．地球自转周期一定是该卫星运行周期的整数倍
答案 D
解析 由于卫星每天上午同一时刻在该区域的正上方拍照，所以地球自转一周，则该卫星绕地球做圆周运动N周，故A错误；即地球自转周期一定是该卫星运行周期的整数倍，故D正确，C错误；若卫星平面与北纬39°54′所确定的平面共面，则地心不在轨道平面内，万有引力指向地心，故不能满足万有引力提供做圆周运动向心力的要求，故B错误．
2．(2018·湖北省黄冈市检测)“嫦娥四号”被专家称为“四号星”，是嫦娥探月工程计划中嫦娥系列的第四颗人造探月卫星，主要任务是更深层次、更加全面的科学探测月球地貌、资源等方面的信息，完善月球档案资料．已知万有引力常量为G，月球的半径为R，月球表面的重力加速度为g，“嫦娥四号”离月球中心的距离为r，绕月周期为T.根据以上信息判断下列说法正确的是( )
A．“嫦娥四号”绕月运行的速度为
B．月球的第一宇宙速度为
C．“嫦娥四号”必须减速运动才能返回地球
D．月球的平均密度为ρ＝
答案 B
解析 根据万有引力提供向心力，得G＝m，得v＝，又因为在月球表面物体受到的重力等于万有引力，有G＝m′g，得GM＝gR2，所以“嫦娥四号”绕月运行的速度为v＝，故A错误；月球的第一宇宙速度为近月卫星的运行速度，所以由重力提供向心力，得mg＝m，得v＝，故B正确；“嫦娥四号”要脱离月球的束缚才能返回地球，而“嫦娥四号”要脱离月球束缚必须加速做离心运动才行，故C错误；根据万有引力提供向心力G＝
mr，得月球的质量M＝，所以月球的密度ρ＝＝＝，故D错误．
3.(多选)(2018·广东省惠州市第二次调研)如图1所示是我国宇航员王亚平首次在距地球300多千米的“天宫一号”上所做的“水球”．若已知地球的半径为6 400 km，地球表面的重力加速度为g＝9.8 m/s2，下列关于“水球”和“天宫一号”的说法正确的是( )
图1
A．“水球”的形成是因为太空中没有重力
B．“水球”受重力作用，其重力加速度大于9.8 m/s2
C．“天宫一号”运行速度小于7.9 km/s
D．“天宫一号”的运行周期约为1.5 h
答案 CD
解析 水球受重力作用，但其处于完全失重状态，其重力加速度由高度决定，越高重力加速度越小，但因其距离地面的高度较低，则其加速度接近9.8 m/s2，则A、B错误；由万有引力提供向心力得：v＝，因离地面一定高度，则其速度小于第一宇宙速度7.9 km/s，则C正确；由万有引力提供向心力，得
T＝2π＝2π
＝2×3.14 s≈1.5 h，
则D正确．
4．(2018·广西桂林市、贺州市期末联考)有a、b、c、d四颗地球卫星，a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，b处于地面附近近地轨道上正常运动，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，各卫星排列位置如图2所示，则有( )
图2
A．a的向心加速度等于重力加速度g
B．b在相同时间内转过的弧长最短
C．c在4 h内转过的圆心角是
D．d的运动周期有可能是20 h
答案 C
解析 地球同步卫星c的周期与地球自转周期相同，角速度相同，则知a与c的角速度相同，根据a＝ω2r知，c的向心加速度大．由G＝ma，得a＝，卫星的轨道半径越大，向心加速度越小，则同步卫星c的向心加速度小于b的向心加速度，而b的向心加速度约为g，故知a的向心加速度小于重力加速度g，故A错误；由＝m，得v＝，可知，卫星的轨道半径越大，速度越小，所以b的速度最大，在相同时间内转过的弧长最长，故B错误；c是地球同步卫星，周期是24 h，则c在4 h内转过的圆心角是×2π＝，故C正确；由开普勒第三定律＝k知，卫星的轨道半径越大，周期越大，所以d的运动周期大于c的周期24 h，故D错误．
5．(多选)(2018·广东省汕头市第二次模拟)“嫦娥三号”在月球表面释放出“玉兔”号月球车开展探测工作，若该月球车在地球表面的重力为G1，在月球表面的重力为G2，已知地球半径为R1，月球半径为R2，则( )
A．地球表面与月球表面的重力加速度之比为
B．地球的第一宇宙速度与月球的第一宇宙速度之比为
C．地球与月球的质量之比为
D．地球与月球的平均密度之比为
答案 BD
解析 地球表面的重力加速度为g1＝，月球表面的重力加速度g2＝，地球表面与月球表面的重力加速度之比为＝，故A错误；根据第一宇宙速度公式v＝，得＝＝，故B正确；根据mg＝，得M＝，地球质量M1＝，月球的质量M2＝，所以地球与月球质量之比为＝＝，故C错误；平均密度ρ＝＝，得＝＝，故D正确．
6.(多选)(2018·吉林省吉林市第二次调研)轨道平面与赤道平面夹角为90°
的人造地球卫星被称为极地轨道卫星，它运行时能到达南北极区的上空，需要在全球范围内进行观测和应用的气象卫星、导航卫星等都采用这种轨道．如图3所示，若某颗极地轨道卫星从北纬45°的正上方按图示方向首次运行到南纬45°的正上方用时45分钟，则( )
图3
A．该卫星运行速度一定小于7.9 km/s
B．该卫星轨道半径与同步卫星轨道半径之比为1∶4
C．该卫星加速度与同步卫星加速度之比为2∶1
D．该卫星的机械能一定小于同步卫星的机械能
答案 AB
解析 该卫星运行的轨道半径大于地球半径，故其运行速度小于第一宇宙速度，则选项A正确；由题意可知，此卫星的周期为T1＝4×45 min＝180 min＝3 h；同步卫星的周期为T2＝24 h，根据＝k可知，＝＝＝，选项B正确；根据a＝∝可得该卫星加速度与同步卫星加速度之比为16∶1，选项C错误；卫星的质量不确定，则无法比较两卫星的机械能的大小，选项D错误．
7．(2018·陕西省宝鸡市一模)宇航员在某星球上为了探测其自转周期做了如下实验：在该星球两极点，用弹簧秤测得质量为M的砝码所受重力为F，在赤道测得该砝码所受重力为F′.他还发现探测器绕该星球表面做匀速圆周运动的周期为T.假设该星球可视为质量分布均匀的球体，则其自转周期为( )
A．T B．T
C．T D．T
答案 D
解析 设星球及探测器质量分别为m、m′
在两极点，有＝F，
在赤道，有G－F′＝MR，
探测器绕该星球表面做匀速圆周运动的周期为T，
则有G＝m′R；
联立解得T自＝T，故D正确，A、B、C错误．
8．(2018·河北省邯郸市第一次模拟)2017年12月23日12时14分，我国在酒泉卫星发射中心用长征二号丁运载火箭，成功将陆地勘查卫星二号发射升空，该卫星进入预定轨道后，每天绕地球转动16圈．地球半径为R，地球同步卫星距离地面的高度为h.则该卫星在预定轨道上绕地球做圆周运动过程中离地面的高度为( )
A. (R＋h)－R B. (R＋h)－R
C. D.
答案 A
解析 陆地勘查卫星二号的周期为：
T′＝ h＝ h，根据万有引力提供向心力，
对同步卫星有：G＝m(R＋h)，
其中T＝24 h；
对陆地勘查卫星二号有：G＝m′(R＋h′)，
联立解得：
h′＝(R＋h)－R，故A正确，B、C、D错误．
9．(多选)(2018·河北省石家庄市模拟)海王星是太阳系中距离太阳最远的行星，它的质量为地球质量的p倍，半径为地球半径的n倍，海王星到太阳的距离为地球到太阳距离的k倍．若地球、海王星均绕太阳做匀速圆周运动，忽略星球自转．下列说法正确的是( )
A．海王星公转周期为年
B．海王星绕太阳做圆周运动的线速度大小是地球绕太阳做圆周运动线速度大小的倍
C．海王星绕太阳做圆周运动的向心加速度是地球绕太阳做圆周运动的向心加速度的倍
D．海王星的第一宇宙速度是地球的第一宇宙速度的倍
答案 AD
解析 由开普勒第三定律知，海王星公转周期为地球公转周期的倍，即公转周期为年，A正确；根据公式G＝m可得v＝ ∝，海王星到太阳的距离为地球到太阳距离的k倍
，故海王星做圆周运动的线速度是地球做圆周运动的线速度的倍，B错误；根据G＝ma得a＝∝，海王星到太阳的距离为地球到太阳距离的k倍，故海王星做圆周运动的加速度是地球做圆周运动的加速度的倍，C错误；根据第一宇宙速度公式v＝，得＝＝，D正确．
10．(多选)(2018·山西省太原市二模)北京时间2017年2月23日凌晨2点，美国航天局举行新闻发布会，宣布确认发现一个拥有7个类地行星的恒星系统TRAPPIST－1(简称T－1)．在这绕T－1做圆周运动的七兄弟(1b、1c、1d、1e、1f、1g、1h)中，1e、1f、1g被认为是最有可能存在液态水的．部分数据与地球的数据比较如下表：
公转周期(Y)
与恒星中心距离(AU)
行星质量(ME)
行星半径(RE)
太阳系—地球
1
1
1
1
TRAPPIST－1e
0.60
0.90
TRAPPIST－1f
1.0
0.68
将T－1、1e、1f均视为质量均匀分布的球体，不考虑七兄弟间的相互作用，则( )
A．T－1的质量约为太阳质量的倍
B．1f与恒星T－1的距离约为 AU
C．1e表面的重力加速度约是地球表面重力加速度的0.74倍
D．1e的第一宇宙速度约为地球第一宇宙速度的0.70倍
答案 AC
解析 根据G＝mr，中心天体的质量M＝r3，代入表格数据可求T－1的质量约为太阳质量的倍，A正确；设1f与恒星T－1的距离为r1，根据开普勒第三定律可得＝，代入数据解得r1＝ AU，B错误；根据黄金代换公式GM＝gR2，行星与地球的质量关系、半径关系已知，代入可得1e表面的重力加速度约是地球表面重力加速度的0.74倍，C正确；第一宇宙速度v＝，代入数据可得1e的第一宇宙速度约为地球第一宇宙速度的倍，D错误．
11．(多选)(2018·安徽省安庆市二模)卫星A、B在不同高度绕同一密度均匀的行星做匀速圆周运动，已知两卫星距行星表面的高度及两卫星绕行星运动的周期，万有引力常量G已知，由此可求出( )
A．该行星的半径
B．两卫星的动能之比
C．该行星的自转周期
D．该行星的密度
答案 AD
解析 设行星的半径为R，质量为M，
则G＝mA(R＋hA)；
G＝mB(R＋hB)
两式相除可求解R，选项A正确；由于两卫星的质量关系不确定，则不能求解两卫星的动能之比，选项B错误；由题设条件不能求解该行星的自转周期，选项C错误；求得行星的半径R之后，可通过G＝mA(R＋hA)求解行星的质量M，从而求解行星的密度，选项D正确．
12.(多选)(2018·广东省七校联合体第三次联考)如图4，赤道上空有2颗人造卫星A、B绕地球做同方向的匀速圆周运动，地球半径为R，卫星A、B的轨道半径分别为R、R，卫星B的运动周期为T，某时刻2颗卫星与地心在同一直线上，两颗卫星之间保持用光信号直接通信．则( )
图4
A．卫星A的加速度小于B的加速度
B．卫星A、B的周期之比为
C．再经时间t＝，两颗卫星之间的通信将中断
D．为了使赤道上任一点任一时刻均能接收到卫星A所在轨道的卫星的信号，
该轨道至少需要3颗卫星
答案 BC
解析 根据G＝ma，解得a＝G，可知A的加速度大于B的加速度，故A错误；根据G＝mr，解得T＝，可得：＝，故B正确；由题意可知当卫星A与B的连线与地球相切时信号中断，由几何关系可知此时A、B卫星与地心连线的夹角θ＝，则有t＝θ，联立可得：t＝，故C正确；对于同步卫星来讲，由于赤道的角度为360度，而一颗卫星能覆盖120度，故要有3颗才能全部覆盖地球表面，同步卫星距地心的距离大约为7R，而卫星A的轨道半径为，覆盖的范围比同步卫星还要小，因此至少需要3颗以上才可以，故D错误．
13．(2018·东北三省三校一模)如图5所示，某行星的卫星在一个圆轨道上做环绕运动，经过时间t通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ(弧度)，已知该行星的半径为R，则该行星的第一宇宙速度为( )
图5
A. B.
C. D.
答案 C
解析 卫星的线速度为：v′＝，角速度为：ω＝；根据线速度和角速度的关系公式，有：v′＝ωr；卫星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律，有：＝mωv′；联立解得：M＝，v＝＝，C正确．
14．(2018·安徽省宣城市第二次调研)同重力场作用下的物体具有重力势能一样，万有引力场作用下的物体同样具有引力势能．若取无穷远处引力势能为零，质量为m的物体距质量为m0的星球球心距离为r时的引力势能为Ep＝－G(G为引力常量)，设宇宙中有一个半径为R的星球，宇航员在该星球上以初速度v0竖直向上抛出一个质量为m的物体，不计阻力，经t秒后物体落回手中，下列分析错误的是( )
A．在该星球表面上以的初速度水平抛出一个物体，物体将不再落回星球表面
B．在该星球表面上以2的初速度水平抛出一个物体，物体将不再落回星球表面
C．在该星球表面上以的初速度竖直向上抛出一个物体，物体将不再落回星球表面
D．在该星球表面上以2的初速度竖直向上抛出一个物体，物体将不再落回星球表面
答案 C
解析 物体做竖直上抛运动，则有：v0＝g·，解得星球表面重力加速度为：g＝，物体绕星球表面做圆周运动时，万有引力近似等于重力，提供向心力：m＝mg，解得：v＝＝，此为最大的环绕速度，也是最小的发射速度，故以此速度或超过此速度水平抛出，都不会落回地面，故A、B正确；若竖直上抛，设速度为v′时，物体绕星球表面运动时，由机械能守恒定律得：
－G＋mv′2＝0，又＝mg，解得v′＝2，故D正确，C错误．
