【物理】2020届一轮复习人教版第二章相互作用学案
第二章 Error! 相互作用
[全国卷 5 年考情分析]
基础考点 常考考点 命题概率 常考角度
滑动摩擦力、动摩
擦因数、静摩擦力
(Ⅰ)
'18Ⅱ卷 T23(9 分)
'17Ⅱ卷 T16(6 分)
'16Ⅰ卷 T19(6 分)
'15Ⅰ卷 T20(6 分)
独立命题
概率 40%
综合命题
概率 70%
力的合成和分解
(Ⅱ)
'16Ⅲ卷 T17(6 分)
综合命题
概率 100%
共点力的平衡(Ⅱ)
'17Ⅰ卷 T21(6 分)
'17Ⅲ卷 T17(6 分)
'16Ⅲ卷 T17(6 分)
'14Ⅱ卷 T17(6 分)
综合命题
概率 70%
实验二：探究弹力
和弹簧伸长的关系
'18Ⅰ卷 T22(5 分)
'14Ⅱ卷 T23(9 分)
综合命题
概率 50%
形变、弹性、
胡克定律(Ⅰ)
矢量和标量
(Ⅰ)
以上 2 个考点
未曾独立命题
实验三：验证力的
平行四边形定则
'17Ⅲ卷 T22(6 分)
综合命题
概率 30%
(1)结合物体的平衡
条件考查弹力、摩擦
力
(2)静摩擦力和滑动
摩擦力转换过程中
摩擦力的变化
(3)力的合成与分解
(4)静态平衡和动态
平衡问题
第 1 节 重力 弹力
一、力
1．力的概念：力是物体对物体的作用。[注 1]
2．力的三要素：力的大小、方向、作用点。
3．力的表示方法：力的图示或力的示意图。[注 2]
二、重力
1．产生：由于地球的吸引而使物体受到的力。[注 3]
2．大小：与物体的质量成正比，即 G＝mg 。可用弹簧测力计测量重力。
3．方向：总是竖直向下的。
4．重心：其位置与物体的质量分布和形状有关。
三、弹力
1．弹力
(1)定义：发生弹性形变的物体由于要恢复原状而对与它接触的物体产生的作用力。[注
4]
(2)产生的条件：
①物体间直接接触。
②接触处发生弹性形变。
(3)方向：总是与物体形变的方向相反。
2．胡克定律
(1)内容：弹簧发生弹性形变时，弹力的大小跟弹簧伸长(或缩短)的长度 x 成正比。
(2)表达式：F＝kx 。k 是弹簧的劲度系数，由弹簧自身的性质决定，单位是 N/m，x
是弹簧长度的改变量，不是弹簧形变以后的长度。
【注解释疑】
[注 1] 力的作用是相互的(一个巴掌拍不响)。
[注 2] 力的图示 VS 示意图
力的图示是严格表示力的方法，需要把力的三要素全部表示出来，而力的示意图只表示
力的作用点和方向。
[注 3] 重力并不是地球对物体的引力，产生差异的原因是地球自转。
[注 4] 施力物体是发生形变的物体，受力物体是阻碍恢复形变的物体。
[深化理解]
1．力不能脱离物体而独立存在，没有施力物体或受力物体的力是不存在的。
2．重心是重力的“等效作用点”，不一定在物体上，其具体位置由物体质量分布规律
和几何形状共同决定。
3．物体所受支持力的大小不一定等于重力，其大小与物体的放置方式及运动状态有关。
4．胡克定律对轻弹簧、橡皮条均适用，但形变量必须在弹性限度内。
[基础自测]
一、判断题
(1)自由下落的物体所受重力为零。(×)
(2)重力的方向不一定指向地心。(√)
(3)弹力一定产生在相互接触的物体之间。(√)
(4)相互接触的物体间一定有弹力。(×)
(5)F＝kx 中“x”表示弹簧形变后的长度。 (×)
(6)弹簧的形变量越大，劲度系数越大。(×)
(7)弹簧的劲度系数由弹簧自身性质决定。(√)
二、选择题
1．[人教版必修 1 P52 图示改编]如图所示，两辆车正以相同的速度做匀速运动，根据图
中所给信息和所学知识你可以得出的结论是( )
A．物体各部分都受重力作用，但可以认为物体各部分所受重力集中于一点
B．重力的方向总是垂直向下的
C．物体重心的位置与物体形状和质量分布无关
D．力是使物体运动的原因
解析：选 A 物体各部分都受重力作用，但可以认为物体各部分所受重力集中于一点，
这个点就是物体的重心，重力的方向总是和水平面垂直，是竖直向下而不是垂直向下，所以
选项 A 正确，B 错误；从题图中可以看出，汽车(包括货物)的形状和质量分布发生了变化，
重心的位置就发生了变化，故选项 C 错误；力不是使物体运动的原因而是改变物体运动状
态的原因，所以选项 D 错误。
2．[沪科版必修 1 P71 T4]在半球形光滑碗内斜搁一根筷子，如图所示，
筷子与碗的接触点分别为 A、B，则碗对筷子 A、B 两点处的作用力方向
分别为( )
A．均竖直向上
B．均指向球心 O
C．A 点处指向球心 O，B 点处竖直向上
D．A 点处指向球心 O，B 点处垂直于筷子斜向上
解析：选 D A 点处弹力的方向沿半径指向球心 O，B 点处弹力的方向垂直于筷子斜向
上，故 D 正确。
3．(2016·江苏高考)一轻质弹簧原长为 8 cm，在 4 N 的拉力作用下伸长了 2 cm，弹簧
未超出弹性限度。则该弹簧的劲度系数为( )
A．40 m/N B．40 N/m
C．200 m/N D．200 N/m
解析：选 D 由 F＝kx 知，弹簧的劲度系数 k＝F
x＝ 4
0.02 N/m＝200 N/m，选项 D 正确。
高考对本节内容的考查，主要考查重力、弹力的产生条件，大小以及方向的判断，其中
对弹力的有无及方向判断和“弹簧模型”在不同情景下的综合问题在高考中出现频率较高，主
要以选择题的形式出现，难度一般，一些计算题也涉及这方面的知识，难度会稍大一些。
考点一 弹力的有无及方向判断[基础自修类]
[题点全练]
1．[细线拉力和斜面弹力有无的判断]
匀速前进的车厢顶部用细线竖直悬挂一小球，如图所示，小球下方与
一光滑斜面接触。关于小球的受力，下列说法正确的是( )
A．重力和细线对它的拉力
B．重力、细线对它的拉力和斜面对它的弹力
C．重力和斜面对它的支持力
D．细线对它的拉力和斜面对它的支持力
解析：选 A 小球必定受到重力和细线的拉力。小球和光滑斜面接触，假设斜面对小球
有弹力，小球将受到三个力作用，重力和细线的拉力在竖直方向上，弹力垂直于斜面向上，
三个力的合力不可能为零，与题设条件矛盾，故斜面对小球没有弹力，故 A 正确。
2．[细绳拉力和弹簧弹力有无的判断]
如图所示，小车内一根轻质弹簧沿竖直方向和一条与竖直方向成
α 角的细绳拴接一小球。当小车和小球相对静止，一起在水平面上运动
时，下列说法正确的是( )
A．细绳一定对小球有拉力的作用
B．轻弹簧一定对小球有弹力的作用
C．细绳不一定对小球有拉力的作用，但是轻弹簧对小球一定有弹力
D．细绳不一定对小球有拉力的作用，轻弹簧对小球也不一定有弹力
解析：选 D 若小球与小车一起做匀速运动，则细绳对小球无拉力；若小球与小车有向
右的加速度 a＝gtan α，则轻弹簧对小球无弹力，D 正确。
3．[斜面和墙面弹力的有无及方向判断]
如图所示，一倾角为 45°的斜面固定于墙角，为使一光滑的铁球静止于
图示位置，需加一水平力 F，且 F 通过球心。下列说法正确的是( )
A．铁球一定受墙面水平向左的弹力
B．铁球可能受墙面水平向左的弹力
C．铁球一定受斜面通过铁球的重心的弹力
D．铁球可能受斜面垂直于斜面向上的弹力
解析：选 B F 的大小合适时，铁球可以静止在无墙的斜面上，F 增大时墙面才会对铁
球有弹力，所以选项 A 错误，B 正确。斜面必须有对铁球斜向上的弹力才能使铁球不下落，
该弹力方向垂直于斜面但不一定通过铁球的重心，所以选项 C、D 错误。
4．[轻杆对小球弹力方向的判断]
小车上固定一根弹性直杆 A，杆顶固定一个小球 B(如图所示)，现让小车从
光滑斜面上自由下滑，在下列如图所示的情况中杆发生了不同的形变，其中正
确的是( )
解析：选 C 小车在光滑斜面上自由下滑，则加速度 a＝gsin θ(θ 为斜面的倾角)，由牛
顿第二定律可知小球所受重力和杆的弹力的合力沿斜面向下，且小球的加速度等于 gsin θ，
则杆的弹力方向垂直于斜面向上，杆不会发生弯曲或倾斜，C 正确。
[名师微点]
1．各种情景下弹力的方向特点
2．弹力有无的判断“三法”
条件法
根据物体是否直接接触并发生弹性形变来判断是否存在弹力。
多用来判断形变较明显的情况
假设法
对形变不明显的情况，可假设两个物体间不存在弹力，看物体
能否保持原有的状态，若运动状态不变，则此处不存在弹力；
若运动状态改变，则此处一定存在弹力
状态法
根据物体的运动状态，利用牛顿第二定律或共点力平衡条件判
断是否存在弹力
3．判断弹力方向的两点提醒
(1)轻杆对物体的弹力方向不一定沿杆。
(2)物体所受弹力的大小和方向与物体所处的状态(如静止、匀变速直线运动等)有关。
考点二 弹力的分析与计算[师生共研类]
[典例] 如图所示，小车上固定着一根弯成 θ 角的曲杆，杆的另
一端固定着一个质量为 m 的球。试分析下列情况下杆对球的弹力的大小和方向：(1)小车
静止；(2)小车以加速度 a 水平向右运动。
[解析] (1)小车静止时，球受到两个力的作用。重力和杆的弹力，根据平衡条件知，杆
对球的弹力大小等于球的重力，方向竖直向上。
(2)选小球为研究对象。小车以加速度 a 向右运动时，小球所受重力
和杆的弹力的合力一定水平向右，此时，弹力 F 的方向一定指向右上
方，只有这样，才能保证小球在竖直方向上保持平衡，水平方向上具有向
右的加速度。假设小球所受弹力方向与竖直方向的夹角为 α(如图)，根据牛
顿第二定律有 Fsin α＝ma，Fcos α＝mg。
解得 F＝m g2＋a2，tan α＝a
g。
[答案] (1)mg 方向竖直向上 (2)m g2＋a2 弹力与竖直方向夹角的正切值 tan α＝
a
g
[延伸思考]
(1)小车如何运动时，弹力的方向才沿杆的方向？
(2)试比较一下绳、杆、弹簧的弹力方向，它们各自有何特点？
提示：(1)当小车水平向右的加速度为 a＝gtan θ 时，弹力的方向沿杆斜向上，此时小车
可能向右匀加速运动，也可能向左匀减速运动。
(2)绳只能发生拉伸形变，故绳只能产生沿伸长方向的拉力；弹簧可以发生拉伸形变，
也可以发生压缩形变，故弹簧可以产生沿弹簧方向的拉力，也可以产生沿弹簧方向的支持力；
杆既可以发生拉伸形变，也可以发生压缩形变，还可以发生弯曲形变，故杆可产生沿杆方向
的拉力和支持力，也可以产生不沿杆方向的弹力。
[一题悟通]
例题及相关延伸思考旨在让考生认识到，物体的运动状态不同，以及轻绳、轻杆、轻弹
簧等模型发生的形变不同，使得产生的弹力就不同，相应的计算方法也不同：
①根据胡克定律计算；
②根据力的平衡条件计算；
③根据牛顿第二定律计算；
④根据动能定理计算。
[题点全练]
1．[轻弹簧弹力的计算]
如图所示，四个完全相同的弹簧都处于水平位置，它们的右端受到大小皆为 F 的拉力
作用，而左端的情况各不相同：①弹簧的左端固定在墙上；②弹簧的左端受大小也为 F 的
拉力作用；③弹簧的左端拴一小物块，物块在光滑的桌面上滑动；④弹簧的左端拴一小物
块，物块在有摩擦的桌面上滑动。若认为弹簧质量都为零，以 L1、L2、L3、L4 依次表示四
个弹簧的伸长量，则有( )
A．L2>L1 B．L4>L3
C．L1>L3 D．L2＝L4
解析：选 D 弹簧伸长量由弹簧的弹力(F 弹)大小决定。由于弹簧质量不计，这四种情
况下，F 弹都等于弹簧右端拉力 F，因而弹簧伸长量均相同，故选项 D 正确。
2．[轻杆弹力的计算]如图所示，一重为 10 N 的球固定在支杆 AB 的
上端，用一段绳子水平拉球，使杆发生弯曲，已知绳的拉力为 7.5 N，则
AB 杆对球的作用力( )
A．大小为 7.5 N
B．大小为 10 N
C．方向与水平方向成 53°角斜向右下方
D．方向与水平方向成 53°角斜向左上方
解析：选 D 对球进行受力分析可得，AB 杆对球的作用力与绳子对球的拉力的合力，
与球的重力等值反向，则 AB 杆对球的作用力大小 F＝ G2＋F拉2＝12.5 N，A、B 错误；
设 AB 杆对球的作用力与水平方向夹角为 α，可得 tan α＝ G
F拉＝4
3，α＝53°，故 D 项正确。
3．[轻绳弹力的计算]
(2017·全国卷Ⅲ)一根轻质弹性绳的两端分别固定在水平天花板上相距 80 cm 的两点上，
弹性绳的原长也为 80 cm。将一钩码挂在弹性绳的中点，平衡时弹性绳的总长度为 100 cm；
再将弹性绳的两端缓慢移至天花板上的同一点，则弹性绳的总长度变为(弹性绳的伸长始终
处于弹性限度内)( )
A．86 cm B．92 cm
C．98 cm D．104 cm
解析：选 B 将钩码挂在弹性绳的中点时，由数学知识可知钩码两侧的弹性绳(劲度系
数设为 k)与竖直方向夹角 θ 均满足 sin θ＝4
5，对钩码(设其重力为 G)静止时受力分析，得 G＝
2k(1 m
2 －0.8 m
2 )cos θ；弹性绳的两端移至天花板上的同一点时，对钩码受力分析，得 G＝2k
(L
2－0.8 m
2 )，联立解得 L＝92 cm，可知 A、C、D 项错误，B 项正确。
“形异质同”快解题——平衡中的弹簧问题
弹簧可以发生压缩形变，也可以发生拉伸形变，其形变方向不同，弹力的方向也不同。
在平衡问题中，常通过轻弹簧这种理想化模型，设置较为复杂的情景，通过物体受力平衡问
题分析弹簧的弹力。该类问题常有以下三种情况：
(一)拉伸形变
1．如图所示，用完全相同的轻弹簧 A、B、C 将两个相同的
小球连接并悬挂，小球处于静止状态，弹簧 A 与竖直方向的夹角
为 30°，弹簧 C 水平，则弹簧 A、C 的伸长量之比为( )
A． 3∶4 B．4∶ 3
C．1∶2 D．2∶1
解析：选 D 将两小球及弹簧 B 视为一个整体系统，该系统水平方向受力平衡，故有
kΔxAsin 30°＝kΔxC，可得 ΔxA∶ΔxC＝2∶1，D 项正确。
(二)压缩形变
2．如图所示，两木块的质量分别为 m1 和 m2，两轻质弹簧的劲度系
数分别为 k1 和 k2，上面木块压在上面的弹簧上(但不拴接)，整个系统处于
平衡状态。现缓慢向上提上面的木块，直到它刚离开上面弹簧，在此过程中
下面木块移动的距离为( )
A.m1g
k1 B.m2g
k1
C.m1g
k2 D.m2g
k2
解析：选 C 在此过程中，压在下面弹簧上的压力由(m1＋m2)g 减小到 m2g，即减少了
m1g，根据胡克定律可断定下面弹簧的长度增长了 Δl＝m1g
k2 ，即下面木块移动的距离为m1g
k2 。
C 正确。
(三)形变未知
3．如图所示，水平轻杆的一端固定在墙上，轻绳与竖直方向的夹角
为 37°，小球的重力为 12 N，轻绳的拉力为 10 N，水平轻弹簧的弹力为 9
N，求轻杆对小球的作用力。
解析：设杆的弹力大小为 F，与水平方向的夹角为 α，
(1)弹簧向左拉小球时，小球受力如图甲所示。
由平衡条件知：Error!
代入数据解得：F＝5 N，α＝53°
即杆对小球的作用力大小为 5 N，方向与水平方向成 53°角斜向右上方。
(2)弹簧向右推小球时，小球受力如图乙所示。
由平衡条件得：Error!
代入数据解得：F≈15.5 N，α＝π－arctan 4
15。
即杆对小球的作用力大小约为 15.5 N，方向与水平方向成 arctan 4
15斜向左上方。
答案：见解析
[课时跟踪检测]
[A 级——基础小题练熟练快]
1．(多选)关于力，下列说法正确的是( )
A．拳击运动员一记重拳出击，被对手躲过，运动员施加的力没有受力物体
B．站在地面上的人受到的弹力是地面欲恢复原状而产生的
C．重力、弹力、摩擦力是按力的性质命名的，动力、阻力、压力、支持力是按力的作
用效果命名的
D．同一物体放在斜面上受到的重力一定小于放在水平面上受到的重力
解析：选 BC 力是物体间的相互作用，有力就有施力物体和受力物体，故 A 错误；物
体受到的弹力是施力物体反抗形变(或欲恢复原状)对受力物体施加的力，故 B 正确；力学中，
按照力的性质可以把力分为重力、弹力、摩擦力等，按照力的作用效果可以把力分为动力、
阻力、压力、支持力等，故 C 正确；同一物体放在地球上同一纬度且离地面高度相同时，
受到的重力相同，故 D 错误。
2.下列关于重力的说法中正确的是( )
A．物体只有静止时才受重力作用
B．重力的方向总是指向地心
C．地面上的物体在赤道上受的重力最小
D．物体挂在弹簧测力计下，弹簧测力计的示数一定等于物体的重力
解析：选 C 物体受到重力的作用，与物体的运动状态无关，A 错误；重力的方向总是
竖直向下，不一定指向地心，B 错误；赤道上重力加速度最小，因此地面上的物体在赤道上
受的重力最小，C 正确；物体挂在弹簧测力计下处于平衡状态时，弹簧测力计的示数才等于
物体的重力，故 D 错误。
3．如图所示，小车受到水平向右的弹力作用，与该弹力的有关说法
中正确的是( )
A．弹簧发生拉伸形变
B．弹簧发生压缩形变
C．该弹力是小车形变引起的
D．该弹力的施力物体是小车
解析：选 A 小车受到水平向右的弹力作用，是弹簧发生拉伸形变引起的，该弹力的施
力物体是弹簧，故只有 A 项正确。
4．(2018·北京昌平区联考)以下各选项的图中，所有接触面均光滑且 a、b 均处于静止
状态，其中 A、D 选项中的细线均沿竖直方向。则 a、b 间一定有弹力的是( )
解析：选 B A 选项中，假设两球间有弹力，则小球将向两边运动，与题意矛盾，则
a、b 间无弹力，故 A 错误。B 选项中，若两球间无弹力，则两球都将向下摆动，与题意矛
盾，则 a、b 间有弹力，故 B 正确。C 选项中，假设两球间有弹力，则 b 小球将向右运动，
与题意矛盾，则 a、b 间无弹力，故 C 错误。D 选项中，假设 b 对 a 球有弹力，方向必定垂
直于斜面向上，a 球共受三个力：竖直向下的重力、竖直向上的拉力和垂直于斜面向上的弹
力，三个力的合力不可能为零，则小球 a 不可能处于静止状态，与题意矛盾，则 a、b 间一
定没有弹力，故 D 错误。
5. (2019·宁波模拟)在日常生活及各项体育运动中，有弹力出
现的情况比较普遍，如图所示的情况就是一个实例。当运动员踩
压跳板使跳板弯曲到最低点时，下列说法正确的是( )
A．跳板发生形变，运动员的脚没有发生形变
B．运动员受到的支持力，是运动员的脚发生形变而产生的
C．此时跳板对运动员的支持力和运动员的重力等大
D．此时跳板对运动员的支持力大于运动员的重力
解析：选 D 发生相互作用的物体均要发生形变，故 A 错误；发生形变的物体，为了
恢复原状，会对与它接触的物体产生弹力的作用，B 错误；在最低点，运动员虽然处于瞬间
静止状态，但接着运动员要加速上升，故此时跳板对运动员的支持力大于运动员的重力，C
错误，D 正确。
6．将一根轻质弹簧上端固定，下端悬挂一质量为 m 的物体，物体静止时，弹簧长度为
L1；而当弹簧下端固定在水平地面上，将质量为 m 的物体压在其上端，物体静止时，弹簧
长度为 L2。已知重力加速度为 g，则该弹簧的劲度系数是( )
A.mg
L1 B. 2mg
L1－L2
C. mg
L1－L2 D.mg
L2
解析：选 B 设弹簧原长为 L0，由胡克定律，当弹簧下端挂物体时有 mg＝k(L1－L0)，
当弹簧上面压物体时有 mg＝k(L0－L2)，联立解得 k＝ 2mg
L1－L2，故 B 正确。
[B 级——保分题目练通抓牢]
7．(2019·聊城六校联考)如图所示的四个图中，AB、BC 均为轻质杆，各图中杆的 A、C
端都通过铰链与墙连接，两杆都在 B 处由铰链连接，且系统均处于静止状态。现用等长的
轻绳来代替轻杆，能保持平衡的是( )
A．图中的 AB 杆可以用轻绳代替的有甲、乙、丙
B．图中的 AB 杆可以用轻绳代替的有甲、丙、丁
C．图中的 BC 杆可以用轻绳代替的有乙、丙、丁
D．图中的 BC 杆可以用轻绳代替的有甲、乙、丁
解析：选 B 如果杆受拉力作用，可以用与之等长的轻绳代替，如果杆受压力作用，则
不可用等长的轻绳代替，题图甲、丙、丁中的 AB 杆均受拉力作用，而甲、乙、丁中的 BC
杆均受沿杆的压力作用，故 A、C、D 均错误，B 正确。
8．(2018·汕头调研)如图所示，质量为 2 kg 的物体 B 和质量为 1 kg
的物体 C 用轻弹簧连接并竖直地静置于水平地面上。再将一个质量为 3
kg 的物体 A 轻放到 B 上的瞬间，弹簧的弹力大小为(取 g＝10 m/s2)( )
A．30 N B．0
C．20 N D．12 N
解析：选 C 放物体 A 之前，物体 B 处于平衡状态，由平衡条件可知，弹簧的弹力 F＝
mBg＝20 N，轻放上物体 A 的瞬间，弹簧的弹力来不及改变，其大小仍为 20 N，故 C 正确。
9．两个劲度系数分别为 k1 和 k2 的轻质弹簧 a、b 串接在一
起，a 弹簧的一端固定在墙上，如图所示。开始时弹簧均处于原
长状态，现用水平力作用在 b 弹簧的 P 端向右拉动弹簧，已知 a
弹簧的伸长量为 L，则( )
A．b 弹簧的伸长量也为 L
B．b 弹簧的伸长量为k1L
k2
C．P 端向右移动的距离为 2L
D．P 端向右移动的距离为 (1＋k2
k1)L
解析：选 B 根据两根弹簧中弹力相等可得 b 弹簧的伸长量为k1L
k2 ，P 端向右移动的距
离为 L＋k1
k2L，选项 B 正确。
10．(多选)如图所示，在竖直方向上，两根完全相同的轻质弹簧 a、b，一端
与质量为 m 的物体相连接，另一端分别固定，当物体平衡时，若( )
A．a 被拉长，则 b 一定被拉长
B．a 被压缩，则 b 一定被压缩
C．b 被拉长，则 a 一定被拉长
D．b 被压缩，则 a 一定被拉长
解析：选 BC 对物体受力分析并结合平衡条件，可知当 a 对物体有拉力 Fa 时，若
Fa>mg，则 b 被拉长；若 Fa
F，则 C
项正确；若初态 mgsin θfm 可知，弹力的方向不可能向下，即弹簧
不可能处于压缩状态，选项 A 错误。弹簧有最大形变量时满足：G1＋fm＝kΔxm，解得 Δxm＝
mg
k ，选项 B 错误。当 G1＝F 弹时，木块受到的摩擦力为零，选项 C 正确。当 G1>F 弹时，木
块受到的摩擦力沿斜面向上；当 G1＜F 弹时，木块受到的摩擦力沿斜面向下，选项 D 错误。
11.建筑装修中，工人用质量为 m 的磨石对倾角为 θ 的斜壁进行打磨
(如图所示)，当对磨石施加竖直向上大小为 F 的推力时，磨石恰好沿斜壁向上匀速运动，已
知磨石与斜壁之间的动摩擦因数为 μ，则磨石受到的摩擦力大小是( )
A．(F－mg)cos θ B．(F－mg)sin θ
C．μ(F－mg)cos θ D．μ(F－mg)tan θ
解析：选 A 磨石受重力、推力、斜壁的弹力及摩擦力作用而处于平衡状
态，由图可知，F 一定大于重力 mg；先将重力及向上的推力合成后，将二者
的合力沿垂直于斜壁方向及平行于斜壁方向分解，则在沿斜壁方向上有 f＝
(F－mg)cos θ，在垂直斜壁方向上有 FN＝(F－mg)sin θ，则 f＝μ(F－mg)sin
θ，故 A 正确。
12.(2016·海南高考)如图，在水平桌面上放置一斜面体 P，两长方体物块 a
和 b 叠放在 P 的斜面上，整个系统处于静止状态。若将 a 和 b、b 与 P、P
与桌面之间摩擦力的大小分别用 f1、f2 和 f3 表示。则( )
A．f1＝0，f2≠0，f3≠0 B．f1≠0，f2＝0，f3＝0
C．f1≠0，f2≠0，f3＝0 D．f1≠0，f2≠0，f3≠0
解析：选 C 对整体受力分析可知，整体相对地面没有相对运动趋势，故 f3＝0；再将 a
和 b 看成一个整体，a、b 整体有相对斜面向下运动的趋势，故 b 与 P 之间有摩擦力，即
f2≠0；再对 a 受力分析可知，a 相对于 b 有向下运动的趋势，a 和 b 之间存在摩擦力作用，
即 f1≠0。选项 C 正确。
[C 级——难度题目适情选做]
13．(多选)在水平地面上固定一个斜面体，在它上面放有质量为 M
的木块，用一根平行于斜面的细线连接一个质量为 m 的小环，并将环
套在一根两端固定的水平直杆上，杆与环间的动摩擦因数为 μ，整个系
统处于静止状态，如图所示，则杆对环的摩擦力 Ff 的大小可能为( )
A．0 B．Mgsin θ
C．Mgsin θ·cos θ D．Mgsin θ＋μmg
解析：选 AC 若木块与斜面间的动摩擦因数足够大，可使细线的拉力 T＝0，此时环
与杆间的摩擦力 Ff＝0，若斜面光滑，则细线拉力 T＝Mgsin θ，对环受力分析，由平衡条件
可得：环与杆间的摩擦力 Ff＝Tcos θ＝Mgsin θ·cos θ，故 A、C 正确。
14．(2019·广州调研)如图所示，一楔形斜面体置于水平地面上，斜
面的倾角为 30°，物块 A 置于斜面上，用轻弹簧、细绳跨过定滑轮与物
块 B 相连，弹簧轴线与斜面平行，A、B 均处于静止状态，已知物块 A、
B 的重力分别为 10 N 和 5 N，不计滑轮与细绳间的摩擦，则( )
A．弹簧对 A 的拉力大小为 10 N
B．斜面对 A 的支持力为 5 N
C．斜面对 A 的摩擦力为 0
D．地面对斜面体的摩擦力大小为 5 N
解析：选 C 弹簧的弹力等于 B 的重力，大小为 5 N，而 A 的重力沿斜面方向的分力
mAgsin 30°＝5 N，故斜面对 A 的摩擦力为 0，故 A 错误，C 正确；斜面对 A 的支持力 FN＝
mAgcos 30°＝5 3 N，B 错误；以 A、B 及斜面体整体为研究对象，得地面对斜面体的摩擦
力为 0，D 错误。
15．(多选)如图甲所示，A、B 两个物体叠放在水平面上，B 的上下表面均水平，A 物
体与一拉力传感器相连接，连接拉力传感器和物体 A 的细绳保持水平。从 t＝0 时刻起，用
一水平向右的力 F＝kt(k 为常数)作用在 B 物体上，力传感器的示数随时间变化的图线如图
乙所示，已知 k、t1、t2，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。据此可求( )
A．A、B 之间的最大静摩擦力
B．水平面与 B 之间的滑动摩擦力
C．A、B 之间的动摩擦因数 μAB
D．B 与水平面间的动摩擦因数 μ
解析：选 AB t1 时刻 B 与水平面之间达到最大静摩擦力 kt1，力传感器开始有示数，所
以水平面与 B 之间的滑动摩擦力为 kt1，A、B 开始相对滑动的 t2 时刻 A、B 之间达到最大静
摩擦力 kt2－kt1，A、B 正确；由于 A、B 的质量未知，则 μAB 和 μ 不能求出，C、D 错误。
16．(多选)如图所示，将一质量为 m 的滑块轻轻放置于传送带的
左端，已知传送带以速度 v0 顺时针运动，滑块与传送带间的动摩擦因
数为 μ，传送带左右距离无限长，重力加速度为 g。当滑块速度达到 v0 时突然断电，传送带
以大小为 a 的加速度匀减速至停止。关于滑块放上去后受到的摩擦力，下列说法正确的是
( )
A．滑块始终没有受到静摩擦力作用
B．滑块刚放上去时受到的滑动摩擦力为 μmg
C．滑块受到的摩擦力一直不变
D．传送带减速时滑块受到的摩擦力可能变为 ma
解析：选 BD 滑块刚放上去时，受到向前的滑动摩擦力，大小为 μmg；断电时滑块速
度为 v0，如果 a≤μg，则滑块与传送带将以相同的加速度减速，滑块受到静摩擦力，大小为
ma；断电时滑块速度为 v0，如果 a>μg，则传送带以加速度 a 减速，滑块只能以加速度 μg
减速，滑块受到滑动摩擦力，大小为 μmg，方向在断电时刻突然变为向后；综上所述，选
项 A、C 错误，B、D 正确。
第 3 节 力的合成与分解
一、力的合成与分解
1．合力与分力
(1)定义：如果一个力产生的效果跟几个共点力共同作用产生的效果相同，这一个力就
叫做那几个力的合力，原来那几个力叫做分力。
(2)关系：合力和分力是等效替代的关系。[注 1]
2．共点力
作用在物体的同一点，或作用线的延长线交于一点的力。如下图所示均是共点力。
3．力的合成
(1)定义：求几个力的合力的过程。
(2)运算法则[注 2]
①平行四边形定则：求两个互成角度的共点力的合力，可以用表示这两个力的线段为
邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向。如图甲所示。
②三角形定则：把两个矢量首尾相连，从而求出合矢量的方法。如图乙所示。
[注 3]
4．力的分解
(1)定义：求一个已知力的分力的过程。
(2)运算法则：平行四边形定则或三角形定则。
(3)分解方法：①按力产生的效果分解；②正交分解。
二、矢量和标量
1．矢量：既有大小又有方向的量，运算时遵从平行四边形定则。
2．标量：只有大小没有方向的量，运算时按代数法则相加减。[注 4]
【注解释疑】
[注 1] 合力不一定大于分力，二者是等效替代的关系。
[注 2] 平行四边形定则(或三角形定则)是所有矢量的运算法则。
[注 3] 首尾相连的三个力构成封闭三角形，则合力为零。
[注 4] 有大小和方向的物理量不一定是矢量，还要看运算法则，如电流。
[深化理解]
1．求几个力的合力时，可以先将各力进行正交分解，求出互相垂直方向的合力后合成，
分解的目的是为了将矢量运算转化为代数运算，便于求合力。
2．力的分解的四种情况：
(1)已知合力和两个分力的方向求两个分力的大小，有唯一解。
(2)已知合力和一个分力(大小、方向)求另一个分力(大小、方向)，有唯一解。
(3)已知合力和两分力的大小求两分力的方向：
①F>F1＋F2，无解；
②F＝F1＋F2，有唯一解，F1 和 F2 跟 F 同向；
③F＝F1－F2，有唯一解，F1 与 F 同向，F2 与 F 反向；
④F1－F2m
且 mA∶m＝sin 2θ∶sin θ＝2cos θ∶1，可得 m A＝2mcos θ，A、B 错
误；细绳的张力大小 T＝ mg
sin θ，由几何关系知，滑轮两侧细绳夹角为
θ，故滑轮受到细绳的作用力大小 F＝2Tcosθ
2＝ mg
sinθ
2
，C 正确，D 错误。
“形异质同”快解题——力的合成中两类最小值问题
(一)合力一定，其中一个分力的方向一定，当两个分力垂直时，另一个分力最小。
1．如图所示，重力为 G 的小球用轻绳悬于 O 点，用力 F 拉住小
球，使轻绳保持偏离竖直方向 60°角且不变，当 F 与竖直方向的夹角
为 θ 时 F 最小，则 θ、F 的值分别为( )
A．0°，G B．30°， 3
2 G
C．60°，G D．90°，1
2G
解析：选 B 小球重力不变，位置不变，则绳 OA 拉力的方向不变，故当拉力 F 与绳 OA
垂直时，力 F 最小，故 θ＝30°，F＝Gcos θ＝ 3
2 G，B 正确。
2．将两个质量均为 m 的小球 a、b 用细线相连后，再用细线悬挂
于 O 点，如图所示。用力 F 拉小球 b，使两个小球都处于静止状态，
且细线 Oa 与竖直方向的夹角保持 θ＝30°，则 F 的最小值为( )
A． 3
3 mg B．mg
C． 3
2 mg D．1
2mg
解析：选 B 将 a、b 看成一个整体受力分析可知，当力 F 与 Oa 垂直时 F 最小，可知
此时 F＝2mgsin θ＝mg，B 正确。
(二)合力方向一定，其中一个分力的大小和方向都一定，当另一个分力与合力方向垂直
时，这一分力最小。
3．如图所示，物体静止于光滑水平面 M 上，水平恒力 F1 作用于
物体上，现要使物体沿着 OO′方向做直线运动(F1 和 OO′都在 M
平面内)。那么必须同时再加一个力 F2，则 F2 的最小值是( )
A．F1cos θ B．F1sin θ
C．F1tan θ D. F1
tan θ
解析：选 B 要使物体沿 OO′方向做直线运动，则物体受到的合
力 F 沿 OO′方向，如图，由三角形定则知，当 F2 方向垂直 OO′时，F2
有最小值，为 F2＝F1sin θ，选项 B 正确。
4．如图所示，甲、乙、丙三人分别在两岸用绳拉小船在河流中行驶，已知甲的拉力大
小为 800 N，方向与航向夹角为 30°，乙的拉力大小为 400 N，方向与
航向夹角为 60°，要保持小船在河流正中间沿虚线所示的直线行驶，
则丙用力最小为( )
A．与 F 甲垂直，大小为 400 N
B．与 F 乙垂直，大小为 200 3 N
C．与河岸垂直，大小约为 746 N
D．与河岸垂直，大小为 400 N
解析：选 C 如图所示，甲、乙两人的拉力大小和方向一定，其
合力为如图所示中的 F，要保持小船在河流中间沿虚线方向直线行驶，
F 与 F 丙的合力必沿图中虚线方向，当 F 丙与图中虚线垂直时值最小，
由图可知，F 丙 min＝F 乙 sin 60°＋F 甲 sin 30°＝200 3 N＋400 N≈746 N，C 正确。
[反思领悟]
两类最小值问题因初始条件有所差别，表面上看似乎不同，但这两类问题实际上都是应
用图解法分析极值条件，从而得出最后结果的。
[课时跟踪检测]
[A 级——基础小题练熟练快]
1．关于力的合成与分解，下列说法正确的是( )
A．合力一定大于其中一个分力
B．合力与分力一定是同种性质的力
C．合力与分力是等效的，同时作用在物体上
D．已知合力和它的两个分力的方向，则两个分力有确定值
解析：选 D 由平行四边形定则可知，两个力的合力，可以比这两个分力都小，所以 A
错误；合力与分力在作用效果上等效，但不能说成是同种性质的力，故 B 错误；合力与分
力是等效替代关系，但不是同时作用在物体上，所以 C 错误；根据力的合成与分解可知，
已知合力和两个分力的方向，分解结果是唯一的，故 D 正确。
2．(2018·宝鸡二模)如图所示，被轻绳系住静止在光滑斜面上的小
球。若按力的实际作用效果来分解，小球受到的重力 G 的两个分力方向
分别是图中的( )
A．1 和 4 B．2 和 4
C．3 和 4 D．3 和 2
解析：选 C 小球重力产生两个作用效果，一是使绳子拉伸，二是使斜面受压，这两个
分力方向分别是 3 和 4，故 C 正确，A、B、D 错误。
3．(多选)物体受共点力 F1、F2、F3 作用而做匀速直线运动，若 F1、F2、F3 三个力不
共线，则这三个力可能选取的数值为( )
A．15 N、5 N、6 N B．3 N、6 N、4 N
C．1 N、2 N、10 N D．2 N、6 N、7 N
解析：选 BD 物体在 F1、F2、F3 作用下而做匀速直线运动，则三个力的合力必定为
零，只有 B、D 选项中的三个力的合力可以为零且三个力不共线。
4.(多选)如图所示，质量为 m 的木块在推力 F 作用下，在水平地
面上做匀速直线运动，已知木块与地面间的动摩擦因数为 μ，那么木块受
到的滑动摩擦力为( )
A．μmg B．μ(mg＋Fsin θ)
C．μ(mg－Fsin θ) D．Fcos θ
解析：选 BD 对木块进行受力分析如图所示，将 F 进行正交分解，
由于木块做匀速直线运动，所以在 x 轴和 y 轴均受力平衡，即 Fcos θ ＝
Ff，FN＝mg＋Fsin θ，又由于 F f＝μFN，故 Ff＝μ(mg＋Fsin θ)，B、D 正
确。
5．(2019·郑州调研)科技的发展正在不断地改变着我们的生活，如图甲是一款手机支架，
其表面采用了纳米微吸材料，用手触碰无粘感，接触到平整光滑的硬性物体时，会牢牢吸
附在物体上，如图乙是手机静止吸附在支架上的侧视图，若手机的重力为 G，则下列说法
正确的是( )
A．手机受到的支持力大小为 Gcos θ
B．手机受到的支持力不可能大于 G
C．纳米材料对手机的作用力大小为 Gsin θ
D．纳米材料对手机的作用力竖直向上
解析：选 D 手机支架采用了纳米微吸材料，支架斜面会对手机存在一个吸引力，所以
手机受到的支持力大小不可能为 Gcos θ，其大小可能大于 G，也可能小于 G，取决于吸引力
的大小，A、B 错误；手机处于静止状态，受力平衡，手机受到竖直向下的重力和纳米材料
的作用力(支持力、吸引力和摩擦力的合力)，故纳米材料对手机的作用力竖直向上，大小等
于 G，C 错误，D 正确。
6．(多选)如图，将力 F(大小已知)分解为两个分力 F1 和 F2，F2
和 F 的夹角 θ 小于 90°。则关于分力 F1，以下说法中正确的是( )
A．当 F1>Fsin θ 时，肯定有两组解
B．当 Fsin θ＜F1＜F 时，肯定有两组解
C．当 F1Fsin θ 时，可能有一个解；
当 F1mB 的两物体 A、B 叠放在一起，靠着竖直墙面，让它们由静
止释放，在沿粗糙墙面下落过程中，物体 B 的受力示意图是( )
解析：选 A A 与 B 整体同时沿竖直墙面下滑，受到重力，墙壁对其没有支持力，如
果有，将会向右加速运动，因为没有弹力，故也不受墙壁的摩擦力，即只受重力，做自由落
体运动。由于整体做自由落体运动，处于完全失重状态，故 A、B 间无弹力，再对物体 B 受
力分析，只受重力，故 A 项正确。
3．[鲁科版必修 1 P97 T2](多选)如图所示，水平地面上的物体 A，
在斜向上的拉力 F 的作用下，向右做匀速运动，则下列说法中正确的
是( )
A．物体 A 可能只受到三个力的作用
B．物体 A 一定受到四个力的作用
C．物体 A 受到的滑动摩擦力大小为 Fcos θ
D．物体 A 对水平面的压力大小一定为 Fsin θ
解析：选 BC 物体水平向右做匀速运动，合力必为零，所以必受水平向左的摩擦力，
且有 f＝Fcos θ，因滑动摩擦力存在，地面一定对物体 A 有竖直向上的支持力，且有 N＝mg
－Fsin θ，所以选项 B、C 正确，A、D 错误。
高考对本节内容的考查，主要集中在共点力的平衡条件及其推论、整体法与隔离法的应
用等，其中动态平衡问题常结合实际应用进行考查，主要以选择题的形式呈现，难度中等。
考点一 物体的受力分析[基础自修类]
[题点全练]
1．[单个物体的受力分析]
(多选)如图所示，固定斜面上有一光滑小球，与一竖直轻弹簧 P 和一平行斜
面的轻弹簧 Q 连接着，小球处于静止状态，则关于小球所受力的个数可能
的是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选 BCD 设小球质量为 m，若 FP＝mg，则小球只受拉力 FP 和重力 mg 两个力
作用；若 FPF2，如图乙所示，则在 p 和 q 下滑的过程
中，下列说法正确的是( )
A．斜劈 A 仍旧保持静止，且不受到地面的摩擦力作用
B．斜劈 A 仍旧保持静止，且受到地面向右的摩擦力作用
C．斜劈 A 仍旧保持静止，对地面的压力大小为(M＋m)g
D．斜劈 A 仍旧保持静止，对地面的压力大小大于(M＋m)g
解析：选 AD 起初两物块沿斜面匀速下滑，p、q 及斜劈组成的整体处于平衡状态，则
水平方向斜劈不受地面的静摩擦力作用，施加恒力 F1、F2 后，斜劈受力情况不变，即 A 依
然不受地面的摩擦力作用，且 A 对地面的压力大小仍为(M＋2m)g，大于(M＋m)g，故选项
A、D 正确。
[B 级——保分题目练通抓牢]
6．(2019·长沙调研)如图所示，质量为 m(可视为质点)的小球 P，用两根轻
绳 OP 和 O′P 与小球拴接后再分别系于竖直墙上相距 0.4 m 的 O、O′两点
上，绳 OP 长 0.5 m，绳 O′P 长 0.3 m，今在小球上施加一方向与水平方向成
θ＝37° 角的拉力 F，将小球缓慢拉起，绳 O′P 刚拉直时，OP 绳拉力为
T1，绳 OP 刚松弛时，O′P 绳拉力为 T2，则T1
T2为(sin 37°＝0.6，cos 37°＝
0.8)( )
A．3∶4 B．4∶3
C．3∶5 D．4∶5
解析：选 C O′P 绳刚拉直时，OP 绳拉力为 T1，此时 O′P 绳拉力为零，小球受力
如图甲所示。
根据几何关系可得 sin α＝OO′
OP ＝4
5，可得 α＝53°，则 α＋θ＝90°； 根据共点力的平衡
条件可得 T1＝mgsin α；OP 绳刚松弛时，O′P 绳的拉力为 T2，此时 OP 绳拉力为零，小球
受力如图乙所示，根据共点力的平衡条件可得 T2＝mgtan α，由此可得 T1
T 2＝sin 53°
tan 53°＝3
5，故
C 正确，A、B、D 错误。
7.(多选)如图所示为内壁光滑的半球形凹槽 M，O 为球心，∠AOB＝
60°，OA 水平，小物块在与水平方向成 45°角的斜向上的推力 F 作用下
静止于 B 处。在将推力 F 沿逆时针缓慢转到水平方向的过程中装置始
终静止，则( )
A．M 槽对小物块的支持力逐渐减小
B．M 槽对小物块的支持力逐渐增大
C．推力 F 先减小后增大
D．推力 F 逐渐增大
解析：选 BC 以小物块为研究对象，分析受力情况，如图所示，物
块受到重力 G、支持力 FN 和推力 F 三个力作用，根据平衡条件可知，FN
与 F 的合力与 G 大小相等，方向相反。将推力 F 沿逆时针缓慢转到水平
方向的过程中(F 由位置 1→3)，根据作图可知，M 槽对小物块的支持力 FN
逐渐增大，推力 F 先减小后增大，当 F 与 FN 垂直时，F 最小。故 A、D 错误，B、C 正确。
8．(多选)如图所示，两根轻绳一端系于结点 O，另一端分别系
于固定圆环上的 A、B 两点，O 点下面悬挂一物体 M，绳 OA 水平，
拉力大小为 F1，绳 OB 与 OA 夹角 α＝120°，拉力大小为 F2，将两绳
同时缓慢顺时针转过 75°，并保持两绳之间的夹角 α 始终不变，且物
体始终保持静止状态。则在旋转过程中，下列说法正确的是( )
A．F1 逐渐增大 B．F1 先增大后减小
C．F2 逐渐减小 D．F2 先增大后减小
解析：选 BC 设两绳转动过程中，绳 OA 与水平方向的夹角为 θ，
以 O 点为研究对象，受力分析如图所示，因为两绳是缓慢移动的，所
以 O 点始终处于平衡状态，由平衡条件得 F1cos θ ＝F2cos(60° －θ) ，
F1sin θ ＋ F2sin(60° － θ) ＝ Mg ， 由 以 上 两 式 解 得 F1 ＝
Mgcos (60°－θ)
sin 60° ，F2＝Mgcos θ
sin 60° 。当 θ<60°时，θ 增大，F1 增大，F2 减
小；当 60°≤θ≤75°时，θ 增大，F1 减小，F2 减小。因此，在两绳旋转的过程中，F1 先增大后
减小，F2 逐渐减小，选项 B、C 正确。
9．(多选)甲、乙两建筑工人用简单机械装置将工件从地面提升并运送到楼顶。如图所
示，设当重物提升到一定高度后，两工人保持位置不动，甲通过缓慢释放手中的绳子，使
乙能够用一始终水平的轻绳将工件缓慢向左拉动，最后将工件运
送至乙所在位置，完成工件的运送。绳的重力及滑轮的摩擦不计，滑
轮大小忽略不计，则在工件向左移动过程中( )
A．甲手中绳子上的拉力不断减小
B．楼顶对甲的支持力不断增大
C．楼顶对甲的摩擦力大于对乙的摩擦力
D．乙手中绳子上的拉力不断增大
解析：选 CD 设与结点和滑轮相连的一段绳子与竖直方向
的夹角为 θ，工件重力为 mg，对结点受力分析如图所示，可得甲
手中绳子拉力 T1＝ mg
cos θ，乙手中绳子拉力 T2＝mgtan θ，工件向左
移动过程中，θ 逐渐增大，可知 T1 逐渐增大，T2 也逐渐增大，A 错
误，D 正确。甲手中绳子与水平方向夹角不变，可知 T1 竖直向上的分力逐渐增大，由平衡
条件可知楼顶对甲的支持力不断减小，B 错误。分别对甲、乙水平方向的受力进行分析，可
得楼顶对甲的摩擦力 f1＝T1sin φ，φ 为甲手中绳子与竖直方向的夹角，楼顶对乙的摩擦力 f2
＝T2，分析可知，始终有 φ>θ，则 f1＝mgsin φ
cos θ >f2＝mgsin θ
cos θ ，C 正确。
10. (2019·昆明模拟)如图所示，质量 M＝2 kg 的木块套在水平固
定杆上，并用轻绳与质量 m＝1 kg 的小球相连。今用跟水平方向成
60°角的力 F＝10 3 N 拉着小球并带动木块一起向右匀速运动，运
动中 M、m 的相对位置保持不变，g＝10 m/s2。在运动过程中，求：
(1)轻绳与水平方向的夹角 θ；
(2)木块 M 与水平杆间的动摩擦因数 μ。
解析：(1)小球的受力如图甲所示，由平衡条件得
水平方向：Fcos 60°－FTcos θ＝0
竖直方向：Fsin 60°－FTsin θ－mg＝0
解得 θ＝30°。
(2)将木块、小球看做整体，受力如图乙所示，由平衡条件得
水平方向：Fcos 60°－μFN＝0
竖直方向：FN＋Fsin 60°－Mg－mg＝0
解得 μ＝ 3
3 。
答案：(1)30° (2)
3
3
[C 级——难度题目适情选做]
11.如图所示，三根长度均为 L 的轻绳分别连接于 C、D 两点，
A、B 两端被悬挂在水平天花板上，相距 2L，现在 C 点上悬挂一个
质量为 m 的重物，为使 CD 绳保持水平，在 D 点上可施加力的最
小值为( )
A．mg B.
3
3 mg
C.1
2mg D.1
4mg
解析：选 C 由题图可知，要使 CD 水平，各绳均应绷紧，则
AC 与水平方向的夹角为 60°；结点 C 受力平衡，受力分析如图所
示，则 CD 绳的拉力 FT＝mgtan 30°＝ 3
3 mg；D 点受绳子拉力大
小等于 FT，方向向左；要使 CD 水平，D 点两绳的拉力与外界的
力的合力为零，则绳子对 D 点的拉力可分解为沿 BD 绳的分力 F1，及另一分力 F2，由几何
关系可知，当力 F2 与 BD 垂直时，F2 最小，而 F2 的大小即为拉力的大小；故最小力 F＝FTsin 60°
＝1
2mg。故 C 正确。
12. (2019·潍坊模拟)如图所示，风筝借助于均匀的风和牵线对其
作用，才得以在空中处于平衡状态。图中所示风筝质量为 400 g，某
时刻风筝平面与水平面的夹角为 30°，主线对风筝的拉力与风筝平面
成 53°角。已知风对风筝的作用力与风筝平面相垂直，g 取 10 m/s2。
(1)求此时风对风筝的作用力的大小和线对风筝的拉力大小；
(2)若拉着风筝匀速运动时，主线与水平面成 53°角保持不变，这时拉主线的力为 10 N，
则风对风筝的作用力为多大？风筝平面与水平面的夹角为多大？
解析：(1)风筝平衡时共受到三个力的作用，即重力 mg、风对它
的作用力 F 和主线对它的拉力 T(如图所示)，以风筝平面方向为 x
轴，F 方向为 y 轴，建立一个坐标系，将重力和拉力 T 正交分解，
在 x 轴方向：mgsin 30°－Tcos 53°＝0
在 y 轴方向：F＝Tsin 53°＋mgcos 30°
联立两式，解得 T＝3.33 N，F＝6.13 N。
(2)同理以水平方向为 x 轴，竖直方向为 y 轴建立坐标系。
设风对风筝的作用力水平分力为 Fx，竖直分力为 Fy，由平衡条件，知
Fx＝T′cos 53°＝10×0.6 N＝6 N
Fy＝T′sin 53°＋G＝10×0.8 N＋4 N＝12 N
F＝ Fx2＋Fy2＝13.4 N
风筝平面与水平面的夹角 θ 满足
tan θ＝Fx
Fy＝1
2
θ＝arctan 1
2。
答案：(1)6.13 N 3.33 N (2)13.4 N arctan 1
2
实验二 探究弹力和弹簧伸长的关系
一、实验目的
1．探究弹力和弹簧伸长的关系。
2．学会利用图像法处理实验数据，探究物理规律。
二、实验原理
1.如图所示，弹簧在下端悬挂钩码时会伸长，平衡时弹簧产生的
弹力与所挂钩码的重力大小相等。
2．用刻度尺测出弹簧在不同钩码拉力下的伸长量 x，建立直角坐
标系，以纵坐标表示弹力大小 F，以横坐标表示弹簧的伸长量 x，在坐
标系中描出实验所测得的各组(x，F)对应的点，用平滑的曲线连接起
来，根据实验所得的图线，就可探知弹力大小与弹簧伸长量间的关系。
三、实验器材
铁架台、毫米刻度尺、弹簧、钩码(若干)、铅笔、重垂线、坐标纸等。
[部分器材用途]
重垂线 检查刻度尺是否竖直
坐标纸 绘制 Fx 图像，便于实验数据处理
四、实验步骤
1．根据实验原理图，将铁架台放在桌面上(固定好)，将弹簧的一端固定于铁架台的横
梁上，在靠近弹簧处将刻度尺(分度值为 1 mm)固定于铁架台上，并用重垂线检查刻度尺是
否竖直。
2．记下弹簧下端不挂钩码时所对应的刻度 l0，即弹簧的原长。
3．在弹簧下端挂上钩码，待钩码静止时测出弹簧的长度 l，求出弹簧的伸长量 x 和所
受的外力 F(等于所挂钩码的重力)。
4．改变所挂钩码的数量，重复上述实验，要尽量多测几组数据，将所测数据填写在表
格中。
记录表：弹簧原长 l0＝________cm。
次数
内容
1 2 3 4 5 6
拉力 F/N
弹簧总长/cm
弹簧伸长/cm
五、数据处理
1．以弹力 F(大小等于所挂钩码的重力)为纵坐标，以弹簧的伸长量 x 为横坐标，用描
点法作图，连接各点得出弹力 F 随弹簧伸长量 x 变化的图线。
2．以弹簧的伸长量为自变量，写出图线所代表的函数表达式，并解释函数表达式中常
数的物理意义。
六、误差分析
1．系统误差
钩码标值不准确和弹簧自身重力的影响造成系统误差。
2．偶然误差
(1)弹簧长度的测量造成偶然误差，为了减小这种误差，要尽量多测几组数据。
(2)作图时的不规范造成偶然误差，为了减小这种误差，画图时要用细铅笔作图，所描
各点尽量均匀分布在直线的两侧。
七、注意事项
1．所挂钩码不要过重，以免弹簧被过分拉伸，超出它的弹性限度，要注意观察，适可
而止。
2．每次所挂钩码的质量差适当大一些，从而使坐标点的间距尽可能大，这样作出的图
线准确度更高一些。
3．测弹簧长度时，一定要在弹簧竖直悬挂且处于稳定状态时测量，以免增大误差。
4．描点画线时，所描的点不一定都落在一条直线上，但应注意一定要使各点均匀分布
在直线的两侧。
5．记录实验数据时要注意弹力、弹簧的原长 l0、总长 l 及弹簧伸长量的对应关系及单
位。
6．坐标轴的标度要适中。
[基础考法]
考法(一) 实验原理与操作
1．如图甲所示，用铁架台、弹簧和多个质量均为 m 的钩码探究在弹性限度内弹簧弹力
与弹簧伸长量的关系。
(1)为完成实验，还需要的实验器材有：_____________________________________。
(2)实验中需要测量的物理量有：___________________________________________。
(3)图乙是弹簧弹力 F 与弹簧伸长量 x 的 Fx 图线，由此可求出弹簧的劲度系数为
________N/m。图线不过原点是由于__________________。
(4)为完成该实验，设计实验步骤如下：
A．以弹簧伸长量为横坐标，以弹力为纵坐标，描出各组(x，F)对应的点，并用平滑的
曲线连接起来；
B．记下弹簧不挂钩码时其下端在刻度尺上的刻度 l0；
C．将铁架台固定于桌子上，并将弹簧的一端系于横梁上，在弹簧附近竖直固定一把刻
度尺；
D．依次在弹簧下端挂上 1 个、2 个、3 个、4 个、…钩码，并分别记下钩码静止时弹
簧下端所对应的刻度，并记录在表格内，然后取下钩码；
E．以弹簧伸长量为自变量，写出弹力与伸长量的关系式。首先尝试写成一次函数，如
果不行，则考虑二次函数；
F．解释函数表达式中常数的物理意义；
G．整理仪器。
请 将 以 上 步 骤 按 操 作 的 先 后 顺 序 排 列 出 来 ：
________________________________________________________________________。
解析：(1)根据实验原理可知还需要刻度尺来测量弹簧原长和伸长量。
(2)根据实验原理，实验中需要测量的物理量有弹簧的原长、弹簧所受外力与对应的伸
长量(或与弹簧对应的长度)。
(3)取图像中(0.5,0)和(3.5,6)两个点，代入 F＝kx 解得 k＝200 N/m，由于弹簧自身的重力，
使得弹簧不加外力时就有形变量。
(4)根据实验操作的合理性可知先后顺序为 C、B、D、A、E、F、G。
答案：(1)刻度尺 (2)弹簧原长、弹簧所受外力与对应的伸长量(或与弹簧对应的长度)
(3)200 弹簧自身的重力 (4)CBDAEFG
2．(2015·福建高考)某同学做“探究弹力和弹簧伸长量的关系”的实验。
(1)图甲是不挂钩码时弹簧下端指针所指的标尺刻度，其示数为 7.73 cm；图乙是在弹簧
下端悬挂钩码后指针所指的标尺刻度，此时弹簧的伸长量 Δl 为________ cm。
(2)本实验通过在弹簧下端悬挂钩码的方法来改变弹簧的弹力，关于此操作，下列选项
中规范的做法是________。(填选项前的字母)
A．逐一增挂钩码，记下每增加一只钩码后指针所指的标尺刻度和对应的钩码总重
B．随意增减钩码，记下增减钩码后指针所指的标尺刻度和对应的钩码总重
(3)图丙是该同学描绘的弹簧的伸长量 Δl 与弹力 F 的关系图线，图线的 AB 段明显偏离
直线 OA，造成这种现象的主要原因是__________________________________________。
解析：(1)弹簧伸长后的总长度为 14.66 cm，则伸长量 Δl＝14.66 cm－7.73 cm＝6.93
cm。
(2)逐一增挂钩码，便于有规律地描点作图，也可避免因随意增加钩码过多超过弹簧的
弹性限度而损坏弹簧。
(3)AB 段明显偏离 OA，伸长量 Δl 不再与弹力 F 成正比，是超出弹簧的弹性限度造成的。
答案：(1)6.93 (2)A (3)弹簧受到的拉力超过了其弹性限度
考法(二) 数据处理与误差分析
3．(2018·全国卷Ⅰ)如图(a)，一弹簧上端固定在支架顶端，下端悬挂一托盘；一标尺由
游标和主尺构成，主尺竖直固定在弹簧左边；托盘上方固定有一能与游标刻度线准确对齐
的装置，简化为图中的指针。
现要测量图(a)中弹簧的劲度系数。当托盘内没有砝码时，移动游标，使其零刻度线对
准指针，此时标尺读数为 1.950 cm；当托盘内放有质量为 0.100 kg 的砝码时，移动游标，
再次使其零刻度线对准指针，标尺示数如图(b)所示，其读数为________ cm。当地的重力加
速度大小为 9.80 m/s2，此弹簧的劲度系数为________ N/m(保留三位有效数字)。
解析：标尺的游标为 20 分度，精确度为 0.05 mm，游标的第 15 个刻度与主尺刻度对齐，
则读数为 37 mm＋15×0.05 mm＝37.75 mm＝3.775 cm。
弹簧形变量 x＝(3.775－1.950)cm＝1.825 cm，
砝码平衡时，mg＝kx，
所以劲度系数 k＝mg
x ＝0.100 × 9.80
1.825 × 10－2 N/m≈53.7 N/m。
答案：3.775 53.7
4.用如图甲所示的实验装置研究弹簧的弹力与形变量之间的关系。弹簧自然悬挂，待弹
簧静止时，长度记为 L0；弹簧下端挂上砝码盘时，长度记为 Lx ；在砝码盘中每次增加 10 g
砝码，弹簧长度依次记为 L1 至 L6。数据如下表所示：
代表符号 L0 Lx L1 L2 L3 L4 L5 L6
数值/cm 25.35 27.35 29.35 31.30 33.40 35.35 37.40 39.30
(1)请根据表中数据在图乙中作图，纵轴是砝码的质量，横轴是弹簧长度与 Lx 的差值。
(2)由图可知弹簧的劲度系数为________N/m；通过图和表可知砝码盘的质量为
________g。(结果保留两位有效数字，重力加速度 g 取 9.8 m/s2)
解析：(1)根据描点作图法可得图像如图所示。
(2)根据图像及胡克定律 ΔF＝kΔx，可得 k＝ΔF
Δx＝4.9 N/m。由表格得到，弹簧原长 L0＝
25.35 cm ； 挂 砝 码 盘 时 Lx ＝ 27.35 cm ； 由 胡 克 定 律 知 砝 码 盘 质 量 m ＝ k(Lx－L0)
g ＝
4.9 × (0.273 5－0.253 5)
9.8 kg＝10 g。
答案：(1)图见解析 (2)4.9 10
5．某同学在做“探究弹力和弹簧伸长量的关系”的实验中，所用实验装置如图甲所示，
所用钩码质量均为 30 g。他先测出不挂钩码时弹簧的自然长度，再将 5 个钩码逐个挂在弹
簧的下端，每次都测出相应的弹簧总长度，并将数据填在表中。实验中弹簧始终未超过弹
性限度，取 g＝10 m/s2。
(1)根据实验数据在图乙所示的坐标系中作出弹簧所受弹力大小与弹簧总长度之间的函
数关系的图线。
钩码质量/g 0 30 60 90 120 150
弹簧总长度/cm 6.00 7.00 8.00 9.00 10.00 11.00
(2)该弹簧的自然长度为________cm；劲度系数 k＝________N/m。
(3)若该弹簧所能承受的最大拉力(超过此值就不是弹性形变)为 10.2 N，则弹簧的最大长
度为 Lm＝________cm。
(4)图线延长后与 L＝5×10－2 m 直线的交点的物理意义是___________________。
解析：(2)由作出的 FL 图线可知，图线与横轴的交点的横坐标表示弹簧弹力 F＝0 时弹
簧的长度，即弹簧的自然长度，由图知为 6 cm；图线的斜率即为弹簧的劲度系数 k＝ΔF
ΔL＝30
N/m。
(3)由图像可以得出图线的数学表达式为 F＝30L－1.8(N)，所以当弹簧弹力为 10.2 N 时
弹簧长度最大，即 Lm＝0.4 m＝40 cm。
(4)图线延长后与 L＝5×10－2 m 直线的交点表示弹簧长度为 5 cm 时的弹力，此时弹簧
被压缩了 1 cm，即表示弹簧被压缩 1 cm 时的弹力为 0.3 N。
答案：(1)如图所示
(2)6 30 (3)40 (4)弹簧被压缩 1 cm 时的弹力为 0.3 N
[例 1] (1)某次研究弹簧所受弹力 F 与弹簧长度 L 关系实验时，得到如图甲所示的 F
L 图像，由图像可知：弹簧原长 L0＝________ cm，求得弹簧的劲度系数 k＝________
N/m。
(2)按如图乙的方式挂上钩码(已知每个钩码重 G＝1 N)，使(1)中研究的弹簧压缩，稳定
后指针指示如图乙所示，则指针所指刻度尺示数为________ cm。由此可推测图乙中所挂钩
码的个数为________个。
[三步稳解题]
1．分析实验目的：测量弹簧的原长和劲度系数。
2．确定实验原理：水平放置弹簧，弹簧压缩对应的弹力大小等于钩码的重力。
3．制定数据处理方案
(1)由 F＝k(L－L0)可知，FL 图线的斜率等于弹簧的劲度系数。图线与 L 轴交点的横坐
标为弹簧原长。
(2)弹簧的压缩量为(L0－L)，由 F＝k(L0－L)求出弹力，则钩码个数 N＝F
G。
[解析] (1)由胡克定律 F＝k(L－L0)，结合题图甲中数据得：L0＝3.0 cm，k＝200 N/m。
(2)由题图乙知指针所示刻度为 1.50 cm，由 F＝k(L0－L)，可求得此时弹力为：F＝3 N，
故所挂钩码的个数为 3 个。
[答案] (1)3.0 200 (2)1.50 3
[例 2] 某实验小组探究弹簧的劲度系数 k 与其长度(圈数)的关系。
实验装置如图甲所示：一均匀长弹簧竖直悬挂，7 个指针 P0、P1、P2、
P3、P4、P5、P6 分别固定在弹簧上距悬点 0、10、20、30、40、50、60
圈处；通过旁边竖直放置的刻度尺，可以读出指针的位置，P0 指向 0 刻度。
设弹簧下端未挂重物时，各指针的位置记为 x0；挂有质量为 0.100 kg
的砝码时，各指针的位置记为 x。测量结果及部分计算结果如下表所示(n
为弹簧的圈数，取重力加速度为 9.80 m/s2)。已知实验所用弹簧总圈数为
60，整个弹簧的自由长度为 11.88 cm。
P1 P2 P3 P4 P5 P6
x0(cm) 2.04 4.06 6.06 8.05 10.03 12.01
x(cm) 2.64 5.26 7.81 10.30 12.93 15.41
n 10 20 30 40 50 60
k(N/m) 163 ① 56.0 43.6 33.8 28.8
1
k(m/N) 0.006 1 ② 0.017 9 0.022 9 0.029 6 0.034 7
(1)将表中数据补充完整：①________，②________。
(2)以 n 为横坐标，1
k为纵坐标，在图中给出的坐标纸上画出1
k n 图像。
(3)图乙中画出的直线可近似认为通过原点。若从实验中所用的弹簧截取圈数为 n 的一
段弹簧，该弹簧的劲度系数 k 与其圈数 n 的关系的表达式为 k＝________N/m；该弹簧的劲
度系数 k 与其自由长度 l0(单位为 m)的关系的表达式为 k＝________N/m。
[三步稳解题]
1．分析实验目的：探究弹簧的劲度系数 k 与其长度(圈数)的关系。
2．确定实验原理：挂重物前，各指针对应的读数为弹簧原长 x0，挂重物后，各指针对
应的读数为弹簧伸长后的长度 x，则有： mg＝k(x－x0)。
3．制定数据处理方案
(1)由 mg＝k(x－x0)可求出 k 和1
k 。
(2)根据表中数据在坐标系1
kn 中描点连线，可得到1
kn 图像。
(3)由图线求出对应斜率，设为 a，则表达式为 k＝ 1
an，而由 n＝ 60
0.118 8·l0 再推得 k 与 l0
的关系式。
[解析] (1)根据胡克定律有 mg＝k(x－x0)，
解得 k＝ mg
x－x0＝ 0.100 × 9.80
(5.26－4.06) × 10－2 N/m≈81.7 N/m，
1
k≈0.012 2。
(2)1
k n 图像如图所示
(3)根据图像可知，k 与 n 的关系表达式为 k＝1.75 × 103
n ，
k 与 l0 的关系表达式为 k＝3.47
l0 。
[答案] (1)①81.7 ②0.012 2 (2)图像见解析
(3)1.75 × 103
n (1.67 × 103
n ～1.83 × 103
n 之间均可)
3.47
l0
3.31
l0 ～3.62
l0 之间均可
[创新领悟]
实验原理
的创新 1.弹簧水平放置，消除弹簧自身重力对实验的影响。
2.改变弹簧的固定方式，研究弹簧弹力大小与压缩量之间的大小关系。
实验器材
的创新
1.用橡皮筋代替弹簧做实验。
2.拉力传感器显示的拉力 F 与橡皮筋的弹力并不相等，仅为橡皮筋弹力在水平
方向的分力。
实验原理
和数据处
理的创新
1.用压力传感器测物体 B 所受支持力的大小，但与弹簧弹力大小并不相等，二
者差值为 m0g。
2.物体 C 下移的距离 x 为弹簧压缩量的变化量，即 F＝m0g＋k(x0－x)＝m0g＋
kx0－kx，故 Fx 图线斜率的大小为弹簧的劲度系数。
实验过程
的创新
图 1：
1.利用固定在弹簧上的 7 个指针，探究弹簧的劲度系数 k 与弹簧长度的关系。
2.利用“化曲为直”的思想，将探究劲度系数 k 与弹簧圈数的关系，转化为探
究1
k与 n 的关系。
图 2：
利用浮力对弹簧弹力大小的影响，探究弹簧的劲度系数及钩码浮力的大小。
[创新考法]
1.如图为某同学在“探究弹力和弹簧伸长的关系”时的实验装置，
让刻度尺零刻度与弹簧上端平齐，弹簧不挂物体时下端指针所指的刻
度为 x0，在弹簧下用足够长的轻质细线挂上 4 个相同的钩码(弹簧处于
弹性限度内)，静止置于烧杯 T 内，控制阀门 S 通过细胶管向烧杯中缓
慢注水，依次浸没 4 个钩码，记录每浸没一个钩码时指针所指的刻度
x1、x2、x3、x4，已知每个钩码质量为 m，重力加速度为 g，以 xn 为纵坐
标，n 为横坐标建立坐标系，作出 xn 和浸没钩码个数 n 的关系图线，求
得图线斜率为 a，纵截距为 b，则该弹簧的劲度系数为________，每个钩码所受浮力为
________。(用 a、b、m、g 和 x0 表示)
解析：设每个钩码所受浮力为 F，由题意可列关系式 k(xn－x0)＝4mg－nF，则 xn＝－F
k
n＋4mg
k ＋x0，解得 k＝ 4mg
b－x0，F＝4mga
x0－b。
答案： 4mg
b－x0 4mga
x0－b
2．某同学利用图 1 所示装置来研究弹簧弹力与形变量的关系。设计的实验如下：A、B
是质量均为 m0 的小物块，A、B 间由轻弹簧相连，A 的上面通过轻绳绕过两个定滑轮与一
个轻质挂钩相连。挂钩上可以挂上不同质量的物块 C。物块 B 下放置一压力传感器。物块 C
右边有一个竖直的直尺，可以测出挂钩下移的距离。整个实验中弹簧均处于弹性限度内，
重力加速度 g＝9.8 m/s2。实验操作如下：
(1)不悬挂物块 C，让系统保持静止，确定挂钩的位置 O，并读出压力传感器的示数 F0。
(2)每次挂上不同质量的物块 C，用手托住，缓慢释放。测出系统稳定时挂钩相对 O 点
下移的距离 xi，并读出相应的压力传感器的示数 Fi。
(3)以压力传感器示数为纵坐标，挂钩下移距离为横坐标，根据每次测量的数据，描点
作出 Fx 图像如图 2 所示。
①由图像可知，在实验误差范围内，可以认为弹簧弹力与弹簧形变量成________(选填
“正比”“反比”或“不确定关系”)；
②由图像可知：弹簧劲度系数 k＝________N/m。
解析：(3)①对 B 分析，根据平衡条件有：F 弹＋m0g＝F，可知 F 与弹簧弹力呈线性关
系，又 F 与 x 呈线性关系，可知弹簧的弹力与弹簧的形变量成正比；②由题意可知，Fx 图
线斜率的绝对值表示弹簧的劲度系数，则 k＝19.6
0.2 N/m＝98 N/m。
答案：(3)①正比 ②98
3.某物理实验小组在探究弹簧的劲度系数 k 与其原长 l0 的关系实验中，
按如图所示安装好实验装置，让刻度尺零刻度与轻质弹簧上端平齐，在弹簧
上安装可移动的轻质指针 P，实验时的主要步骤是：
①将指针 P 移到刻度尺 l01＝5 cm 处，在弹簧挂钩上挂上 200 g 的钩
码，静止时读出指针所指刻度并记录下来；②取下钩码，将指针 P 移到刻
度尺 l02＝10 cm 处，在弹簧挂钩上挂上 250 g 的钩码，静止时读出指针所指刻度并记录下来；
③取下钩码，将指针 P 移到刻度尺 l03＝15 cm 处，在弹簧挂钩上挂上 50 g 的钩码，静止时
读出指针所指刻度并记录下来……重复进行，每次都将指针 P 下移 5 cm，同时保持挂钩上
挂的钩码质量不变。
将实验所得数据记录、列表如下：
次数 弹簧原长 l0/cm 弹簧长度 l/cm 钩码质量 m/g
1 5.00 7.23 200
2 10.00 15.56 250
3 15.00 16.67 50
4 20.00 22.23 50
5 25.00 30.56 50
根据实验步骤和列表数据，回答下列问题：
(1)重力加速度 g 取 10 m/s2。在次数 3 中，弹簧的原长为 15 cm 时，其劲度系数 k3＝
________N/m。
(2)同一根弹簧所取原长越长，弹簧的劲度系数________(弹簧处在弹性限度内)。
A．不变 B．越大
C．越小 D．无法确定
解析：(1)弹簧的原长为 l03＝15 cm 时，挂钩上挂的钩码质量为 50 g，所受拉力 F3＝m3g
＝0.5 N，弹簧长度 l3＝16.67 cm，弹簧伸长 x3＝l3－l03＝1.67 cm。根据胡克定律 F＝kx，解
得 k3＝30 N/m。
(2)弹簧的原长为 l05＝25 cm 时，挂钩上挂的钩码质量为 50 g，所受拉力 F5＝m5g＝0.5
N，弹簧长度 l5＝30.56 cm，弹簧伸长 x5＝l5－l05＝5.56 cm。根据胡克定律 F＝kx，解得 k5＝
9 N/m。由此可知，同一根弹簧所取原长越长，弹簧的劲度系数越小，选项 C 正确。
答案：(1)30 (2)C
4．某物理学习小组用如图甲所示装置来研究橡皮筋的劲度系数(遵循胡克定律且实验中
弹力始终未超过弹性限度)，将一张白纸固定在竖直放置的木板上，原长为 L0 的橡皮筋的上
端固定在 O 点，下端挂一重物。用与白纸平行的水平力(由拉力传感器显示其大小)作用于 N
点，静止时记录下 N 点的位置 a，请回答：
(1)若拉力传感器显示的拉力大小为 F，用刻度尺测量橡皮筋 ON 的长为 L 及 N 点与 O
点的水平距离为 x，则橡皮筋的劲度系数为__________________(用所测物理量表示)。
(2)若换用另一个原长相同的橡皮筋，重复上述过程，记录静止时 N 点的位置 b，发现
O、a、b 三点刚好在同一直线上，其位置如图乙所示，则下列说法中正确的是__________。
A．第二次拉力传感器显示的拉力示数较大
B．两次拉力传感器显示的拉力示数相同
C．第二次所用的橡皮筋的劲度系数小
D．第二次所用的橡皮筋的劲度系数大
解析：(1)设橡皮筋与竖直方向夹角为 θ，重物重力为 G，结点 N 在竖直拉力(重物重力
G)、橡皮筋拉力 T 和水平拉力 F 作用下处于平衡状态，满足图示关系，则 sin θ＝F
T，
而 sin θ＝x
L，T＝k(L－L0)，联立得 k＝ FL
x(L－L0)。
(2)由受力图知 F＝Gtan θ，两次中 G、θ 均相同，所以两次拉力传感器
显示的拉力示数相同，A 错，B 对；同理，两次橡皮筋的拉力也相同，而橡皮
筋的原长相同，第二次的伸长量大，由胡克定律知第二次所用的橡皮筋的劲度
系数小，C 对，D 错。
答案：(1) FL
x(L－L0) (2)BC
实验三 验证力的平行四边形定则
一、实验目的
1．验证互成角度的两个共点力合成时的平行四边形定则。
2．学会用作图法处理实验数据和得出实验结论。
二、实验原理
等效思想：使一个力 F′的作用效果和两个力 F1 和 F2 的作用效果相同，就是使同一条
一端固定的橡皮条伸长到同一点 O，即伸长量相同，所以 F′为 F1 和 F2 的合力，作出力
F′的图示，再根据平行四边形定则作出力 F1 和 F2 的合力 F 的图示，比较 F、F′在实验
误差允许的范围内是否大小相等、方向相同。
三、实验器材
方木板、白纸、弹簧测力计(两个)、橡皮条、细绳套(两个)、三角板、刻度尺、图钉(几
个)、铅笔。
[部分器材用途]
橡皮条 伸长量相同，保证两次操作作用效果相同
白纸
用铅笔在其上描点，确定力的方向，并作出力的图示以验证力
的平行四边形定则
四、实验步骤
1．仪器安装
(1)如实验原理图所示，用图钉把白纸钉在水平桌面上的方木板上。
(2)用图钉把橡皮条的一端固定在 A 点，橡皮条的另一端拴上两个细绳套。
2．测量与记录
(1)用两个弹簧测力计分别钩住细绳套，互成角度地拉橡皮条，使橡皮条与绳的结点伸
长到某一位置 O。记录两弹簧测力计的读数 F1、F2，用铅笔描下 O 点的位置及此时两细绳
的方向。
(2)只用一个弹簧测力计通过细绳套把橡皮条的结点拉到同样的位置 O。记下弹簧测力
计的读数 F′和细绳套的方向。
(3)改变两弹簧测力计拉力的大小和方向，再重做两次实验。
五、数据处理
1．用铅笔和刻度尺从结点 O 沿两条细绳套方向画直线，按选定的标度作出这两个弹簧
测力计的拉力 F1 和 F2 的图示，并以 F1 和 F2 为邻边用刻度尺作平行四边形，过 O 点画平行
四边形的对角线，此对角线即为合力 F 的图示。
2．用刻度尺从 O 点按同样的标度沿记录的方向作出实验步骤中只用一个弹簧测力计的
拉力 F′的图示。
3．比较 F 与 F′是否完全重合或几乎完全重合，从而验证平行四边形定则。
六、误差分析
1．弹簧测力计读数时会带来误差，在条件允许的情况下，弹簧测力计的示数适当大一
些。读数时眼睛一定要平视，要按有效数字的读数规则正确地读数和记录。
2．针对作图带来的实验误差，重点关注两方面，一是两个分力 F1、F2 间的夹角要适
当大一些，以 60°～100°之间为宜，夹角太大或太小都会带来较大误差，此外细绳套应适当
长一些，便于确定力的方向；二是选定的标度要合理，两个分力的图示分别等于 3～6 倍标
度比较合理。
七、注意事项
1．位置不变：在同一次实验中，使橡皮条拉长时结点的位置一定要相同。
2．统一标度：在同一次实验中，画力的图示选定的标度要相同，并且要恰当选定标度，
使力的图示稍大一些。
[基础考法]
考法(一) 实验原理与操作
1．某实验小组用如图所示的装置做“验证力的平行四边形定则”实验。
(1)下面关于此实验的说法，不正确的一项是________。
A．如图甲，用两个弹簧测力计把橡皮条的一端拉到 O 点时，两个弹簧测力计之间的
夹角必须取 90° ，以便算出合力的大小
B．用一个弹簧测力计拉橡皮条时(如图乙)，必须保证仍把橡皮条的一端拉到 O 点
C．实验中，弹簧测力计必须保持与木板平行，读数时视线要正视弹簧测力计的刻度
D．拉橡皮条的细线要稍长一些，用以标记细线方向的两点距离要远些
(2)图丙是某同学得到的实验结果，其中________(选填“F”或“F′”)表示的是用一个
弹簧测力计拉橡皮条时的结果。
解析：(1)用两个弹簧测力计把橡皮条的一端拉到 O 点时，两个弹簧测力计之间的夹角
不一定要取 90°，大小适当即可，选项 A 错误；用一个弹簧测力计拉橡皮条时，必须保证仍
把橡皮条的一端拉到 O 点，以保证等效性，选项 B 正确；实验中，弹簧测力计必须保持与
木板平行，读数时视线要正视弹簧测力计的刻度，选项 C 正确；拉橡皮条的细线要稍长一
些，用以标记细线方向的两点距离要远些，选项 D 正确。
(2)F′是合力的实验值，与 OA 共线，则 F′表示的是用一个弹簧测力计拉橡皮条时的
结果。
答案：(1)A (2)F′
2．某同学做“验证力的平行四边形定则”的实验情况如图甲所示，其中 A 为固定橡皮
条的图钉，O 为橡皮条与细绳的结点，OB 和 OC 为细绳。图乙是在白纸上根据实验结果画
出的图。
(1)如果没有操作失误，图乙中的 F 与 F′两力中，方向一定沿 AO 方向的是________。
(2)本实验采用的科学方法是________。
A．理想实验法 B．等效替代法
C．控制变量法 D．建立物理模型法
(3)实验时，主要的步骤是：
A．在桌上放一块方木板，在方木板上铺一张白纸，用图钉把白纸钉在方木板上；
B．用图钉把橡皮条的一端固定在板上的 A 点，在橡皮条的另一端拴上两条细绳，细绳
的另一端系着绳套；
C．用两个弹簧测力计分别钩住绳套，互成角度地拉橡皮条，使橡皮条伸长，结点到达
某一位置 O。记录下 O 点的位置，读出两个弹簧测力计的示数；
D．按选好的标度，用铅笔和刻度尺作出两个弹簧测力计的拉力 F1 和 F2 的图示，并用
平行四边形定则求出合力 F；
E．只用一个弹簧测力计，通过细绳套拉橡皮条使其伸长，读出弹簧测力计的示数，记
下细绳的方向，按同一标度作出这个力 F′的图示；
F．比较 F′和 F 的大小和方向，看它们是否相同，得出结论。
上述步骤中：①有重要遗漏的步骤的标号是________和________；
②遗漏的内容分别是____________________________________________________
和___________________________________________________________________。
解析：(1)由一个弹簧测力计拉橡皮条至 O 点的拉力一定沿 AO 方向；而根据平行四边
形定则作出的合力，由于误差的存在，不一定沿 AO 方向，故一定沿 AO 方向的是 F′。
(2)一个力的作用效果与两个力的作用效果相同，它们的作用效果可以等效替代，故本
实验采用等效替代法，B 正确。
(3)①根据“验证力的平行四边形定则”实验的操作步骤可知，有重要遗漏的步骤的标
号是 C、E。
②在 C 中未记下两条细绳的方向，E 中未说明是否把橡皮条的结点拉到同一位置 O。
答案：(1)F′ (2)B (3)①C E ②C 中应加上“记下两条细绳的方向” E 中应说
明“把橡皮条的结点拉到同一位置 O”
考法(二) 数据处理与误差分析
3．(2018·天津高考)某研究小组做“验证力的平行四边形定则”实验，所用器材有：方
木板一块，白纸，量程为 5 N 的弹簧测力计两个，橡皮条(带两个较长的细绳套)，刻度尺，
图钉(若干个)。
(1)具体操作前，同学们提出了如下关于实验操作的建议，其中正确的有________。
A．橡皮条应和两绳套夹角的角平分线在一条直线上
B．重复实验再次进行验证时，结点 O 的位置可以与前一次不同
C．使用测力计时，施力方向应沿测力计轴线；读数时视线应正对测力计刻度
D．用两个测力计互成角度拉橡皮条时的拉力必须都小于只用一个测力计的拉力
(2)该小组的同学用同一套器材做了四次实验，白纸上留下的标注信息有结点位置 O、
力的标度、分力和合力的大小及表示力的作用线的点，如下图所示。其中对于提高实验精
度最有利的是________。
解析：(1)两细绳套拉力的合力不一定沿两细绳套夹角的角平分线，故 A 错误。同一次
实验，用一个细绳套拉橡皮条和用两个细绳套拉橡皮条结点 O 的位置应相同，不同次实验
结点 O 的位置可以不同，故 B 正确。为减小弹簧测力计摩擦和误差，施力方向应沿测力计
轴线，读数时视线正对测力计刻度，故 C 正确。合力可以比分力大，也可以比分力小，故 D
错误。
(2)为了提高实验精度，测力计读数应适当大一些，标度应适当小一些，两分力夹角适
当大一些，标注细线方向的两点离结点应适当远一些。故选 B。
答案：(1)BC (2)B
4．在探究求合力的方法时，先将橡皮条的一端固定在水平木板上，另一端系上带有绳
套的两根细绳。实验时，需要两次拉伸橡皮条，一次是通过两细绳用两个弹簧测力计互成
角度地拉橡皮条，另一次是用一个弹簧测力计通过细绳拉橡皮条。
(1)同学们在操作过程中有如下议论，其中对减小实验误差有益的说法是________(填字
母代号)。
A．两根细绳必须等长
B．弹簧测力计、细绳、橡皮条都应与木板平行
C．用两个弹簧测力计同时拉细绳时，两弹簧测力计示数适当大一些
D．拉橡皮条的细绳要长些，标记同一细绳方向的两点要远些
(2)当橡皮条的活动端拉到 O 点时，两根细绳相互垂直，如图所示。这时弹簧测力计 a、
b 的读数分别为________N 和________N。
(3)在给出的方格纸上按作图法的要求画出这两个力及它们的合力，并利用作图法求出
合力大小为________N。
解析：(1)拉橡皮条的两根细绳长度不需要相等，适当长一些，标记同一细绳方向的两
点离得远一些，可以减小在方向描述上的误差。弹簧测力计、细绳、橡皮条都应与木板平行，
以保证各拉力的方向与木板平行，这样能够在白纸上记录下各力的方向。弹簧测力计示数适
当大一些可减小误差，B、C、D 正确。
(2)弹簧测力计上最小一格表示 0.1 N，读数时有效数字要保留两位小数，即 a、b 测力
计示数分别为 4.00 N 和 2.50 N。
(3)以方格纸上一个小格的边长作为 0.5 N 的标度，作出两个拉力
的图示，以这两个拉力为邻边作平行四边形，则所夹的对角线就表示
合力的大小和方向，如图所示。量出该对角线的长度，结合标度，可
得合力大小约为 4.70 N。
答案：(1)BCD (2)4.00 2.50 (3)作图见解析 4.70
5．(2017·全国卷Ⅲ)某探究小组做“验证力的平行四边形定则”实验，将画有坐标轴(横
轴为 x 轴，纵轴为 y 轴，最小刻度表示 1 mm)的纸贴在水平桌面上，如图(a)所示。将橡皮
筋的一端 Q 固定在 y 轴上的 B 点(位于图示部分之外)，另一端 P 位于 y 轴上的 A 点时，橡
皮筋处于原长。
(1)用一只测力计将橡皮筋的 P 端沿 y 轴从 A 点拉至坐标原点 O，此时拉力 F 的大小可
由测力计读出。测力计的示数如图(b)所示，F 的大小为________N。
(2)撤去(1)中的拉力，橡皮筋 P 端回到 A 点；现使用两个测力计同时拉橡皮筋，再次将
P 端拉至 O 点。此时观察到两个拉力分别沿图(a)中两条虚线所示的方向，由测力计的示数
读出两个拉力的大小分别为 F1＝4.2 N 和 F2＝5.6 N。
(ⅰ)用 5 mm 长度的线段表示 1 N 的力，以 O 为作用点，在图(a)中画出力 F1、F2 的图
示，然后按平行四边形定则画出它们的合力 F 合；
(ⅱ)F 合的大小为________ N，F 合与拉力 F 的夹角的正切值为________。
若 F 合与拉力 F 的大小及方向的偏差均在实验所允许的误差范围之内，则该实验验证
了力的平行四边形定则。
解析：(1)由测力计的读数规则可知，读数为 4.0 N。(2)(ⅰ)利用平行四边形定则作图，
如图所示。
(ⅱ)由图可知 F 合＝4.0 N，从 F 合的顶点向 x 轴和 y 轴分别作垂线，顶点的横坐标对应
长度为 1 mm，顶点的纵坐标长度为 20 mm，则可得出 F 合与拉力 F 的夹角的正切值为
0.05。
答案：(1)4.0 (2)(ⅰ)图见解析 (ⅱ)4.0 0.05
[例 1] 某实验小组用一个弹簧测力计和一个量角器等器
材验证力的平行四边形定则，设计了如图所示的实验装置，固定在竖直木板上的量角器的
直边水平，橡皮筋的一端固定在量角器的圆心 O 的正上方 A 处，另一端系上绳套 1 和绳
套 2。主要实验步骤如下：
Ⅰ.弹簧测力计挂在绳套 1 上竖直向下拉橡皮筋，使橡皮筋与绳套的结点到达 O 处，记
下弹簧测力计的示数 F；
Ⅱ.弹簧测力计挂在绳套 1 上，沿水平方向缓慢拉橡皮筋，同时用手拉着绳套 2 沿 120°
方向缓慢拉橡皮筋。使橡皮筋与绳套的结点到达 O 处，记下弹簧测力计的示数 F1；
Ⅲ.根据力的平行四边形定则计算绳套 1 的拉力大小 F1′＝____①____；
Ⅳ.比较____②____，若在误差允许的范围内相同，即可初步验证力的平行四边形定则；
Ⅴ.只改变绳套 2 的方向，重复上述实验步骤。
回答下列问题：
(1)完成实验步骤：①________；②________。
(2)将绳套 1 由 0°方向缓慢转动到 60°方向，同时绳套 2 由 120°方向缓慢转动到 180°方
向，此过程中保持橡皮筋与绳套的结点在 O 处不动，保持绳套 1 和绳套 2 的夹角 120°不变。
关于绳套 1 的拉力大小的变化，下列结论正确的是________(填选项前的序号)。
A．逐渐增大 B．先增大后减小
C．逐渐减小 D．先减小后增大
[三步稳解题]
1．分析实验目的：验证力的平行四边形定则，分析两力的大小随方向变化而变化的规
律。
2．确定实验原理：由量角器能测量两分力与合力间的夹角大小，可由一个力利用几何
关系求出另一个分力，比较理论值与实际值的大小，从而验证力的平行四边形定则。
3．制定数据处理方案：将结点拉到 O 点，使绳套 1 沿水平方向，绳套 2 与绳套 1 夹角
为 120°，则根据力的平行四边形定则计算绳套 1 的拉力大小 F1′＝Ftan 30°。比较 F1′与
F1 的大小关系。
[解析] (1)由力的平行四边形定则计算绳套 1 的拉力 F1′＝Ftan 30°＝ 3
3 F
通过比较 F1 和 F1′，在误差范围内相同，则可初步验证力
的平行四边形定则。
(2)两个绳套在转动过程中，合力保持不变，根据平行四边
形定则画出图像，如图所示，由图像可知，绳套 1 的拉力大小逐
渐增大，故 A 项正确。
[答案] (1)① 3F
3 ②F1 和 F1′ (2)A
[例 2] 某同学找到一条遵循胡克定律的橡皮筋并利用如下实验器材验证平行四边形
定则：刻度尺、三角板、铅笔、细绳、白纸、钉子、质量不同的小重物若干、木板。实验
方案如下：
①将橡皮筋的两端分别与两条细绳相连，测出橡皮筋的原长；
②将橡皮筋一端细绳用钉子固定在竖直木板上的 A 点，在橡皮筋的中点 O 用细绳系住
重物，使重物自然下垂，如图甲所示；
③将橡皮筋的另一端细绳固定在竖直木板上的 B 点，如图乙所示。
(1)为完成本实验，下列还必须测量的物理量为________。(填选项前字母)
A．小重物的质量
B．细绳的长度
C．图甲中 OA 段橡皮筋的长度
D．图乙中 OA 和 OB 段橡皮筋的长度
(2)在完成本实验的过程中，必须注意的事项是________。(填选项前字母)
A．橡皮筋两端连接的细绳长度必须相同
B．图乙中 A、B 两点必须等高
C．图乙中连接小重物的细绳必须在 OA、OB 夹角的角平分线上
D．记录图甲中 O 点的位置和 OA 的方向
E．记录图乙中 O 点的位置和 OA、OB 的方向
(3)若钉子位置固定，利用现有器材改变实验效果，可采用的方法是________。
[三步稳解题]
1．分析实验目的：验证力的平行四边形定则。
2．确定实验原理：利用遵循胡克定律的橡皮筋，其弹力大小与伸长量成正比。测出各
伸长量的大小，作出力的图示以便验证平行四边形定则。
3．判定数据处理方案
(1)测出橡皮筋的原长和图甲中 OA 段橡皮筋的长度、图乙中 OA 和 OB 段橡皮筋的长度，
则可计算出合力和两分力的大小关系。
(2)由乙图确定合力和两分力的方向，作出力的图示。
(3)以两分力为临边作平行四边形求出合力与图甲中的合力比较得出结论。
[解析] (1)橡皮筋遵循胡克定律，要测量拉力可以通过测量橡皮筋的长度和原长，得到
橡皮筋的伸长量，根据拉力大小与伸长量成比例作力的图示。为了使两次实验效果相同，必
须记下题图甲中 OA 段橡皮筋的长度、题图乙中 OA 和 OB 段橡皮筋的长度作参照，故选
C、D。
(2)橡皮筋连接的细绳要稍微长些，并非要求等长，A 错误；题图乙中 A、B 两点不用必
须等高，B 错误；题图乙中连接小重物的细绳可以在 OA、OB 夹角的角平分线上，也可以
不在角平分线上，C 错误；题图甲中 O 点的位置和 OA 的方向不需要记录，D 错误；需要
记录题图乙中 O 点的位置和 OA、OB 的方向，E 正确。
(3)在钉子位置不变的情况下，要改变实验效果，只有改变小重物的质量。故可采用的
方法是更换小重物。
[答案] (1)CD (2)E (3)更换小重物
[创新领悟]
实验原
理的创
新
(图 1) (图 2)
图 1：
1.将橡皮筋和弹簧秤的实验角色互换。
2.秤钩上涂抹少许润滑油，保证了橡皮筋两侧弹力大小相同，与两侧橡皮筋
长度大小无关。
图 2：
1.通过应用定滑轮，改变拉力的方向。
2.钩码的总重力即为对应细绳拉力大小。
1.电子秤代替弹簧秤，可以直接读出力的大小。
2.同一电子秤应用于(a)、(b)、(c)三个图中，可测得三根细线中拉力的大小。
实验器
材的创
新
1.用量角器可直接测量力的夹角，从而可用几何知识求出分力大小。
2.由量角器上的刻度值可以保证两绳套方向改变时两绳套间夹角不变。
实验过
程的创
新 1.探究拉伸过程对橡皮筋弹性的影响。
2.橡皮筋上端固定，下端挂一重物，用水平力两次拉动重物，对应不同的轨
迹。
[创新考法]
1.如图所示，某实验小组同学利用 DIS 实验装置研究支架
上力的分解。A、B 为两个相同的双向力传感器，该类型传感器
在受到拉力时读数为正，受到压力时读数为负。B 固定不动并
通过光滑铰链连接一直杆，A 可沿固定的圆弧形轨道(圆心在 O
点)移动，A 连接一不可伸长的轻绳，轻绳另一端系在杆右端 O 点构成支架，实验时始终保
持杆在水平方向，取重力加速度大小 g＝10 m/s2，计算结果保留一位有效数字。操作步骤如
下：
①测量轻绳与水平杆的夹角 θ；
②对两个传感器进行调零；
③用另一根轻绳在 O 点悬挂一钩码，记录两个传感器的读数；
④取下钩码，移动 A，改变 θ 角；
⑤重复上述实验步骤，得到的数据记录在表格中。
F1/N 2.001 1.155 … 1.156 2.002
F2/N －1.733 －0.578 … 0.579 1.734
θ 30° 60° … 120° 150°
(1)根据表格数据可得，A 对应的是表中力________(选填“F 1”或“F2”)，钩码质量为
________kg。挂上钩码后，A 沿固定轨道移动过程中轻绳 AO 上的力的最小值为______N。
(2)每次改变 θ 角后都要对传感器进行调零，此操作目的是________。
A．事先忘记调零
B．可以完全消除实验的误差
C．消除直杆自身重力对结果的影响
解析：(1)由题中表格数据可知，F1 都是正值，传感器受到的都是拉力，因绳子只能提
供拉力，故 A 对应的是 F1。当 θ＝30°时，对点 O 受力分析有 F1sin 30°＝mg，解得 m＝0.1
kg，当 AO 方向竖直时，拉力最小，则最小值为 F＝mg＝1 N。(2)本实验中多次对传感器进
行调零，是为了消除直杆自身重力对结果的影响，故 C 正确。
答案：(1)F1 0.1 1 (2)C
2．一同学用电子秤、水壶、细线、墙钉和贴在墙上的白纸等物品，在家中验证力的平
行四边形定则。
(1)如图(a)，在电子秤的下端悬挂一装满水的水壶，记下水壶______时电子秤的示数 F。
(2)如图(b)，将三根细线 L1、L2、L3 的一端打结，另一端分别拴在电子秤的挂钩、墙钉
A 和水壶杯带上。水平拉开细线 L1，在白纸上记下结点 O 的位置、______________和电子
秤的示数 F1。
(3)如图(c)，将另一颗墙钉 B 钉在与 O 同一水平位置上，并将 L1 拴在其上。手握电子
秤沿着(2)中 L2 的方向拉开细线 L2，使____________和三根细线的方向与(2)中重合，记录电
子秤的示数 F2。
(4)在白纸上按一定标度作出电子秤拉力 F、F1、F2 的图示，根据平行四边形定则作出
F1、F2 的合力 F′的图示，若____________________________，则平行四边形定则得到验
证。
解析：(1)要测量装满水的水壶的重力，则应记下水壶静止时电子秤的示数 F。
(2)要画出平行四边形，则需要记录分力的大小和方向，所以在白纸上记下结点 O 的位
置的同时，也要记录三根细线的方向以及电子秤的示数 F1。
(3)已经记录了一个分力的大小，还要记录另一个分力的大小，则结点 O 的位置不能变
化，力的方向也都不能变化，所以应使结点 O 的位置和三根细线的方向与(2)中重合，记录
电子秤的示数 F2。
(4)根据平行四边形定则作出 F1、F2 的合力 F′的图示，若 F 和 F′在误差范围内重合，
则平行四边形定则得到验证。
答案：(1)静止 (2)三根细线的方向 (3)结点 O 的位置
(4)F 和 F′在误差范围内重合
3．某同学通过下述实验验证力的平行四边形定则。
实验步骤：
①将弹簧秤固定在贴有白纸的竖直木板上，使其轴线沿竖直方向。
②如图甲所示，将环形橡皮筋一端挂在弹簧秤的秤钩上，另一端
用圆珠笔尖竖直向下拉，直到弹簧秤示数为某一设定值时，将橡皮筋两端的位置标记为 O1、
O2，记录弹簧秤的示数 F，测量并记录 O1、O2 间的距离(即橡皮筋的长度 l)。每次将弹簧秤
示数改变 0.50 N，测出所对应的 l，部分数据如下表所示：
F/N 0 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50
l/cm l0 10.97 12.02 13.00 13.98 15.05
③找出②中 F＝2.50 N 时橡皮筋两端的位置，重新标记为 O、O′，橡
皮筋的拉力记为 FO O′。
④在秤钩上涂抹少许润滑油，将橡皮筋搭在秤钩上，如图乙所示。
用两圆珠笔尖成适当角度同时拉橡皮筋的两端，使秤钩的下端达到 O
点，将两笔尖的位置标记为 A、B，橡皮筋 OA 段的拉力记为 FOA，OB
段的拉力记为 FOB。
完成下列作图和填空：
(1)利用表中数据在图丙中画出 Fl 图线，根据图线求得 l0＝________cm。
(2)测得 OA＝6.00 cm，OB＝7.60 cm，则 FOA 的大小为__________N。
(3)根据给出的标度，在图丁中作出 FOA 和 FOB 的合力 F′的图示。
(4)通过比较 F′与________的大小和方向，即可得出实验结论。
解析：(1)在坐标系中描点，用平滑的曲线(直线)将各点连接起来，不在直线上的点均匀
分布在直线的两侧。如图 1 所示，由图线可知与横轴的交点 l0＝10.00 cm。
(2)橡皮筋的长度 l＝OA＋OB＝13.60 cm，由图 1 可得 F＝1.80 N，所以 FOA＝FOB＝F＝
1.80 N。
(3)利用给出的标度作出 FOA 和 FOB 的图示，然后以 FOA 和 FOB 为邻边作出平行四边形，
过 O 点的对角线即为合力 F′，如图 2 所示。
(4)FO O′的作用效果和 FOA、FOB 两个力的作用效果相同，F′是 FOA、FOB 两个力的合
力，所以只要比较 F′和 FO O′的大小和方向，即可得出实验结论。
答案：(1)如解析图 1 所示 10.00(9.90～10.10 均可)
(2)1.80(1.70～1.90 均可) (3)如解析图 2 所示
(4)FO O′
