【物理】2018届一轮复习人教版第4章 曲线运动 万有引力与航天教案
[考纲要求]
知识内容
考试要求
备考方略
必考
加试
曲线运动
b
b
1.本章内容在必考中常以单选题形式出现，考查突出曲线运动基本知识、平抛运动、圆周运动。单独命题常以选择题的形式出现。
2．本章内容在必考中可与牛顿运动定律、功能关系相综合常以计算题的形式出现。
3．本章内容也可与牛顿运动定律、功能关系、电磁学知识相综合以计算题的形式出现在加试中。
运动的合成与分解
b
c
平抛运动
d
d
圆周运动、向心加速度、向心力
d
d
生活中的圆周运动
c
行星的运动
a
1.本章内容在学考中常以单选题形式出现，考查以万有引力定律，万有引力定律应用(估算天体质量和密度)及人造卫星为主
2．本章内容应突出物理与现代科技、生产、生活的综合，特别与现代航天技术的联系
3．本章内容选考不做需求
太阳与行星间的引力
a
万有引力定律
c
万有引力理论的成就
c
宇宙航行
c
经典力学的局限性
a
第1课时 曲线运动 平抛运动
考点一 曲线运动(b/b)
[基础过关]
1．速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向。
2．运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动。
3．曲线运动的条件
【过关演练】
1．(2015·浙江1月学考)如图所示，一小球在光滑水平桌面上做匀速直线运动，若沿桌面对小球施加一个恒定外力，则小球一定做( )
A．直线运动
B．曲线运动
C．匀变速运动
D．匀加速直线运动
解析 因为施加的恒力方向不知，小球可能做直线运动或曲线运动，故A、B、D错；根据牛顿第二定律，小球一定做匀变速运动，故C正确。
答案 C
2.(2016·9月台州质量评估)如图所示的陀螺，是汉族民间最早的娱乐工具，也是我们很多人小时候喜欢玩的玩具。从上往下看(俯视)，若陀螺立在某一点顺时针匀速转动，此时滴一滴墨水到陀螺，则被甩出的墨水径迹可能为( )
解析 做曲线运动的物体，所受陀螺的束缚的力消失后，水平面内(俯视)应沿轨迹的切线飞出，A、B不正确，又因陀螺顺时针匀速转动，故C不正确，D正确。
答案 D
[要点突破]
要点一 曲线运动特点认识
1．曲线运动的特点
速度方向
时刻改变，某时刻的速度方向沿曲线上物体所处位置的切线方向
运动性质
变速运动
受 力
合力与速度方向不共线
位移与路程的关系
位移大小小于路程
合 力
合力不为0，指向曲线凹侧
轨 迹
夹在速度与合力的方向之间
2.合力方向与轨迹的关系
物体做曲线运动的轨迹一定夹在合力方向和速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合力方向指向曲线的“凹”侧。
【例1】 (2016·浙江慈溪中学)关于做曲线运动的物体，下列说法中正确的是( )
A．物体的速度方向一定不断改变
B．物体的速度大小一定不断改变
C．物体的加速度方向一定不断改变
D．物体的加速度大小一定不断改变
解析 做曲线运动的物体速度方向是该点的切线方向，时刻在变化，故A正确；做曲线运动的物体速度大小可以不变，如匀速圆周运动，故B错误；曲线运动的速度方向时刻改变，故一定具有加速度，但加速度的大小和方向不一定改变，如平抛运动，故C、D错误。
答案 A
要点二 速率变化情况判断
1．当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大；
2．当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小；
3．当合力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。
【例2】 一物体在水平恒力的作用下沿光滑水平面做曲线运动，其俯视图如图所示。当物体从M点运动到N点时，其速度方向恰好改变了90°，则物体从M点到N点运动过程中，物体的速度将( )
A．不断增大 B．不断减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
解析 在Q点之前，恒力F与速度方向夹角为钝角，物体做减速运动；在Q点之后，恒力F与速度方向夹角为锐角，物体做加速运动，故D选项正确。
答案 D
[精练题组]
1．做曲线运动的物体，在运动过程中，一定变化的物理量是( )
A．速率 B．速度 C．加速度 D．合外力
解析 物体做曲线运动时，速度方向一定变化，速度大小不一定变化，A错、B对；做曲线运动的物体的合外力或加速度既可能变，也有可能不变，C、D错。
答案 B
2．如图所示的曲线为某同学抛出的铅球运动轨迹(铅球视为质点)，A、B、C为曲线上的三点，关于铅球在B点的速度方向，说法正确的是( )
A．沿AB的方向 B．沿BD的方向
C．沿BC的方向 D．沿BE的方向
解析 物体做曲线运动的速度方向为运动轨迹上经过该点的切线方向，又本题中铅球实际沿ABC方向运动，故它在B点的速度应沿BD的方向，B正确。
答案 B
3．如图所示，物体以恒定的速率沿圆弧AB做曲线运动，下列对它的运动分析正确的是( )
A．因为它的速率恒定不变，故做匀速运动
B．该物体受的合力一定不等于零
C．该物体受的合力一定等于零
D．它的加速度方向与速度方向有可能在同一直线上
解析 物体做曲线运动，速度方向一定不断变化，是变速运动，A错；运动状态的变化是外力作用的结果，所以物体所受合力一定不为零，B对，C错；依据物体做曲线运动的条件可知，加速度方向与速度方向一定不共线，D错。
答案 B
4．一个物体沿y轴下落，下落到O点时突然受到沿x轴正方向、跟重力大小相等的恒定的水平风力作用，以下四幅图中最有可能正确反映物体的运动轨迹的是( )
解析 物体落到O点时，其速度方向为竖直向下，而重力和风力的合力与x轴成45°角斜向下，所以物体做曲线运动且轨迹向合力方向偏，但合速度方向(即曲线切线方向)与竖直方向的夹角一直小于45°，只有C对。
答案 C
5．在地面上观察下列物体的运动，其中物体一定做曲线运动的是( )
A．向东运动的质点受到一个向西的力的作用
B．正在竖直上升的气球突然遭遇一阵北风
C．河水匀速流动，正在河里匀速驶向对岸的汽艇
D．在匀速行驶的列车上，相对列车水平向后抛出的一个小球
解析 选项A中质点仍做直线运动；选项B中气球的运动方向与受力方向不共线，做曲线运动；选项C中两个匀速直线运动的合运动仍是匀速直线运动；选项D中若小球相对车向后抛出的速度与车前进的速度大小相同，则小球相对地面的速度为零，故做自由落体运动，为直线运动。
答案 B
【方法总结】
判断物体是否做曲线运动的方法
判断物体是做曲线运动还是做直线运动，关键要看a和v的方向，两者方向在同一直线上则做直线运动，有夹角则做曲线运动。
考点二 运动的合成与分解(b/c)
[基础过关]
1．基本概念
(1)运动的合成：已知分运动求合运动。
(2)运动的分解：已知合运动求分运动。
2．分解原则：根据运动的实际效果分解，也可采用正交分解。
3．遵循的规律：位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则。
【过关演练】
1．降落伞在匀速下降过程中遇到水平方向吹来的风，若风速越大，则降落伞( )
A．下落的时间越短 B．下落的时间越长
C．落地时速度越小 D．落地时速度越大
答案 D
2．某一时刻，一物体沿水平方向和竖直方向的分速度分别为8 m/s和6 m/s，则该物体的速度大小是( )
A．2 m/s B．6 m/s
C．10 m/s D．14 m/s
答案 C
[要点突破]
要点一 合运动和分运动的关系
1．等时性：各个分运动与合运动总是同时开始，同时结束，经历时间相等(不同时的运动不能合成)。
2．独立性：一个物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，互不影响。
3．等效性：各分运动叠加起来与合运动有完全相同的效果。
4．同一性：各分运动与合运动是指同一物体参与的分运动和实际发生的运动，不能是几个不同物体发生的不同运动。
【例1】 对于两个分运动的合运动，下列说法正确的是( )
A．合运动的速度大于两个分运动的速度
B．合运动的速度一定大于某一个分运动的速度
C．合运动的方向就是物体实际运动的方向
D．由两个分速度的大小就可以确定合速度的大小
解析 根据平行四边形定则，合速度的大小和方向可由平行四边形的对角线表示，而两邻边表示两个分速度，由几何关系知，两邻边和对角线的长短关系因两邻边的夹角不同而不同，当两邻边长短不变，而夹角改变时，对角线的长短也将发生改变，即合速度也将变化，故A、B、D错误，C正确。
答案 C
要点二 小船渡河模型
在运动的合成与分解问题中，两个匀速直线运动的合运动仍是匀速直线运动，其中一个速度大小和方向都不变，另一个速度大小不变，方向在180°范围内(不变的速度所在直线的一侧)变化。我们对合运动或分运动的速度、时间、位移等问题进行研究。这样的运动系统可看做“小船渡河模型”。
【例2】 船在静水中的速度为3.0 m/s，它要渡过宽度为30 m的河，河水的流速为2.0 m/s，则下列说法中正确的是( )
A．船不能渡过河
B．船渡河的速度一定为5.0 m/s
C．船不能垂直到达对岸
D．船到达对岸所需的最短时间为10 s
解析 当船头垂直于河岸时，过河时间最短，tmin＝＝10 s，A错误，D正确；因v船>v水，故船可以垂直到达对岸，C错误；船渡河的速度大小与船头指向有关，B错误。
答案 D
要点三 绳(杆)端速度分解模型
1．模型特点：沿绳(或杆)方向的速度分量大小相等。
2．思路与方法
合运动→绳拉物体的实际运动速度v
分运动→
【例3】
如图所示，在水平地面上做匀速直线运动的小车，通过定滑轮用绳子吊起一个物体，若小车和被吊的物体在同一时刻的速度分别为v1和v2，绳子对物体的拉力为T，物体所受重力为G，则下列说法正确的是( )
A．物体做匀速运动，且v1＝v2
B．物体做加速运动，且v2>v1
C．物体做加速运动，且T>G
D．物体做匀速运动，且T＝G
解析 把v1分解如图所示，v2＝v1cos α，α变小，v2变大，物体做加速运动，处于超重状态，T>G，选项C正确。
答案 C
[精练题组]
1．如图所示，冰球以速度v1在水平冰面上向右运动。运动员沿冰面垂直v1的方向上快速打击冰球，冰球立即获得沿打击方向的分速度v2。不计冰面摩擦和空气阻力。下列图中的虚线能正确反映冰球被击打后运动路径的是( )
解析 物体所受的合力与速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动，合力与速度方向在同一直线上时，物体做直线运动，题中冰球受打击后在水平方向上不受力，故作直线运动，故C、D错误；实
际运动的速度为合速度，根据平行四边形定则可知，合速度不可能沿打击的方向，一定沿以两分速度为邻边的平行四边形的对角线的方向，故A错误，B正确。
答案 B
2．(2016·嘉兴一中期中)如图所示，小船沿直线AB过河，船头始终垂直于河岸。若水流速度增大，为保持航线不变，下列措施与结论正确的是( )
A．增大船速，过河时间不变
B．增大船速，过河时间缩短
C．减小船速，过河时间变长
D．减小船速，过河时间不变
解析 船头始终垂直于河岸，河宽一定，当水流速度增大，为保持航线不变，根据运动的合成，船在静水速度必须增大，再根据t＝，所以渡河的时间变小，故A、C、D错误，B正确。
答案 B
3．(2016·杭州五校12月联考)质量为2 kg的质点在x－y平面上做曲线运动，在x方向的速度图象和y方向的位移图象如图所示，下列说法正确的是( )
A．质点的初速度为3 m/s
B．2 s末质点速度大小为6 m/s
C．质点做曲线运动的加速度为3 m/s2
D．质点所受的合外力为3 N
解析 x轴方向初速度为vx＝3 m/s，y轴方向初速度vy＝－4 m/s，质点的初速度v＝＝5 m/s，故A错误；2 s末质点x轴方向初速度为vx＝6 m/s，y轴方向初速度vy＝－4 m/s，质点的初速度v＝＝2 m/s，B错误；x轴方向的加速度a＝1.5 m/s2，质点的合力F合＝ma＝3 N，故C错误，D正确。
答案 D
4．如图所示，一艘炮
艇沿长江由西向东快速行驶，在炮艇上发射炮弹射击北岸正北方向的目标。要击中目标，射击方向应( )
A．对准目标
B．偏向目标的西侧
C．偏向目标的东侧
D．无论对准哪个方向都无法击中目标
解析 炮弹的实际速度方向沿目标方向，该速度是船的速度与射击速度的合速度，根据平行四边形定则，知射击的方向偏向目标的西侧。故B正确，A、C、D错误。
答案 B
5．(多选)(2015·杭州七校联考)如图所示，三角尺紧贴在固定的刻度尺上方，使三角尺沿刻度尺水平向右匀速运动的同时，一支铅笔沿着三角板直角边，从最下端由静止开始向上做匀加速直线运动。关于铅笔笔尖的运动，下列判断中正确的是( )
A．笔尖的轨迹是一条倾斜的直线
B．笔尖的轨迹是一条抛物线
C．在运动过程中，笔尖运动的速度方向始终保持不变
D．在运动过程中，笔尖运动的加速度方向始终保持不变
解析 由运动的合成可知，笔尖的轨迹是一条抛物线，B选项正确；笔尖运动速度方向时刻改变，但加速度方向不变，C选项错误，D选项正确。
答案 BD
【方法总结】
合运动与分运动的三个易混点
(1)合运动是物体的实际运动，而分运动是物体同时参与的几个运动，并不是物体的实际运动；
(2)两个分运动是直线运动的合运动可能是直线运动，也可能是曲线运动，这是由合初速度与合加速度是否共线决定的；
(3)合运动的速度不一定大于分运动的速度，合运动的速度与分运动的速度大小具有不确定关系。
考点三 平抛运动(d/d)
[基础过关]
1．定义：以一定的初速度沿水平方向抛出的物体只在重力作用下的运动。
2．性质：平抛运动是加速度为g的匀加速曲线运动，其运动轨迹是抛物线。
3．平抛运动的条件：(1)v0≠0，沿水平方向；(2)只受重力作用。
4．研究方法：平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。
5．基本规律(如图所示)
(1)位移关系
(2)速度关系
【过关演练】
1．(2015·浙江7月学考)如图所示，驾驶员甲驾驶摩托车以15 m/s的速度恰能从水平路面边缘飞越壕沟，若驾驶员乙驾驶摩托车也能飞越，其速度大小可为( )
A．1 m/s B．2 m/s
C．10 m/s D．16 m/s
解析 设驾驶员甲飞越壕沟的时间为t，则根据平抛运动规律，驾驶员乙所用的时间也为t，壕沟宽度d＝v甲t，要使驾驶员乙能飞越，必须使v乙≥v甲，故选D。
答案 D
2．(2015·浙江10月学考)如图甲所示，饲养员对着长l＝1.0 m的水平细长管的一端吹气，将位于吹气端口的质量m＝0.02 kg的注射器射到动物身上。注射器飞离长管末端的速度大小v＝20 m/s。可视为质点的注射器在长管内做匀变速直线运动，离开长管后做平抛运动，如图乙所示。若动物与长管末端的水平距离x＝4.0 m，求注射器下降的高度h。
解析 由平抛运动规律有x＝vt，
得t＝＝0.2 s，
由h＝gt2，
得h＝0.2 m。
答案 0.2 m
[要点突破]
要点一 平抛运动求解策略与方法
1．平抛运动的求解方略——运动分解
(1)→→→
(2)时间相等是联系两个分运动的桥梁。
(3)注意速度、位移的合成与分解。
2．平抛运动的分解方法与技巧
(1)如果知道速度的大小或方向，应首先考虑分解速度。
(2)如果知道位移的大小或方向，应首先考虑分解位移。
(3)两种分解方法：
①沿水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动；
②沿斜面方向的匀加速运动和垂直斜面方向的匀减速运动。
【例1】 如图所示，两个相对的斜面，倾角分别为α＝37°和β＝53°。在顶点把两个小球以同样大小的初速度分别向左、向右水平抛出，小球都落在斜面上。若不计空气阻力，则a、b两个小球的运动时间之比为( )
A．1∶1 B．4∶3 C．16∶9 D．9∶16
解析 对a有＝tan α，得
ta＝①
对b有＝tan β，得
tb＝②
将数值代入①②得
ta∶tb＝9∶16。
答案 D
要点二 平抛运动的两个推论
1．做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图中A点和B点所示。
2．做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为α，位移方向与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ。
【例2】 如图所示，从倾角为θ的足够长的斜面上的某点，先后将同一球以不同的初速度水平向右抛出，第一次初速度为v1，球落到斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为α1，第二次初速度为v2，球落到斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为α2，若v1>v2，则( )
A．α1>α2 B．α1＝α2
C．α1<α2 D．无法确定
解析 末速度与水平初速度的夹角为α＋θ，位移和水平初速度的夹角为θ，由平抛运动的推论有：2tan θ＝tan(α＋θ)，由上式可知α的大小与抛出速度的大小无关，即α1＝α2，选B。
答案 B
[精练题组]
1．(2016·嘉兴高三检测)关于从同一高度以不同初速度水平抛出的物体，比较它们落到水平地面上的时间(不计空气阻力)，以下说法正确的是( )
A．速度大的时间长 B．速度小的时间长
C．一样长 D．质量大的时间长
解析 水平抛出的物体做平抛运动，由h＝gt2得t＝，其下落的时间由下落的高度决定，从同一高度以不同初速度水平抛出的物体，落到水平地面上的时间相同，A、B、D错误，C正确。
答案 C
2.某人向放在水平地面上正前方的小桶中水平抛球，结果球划着一条弧线飞到小桶的前方，如图所示。不计空气阻力，为了能把小球抛进小桶中，则下次再水平抛球时，可能做出的调整为( )
A．减小初速度，降低抛出点高度
B．增大初速度，抛出点高度不变
C．初速度大小不变，降低抛出点高度
D．初速度大小不变，增大抛出点高度
解析 为能把小球抛进桶中，须减小水平位移，由x＝v0t＝v0知，选项C正确。
答案 C
3．如图所示，网球运动员对着墙壁练习打网球，假定球在墙面上以25 m/s的速度沿水平方向反弹，落地点到墙面的距离在10 m至15 m之间，忽略空气阻力，取g＝10 m/s2，球在墙面上反弹点的高度范围是( )
A．0.8 m至1.8 m B．0.8 m至1.6 m
C．1.0 m至1.6 m D．1.0 m至1.8 m
解析 球落地时所用时间在t1＝＝0.4 s至t2＝＝0.6 s之间，所以反弹点的高度在h1＝gt＝0.8 m至h2＝gt＝1.8 m之间，选项A正确。
答案 A
4．如图所示，在足够长的斜面上的A点，以水平速度v0抛出一个小球，不计空气阻力，它落到斜面上所用的时间为t1；若将此球改用2v0抛出，落到斜面上所用时间为t2，则t1与t2之比为( )
A．1∶1 B．1∶2 C．1∶3 D．1∶4
解析
因小球落在斜面上，所以两次位移与水平方向的夹角相等，由平抛运动规律知tan θ＝＝，所以＝。
答案 B
5．(多选)如图所示是乒乓球发射器示意图，发射口距桌面高度为0.45 m，假定乒乓球水平射出，落在桌面上与发射口水平距离为2.4 m的P点，飞行过程中未触网，不计空气阻力，取g＝10 m/s2，则( )
A．球下落的加速度逐渐变大
B．球从发射口到桌面的时间为0.3 s
C．球从发射口射出后速度不变
D．球从发射口射出的速率为8 m/s
解析 不计空气阻力，球下落的加速度为g，A错误；由h＝gt2得：t＝＝0.3 s，B正确；由x＝v0t解得球的初速度v0＝8 m/s，D正确；球的速度v＝，随t逐渐增大，C错误。
答案 BD
6．以v0的速度水平抛出一物体，当其水平位移与竖直分位移相等时，下列说法错误的是( )
A．此时速度的大小是v0
B．运动时间是
C．竖直分速度大小等于水平分速度大小
D．运动的位移是
解析 根据平抛运动的规律可得，x＝v0t，h＝gt2，当其水平分位移与竖直分位移相等时，即x＝h，所以v0t＝gt2，解得t＝
，所以B正确；平抛运动竖直方向上的速度为vy＝gt＝g·＝2v0，所以C错误；此时合速度的大小为＝v0，所以A正确；由于此时的水平分位移与竖直分位移相等，所以x＝h＝v0t＝v0·＝，所以此时运动的合位移的大小为＝x＝，所以D正确。
答案 C
【方法总结】
熟练掌握水平方向与竖直方向上分运动的基本规律，还要注意以下两个规律的理解和应用。
(1)速度的变化规律：任意相等时间间隔Δt内的速度变化量方向竖直向下，大小Δv＝gΔt相等。
(2)位移的变化规律：连续相等的时间间隔Δt内，竖直方向上的位移差不变，即Δy＝g(Δt)2。
活页作业
[学 考 题 组])
1．下列对曲线运动的理解正确的是( )
A．物体做曲线运动时，加速度一定变化
B．做曲线运动的物体不可能受恒力作用
C．曲线运动可以是匀变速曲线运动
D．做曲线运动的物体，速度的方向可以不变
解析 当物体受到恒力作用且力与速度方向不共线时，物体就做加速度恒定的曲线运动，故A、B错误，C正确；做曲线运动的物体速度方向一定变化，故D错误。
答案 C
2.如图所示，工地上常用的塔吊起吊重物时，塔吊的水平横臂保持静止，悬挂重物的小车沿水平横臂匀速运动，同时使吊钩下的重物匀速上升。关于重物的运动，下列判断正确的有( )
A．做曲线运动
B．做匀变速曲线运动
C．速度大小不变，方向改变
D．速度大小和方向都不变
解析 重物在竖直方向和水平方向都做匀速运动，说明它所受合外力为零，一定做匀速直线运动，D正确。
答案 D
3.如图所示，某同学将一枚飞镖从高于靶心的位置水平投向竖直悬挂的靶盘，结果飞镖打在靶心的正下方。忽略飞镖运动过程中所受空气阻力，在其他条件不变的情况下，为使飞镖命中靶心，他在下次投掷时可以( )
A．换用质量稍大些的飞镖
B．适当增大投飞镖的高度
C．到稍远些的地方投飞镖
D．适当减小投飞镖的初速度
解析 飞镖做的是平抛运动，飞镖打在靶心的正下方说明飞镖竖直方向的位移太大，根据平抛运动的规律可得，水平方向上x＝v0t，竖直方向上h＝gt2，所以要想减小飞镖竖直方向的位移，在水平位移不变的情况下，可以适当增大投飞镖的初速度来减小飞镖的运动时间，故D错误；初速度不变时，时间不变，适当增大投飞镖的高度，可以使飞镖命中靶心，飞镖的质量不影响平抛运动的规律，故A错误，B正确；在稍远些地方投飞镖，则运动时间变长，下落的位移变大，不会击中靶心，故C错误。
答案 B
4.电动自行车绕如图所示的400 m标准跑道运动，车上的车速表指针一直指在36 km/h处不动。则下列说法中正确的是( )
A．电动车的速度一直保持不变
B．电动车沿弯道BCD运动过程中，车一直具有加速度
C．电动车绕跑道一周需40 s，此40 s内电动车的平均速度等于10 m/s
D．跑完一圈过程中，由于电动车的速度没有发生改变，故电动车所受合力为零
解析 电动车做曲线运动，速度是变化的，A错；电动车在弯道BCD的运动为曲线运动，合力不等于零，车的加速度不为零，B对，D错；电动车跑完一周的位移为零，其平均速度为零，C错。
答案 B
5．已知河水自西向东流动，流速为v1，小船在静水中的速度为v2，且v2＞v1，用小箭头表示船头的指向及小船在不同时刻的位置，虚线表示小船过河的路径，则下图中可能的是( )
A．①③ B．②③ C．③④ D．①④
解析 小船的实际速度应该是v1和v2的合速度，根据速度合成的平行四边形定则知只有③、④图有可能。
答案 C
6．一个物体从某一确定的高度以初速度v0水平抛出，已知它落地时的速度大小为v，那么它的运动时间是( )
A. B.
C. D.
解析 可依据速度的分解求取竖直方向上的落地速度，从而据竖直方向上的自由落体运动规律求运动时间。因为vy＝gt，又vy＝，故t＝，故选项D正确。
答案 D
7．(2016·绍兴一中9月)横截面为直角三角形的两个相同斜面紧靠在一起，固定在水平面上，如图所示。它们的竖直边长都是底边长的一半。现有三个小球从左边斜面的顶点以不同的初速度向右平抛，最后落在斜面上，其落点分别是a、b、c。下列判断正确的是( )
A．三小球比较，落在a点的小球飞行时间最短
B．三小球比较，落在c点的小球飞行过程速度变化最大
C．三小球比较，落在c点的小球飞行过程速度变化最快
D．无论小球抛出时初速度多大，落到斜面上的瞬时速度都不可能与斜面垂直
解析 三个小球做平抛运动，从图中可知落在a点的小球下落的高度最大，根据t＝可得落在a点的小球运动时间最长，A错误；三个小球都做平抛运动，加速度都等于重力加速度，所以三个小球在飞行过程中速度变化率是一样的，根据公式Δv＝gt可得落在a点的小球的速度变化量最大，故B、C错误；首先落在a点的小球不可能与斜面垂直，b、c点，竖直速度是gt，水平速度是v，然后斜面的夹角是θ，要合速度垂直斜面，把两个速度合成后，需要＝tan θ＝，即v＝0.5gt，那么在经过t时间的时候，竖直位移为0.5gt2，水平位移为vt＝(0.5gt)·t＝0.5gt2即若要满足这个关系，需要水平位移和竖直位移都是一样的，显然在图中b、c是不可能完成的，因为在b、c上水平位移必定大于竖直位移，所以落到两个斜面上的瞬时速度都不可能与斜面垂直，故D正确。
答案 D
8.如图所示，P是水平地面上的一点，A、B、C、D在同一条竖直线上，且AB＝BC＝CD。从A、B、C三点分别水平抛出一个物体，这三个物体都落在水平地面上的P点。则三个物体抛出时的速度大小之比vA∶vB∶vC为( )
A.∶∶ B．1∶∶
C．1∶2∶3 D．1∶1∶1
解析 由平抛运动的规律可知竖直方向上：h＝gt2，水平方向上：x＝v0t，两式联立解得v0＝x，知v0∝。由于hA＝3h，hB＝2h，hC＝h，代入上式可知选项A正确。
答案 A
9．一阶梯如图所示，其中每级台阶的高度和宽度都是0.4 m，一小球以水平速度v飞出，g取10 m/s2，欲打在第四台阶上，则v的取值范围是( )
A. m/s
vb
C．ωa＝ωb D．ωa<ωb
解析 绳子绕O点转动，ωa＝ωb，ramω2r或F合>m，物体做半径变小的近心运动，即“提供过度”，也就是“提供”大于“需要”。
3．若F合r，M点为O轮边缘上的一点，N点为O′轮上的任意一点，当皮带轮转动时，(设转动过程中不打滑)则( )
A．M点的向心加速度一定大于N点的向心加速度
B．M点的向心加速度一定等于N点的向心加速度
C．M点的向心加速度可能小于N点的向心加速度
D．M点的向心加速度可能等于N点的向心加速度
解析 在O′轮的边缘上取一点Q，则Q点和N点在同一个轮子上，其角速度相等，即ωQ＝ωN，又rQ≥rN，由向心加速度公式an＝ω2r可知aQ≥aN；由于皮带转动时不打滑，Q点和M点都在由皮带传动的两个轮子边缘，这两点的线速度大小相等，即vQ＝vM，又rQ>rM，由向心加速度公式an＝可知，aQaN，选项A正确。
答案 A
3．如图所示，质量相等的a、b两物体放在圆盘上，到圆心的距离之比是2∶3，圆盘绕圆心做匀速圆周运动，两物体相对圆盘静止，a、b两物体做圆周运动的向心力之比是( )
A．1∶1 B．3∶2
C．2∶3 D．9∶4
解析 a、b随圆盘转动，角速度相同，由F＝mω2r可知，两物体的向心力与运动半径成正比，C正确。
答案 C
4．某变速箱中有甲、乙、丙三个齿轮，如图所示(齿未画出)，其半径分别为r1、r2、r3，若甲轮的角速度为ω，则丙轮边缘上某点的向心加速度为( )
A. B. C. D.
解析 甲、丙的线速度大小相等，根据a＝知道甲、丙边缘上某点的向心加速度之比为r3∶r1，甲的向心加速度a甲＝r1ω2，则a丙＝，故A正确，B、C、D错误。
答案 A
5．如图所示，一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相等的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则以下说法中正确的是( )
A．A球的角速度等于B球的角速度
B．A球的线速度大于B球的线速度
C．A球的运动周期小于B球的运动周期
D．A球对筒壁的压力大于B球对筒壁的压力
解析 先对小球受力分析，如图所示，由图可知，两球的向心力都来源于重力G和支持力FN的合力，建立如图所示的坐标系，则有：
FNsin θ＝mg①
FNcos θ＝mrω2②
由①得FN＝，小球A和B受到的支持力FN相等，D错误；由于支持力FN相等，结合②知，A球运动的半径大于B球运动的半径，A球的角速度小于B球的角速度，选项A错误；A球的运动周期大于B球的运动周期，选项C错误；又根据FNcos θ＝m可知：A球的线速度大于B球的线速度，选项B正确。
答案 B
6．如图所示，“旋转秋千”中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上。不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是( )
A．A的速度比B的大
B．A与B的向心加速度大小相等
C．悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等
D．悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小
解析 A、B绕竖直轴匀速转动的角速度相等，即ωA＝ωB，但rA时物体受到的弹力必然是向下的；当v<时物体受到的弹力必然是向上的；当v＝时物体受到的弹力恰好为零。
【例1】 一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做半径为R的圆周运动，如图所示，则下列说法正确的是( )
A．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零
B．小球过最高点的最小速度是
C．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大
D．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小
解析 轻杆可对小球产生向上的支持力，小球经过最高点的速度可以为零，当小球过最高点的速度v＝时，杆所受的弹力等于零，A正确，B错误；若v<，则杆在最高点对小球的弹力竖直向上，mg－F＝m，随v增大，F减小，若v>，则杆在最高点对小球的弹力竖直向下，mg＋F＝m，随v增大，F
增大，故C、D均错误。
答案 A
要点二 离心运动
关于离心运动的条件，如图所示。
(1)做圆周运动的物体，当合外力消失时，它就以这一时刻的线速度沿切线方向飞出去；
(2)当合外力突然减小为某一值时，物体将会在切线方向与圆周之间做离心运动。
【例2】 下列关于离心现象的说法正确的是( )
A．当物体所受的离心力大于向心力时发生离心现象
B．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切外力都突然消失后，物体将做背离圆心的圆周运动
C．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切外力都突然消失后，物体将沿切线做直线运动
D．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切外力都突然消失后，物体将做曲线运动
解析 物体只要受到力，必有施力物体，但“离心力”是没有施力物体的，故所谓的离心力是不存在的，只要向心力不足，物体就做离心运动，故A选项错；做匀速圆周运动的物体，当所受的一切力都突然消失后，物体将做匀速直线运动，故B、D选项错，C选项对。
答案 C
[精练题组]
1．一辆载重卡车，在丘陵地上以不变的速率行驶，地形如图所示。由于轮胎已旧，途中爆了胎。你认为在图中A、B、C、D四处中，爆胎的可能性最大的一处是( )
A．A处 B．B处 C．C处 D．D处
解析 在A处，地面对轮胎的作用力大小等于卡车的重力；在B处，卡车做圆周运动，加速度方向竖直向上，根据牛顿运动定律得知，卡车处于超重状态，地面对卡车的作用力大于其重力；在C处，卡车做圆周运动，加速度方向竖直向下，根据牛顿运动定律得知，卡车处于失重状态，地面对卡车的作用力小于其重力；在D处，地面对卡车的作用力等于重力垂直于斜面向下的分力，也小于重力。故可知，在B处，卡车受到地面的作用力最大，最容易爆胎，故选项B正确，A、C、D错误。
答案 B
2．游客乘坐过山车，在圆弧轨道最低点处获得的向心加速度达到20 m/s2，g取10 m/s2。那么此位置座椅对游客的作用力相当于游客重力的( )
A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍
解析 游客乘过山车在圆弧轨道最低点的受力如图所示。由牛顿第二定律得
FN－mg＝man，则FN＝mg＋2mg＝3mg，
即＝3。
答案 C
3．冰面对滑冰运动员的最大摩擦力为其重力的k倍，在水平冰面上沿半径为R的圆周滑行的运动员，若仅依靠摩擦力来提供向心力而不冲出圆形滑道，其运动的速度应满足( )
A．v≥ B．v≤
C．v≤ D．v≤
解析 由题意可知，最大静摩擦力为重力的k倍，所以最大静摩擦力等于kmg，设运动员的最大的速度为v，则kmg≥m，解得v≤，所以选项B正确。
答案 B
4．如图所示，小球紧贴在竖直放置的光滑圆形管道内壁做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，则下列说法正确的是( )
A．小球通过最高点时的最小速度vmin＝
B．小球通过最高点时的最小速度vmin＝
C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力
D．小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
解析 小球沿管道上升到最高点的速度可以为零，故A、B均错误；小球在水平线ab以下的管道中运动时，由外侧管壁对小球的作用力FN与小球重力在背离圆心方向的分力Fmg的合力提供向心力，即FN－Fmg＝ma，因此，外侧管壁一定对小球有作用力，而内侧管壁无作用力，C正确；小球在水平线ab以上的管道中运动时，小球受管壁的作用力情况与小球速度大小有关，D错误。
答案 C
【方法总结】
求解圆周运动问题必须进行的三个分析
几何分析
目的是确定圆周运动的圆心、半径等
运动分析
目的是确定圆周运动的线速度、角速度、向心加速度等
受力分析
目的是通过力的合成与分解，表示出物体做圆周运动时，外界所提供的向心力
活页作业
[学 考 题 组])
1．质点做匀速圆周运动时，下列说法正确的是( )
A．速度的大小和方向都改变
B．匀速圆周运动是匀变速曲线运动
C．当物体所受合力为零时，物体做匀速圆周运动
D．向心加速度大小不变，方向时刻改变
解析
匀速圆周运动的速度的大小不变，方向时刻变化，A错误；它的加速度大小不变，但方向时刻改变，不是匀变速曲线运动，B错误，D正确；由匀速圆周运动的条件可知，C错误。
答案 D
2．在水平面上转弯的摩托车，如图所示，提供向心力是( )
A．重力和支持力的合力
B．静摩擦力
C．滑动摩擦力
D．重力、支持力、牵引力的合力
解析 本题考查的是受力分析的问题。由图可知，在水平面上转弯的摩托车所需要的向心力是其与地面的静摩擦力提供的。
答案 B
3．(2016·瑞安中学期中)质量为m的飞机，以速率v在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，如图所示，则空气对飞机的升力大小为( )
A. B．m
C．mg D．m
解析 飞机受到竖直向下的重力，空气给的升力，两力之和充当向心力，如图所示，故有F＝＝m，B正确。
答案 B
4.如图所示，质量为m的木块从半径为R的半球形碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使木块的速率不变，那么( )
A．加速度为零
B．加速度恒定
C．加速度大小不变，方向时刻改变，但不一定指向圆心
D．加速度大小不变，方向时刻指向圆心
解析 木块做的是匀速圆周运动，加速度大小不变，但方向时刻指向圆心，加速度时刻改变，故选项A、B、C错误，D正确。
答案 D
5．雨天野外骑车时，在自行车的后轮轮胎上常会粘附一些泥巴，行驶时感觉很“沉重”。如果将自行车后轮撑起，使后轮离开地面而悬空，然后用手匀速摇脚踏板，使后轮飞速转动，泥巴就被甩下来。如图所示，图a、b、c、d为后轮轮胎边缘上的四个特殊位置，则( )
A．泥巴在图中a、c位置的向心加速度大于b、d位置的向心加速度
B．泥巴在图中的b、d位置时最容易被甩下来
C．泥巴在图中的c位置时最容易被甩下来
D．泥巴在图中的a位置时最容易被甩下来
解析 当后轮匀速转动时，由a＝Rω2知a、b、c、d四个位置的向心加速度大小相等，A错误；在角速度ω相同的情况下，泥巴在a点有Fa＋mg＝mω2R，在b、d两点有Fb＝Fd＝mω2R，在c点有Fc－mg＝mω2R。所以泥巴与轮胎在c位置的相互作用力最大，最容易被甩下来，故B、D错误，C正确。
答案 C
6.如图所示，长0.5 m的轻质细杆，一端固定有一个质量为3 kg的小球，另一端由电动机带动，使杆绕O在竖直平面内做匀速圆周运动，小球的速率为2 m/s。取g＝10 m/s2，下列说法正确的是( )
A．小球通过最高点时，对杆的拉力大小是6 N
B．小球通过最高点时，对杆的压力大小是24 N
C．小球通过最低点时，对杆的拉力大小是24 N
D．小球通过最低点时，对杆的拉力大小是54 N
解析 设在最高点杆表现为拉力，则有F＋mg＝m，代入数据得，F＝－6 N，则杆表现为推力，大小为6 N，所以小球对杆表现为压力，大小为6 N，故选项A、B均错误；在最低点，杆表现为拉力，有F－mg＝m，代入数据得，F＝54 N，故选项C错误，选项D正确。
答案 D
7.一辆质量m＝2 t的轿车，驶过半径R＝90 m的一段凸形桥面，g取10 m/s2，求：
(1)轿车以10 m/s的速度通过桥面最高点时，对桥面的压力是多大？
(2)在最高点对桥面的压力等于轿车重力的一半时，车的速度大小是多少？
解析 (1)轿车通过凸形桥面最高点时，受力分析如图所示：
合力F＝mg－FN，由向心力公式得mg－FN＝m
故桥面的支持力大小FN＝mg－m＝(2 000×10－2 000×) N＝1.78×104 N
根据牛顿第三定律，轿车在桥的顶点时对桥面压力的大小为1.78×104 N。
(2)对桥面的压力等于轿车重力的一半时，向心力F′＝mg－FN＝0.5mg，而F′＝m，所以此时轿车的速度大小v′＝＝ m/s＝15 m/s
答案 (1)1.78×104 N (2)15 m/s
8．有一列重为100 t的火车，以72 km/h的速率匀速通过一个内外轨一样高的弯道，轨道半径为400 m。
(1)试计算铁轨受到的侧压力；
(2)若要使火车以此速率通过弯道，且使铁轨受到的侧压力为零，我们可以适当倾斜路基，试计算路基倾斜角度θ的正切值。
解析 (1)72 km/h＝20 m/s，外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的向心力，所以有FN＝m＝ N＝105 N，由牛顿第三定律可知铁轨受到的侧压力大小等于105 N。
(2)火车过弯道，重力和铁轨对火车的弹力的合力正好提供向心力，如图所示，则mgtan θ＝m，由此可得tan θ＝＝0.1。
答案 (1)105 N (2)0.1
[加 试 题 组])
9．(多选)如图所示，一小物块以大小为a＝4 m/s2的向心加速度做匀速圆周运动，半径R＝1 m，则下列说法正确的是( )
A．小物块运动的角速度为2 rad/s
B．小物块做圆周运动的周期为π s
C．小物块在t＝ s内通过的位移大小为 m
D．小物块在π s内通过的路程为零
解析 因为a＝ω2R，所以小物块运动的角速度ω＝＝2 rad/s，周期T＝＝π s，选项A、B正确；小物块在 s内转过，通过的位移为 m，在π s内转过一周，通过的路程为2π m，选项C、D错误。
答案 AB
10．如图所示，内壁光滑的竖直圆桶，绕中心轴做匀速圆周运动，一物块用细绳系着，绳的另一端系于圆桶上表面圆心，且物块贴着圆桶内表面随圆桶一起转动，则( )
A．绳的张力可能为零
B．桶对物块的弹力不可能为零
C．随着转动的角速度增大，绳的张力保持不变
D．随着转动的角速度增大，绳的张力一定增大
解析 当物块随圆桶做圆周运动时，绳的拉力的竖直分力与物块的重力保持平衡，因此绳的张力为一定值，且不可能为零，A、D项错误，C项正确；当绳的水平分力提供向心力的时候，桶对物块的弹力恰好为零，B项错误。
答案 C
11．(多选)(2016·瑞安中学期中)如图所示，A、B、C三个物体放在旋转圆台上，最大静摩擦力均为各自重的K倍，A的质量为2m，B、C的质量各为m，A、B离轴R，C离轴2R，则当圆台旋转时(A、B、C均未打滑)( )
A．C的向心加速度最大
B．B的静摩擦力最小
C．当圆台转速增加时，B比C先滑动
D．当圆台转速增加时，A比C先滑动
解析 三者是同轴转动，所以角速度相等，静摩擦力充当向心力，根据公式F＝mω2r可得FA＝2mω2R，FB＝mω2R，FC＝2mω2R，故B的静摩擦力最小，C的半径最大，根据公式a＝ω2r，可得C的向心加速度最大，A、B正确；三个物体的最大静摩擦力分别为：fA＝2μmg，fB＝μmg，fC＝μmg，当圆盘转速增大时，C的静摩擦力先达到最大，最先开始滑动，A和B的静摩擦力同时达到最大，两者同时开始滑动，C、D错误。
答案 AB
12．如图所示，细绳一端系着质量M＝8 kg的物体，静止在水平桌面上，另一端通过光滑小孔吊着质量m＝2 kg的物体，M与圆孔的距离r＝0.5 m，已知M与桌面间的动摩擦因数为0.2(设物体受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，现使物体M随转台绕中心轴转动，问转台角速度ω在什么范围内m会处于静止状态。(g＝10 m/s2)
解析 设角速度的最小值为ω1，此时M有向着圆心运动的趋势，其受到的最大静摩擦力沿半径向外，由牛顿第二定律得：FT－μMg＝Mωr，设角速度的最大值为ω2，此时M有背离圆心运动的趋势，其受到的最大静摩擦力沿半径指向圆心，由牛顿第二定律得：FT＋μMg＝Mωr，要使m静止，应有FT＝mg，
联立得ω1＝1 rad/s，ω2＝3 rad/s，则1 rad/s≤ω≤3 rad/s
答案 1 rad/s≤ω≤3 rad/s
第3课时 万有引力与航天
考点一 万有引力定律及其应用(c/－)
[基础过关]
一、行星的运动及太阳与行星的引力
1．地心说和日心说
(1)地心说：太阳、月亮以及其他行星都绕地球运动。
(2)日心说：地球是绕太阳旋转的普通星体，月球是绕地球旋转的卫星。
2．开普勒行星运动定律
(1)所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。这就是开普勒第一定律，又称椭圆轨道定律。
(2)对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积。这就是开普勒第二定律，又称面积定律。
(3)所有行星轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值相等。这就是开普勒第三定律，又称周期定律。
二、万有引力定律
1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的平方成反比。
2．表达式：F＝G，其中引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。
3．适用条件
(1)公式适用于质点间的相互作用。当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。
(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。
4．万有引力定律的两个易混点
(1)任何两个物体之间都存在万有引力，不是只有天体之间才存在。
(2)万有引力定律适用于质点间和相互作用，当物体间距离趋近于零时，并非万有引力趋向于无穷大。
【过关演练】
1．在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道。已知太阳质量约为月球质量的2.7×107倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍。关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是( )
A．太阳引力远小于月球引力
B．太阳引力与月球引力相差不大
C．月球对不同区域海水的吸引力大小相等
D．月球对不同区域海水的吸引力大小有差异
解析 根据F＝G可得，＝，代入数据可知，太阳的引力远大于月球的引力，A、B错误；由于月心到不同区域海水的距离不同，所以引力大小有差异，D正确，C错误。
答案 D
2．(2016·浙江温州高一检测)引力常量为G，地球质量为M，地球可看做球体，半径为R，忽略地球的自转，则地球表面的重力加速度为( )
A．g＝ B．g＝GR
C．g＝ D．缺少条件，无法计算
解析 忽略地球自转时，物体所受的重力等于地球对物体的万有引力，则有mg＝，所以g＝。
答案 C
[要点突破]
要点一 万有引力定律应用
1．利用万有引力定律解决卫星运动的一般思路
(1)一个模型
天体(包括卫星)的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型。
(2)两组公式
G＝m＝mω2r＝mr＝ma
mg＝(g为星体表面处的重力加速度)
2．应用万有引力定律求天体的质量、密度
通过围绕天体做匀速圆周运动的卫星的周期T、半径r，由万有引力等于向心力，即G＝m·r，得
天体质量M＝。
(1)若知道天体的半径R，则天体的密度
ρ＝＝＝。
(2)若天体的卫星环绕天体表面运动，其轨道半径r等于天体半径R，其周期为T，则天体密度ρ＝。
【例1】 一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v。假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N。已知引力常量为G，则这颗行星的质量为( )
A. B.
C. D.
解析 设卫星的质量为m′
由万有引力提供向心力，得G＝m′①
m′＝m′g②
由已知条件：m的重力为N得
N＝mg③
由③得g＝，代入②得：R＝
代入①得M＝，故B项正确。
答案 B
要点二 星体表面及其某一高度处的重力加速度的求法
1．地球表面的重力加速度。由于自转而导致重力的变化是很微小的，因而在一般情况下，常忽略地球自转的影响，此时物体所受的重力大小就等于万有引力的大小，因此，若地球表面的重力加速度为g0，则根据万有引力定律可得g0＝(R0为地球的半径)。该式也适用于其他星体表面。
2．离地面高h处的重力加速度，根据万有引力定律，有
g＝(R0为地球的半径)。
【例2】 宇航员王亚平在“天宫”一号飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象。若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为( )
A．0 B.
C. D.
解析 飞船受到的万有引力等于在该处所受的重力，即G＝mg，得g＝
eq f(GM,（R＋h）2)，B选项正确。
答案 B
[精练题组]
1．根据开普勒定律，下列说法不正确的结论有( )
A．人造地球卫星的轨道都是椭圆，地球在椭圆的一个焦点上
B．卫星离地球越远，速率越小
C．卫星离地球越远，周期越大
D．同一卫星绕不同的行星运行，的值都相同
解析 由开普勒第三定律知A、B、C均正确，注意开普勒第三定律成立的条件是对同一行星的不同卫星，有＝常量。
答案 D
2．关于万有引力公式F＝G，以下说法中正确的是( )
A．公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体
B．当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大
C．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律
D．公式中引力常量G的值是牛顿规定的
解析 万有引力公式F＝G，虽然是牛顿由天体的运动规律得出的，但牛顿又将它推广到了宇宙中的任何物体，适用于计算任何两个质点间的引力，故选项A错误；当两个物体的距离趋近于0时，两个物体就不能视为质点了，万有引力公式不再适用，选项B错误；两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律，选项C正确；公式中引力常量G的值，是卡文迪许在实验室里实验测定的，而不是人为规定的，故选项D错误。
答案 C
3．卡文迪许测量引力常量的扭秤实验涉及的物理思想方法是( )
A．猜想假设法 B．微量放大法
C．极限分析法 D．建模法
解析 卡文迪许测量引力常量的扭
秤实验采用了微量放大的思想方法，正确选项为B。
答案 B
4．(2016·温州十校期中)一名宇航员来到一个星球上，如果该星球的质量是地球质量的两倍，它的直径是地球直径的一半，那么这名宇航员在该星球上所受的万有引力大小是他在地球上所受万有引力的( )
A．0.5倍 B．2.0倍
C．4倍 D．8.0倍
解析 由题可知该星球的M＝2M0，R＝R0，R0为地球半径，M0为地球的质量，设宇航员质量m，则宇航员在星球上的万有引力为F＝，在地球上的万有引力为F0＝，可求得F＝8F0，故本题正确选项为D。
答案 D
5．有一星球的密度跟地球密度相同，但它表面处的重力加速度是地球表面处重力加速度的4倍，则该星球的质量将是地球质量的(忽略其自转影响)( )
A. B．4倍
C．16倍 D．64倍
解析 天体表面的重力加速度g＝，又知ρ＝，所以M＝，故＝＝64。
答案 D
【方法总结】
1．利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量。
2．区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星才有r≈R；计算天体密度时，V＝πR3中的R只能是中心天体的半径。
考点二 宇宙航行(c/－)
[基础过关]
一、宇宙航行
1．环绕速度
(1)第一宇宙速度又叫环绕速度。
(2)第一宇宙速度是人造地球卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度。
(3)第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度。
(4)第一宇宙速度的计算方法。
①由G＝m得v＝。
②由mg＝m得v＝。
2．第二宇宙速度和第三宇宙速度
(1)第二宇宙速度(脱离速度)：v2＝11.2 km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度。
(2)第三宇宙速度(逃逸速度)：v3＝16.7 km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。
二、经典力学局限性
1．在经典力学中，物体的质量是不变的，而狭义相对论指出，质量要随着物体运动速度的增大而增大，即m＝，两者在低速的条件下是统一的。
2．经典力学认为位移和时间的测量与参考系无关，相对论认为，同一过程的位移和时间的测量与参考系有关。
3．经典力学的适用范围：只适用于低速运动，不适用于高速运动；只适用于宏观世界，不适用于微观世界。
4．当物体的运动速度远小于光速c(3×108 m/s)时，相对论物理学与经典物理学的结论没有区别。
【过关演练】
1．(2016·10月浙江学考)如图所示，“天宫二号”在距离地面393 km的近圆轨道运行。已知万有引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，地球质量M＝6.0×1024 kg，地球半径R＝6.4×103 km。由以上数据可估算( )
A．“天宫二号”质量
B．“天宫二号”运行速度
C．“天宫二号”受到的向心力
D．地球对“天空二号”的引力
解析 根据万有引力提供向心力得，＝m，可得v＝，所以选项B正确；天宫二号的质量会两边消去，无法求出天宫二号的质量，选项A错误；天宫二号受到的向心力和地球对天宫二号的引力都因不知其质量而无法求出，选项C、D错误。
答案 B
2．(2015·浙江9月学考测试)某行星有甲、乙两颗卫星，它们的轨道均为圆形，甲的轨道半径为R1，乙的轨道半径为R2，R2>R1。根据以上信息可知( )
A．甲的质量大于乙的质量
B．甲的周期大于乙的周期
C．甲的速率大于乙的速率
D．甲所受行星的引力大于乙所受行星的引力
解析 根据卫星模型，离地面越近，向心加速度、线速度、角速度越大，周期越小，B错，C对；卫星质量不能比较，A错；因为两卫星质量不知道，万有引力也不能比较，D错。
答案 C
[要点突破]
要点一 卫星的线速度、角速度、向心加速度、周期与轨道半径的关系
做匀速圆周运动的卫星所受万有引力完全提供所需向心力，即由G＝m＝mrω2＝mr＝man可推导出：
⇒当r增大时
【例1】 a、b、c、d是在地球大气层外的圆形轨道上运行的四颗人造卫星。其中a、c的轨道相交于P，b、d在同一个圆轨道上，b、c轨道在同一平面上。某时刻四颗卫星的运行方向及位置如图所示。下列说法中正确的是( )
A．a、c的加速度大小相等，且大于b的加速度
B．b、c的角速度大小相等，且小于a的角速度
C．a、c的线速度大小相等，且小于d的线速度
D．a、c存在在P点相撞的危险
解析 由G＝m＝mrω2＝mr＝ma，可知B、C、D错误，A正确。
答案 A
要点二 认识卫星的特点
1．卫星的特点
(1)线速度7.9 km/s是所有地球卫星的最大环绕速度，而周期84 min是所有地球卫星的最小周期。
(2)第一宇宙速度与地球的质量有关。
(3)所有地球卫星，稳定运行时，其轨道平面一定过地球的球心。
2．近地卫星特点
近地卫星具有所有卫星当中线速度最大，角速度最大，向心加速度最大，周期最小的特点。
3．地球同步卫星特点
(1)所谓地球同步卫星，指相对于地面静止，与地球做同步匀速转动的卫星。
(2)地球同步卫星的周期与地球自转的周期T相同，T＝24 h。
(3)地球同步卫星位于地球赤道的正上方，距地球表面的距离h和线速度都是定值。
(由＝得r≈4.24×104 km，则h ≈3.6×104 km；由v＝，得v≈3.08 km/s)。
(4)地球同步卫星的轨道平面与地球的赤道平面重合，绕行方向与地球自转方向相同。
【例2】 (2016·浙江名校协作体模拟)我国首颗量子科学实验卫星“墨子”已于酒泉成功发射，将在世界上首次实现卫星和地面之间的量子通信。“墨子”由火箭发射至高度为500千米的预定圆形轨道。此前6月在西昌卫星发射中心成功发射了第二十三颗北斗导航卫星G7。G7属地球静止轨道卫星(高度约为36 000千米)，它将使北斗系统的可靠性进一步提高。关于卫星以下说法中正确的是( )
A．这两颗卫星的运行速度可能大于7.9 km/s
B．通过地面控制可以将北斗G7定点于西昌正上方
C．量子科学实验卫星“墨子”的周期比北斗G7小
D．量子科学实验卫星“墨子”的向心加速度比北斗G7小
解析 7.9 km/s是地球卫星的最大环绕速度，所以A错；地球静止轨道卫星为地球同步卫星，只能定点在赤道上空，西昌在北半球，所以B错；由G＝ma＝m，和r墨子＜r同步知：C正确，D错误。
答案 C
[精练题组]
1．关于地球的第一宇宙速度，下列表述正确的是( )
A．第一宇宙速度又叫环绕速度
B．第一宇宙速度又叫脱离速度
C．第一宇宙速度跟地球的质量无关
D．第一宇宙速度跟地球的半径无关
解析 第一宇宙速度又叫环绕速度，故A正确，B错误；根据定义有G＝m，得v＝，其中，M为地球质量，R为地球半径，故C、D错误。
答案 A
2．2013年6月11日17时38分，“神舟十号”
飞船在酒泉卫星发射中心发射升空，航天员王亚平进行了首次太空授课。在飞船进入圆形轨道环绕地球飞行时，它的线速度大小( )
A．等于7.9 km/s
B．介于7.9 km/s和11.2 km/s之间
C．小于7.9 km/s
D．介于7.9 km/s和16.7 km/s之间
解析 卫星在圆形轨道上运动的速度v＝，由于r>R，所以v<＝7.9 km/s，C正确。
答案 C
3．“嫦娥三号”携带“玉兔号”月球车首次实现月球软着陆和月面巡视勘察，并开展月表形貌与地质构造调查等科学探测。“玉兔号”在地球表面的重力为G1，在月球表面的重力为G2；地球与月球均视为球体，其半径分别为R1、R2；地球表面重力加速度为g。则( )
A．月球表面的重力加速度为
B．月球与地球的质量之比为
C．月球卫星与地球卫星分别绕月球表面与地球表面运行的速率之比为
D．“嫦娥三号”环绕月球表面做匀速圆周运动的周期为2π
解析 由G1＝mg，G2＝mg月解得：g月＝g，A错误；由＝G1，＝G2，可解得：＝，又＝m，＝m，可解得月球卫星绕月球表面与地球卫星绕地球表面的速率之比＝＝，B正确，C错误；由＝mR2可得：T月＝＝2π，D错误。
答案 B
4．(2015·浙江10月选考)2015年9月20日，我国成功发射搭载20颗小卫星的“长征”六号火箭。在多星分离时，小卫星分别在高度不同
的三层轨道被依次释放。假设释放后的小卫星均做匀速圆周运动，则下列说法中，正确的是( )
A．20颗小卫星的轨道半径均相同
B．20颗小卫星的线速度大小均相同
C．同一圆轨道上的小卫星的周期均相同
D．不同圆轨道上的小卫星的角速度均相同
解析 小卫星在高度不同的三层轨道上依次被释放，则运动半径不相同，A选项错误；由于小卫星运动的向心力由万有引力提供，则：G＝＝mRω2＝mR()2，因此在同一圆轨道上小卫星的周期均相同，在不同轨道上小卫星的线速度、角速度不相同，C选项正确，B、D选项错误。
答案 C
5．(2016·温州十校期中)2010年1月17日，我国成功发射北斗COMPASS－G1地球同步卫星(绕地球运行的角速度与地球自转角速度相同)。据了解这已是北斗卫星导航系统发射的第三颗地球同步卫星。则对于这三颗已发射的同步卫星，下列说法中正确的是( )
A．它们运行的周期可能不同
B．它们的向心力大小可能不同
C．它们离地心的距离可能不同
D．它们的运行速度大小可能不同，但都小于7.9 km/s
解析 地球同步卫星，即处在地球上空某一位置处相对地球静止，所以其周期与地球自转周期相同为定值，且该位置只能位于赤道上空，由于周期一定，由万有引力可知卫星的轨道半径一定，即所处高度也是不变的，且运行速度均相同，但是所受的万有引力却与卫星的质量有关。故本题的正确选项为B。
答案 B
【方法总结】
求解人造卫星运动问题的技巧
(1)人造卫星的an、v、ω、T由地球的质量M和卫星的轨道半径r决定，当r确定后，卫星的an、v、ω、T便确定了，与卫星的质量、形状等因素无关，当人造卫星的轨道半径r发生变化时，其an、v、ω、T都会随之改变。
(2)在处理人造卫星的an、v、ω、T与半径r的关系问题时，常用公式“gR2＝GM”来替换出地球的质量M，会使问题解决起来更方便。
活页作业
1．下列说法中正确的是( )
A．牛顿运动定律就是经典力学
B．经典力学的基础是牛顿运动定律
C．牛顿运动定律可以解决自然界中的所有问题
D．经典力学可以解决自然界中的所有问题
解析 经典力学并不等于牛顿运动定律，牛顿运动定律只是经典力学的基础；经典力学并非万能，也有其适用范围，并不能解决自然界中所有的问题，没有哪个理论可以解决自然界中的所有问题，因此只有搞清牛顿运动定律和经典力学的隶属关系，明确经典力学的适用范围才能正确解决此类问题。
答案 B
2．(2016·9月绍兴适应性考试)我国卫星移动通信系统首发星，被誉为中国版海事卫星的天通一号01星，在2016年8月6日在西昌卫星发射中心顺利升空并进入距离地球约三万六千公里的地球同步轨道。这标志着我国迈入了卫星移动通信的“手机时代”。根据这一信息以及必要的常识，尚不能确定该卫星的( )
A．质量 B．轨道半径
C．运行速率 D．运行周期
解析 由距离地球约三万六千公里的地球同步轨道，可以确定轨道半径R和周期T，由v＝可确定运动速率v，而不能确定的是该卫星的质量。
答案 A
3．如图所示的圆a、b、c
，其圆心均在地球的自转轴上，下列对环绕地球做匀速圆周运动的说法不正确的是( )
A．卫星的轨道可能为a
B．卫星的轨道可能为b
C．卫星的轨道可能为c
D．同步卫星的轨道只可能为b
解析 地球卫星做圆周运动的向心力都是由万有引力提供，所以卫星的轨道圆心就是地球的球心，故a不可能成为卫星的轨道；同步卫星的轨道只能在赤道平面内。
答案 A
4．(2016·温州十校期中)已知某天体的第一宇宙速度为8 km/s，设该星球半径为R，则在距离该星球表面高度为3R的轨道上做匀速圆周运动的宇宙飞船的运行速度为( )
A．2 km/s B．4 km/s C．4 km/s D．8 km/s
解析 由第一宇宙速度的定义可知＝①
v0为第一宇宙速度，当宇宙飞船处于3R高度处时，万有引力提供向心力有＝②
由①②可求得v＝4 km/s。故本题的正确选项为B。
答案 B
5．(2016·杭二中期中)我国发射的卫星成功进入了“拉格朗日点”的轨道，我国成为世界上第三个造访该点的国家，如图所示。该“拉格朗日点”位于太阳与地球连线的延长线上，一飞行器位于该点，在几乎不消耗燃料的情况下与地球同步绕太阳做圆周运动，则该飞行器的( )
A．向心力仅由太阳的引力提供
B．周期小于地球公转的周期
C．绕速度大于地球公转的线速度
D．向心加速度小于地球公转的向心加速度
解析 探测器的向心力由太阳和地球引力的合力提供，故A错误；飞行器与地球同步绕太阳运动，角速度相等，周期相同，故B错误；角速度相等，根据v＝rω，知探测器的线速度大于地球的线速度，故C正确；根据a＝rω2知，探测器的向心加速度大于地球的向心加速度，故D错误；故选C。
答案 C
6．设太阳质量为M，某行星绕太阳公转周期为T，轨道可视作半径为r的圆。已知万有引力常量为G，则描述该行星运动的上述物理量满足( )
A．GM＝ B．GM＝
C．GM＝ D．GM＝
解析 本题根据行星所受的万有引力提供其做圆周运动的向心力列方程求解。
对行星有：＝mr，故GM＝，选项A正确。
答案 A
7．(2016·台州中学期中)如图所示，A、B、C是地球大气层外圆形轨道上运行的三颗人造地球卫星，A、B质量相同，且大于C的质量，则( )
A．B、C的周期相等，且小于A的周期
B．B、C向心加速度相等，且小于A的向心加速度
C．B、C的线速度大小相等，且大于A的线速度
D．B、C所需的向心力相等
解析 根据万有引力提供向心力得，G＝ma＝m＝mr，解得a＝，v＝，T＝；所以根据T＝可知，轨道半径越大，周期越大。所以B、C的周期相同，大于A的周期，故A错误；根据a＝可知，轨道半径越大，加速度越小，所以B、C的向心加速度相等，小于A的向心加速度，故B正确；根据v＝可知，轨道半径越大，线速度越小，所以B、C的线速度相等，小于A的线速度，故C错误；根据F＝G，因为A、B质量相同，且大于C的质量，而B、C半径相同大于A的半径，所以FA>FB，FB>FC，故D错误，故选B。
答案 B
8．(2016·8月温州选考模拟)登上火星是人类的梦想，“嫦娥之父”欧阳自远院士透露：中国计划于2020年登陆火星。地球和火星公转可视为匀速圆周运动，忽略行星自转影响。根据下表信息可知( )
行星
半径/m
质量/kg
公转轨道半径/m
地球
6.4×106
6.0×1024
1.5×1011
火星
3.4×106
6.4×1023
2.3×1011
A.火星的公转周期较小
B．火星公转时的向心加速度较小
C．火星公转时的线速度较大
D．火星公转时的角速度较大
解析 由表中信息知r火＞r地，根据牛顿第二定律G＝m＝ma＝m＝mrω2得：T＝，a＝，v＝，ω＝，轨道半径大，周期大，向心加速度小，线速度小，角速度小，故B正确，A、C、D不正确。
答案 B
9．火星的质量和半径分别约为地球的和，地球表面的重力加速度为g
，则火星表面的重力加速度约为( )
A．0.2g B．0.4g C．2.5g D．5g
解析 星球表面重力等于万有引力，G＝mg，故火星表面的重力加速度＝＝0.4，故选项B正确。
答案 B
10．若有一颗“宜居”行星，其质量为地球的p倍，半径为地球的q倍，则该行星卫星的环绕速度是地球卫星环绕速度的( )
A.倍 B.倍
C.倍 D.倍
解析 对于中心天体的卫星，G＝m，v＝，设该行星卫星的环绕速度为v′，地球卫星的环绕速度为v，则＝＝，C正确。
答案 C
11．如图，若两颗人造卫星a和b均绕地球做匀速圆周运动，a、b到地心O的距离分别为r1、r2，线速度大小分别为v1、v2，则( )
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
解析 由题意知，两颗人造卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据G＝m，得v＝，所以＝，故A正确，B、C、D错误。
答案 A
12．如图所示，a、b、c三颗卫星在各自的轨道上运行，轨道半径ramb>mc
D．三个卫星的运行周期为Ta
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