动力学临界问题的类型和处理技巧

动力学临界问题的类型和处理技巧

动力学临界问题的类型和处理技巧 湖北省恩施高中 陈恩谱 一、动力学临界问题的产生——供需匹配问题 牛顿第二定律 maF  ，等式的左边是其他物体提供给物体的力（供），右边是物体以加速度 a 运动 时所需要的力（需），因此 maF  实际上是供需匹配的方程。 当某些外界条件变化时，a 可能变化，因此物体所需要的力可能发生变化，这就存在供需匹配问题。 动力学临界问题，本质上讲，就是供需匹配问题： ①供需相匹配（等号成立），则可维持两物体间的某种关联（如相对静止、接触、距离不变等）； ②若供需不匹配（等号不成立），则两物体间的该种关联被破坏（如两物体相对滑动、分离、距离增 大或者减小等）。 其他物体提供的力可以在一定范围内变化；若所需要的力在该范围内，则能够维持物体间的某种关联， 若所需要的力超出该范围，则物体间的该种关联被破坏。 二、动力学临界问题的类型 依据其他物体提供给物体的力的特点，可将动力学临界问题分为两大类型：供可变型和供不可变型。 1、供可变型 其他物体提供的力可以在一定范围内变化；若所需要的力在该范围内，则能够维持物体间的某种关联， 若所需要的力超出该范围，则物体间的该种关联被破坏。 具有这种特点的力，主要是两大类：静摩擦力和弹力。具体分析如下： （1）静摩擦力：-Ffm≤Ff≤Ffm， Nf FF 0m  若：所需 Ff≤Ffm，则两物体相对静止， 若：所需 Ff＞Ffm，则两物体相对滑动。 （2）弹力：FN≥0， 0≤FT≤FTm ①支持力/压力 FN：所需 FN≥0，则两物体相互接触， 所需 FN＜0，则两物体相互分离。 ②绳中张力 FT：所需 FT 满足 0≤FT≤FTm，则绳子绷直，两物体维持某间距， 所需 FT＜0，则绳子松弛，两物体间距减小，靠近， 所需 FT＞FTm，则绳子绷断，两物体间距增大，分开。 2、供不可变型 特定位置处，其他物体提供的力是一个确定的值；若需要的力等于该值，则能够维持物体间的相对位 置，若需要的力不等于该值，则两物体接近或者远离。 具有这种特点的力有万有引力、库仑力、弹簧弹力等。其中万有引力作用下人造卫星的变轨问题就属 于这类问题的典型，下文重点是供可变型，所以将此问题的处理方法单独在此处说明，下文不再赘述。 如右图所示，人造卫星在离地心 r 处的 A 点以某速度 vA 发射，若发射速度合适（为 v），卫星在该处所受万有引力恰好等于其在该圆周轨道上做圆周运动所需要的向心力， 则卫星就能在该轨道上做圆周运动，有 r vmr MmG 2 2  ， 解得 r GMv  。 即有： 若： r GMvvA  ，所需要的向心力 2 2 r MmGr vm A  ，供求平衡，卫星将做圆周运动， 若： r GMvvA  ，所需要的向心力 2 2 r MmGr vm A  ，供不应求，卫星将做离心运动， 若： r GMvvA  ，所需要的向心力 2 2 r MmGr vm A  ，供过于求，卫星将做近心运动。 三、动力学临界问题的处理方法 动力学临界问题的处理方法有如下三种： 1、“极端分析+受力转变条件”法： 第一步：极端分析法——找到临界点 第二步：分析临界条件——受力转变条件 如：Ff=Ffm，FN=0， FT=0，FT=FTm 2、“假设相对静止+受力变化范围”法 第一步：假设法——假设物体间的该关联正常 第二步：动力学方程（或平衡方程）+受力范围条件 如：-Ffm≤Ff≤Ffm，FN≥0， 0≤FT≤FTm 3、“假设相对滑动+运动关系条件”法 第一步：假设法——假设物体间的该关联被破坏 第二步：动力学方程（或平衡方程）+运动关系条件 如：加速度关系、曲率半径关系、角度关系 具体请参看下述例题和解析。 【例 1】如图所示，质量 M=8kg 小车放在光滑的水平面上，在小车上面静止放置一质量 m=2kg 的小物 块，物块与小车间的动摩擦因数μ=0.2。现在小车右端施加一水平拉力 F，要将小车从物块下方拉出. 则拉 力 F 至少应为多少？设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g 取 10m/s2. 【思维导引】本题是动力学临界问题中两大类型之一——静摩擦力类临界问题的基本例题。很多学生 在解决这类问题时，把小物块视作始终处于静止状态，然后对小车分析得出拉力超过小物块对小车的摩擦 力就可以将小车拉出——其实，原来没能将小车拉出时，小物块就与小车相对静止具有共同加速度，而能 够将小车拉出来的情况下，小物块也因水平方向受到小车摩擦力而在向右加速运动。在明白这点的基础上， 才可能进行正确的分析，即对两者相对滑动的条件——从受力特点或者是从运动学特点——作出合乎逻辑 的分析，进而列方程求解。 【要点提醒】解决这类问题的基本思路有三种——“极端分析+受力转变条件”法、“假设相对静止+ 受力变化范围”法和“假设相对滑动+运动关系条件”法，其中，前两种方法的共同点是根据静摩擦力（维 持两物体相对静止的原因）的特点——只能在零到最大静摩擦力之间变化，对 F 较小时二者相对静止的条 件进行分析，得出临界条件。后一种方法是直接假设 F 足够大，已经能够将小车从小物块下拉出，然后用 小车加速度大于小物块加速度的条件得出结果。 解法 1：“极端分析+受力转变条件”法 【要点提醒】这种方法的基本思路是：第一步，用极端分析法找到临界状态——两者就要发生相对滑 动（但还没有相对滑动）的状态，第二步，分析临界状态对应的临界条件，即受力转变条件——静摩擦力 增加到最大静摩擦力 Ff=Ffm。 【手把手】 第一步，用极端分析法找到临界状态 根据经验，我们知道，拉力 F 很小时，小物块将随小车一起向右加速运动，拉力 F 很大时，小物块将 相对小车向后滑动。因此，拉力 F 从很小逐渐增大时，必定有一个时候（F 取某个值 F0），此时，小物块就 要相对小车向后滑动但还没有相对滑动。这个状态即为本问题的临界状态。 第二步：分析临界条件——受力转变条件 在拉力 F 很小时，小物块之所以能够随小车一起向右加速运动，是因为小车对小物块的静摩擦力足以 维持两物体相对静止——给小物块提供随小车一起向右加速运动的加速度——这个加速度随整体加速度 增大而增大；当达到临界点时，整体加速度达到了一个临界值，此时，是最大静摩擦力给小物块提供加速 度；若整体加速度再增大，静摩擦力将不足以提供足够大的加速度——不能满足需要，于是就会发生相对 滑动。 即：最大静摩擦力给 m 提供加速度，是本问题的临界受力转变条件。 【解析】设最大静摩擦力给小物块提供的加速度为 a0，此时拉力 F=F0，则由牛顿第二定律，有 小物块： 0mamg  整体： 00 )( amMF  联立解得： N20)(0  gmMF  即：拉力 F 不超过 20N，是无法将小车从小物块下面拉出来的；所以，F 应超过 20N。 解法 2：“假设相对静止+受力变化范围”法 【要点提醒】这种方法的基本思路是：第一步，假设法——假设两物体间保持相对静止，第二步，在 相对静止的基础上列两个物体的动力学方程（或平衡方程），并加上静摩擦力允许的变化范围条件-Ffm≤Ff ≤Ffm，然后联立求解“方程——不等式组”。 【手把手】 第一步：假设法——假设两物体间保持相对静止 【解析】设 m 随 M 一起向右加速运动，加速度为 a. 第二步：动力学方程（或平衡方程）+受力范围条件 由牛顿第二定律有 小物块： maFf 静 整体： amMF )(  其中： mgFf 静 联立解得 N20F 即：拉力 F 不超过 20N，是无法将小车从小物块下面拉出来的；所以，F 应超过 20N。 解法 3：“假设相对滑动+运动关系条件”法 【要点提醒】这种方法的基本思路是：第一步，假设法——F 足够大，已经能够将小车从小物块下拉 出，第二步，由牛顿第二定律列两物体的加速度方程，然后用小车加速度大于小物块加速度的条件得出结 果。 第一步：假设法——假设两物体已发生相对滑动 【解析】假设 F 足够大，已经能够将小车从小物块下拉出，设此时小车加速度为 a1，小物块加速度为 a2， 第二步：动力学方程（或平衡方程）+运动关系条件 则由牛顿第二定律，有 小车： 1mamgF   小物块： 2mamg  由题意，有： 21 aa  联立解得： N20F 即：F 应超过 20N。 【解后反思】以上三种解法中，第一种解法对物理过程的细节转变展现得较为清晰，但对学生的物理 分析能力要求较高——要求学生敏锐把握住受力转变条件：最大静摩擦力给小物块提供的加速度为两物体 相对静止时系统允许的最大加速度；第二、三种解法对物理过程细节展现不充分，但是列方程较为简单， 本题解方程（不等式）也较为简单；但是，第三种解法有一定缺陷——它只成立于最大静摩擦力等于滑动 摩擦力的情况，一旦两者不等——最大静摩擦力大于滑动摩擦力，则只能采用前两种解法。 另外，前两种方法要求学生把握住传动关系：力 F 拉整体，静摩擦力拉小物块。因此临界状态出现在 小物块上，应选小物块为研究对象得出临界条件——加速度 a0=μg. 【例 2】如图所示，质量 m＝1 kg 的物块放在倾角为θ的斜面上，斜面体质量 M＝2 kg，斜面与物块间的动摩擦因数μ＝0.2，地面光滑，θ＝37°.现对斜面体施加 一水平推力 F，要使物体 m 相对斜面静止，力 F 应为多大？(设物体与斜面的最大 静摩擦力等于滑动摩擦力，g 取 10 m/s2) 【思维导引】本题也是静摩擦力类临界问题的基本例题。在处理本题时，大多学生能够把握住一个极 端——推力 F 很大时，物块会相对斜面体上滑，但是却容易把另一个极端——推力 F 很小时，物块会相对 斜面体下滑——从而不能完整解决本题。这是因为这些学生没有把握住“μ＝0.2＜tanθ＝0.75”这个重要 条件，而这个条件的作用是很明显的——仅仅是用力 F 将斜面体抵住时，物块是会沿斜面下滑的，因此推 力 F 很小时，物块会相对斜面体下滑。 【要点提醒】解决这个问题的基本思路也是前述的三种——“极端分析+受力转变条件”法、“假设相 对静止+受力变化范围”法和“假设相对滑动+运动关系条件”法。不过第三种方法需要用到相对运动，因 此本文不赘述。 解法 1：“极端分析+受力转变条件”法 【手把手】 第一步，用极端分析法找到临界状态 推力 F 很小时，由于本题中  37tan ，物体 m 就会相对斜面下滑，推力 F 很大时，物体 m 就会相 对斜面上滑，因此，本题有两个临界状态：推力 F 较小且大小合适时，物体就要相对斜面向下滑而没有下 滑；推力 F 较大且大小合适时，物体就要相对斜面向上滑而没有上滑。 第二步：分析临界条件——受力转变条件 推力 F 大小合适时，物体 m 之所以能够相对斜面静止，是因为能够提供的静摩擦力足以维持物体 m 相对斜面静止；当推力 F 大小合适时，物体就要相对斜面滑动而没有滑动，此时是最大静摩擦力维持物体 m 相对斜面体静止。 【解析】（1）当推力 F 较小且大小合适时，物体就要相对斜面向下滑而没 有下滑，此时是沿斜面向上的最大静摩擦力维持物体 m 相对斜面静止，设此时 推力为 F1，此时物块受力如图甲． 对 m 有： x 方向：FN1sinθ－μFN1cosθ＝ma1 ① y 方向：FN1cosθ＋μFN1sinθ－mg＝0 ② 解①②两式得：a1＝4.78 m/s2 对整体有：F1＝(M＋m)a1，所以 F1＝14.34 N. （2）当推力 F 较大且大小合适时，物体就要相对斜面向上滑而没有上滑，此时是沿斜面向下的最大 静摩擦力维持物体 m 相对斜面静止，设此时推力为 F2，此时物块受力如图乙． 对 m 有： x 方向：FN2sinθ＋μFN2cosθ＝ma2 ③ y 方向：FN2cosθ－μFN2sinθ－mg＝0 ④ 解③④两式得：a2＝11.2 m/s2 对整体有：F2＝(M＋m)a2，所以 F2＝33.6 N. F 的范围为：14.34 N≤F≤33.6 N. 解法 2：“假设相对静止+受力变化范围”法 【手把手】 第一步：假设法——假设两物体间保持相对静止 【解析】设 m 随 M 一起向左加速运动，加速度为 a. 此时物块受力如图丙． 第二步：动力学方程（或平衡方程）+受力范围条件 对 m 有： x 方向：FNsinθ－Ffcosθ＝ma ⑤ y 方向：FNcosθ＋Ffsinθ－mg＝0 ⑥ 由于推力 F 较小时，物体 m 有相对斜面下滑的趋势（摩擦力沿斜面向上），推力 F 较大时，物体 m 有 相对斜面上滑的趋势（摩擦力沿斜面向下），则由静摩擦力大小特点，有： -μFN≤Ff≤μFN ⑦ 对整体有：F＝(M＋m)a ⑧ 解⑤⑥⑦⑧式，得 F 的范围为：14.34 N≤F≤33.6 N. a FN Ff 丙 【解后反思】从前面的解答可以看出，第一种方法物理情景直观明确，但对学生的物理分析能力要求 较高，学生易分析掉推力 F 很小时的极端情况；第二种方法对学生的物理分析能力要求相对低一点，同时 不大容易分析掉推力 F 很小时的极端情况，但是对数学分析能力相对较高，而且方程组求解的结果直观性 不足。 【例 3】试分析在竖直平面内的圆周轨道内侧运动时，小球通过最高点 的条件。 【思维导引】本题是动力学临界问题中两大类型之一——弹力类（FN— —分离类）临界问题的基本例题。这个问题的结论学生很熟，但是却因为理 解不到位，极易与小球在光滑管道内通过最高点的条件相混淆，从而成为了 一个易错点，成为高考提高试题区分度的很好的考点。 【要点提醒】解决这类问题的基本思路也有三种——“极端分析+受力转变条件”法、“假设相互接触 +受力变化范围”法和“假设相对分离+运动关系条件”法。具体技巧参见解答。 解法 1：“极端分析+受力转变条件”法 【要点提醒】这种方法的基本思路是：第一步，用极端分析法找到临界状态——两者就要发生相对分 离（但还没有分离）的状态，第二步，分析临界状态对应的临界条件，即受力转变条件——分离条件：弹 力 FN=0。 【手把手】 第一步，用极端分析法找到临界状态 根据实验，我们知道，小球在最低点初速度较大时，小球可以在圆周轨道内侧做完整圆周运动，小球 在最低点初速度较小时，小球在到达最高点前就已脱离轨道做了斜抛运动。因此，必定有一种情况，小球 在最低点初速度合适时，小球刚好能够通过圆周最高点，由能量守恒可知，此时小球在最高点速度是确定 的某个值。 第二步：分析临界条件——受力转变条件 小球速度较大时，小球在最高点会紧压轨道；小球速度较小，小球到最高点前就脱离轨道后与轨道分 开；因此，小球刚好通过最高点时，就是刚好到达最高点且不压轨道时——即 FN=0. 此时 对小球： R vmmg 2  解得： gRv  即小球通过最高点的条件是：小球在最高点的速度 gRv  解法 2：“假设相互接触+受力变化范围”法 【要点提醒】这种方法的基本思路是：第一步，假设法——假设两物体间保持相对接触，第二步，在 相对接触的基础上列两个物体的动力学方程（或平衡方程），并加上弹力允许的变化范围条件，然后联立 求解“方程——不等式组”。 对于弹力 FN，其基本特点是它的方向只能由施力物体指向受力物体，而不能指回施力物体（如同绳中 张力那样）。如本题中，小球通过最高点时，弹力 FN 的方向只能竖直向下，而不可能竖直向上，即弹力允 许的变化范围是 FN≥0。 【手把手】 第一步，假设法——假设两物体间保持相对接触 【解析】设小球能够通过最高点，并设此时小球通过最高点的速度为 v，其受力如图所示。 第二步：动力学方程（或平衡方程）+受力范围条件 对小球，有： R vmFmg 2 N  其中 FN 只可能向下、不可能向上，即： 0N F 联立，解得 gRv  FN mg 【总结】如下图甲、乙两种情况中，FT、FN 均只能竖直向下，因此小球能够通过最高点的条件均是 gRv  ；如图丙的情况，轻杆对小球的弹力既可向下也可向上，因此速度既可大于 gR ，也可小于 gR ， 即小球能够通过最高点的条件是 0v 。 解法 3：“假设相对分离+运动关系条件”法 【要点提醒】这种方法的基本思路是：第一步，假设法——假设两接触物体已经分离，第二步，由牛 顿第二定律列出相关的加速度方程，然后结合相应的运动关系得出结果。 【手把手】 第一步，假设法——假设两接触物体已经分离 【解析】假设小球在最高点已经脱离圆周轨道。 第二步：动力学方程（或平衡方程）+运动关系条件 则小球将做抛体运动，设此抛物线顶点的曲率半径为ρ，由牛顿第二定律，有： 2vmg m  而小球的抛物线轨迹在圆周轨道内侧，因此，在最高点对应的曲率半径满足： R  解得： v gR 即：小球在最高点的速度 v gR 时，小球会脱离轨道。因此，要使小球不脱离圆周轨道，其在最高 点的速度应该满足 v gR 。 【解后反思】从前述三个例题都可以看出，第一种方法要求学生有足够丰富的生活、实验和理论经验， 对问题涉及的临界、极端情况要足够熟悉才便于入手，对于有这个基础的学生，这是最便于理解的方法 ——这种经验，是可以通过大量做题来训练出来的，但也可以通过实验和经常性的分析来弥补。而第二种 方法从物理思维角度看似乎简单些，但是方程的数学解却理解起来较为抽象，第三种方法却需要足够的分 析经验和敏锐的把握能力，否则也难以入手。 【例 4】如右图所示，在倾角为θ的光滑斜面上端固定一劲度系数为 k 的轻质弹簧，弹簧下端连有一质 量为 m 的小球，小球被一垂直于斜面的挡板 A 挡住，此时弹簧没有形变，若手持挡板 A 以加速度 a(a

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