【物理】2019届一轮复习人教版 曲线运动 运动的合成与分解学案
第四章 曲线运动 万有引力与航天
第10讲 曲线运动 运动的合成与分解
考纲要求
考情分析
命题趋势
1.对曲线运动的理解Ⅰ
2．运动的合成与分解Ⅱ
2015·广东卷，14
本专题是力学的基础知识，高考直接考查的几率较小，但考查平抛运动和圆周运动的知识时会涉及本专题知识
1．曲线运动
(1)速度的方向
质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的__切线方向__.
(2)运动的性质
做曲线运动的物体，速度的__方向__时刻在改变，所以曲线运动是__变速__运动．
(3)曲线运动的条件
物体所受合外力的方向跟它的速度方向__不在同一条直线上__或它的加速度方向与速度方向不在同一条直线上．
(4)合力方向与轨迹的关系
物体做曲线运动的轨迹一定夹在合力方向和速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合力方向__指向曲线的“凹”侧__.
(5)运动类型的判断
①判断物体是否做匀变速运动，要分析合外力是否为恒力．
②判断物体是否做曲线运动，要分析合外力是否与速度成一定夹角．
③匀变速曲线运动的条件：F合≠0，为恒力且与速度不共线．
④非匀变速曲线运动的条件：F合≠0，为变力且与速度不共线．
2．运动的合成与分解
(1)基本概念
分运动合运动．
(2)分解原则
根据运动的__实际效果__分解，也可采用正交分解．
(3)遵循的规律
位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循__平行四边形定则__.
①如果各分运动在同一直线上，需选取正方向，与正方向同向的量取“＋”号，与正方向反向的量取“－”号，从而将矢量运算简化为__代数运算__.
②两分运动不在同一直线上时，按照平行四边形定则进行合成，如图所示．
③两个分运动垂直时的合成，(其大小)满足：
a合＝ s合＝ v合＝
1．请判断下列表述是否正确，对不正确的表述，请说明原因．
(1)曲线运动的物体速度大小一定发生变化．( × )
解析 曲线运动速度的方向一定发生改变，但速度的大小不一定发生变化，比如匀速圆周运动．
(2)曲线运动的物体加速度一定是变化的．( × )
解析 曲线运动的条件是加速度与速度不共线，加速度大小可以不变，比如平抛运动．
(3)曲线运动一定是变速运动．( √ )
(4)合运动的速度一定比每一个分运动的速度都大．( × )
解析 由运动的合成与分解可知，合运动的速度可以比分运动的速度大，也可以比分运动的速度小或与分运动的速度相等．
(5)两个分运动的时间一定与它们合运动的时间相等．( √ )
(6)只要两个分运动是直线运动，合运动一定是直线运动．( × )
解析 两个直线运动的合运动是直线运动还是曲线运动，主要看合加速度与合初速度的方向是否共线．
(7)两个匀变速直线运动的合运动一定是匀变速直线运动．( × )
解析 同(6)．
2．质点做曲线运动从A到B速率逐渐增加，如图所示，有四位同学用示意图表示A到B的轨迹及速度方向和加速度的方向，其中正确的是( D )
3．下列说法正确的是( C )
A．各分运动互相影响，不能独立进行
B．合运动的时间一定比分运动的时间长
C．合运动和分运动具有等时性，即同时开始、同时结束
D．合运动的位移大小等于两个分运动位移大小之和
一 曲线运动的条件及特点
[例1](多选)质量为m的物体，在F1、F2、F3三个共点力的作用下做匀速直线运动，保持F1、F2不变，仅将F3的方向改变90°(大小不变)后，物体可能做( BC )
A．加速度大小为的匀变速直线运动
B．加速度大小为的匀变速直线运动
C．加速度大小为的匀变速曲线运动
D．匀速直线运动
解析 物体在F1、F2、F3三个共点力作用下做匀速直线运动，必有F3与F1、F2的合力等大反向，当F3大小不变，方向改变90°时，F1、F2的合力大小仍为F3，方向与改变方向后的F3夹角为90°，故F合＝F3，加速度a＝＝.若初速度方向与F合方向共线，则物体做匀变速直线运动；若初速度方向与F合方向不共线，则物体做匀变速曲线运动，综上所述选项B、C正确．
(1)判断物体是做曲线运动还是做直线运动，关键要看a和v的方向，两者方向在同一直线上则做直线运动，否则做曲线运动．
(2)曲线上某点处合外力的方向在曲线上该点的切线的哪一侧，曲线就向哪一侧弯曲；曲线轨迹必定夹在a、v方向之间．
(3)合力方向与速率变化的关系
二 运动的合成与分解
1．运动的合成与分解的运算法则：平行四边形定则．
2．两个直线运动的合运动性质的判断标准：看合初速度方向与合加速度方向是否共线
两个互成角度的分运动
合运动的性质
两个匀速直线运动
匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线
匀变速曲线运动
运动
两个初速度为零的匀加速直线运动
匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动
如果v合与a合共线，为匀变速直线运动
如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动
[例2]如图所示，在一次抗洪救灾工作中，一架离水面高为h，沿水平直线飞行的直升机A，用悬索(重力可忽略不计)救护困在湖水中的伤员B，在直升机A和伤员B以相同的水平速率匀速运动的同时，悬索将伤员吊起．设经t时间后，A、B之间的距离为l，且l＝h－2t2.在这段时间内关于伤员B的受力情况和运动轨迹正确的是图中的( A )
[思维导引]①确定伤员B在水平方向和竖直方向的运动性质．②判断伤员的运动轨迹是直线还是曲线及轨迹弯曲方向．
解析 由l＝h－2t2可知B在竖直方向为匀加速直线运动，悬索拉力大于重力，在水平方向为匀速直线运动，故运动轨迹为曲线，且向上弯曲，选项A正确．
合运动和分运动的关系
(1)等时性：各个分运动与合运动总是同时开始，同时结束，经历时间相等(不同时的运动不能合成)．
(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，互不影响．
(3)等效性：各分运动叠加起来与合运动有完全相同的效果．
(4)同一性：各分运动与合运动是指同一物体参与的分运动和实际发生的运动，不能是几个不同物体发生的不同运动．
[例3]如图所示，距激光源O点h高处是水平天花板MN，现激光束以角速度ω沿顺时针方向绕水平轴O匀速转动，当激光束与竖直方向夹角为θ时，光斑在天花板MN上移动的速度大小是多少？
[思维导引]光斑的速度是合速度．
解析 设光斑在B点处速度为v，v1和v2是v的两分速度．
v＝，①
v1＝ωrOB，②
rOB＝，③
联立得v＝.
答案
三 小船渡河模型
1．船的实际运动：是水流的运动和船相对静水的运动的合运动．
2．三种速度：船在静水中的速度v船、水的流速v水、船的实际速度v.
3．三种情况
情况
图示
说明
渡河时
间最短
当船头垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝
渡河位
移最短
当v水
v船时，如果船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直，渡河位移最短，最短渡河位移为xmin＝
[例4](2018·湖北宜昌检测)如图所示，一艘轮船正在以4 m/s的速度沿垂直于河岸方向匀速渡河，河中各处水流速度都相同，其大小为v1＝3 m/s，行驶中，轮船发动机的牵引力与船头朝向的方向相同．某时刻发动机突然熄火，轮船牵引力随之消失，轮船相对于水的速度逐渐减小，但船头方向始终未发生变化．求：
(1)发动机未熄灭时，轮船相对于静水行驶的速度大小；
(2)发动机熄火后，轮船相对于河岸速度的最小值．
解析 (1)发动机未熄火时，轮船运动速度v与水流速度v1方向垂直，如图所示，故此时船相对于静水的速度v2的大小v2＝＝ m/s＝5 m/s，设v与v2的夹角为θ，则cos θ＝＝0.8.
(2)熄火前，船的牵引力沿v2的方向，水的阻力与v2的方向相反，熄火后，牵引力消失，在阻力作用下，v2逐渐减小，但其方向不变，当v2与v1的矢量和与v2垂直时，轮船的合速度最小，则vmin＝v1cos θ＝3×0.8 m/s＝2.4 m/s.
答案 (1)5 m/s (2)2.4 m/s
四 关联速度问题
1．模型特点
绳(杆)拉物体或物体拉绳(杆)，以及两物体通过绳(杆)相连，物体运动方向与绳(杆)不在一条直线上，求解运动过程中它们的速度关系，都属于该模型．
2．模型分析
(1)合速度→物体的实际运动速度v；
(2)分速度其一：沿绳或杆的速度v1；其二：与绳或杆垂直的分速度v2.
3．解题方法
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解．
4．常见模型示例
绳(杆)端速度分解的技巧
(1)明确分解谁——分解不沿绳(杆)方向运动物体的速度；
(2)知道如何分解——沿绳(杆)方向和垂直绳(杆)方向分解；
(3)求解依据——因为绳(杆)不能伸长，所以沿绳(杆)方向的速度分量大小相等．
[例5](2018·河南中原名校联考)如图所示，细线一端固定在天花板上的O点，另一端穿过一张CD光盘的中央小孔后拴着一个橡胶球，橡胶球静止时，竖直悬线刚好挨着水平桌面的边沿．现将CD光盘按在桌面上，并沿桌面边缘以速度v匀速移动，移动过程中，CD光盘中央小孔始终紧挨桌面边线，当悬线与竖直方向的夹角为θ时，小球上升的速度大小为( A )
A．vsin θ B．vcos θ
C．vtan θ D．vcot θ
[思维导引]光盘向右的速度是合速度．
解析 如图，将光盘水平向右移动的速度v分解为沿细线方向的速度和垂直于细线方向的速度，而小球上升的速度大小与速度v沿细线方向的分速度大小相等，故可得v球＝vsin θ，选项A正确．
1．(多选)如图所示的直角三角板紧贴在固定的刻度尺上方，现使三角板沿刻度尺水平向右匀速运动的同时，一支铅笔从三角板直角边的最下端，由静止开始沿此边向上做匀加速直线运动．下列关于铅笔尖的运动及其留下的痕迹的判断中，正确的是( AD )
A．笔尖留下的痕迹是一条抛物线
B．笔尖留下的痕迹是一条倾斜的直线
C．在运动过程中，笔尖运动的速度方向始终保持不变
D．在运动过程中，笔尖运动的加速度方向始终保持不变
解析 笔尖水平方向是匀速直线运动，竖直方向是初速度为零的匀加速直线运动，故笔尖做匀变速曲线运动，其轨迹是抛物线，选项A、D正确．
2．如图所示，物体A、B经无摩擦的定滑轮用细线连在一起，A物体受水平向右的力F
的作用，此时B匀速下降，A水平向左运动，可知( B )
A．物体A做匀速运动
B．物体A做加速运动
C．物体A所受摩擦力逐渐增大
D．物体A所受摩擦力不变
3．(2017·上海四区联考)如图所示，长为L的直棒一端可绕固定轴O转动，另一端搁在升降平台上，平台以速度v匀速上升，当棒与竖直方向的夹角为α时，棒的角速度为( B )
A． B．
C． D．
解析 棒与平台接触点的实际运动，即合运动方向是垂直于棒向左上方，如图所示，合速度v实＝ωL，沿竖直向上的速度分量等于v，即ωLsin α＝v，故选项B正确．
4．(2017·江西高安质检)如图所示，两次渡河时船相对水的速度大小和方向都不变．已知第一次实际航程为A至B，位移为x1，实际航速为v1，所用时间为t1.由于水速增大，第二次实际航程为A至C，位移为x2，实际航速为v2，所用时间为t2.则( C )
A．t2>t1 v2＝ B．t2>t1 v2＝
C．t2＝t1 v2＝ D．t2＝t1 v2＝
解析 设河宽为d，船自身的速度为v，与河岸上游的夹角为θ，对垂直河岸的分运动，过河时间t＝，则t1＝t2；对合运动，过河时间t＝＝，解得v2＝，选项C正确．
[例1](6分)如图所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，用铅笔靠着线的左侧水平向右匀速移动，运动中始终保持悬线竖直，则橡皮运动的速度( )
A．大小和方向均不变 B．大小不变，方向改变
C．大小改变，方向不变 D．大小和方向均改变
[答题送检]来自阅卷名师报告
错误
致错原因
扣分
BCD
铅笔的匀速运动说明橡皮的水平方向为匀速运动，但橡皮在竖直方向的运动是怎样的，考生不会判断，以至于橡皮的合运动也判断不出来，造成错选选项B、C、D．
－6
[规范答题]
[解析] 本题考查运动的合成与分解．铅笔向右匀速移动，则在水平方向橡皮向右匀速运动，由于细线不能伸长，所以橡皮在竖直方向也做匀速运动，且速度大小与水平方向速度大小相等，橡皮的实际运动为这两个运动的合运动，所以橡皮运动的速度大小、方向均不变，选项A正确．
[答案] A
1．(2018·东北师大附中摸底)如图所示，小球a、b用一轻杆相连，a求置于水平地面上，b球靠在竖直墙面上．释放后b球沿竖直墙面下滑，当滑至轻杆与水平面成θ角时，两小球的速度大小之比为( C )
A．＝sin θ B．＝cos θ
C．＝tan θ D．＝
解析 根据题意，将a球速度分解成沿着杆与垂直于杆方向，同时b速度也分解成沿着杆与垂直于杆方向．沿杆方向，对a球有v＝vacos θ，对b球有v＝vbsin θ，则有vacos θ＝vbsin
θ，则＝tan θ，故选项C正确，A、B、D错误．
2．一小船渡河，河宽d＝180 m，水流速度v1＝2.5 m/s.若船在静水中的速度为v2＝5 m/s，求：
(1)欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
(2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
(3)若船在静水中的速度v2＝1.5 m/s，其他条件不变，要使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
解析 (1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向．
当船头垂直河岸时，如图甲所示，合速度为倾斜方向，垂直分速度为v2＝5 m/s.t＝＝ s＝36 s，v＝＝ m/s，x＝vt＝90 m.
(2)欲使船渡河航程最短，应垂直河岸渡河，船头应朝上游与垂直河岸方向成某一夹角α.如图乙所示，有v2sin α＝v1，得α＝30°，
所以当船头向上游偏30°，时航程最短．
x′＝d＝180 m，t′＝＝ s＝24 s.
(3)若v2＝1.5 m/s，因为船速小于水速，所以船一定向下游漂移．设合速度方向与河岸下游方向夹角为β，则航程x1＝，欲使航程最短，需β最大，如图丙所示，由出发点A作出v1矢量，以v1矢量末端为圆心，v2大小为半径作圆，A点与圆周上某点的连线即为合速度方向，欲使v合′与水平方向夹角最大，应使v合′与圆相切，即v合′⊥v2，
sin β＝＝＝，
解得β＝37°，所以船头向上游偏53°，
t1＝＝ s＝150 s，
v合′＝v1cos 37°＝2 m/s，x1＝v合′·t1＝300 m.
答案 (1)垂直河岸方向 36 s 90 m (2)向上游偏30° 24 s 180 m (3)向上游偏53° 150 s 300 m
1．(2018·重庆调研)如图所示，某河段两岸平行，河水越靠近河中央水流速度越大．一条小船(可视为质点)沿垂直与河岸的方向航行，它在静水中航行速度为v，沿河岸向下及垂直河岸建立直角坐标系xOy，则该船渡河的大致轨迹正确的是( C )
解析 小船垂直于河岸方向做匀速直线运动，平行河岸方向先做加速运动后做减速运动，因此合速度方向与河岸间的夹角先减小后增大，即运动轨迹的切线方向与x轴的夹角先减小后增大，选项C正确．
2.由于卫星的发射场不在赤道上，同步卫星发射后需要从转移轨道经过调整再进入地球同步轨道．当卫星在转移轨道上飞经赤道上空时，发动机点火，给卫星一个附加速度，使卫星沿同步轨道运行．已知同步卫星的环绕速度约为3.1×103 m/s，某次发射卫星飞经赤道上空时的速度为1.55×103 m/s，此时卫星的高度与同步轨道的高度相同，转移轨道和同步轨道的夹角为30°，如图所示，发动机给卫星的附加速度的方向和大小约为( B )
A．西偏北方向，1.9×103 m/s
B．东偏南方向，1.9×103 m/s
C．西偏北方向，2.7×103 m/s
D．东偏南方向，2.7×103 m/s
解析 设在两个轨道交叉点处同步卫星的速度为v1，另一个卫星的速度为v2，由图可知Δv即为所求，Δv＝，故选项B正确．
3．如图所示，一条小船位于200 m宽的河正中A点处，从这里向下游100 m处有一危险区，当时水流速度为4 m/s，为了使小船避开危险区沿直线到达对岸，
小船在静水中的速度至少是( C )
A． m/s B． m/s
C．2 m/s D．4 m/s
解析 水流速度是定值，只要保证合速度方向指向对岸危险区上游即可，但对应最小值应为刚好指向对岸危险区边缘，如图所示，tan θ＝＝，所以θ＝30°，则v船min＝v水sin 30°＝2 m/s.
4．有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河．小明驾着小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直．去程与回程所用时间的比值为k，船在静水中的速度大小相同，则小船在静水中的速度大小为( B )
A． B．
C． D．
解析 设河岸宽为d，船速为u，则根据渡河时间关系得
∶＝k，解得u＝，所以选项B正确．
5．(2017·广东广州一模)玻璃板生产线上宽9 m的成型玻璃板以4 m/s的速度连续不断地向前运动，在切割工序处，金刚石割刀的走刀速度为8 m/s.为了使割下的玻璃板都成规定尺寸的矩形，金刚石割刀的切割轨道应如何控制？切割一次的时间为多长？
解析 为了使割下的玻璃板都成规定尺寸的矩形，全刚石割刀应相对于玻璃板的边垂直切割，即金刚石割刀的走刀速度沿玻璃板运动方向的分速度应与玻璃板的运动速度相等．
设金刚石割刀的轨道方向与玻璃板运动方向成α角，以v1、v2分别表示玻璃板的速度和金刚石割刀的走刀速度，如图所示，则有v2cos α＝v1，则cos α＝＝，α＝30°，切割一次的时间t＝＝s＝2.25 s.
答案 割刀切割轨道与玻璃板速度方向夹角30° 2.25 s
课时达标 第10讲
[解密考纲]考查曲线运动的性质和轨迹的判断、运动的合成与分解和关联速度问题．
1．图示是α粒子(氦原子核)被重金属原子核散射的运动轨迹，M、N、P、Q是轨迹上的四点，在散射过程中可以认为重金属原子核静止不动．图中所标出的α粒子在各点处的加速度方向正确的是 ( C )
A．M点 B．N点
C．P点 D．Q点
解析 由库仑定律，可得两点电荷间的库仑力的方向在两者的连线上，同种电荷相互排斥．由牛顿第二定律知，加速度方向与合外力方向相同．选项C正确．
2．(2017·上海徐汇调研)“蛟龙号”在下潜过程中遇到水平方向海流的作用，若水平方向的海流速度越大，则“蛟龙号”( C )
A．下潜的时间越长
B．下潜的时间越短
C．下潜的总位移越大
D．下潜至7 000 m深度时的合速度越小
解析 根据运动的等时性和独立性可知，“蛟龙号”下潜过程中竖直方向的运动不受水平方向海流的影响，所以下潜的时间不变，选项A、B错误；若水平方向的海流速度越大，则“蛟龙号”水平方向的位移越大，下潜的总位移也就越大，选项C正确；根据v＝，若海流速度越大，“蛟龙号”的水平分速度vx也就越大，则“蛟龙号”下潜至海底时合速度也越大，选项D错误．
3．如图所示，帆板在海面上以速度v朝正西方向运动，帆船以速度v朝正北方向航行，以帆板为参照物( D )
A．帆船朝正东方向航行，速度大小为v
B．帆船朝正西方向航行，速度大小为v
C．帆船朝南偏东45°方向航行，速度大小为v
D．帆船朝北偏东45°方向航行，速度大小为v
解析 以帆板为参照物，帆船有向东运动的分速度，大小为v，也有向北运动的分速度，大小为v，因此帆船相对帆板运动的速度为v′＝＝v，方向朝北偏东45°，选项D正确．
4．(2017·河南豫东、豫北十校联考)(多选)如图，在河水速度恒定的小河中，一小船保持船头始终垂直河岸从一侧岸边向对岸行驶，船的轨迹是一个弯曲的“S”形，则( BD )
A．小船垂直河岸的速度大小恒定不变
B．小船垂直河岸的速度大小先增大后减小
C．与船以出发时的速度匀速过河相比，过河时间长了
D．与船以出发时的速度匀速过河相比，过河时间短了
解析 由于河水速度恒定，小船做曲线运动的加速度方向必定垂直河岸，由题图可知，前一阶段，加速度与小船航行速度同方向，小船航行速度增加，后一阶段，加速度与小船航行速度反方向，小船航行速度减小，故选项A错误，B正确；容易知道，小船垂直河岸运动的平均速度大于船出发时的速度，故选项C错误，D正确．
5．在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上做初速度为零、加速度为a的匀加速运动，同时人顶着直杆以速度v0水平匀速移动，经过时间t，猴子沿杆向上移动的高度为h，人顶杆沿水平地面移动的距离为x，如图所示．关于猴子的运动情况，下列说法中正确的是 ( D )
A．相对地面做匀速直线运动
B．相对地面做匀加速直线运动
C．t时刻猴子对地速度的大小为v0＋at
D．t时间内猴子对地的位移大小为
解析 猴子的运动是沿竖直杆向上的匀加速直线运动和水平方向的匀速直线运动的合运动，猴子相对地面的运动轨迹为抛物线，即猴子相对地面做匀加速曲线运动，选项A、B错误；t时刻猴子对地速度的大小为v＝，选项C错误；t时间内猴子对地的位移大小为s＝，选项D正确．
6．(多选)某人渡河，他以一定速度向对岸游去．已知此处河的宽度为d，水流速度为v1，人在静水中的游泳速度为v2，要使人在渡河过程中所行路程s最短，则( AC )
A．当v1＜v2时，s＝d
B．当v1＜v2时，s＝d
C．当v1＞v2时，s＝d
D．当v1＞v2时，s＝d
解析 当v1＜v2时，人通过调整游泳方向，可使其合运动垂直河岸方向，则人通过的路程为d，选项A正确，B错误；当v1＞v2时，合速度方向与水速夹角最大时通过的位移最短，则＝，解得s＝d，选项C正确，D错误．
7．如图所示，民族运动会上有一个骑射项目，运动员骑在奔驰的马背上沿跑道AB运动，拉弓放箭射向他左侧的固定目标．假设运动员骑马奔驰的速度为v1，运动员静止时射出的箭速度为v2，跑道离固定目标的最近距离OA＝d.若不计空气阻力的影响，要想命中目标且射出的箭在空中飞行时间最短，则( B )
A．运动员放箭处离目标的距离为d
B．运动员放箭处离目标的距离为d
C．箭射到靶的最短时间为
D．箭射到靶的最短时间为
解析 要想在最短时间内射中目标，运动员放射的箭的速度方向应与骑马奔驰的速度v1垂直，如图所示，则有t＝，s＝vt＝ ·，故选项B正确．
8．(多选)如图所示，人在岸上拉船，已知船的质量为m，水的阻力恒为Ff，当轻绳与水平面的夹角为θ时，人向左走的速度为v，此时人的拉力大小为F，则 ( BC )
A．船的速度为vcos θ
B．船的速度为
C．船的加速度为
D．船的加速度为
解析 对船的速度产生了两个效果：一是滑轮与船间的绳缩短，二是绳绕滑轮顺时针转动，因此将船的速度分解为如图所示，人拉绳行走的速度等于船沿绳的分速度，即v＝v船cos θ，所以选项A、D错误，选项B、C正确．
9．如图所示，水平面上有一汽车A，通过定滑轮用绳子拉同一水平面的物体B，当拉至图示位置时，两绳子与水平面的夹角分别为α、β，二者速度分别为vA和vB，则( C )
A．vA∶vB＝1∶1 B．vA∶vB＝sin α∶sin β
C．vA∶vB＝cos β∶cos α D．vA∶vB＝sin α∶cos β
解析 物体B实际的速度水平向右，根据它的实际运动效果，两分运动分别为：沿绳收缩方向的分运动，设其速度为v1，垂直绳方向的分运动，设其速度为v2，如图甲所示，
则有v1＝vBcos β，①
汽车A
实际的速度水平向右，根据它的实际运动效果，两分运动分别为：沿绳收缩方向的分运动，设其速度为v3，垂直绳方向的分运动，设其速度为v4，如图乙所示，则有v3＝vAcos α， ②
又因二者沿绳子方向上的速度相等，则有v1＝v3，③
由①②③式得vA∶vB＝cos β∶cos α.选项C正确．
10．(2017·河北石家庄实验中学检测)一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B(可视为质点)．将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑，如图所示，当轻杆到达位置2时球A与球形容器球心等高，其速度大小为v1，已知此时轻杆与水平方向成θ＝30°角，B球的速度大小为v2，则( C )
A．v2＝v1 B．v2＝2v1
C．v2＝v1 D．v2＝v1
解析 球A与球形容器球心等高，速度v1方向竖直向下，速度分解如图所示，有v11＝v1 sin 30°＝v1，球B此时速度方向与杆成α＝60°角，因此v21＝v2 cos 60°＝v2，沿杆方向两球速度相等，即v21＝v11，解得v2＝v1，选项C正确．
11．(多选)河水的流速随离河岸距离的变化关系如图甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示，若要使船以最短时间渡河，则( BD )
A．船渡河的最短时间是60 s
B．船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直
C．船在河水中航行的轨迹是一条直线
D．船在河水中的最大速度是5 m/s
解析 由题图可知河宽d＝300 m，v船＝3 m/s，渡河时间最短时，船头垂直指向河岸，最短时间t＝＝ s＝100 s，选项A错误，选项B正确；因为水流速度是变化的，则合速度也是变化的，故航行轨迹不是直线，故选项C错误；由题图可知，水流速度最大为4 m
/s，则船在河水中的最大速度是v＝＝5 m/s，选项D正确．
12．(2017·山东济南调研)(多选)甲、乙两船在同一条河流中同时开始渡河，河宽为H，河水流速为v0，划船速度均为v，出发时两船相距H，甲、乙两船船头均与河岸成60°角，如图所示．已知乙船恰好能垂直到达对岸A点，则下列判断正确的是( BD )
A．甲、乙两船到达对岸的时间不同
B．v＝2v0
C．两船可能在未到达对岸前相遇
D．甲船也在A点靠岸
解析 渡河时间均为，乙能垂直于河岸渡河，对乙船，由vcos 60°＝v0，可得v＝2v0，甲船在该时间内沿水流方向的位移为(vcos 60°＋v0)＝H，刚好到达A点．综上所述，选项A、C错误，B、D正确．
13．(2017·湖北武汉诊断)(多选)如图所示，用一根长杆和两个定滑轮的组合装置来提升重物M，长杆的一端放在地上通过铰链连接形成转轴，其端点恰好处于左侧滑轮正下方O点处，在杆的中点C处拴一细绳，通过两个滑轮后挂上重物M.C点与O点距离为L，现在杆的另一端用力使其逆时针匀速转动，由竖直位置以角速度ω缓慢转至水平(转过了90°角)，在此过程中下列说法正确的是( CD )
A．重物M做匀速直线运动
B．重物M做匀变速直线运动
C．重物M的最大速度是ωL
D．重物M的速度先增大后减小
解析 与杆垂直的速度v是C点的实际速度，vx是细绳的速度，即重物M的速度．vx与v的夹角是θ，vx＝vcos θ，开始时θ减小，则vx增大；当杆与细绳垂直(θ＝0)时，重物M的速度最大，为vmax＝ωL，然后再减小，选项C、D正确．
14．汽车静止时，车内的人从矩形车窗ABCD看到窗外雨滴的运动方向如图图线①所示．在汽车从静止开始匀加速启动阶段的t1、t2两个时刻，看到雨滴的运动方向分别如图线②③所示．E是AB的中点．则( A )
A．t2＝2t1 B．t2＝t1
C．t2＝t1 D．t2＝t1
解析 汽车静止时，车内的人从矩形车窗ABCD看到窗外雨滴的运动方向如图线①所示，说明雨滴相对于地面做的是竖直向下的直线运动，设雨滴的速度为v0，汽车匀加速运动后，在t1时刻，看到的雨滴的运动方向如图线②，设这时汽车的速度为v1，这时雨滴水平方向相对于汽车的速度大小为v1，方向向左，在t2时刻，设汽车的速度为v2，则雨滴的运动方向如图线③，雨滴水平方向相对于汽车速度大小为v2，方向水平向左，根据几何关系，＝，＝，得v2＝2v1，汽车做匀加速运动，则由v＝at可知，t2＝2t1，选项A正确．
