2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题24函数与方程思想、数形结合思想教学案文（含解析）
函数与方程思想、数形结合思想
【2019年高考考纲解读】
数学教学的最终目标，是要让学生会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界.数学素养就是指学生学习数学应当达成的有特定意义的综合性能力，数学核心素养高于具体的数学知识技能，具有综合性、整体性和持久性，反映数学本质与数学思想，数学核心素养是数学思想方法在具体学习领域的表现.二轮复习中如果能自觉渗透数学思想，加强个人数学素养的培养，就会在复习中高屋建瓴，对整体复习起到引领和导向作用.
【高考题型示例】
题型一、函数与方程思想在不等式中的应用
函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题，常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题.一般利用函数思想构造新函数，建立函数关系求解.
例1.若0
ln x2－ln x1
B.g(x2)，
∴，故选C.
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例2.已知定义在R上的函数g(x)的导函数为g′(x)，满足g′(x)－g(x)<0，若函数g(x)的图象关于直线x＝2对称，且g(4)＝1，则不等式>1的解集为________.
答案 (－∞，0)
例3.已知f(t)＝log2t，t∈[，8]，对于f(t)值域内的所有实数m，不等式x2＋mx＋4>2m＋4x恒成立，则x的取值范围是__________________.
答案 (－∞，－1)∪(2，＋∞)
解析 ∵t∈[，8]，∴f(t)∈.
问题转化为m(x－2)＋(x－2)2>0恒成立，
当x＝2时，不等式不成立，∴x≠2.
令g(m)＝m(x－2)＋(x－2)2，m∈.
问题转化为g(m)在上恒大于0，
则即
解得x>2或x<－1.
例4.若x∈[－2，1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是______.
答案 [－6，－2]
解析 当－2≤x<0时，不等式转化为a≤.
令f(x)＝(－2≤x<0)，
则f′(x)＝＝，
故f(x)在[－2，－1]上单调递减，在(－1，0)上单调递增，
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此时有a≤f(x)min＝f(－1)＝＝－2.
当x＝0时，不等式恒成立.
当00，
设Sn＝f(n)，则f(n)为二次函数，
又由f(7)＝f(17)知，f(n)的图象开口向上，关于直线n＝12对称，
故Sn取最小值时n的值为12.
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例8.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝－2，S6＝3，则nSn的最小值为________.
答案 －9
解析 由解得a1＝－2，d＝1，
所以Sn＝ ，故nSn＝.
令f(x)＝，则f′(x)＝x2－5x，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝，
∴ f(x)在上单调递减，在上单调递增.
又∵n是正整数，故当n＝3时，nSn取得最小值－9.
题型三、函数与方程思想在解析几何中的应用
解析几何中求斜率、截距、半径、点的坐标、离心率等几何量经常要用到方程(组)的思想；直线与圆锥曲线的位置关系问题，可以通过转化为一元二次方程，利用判别式进行解决；求变量的取值范围和最值问题常转化为求函数的值域、最值，用函数的思想分析解答.
例9.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
答案 B
解析 不妨设抛物线C：y2＝2px(p>0)，圆的方程设为x2＋y2＝r2(r>0)，如图，
又可设A(x0，2)，D，
点A(x0，2)在抛物线y2＝2px上，∴8＝2px0，①
点A(x0，2)在圆x2＋y2＝r2上，∴x＋8＝r2，②
点D在圆x2＋y2＝r2上，∴5＋2＝r2，③
联立①②③，解得p＝4(负值舍去)，即C的焦点到准线的距离为p＝4，故选B.
例10.如图，已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C
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的一条渐近线交于P，Q两点，若∠PAQ＝60°，且＝3，则双曲线C的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 因为∠PAQ＝60°，|AP|＝|AQ|，
所以|AP|＝|AQ|＝|PQ|，设|AQ|＝2R，
又＝3，则|OP|＝|PQ|＝R.
双曲线C的渐近线方程是y＝x，A(a，0)，
所以点A到直线y＝x的距离d＝＝，
所以2＝(2R)2－R2＝3R2，
即a2b2＝3R2(a2＋b2)，
在△OQA中，由余弦定理得，
例10.设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P.若以A1A2为直径的圆与直线PF2相切，则双曲线C的离心率为( )
A. B. C.2 D.
答案 D
解析 如图所示，设以A1A2为直径的圆与直线PF2的切点为Q，连接OQ，
则OQ⊥PF2.
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又PF1⊥PF2，O为F1F2的中点，
所以|PF1|＝2|OQ|＝2a.
又|PF2|－|PF1|＝2a，
所以|PF2|＝4a.
在Rt△F1PF2中，由|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，得4a2＋16a2＝20a2＝4c2，即e＝＝.
例11.已知抛物线的方程为x2＝8y，F是其焦点，点A(－2，4)，在此抛物线上求一点P，使△APF的周长最小，此时点P的坐标为________.
答案
解析 因为(－2)2<8×4，所以点A(－2，4)在抛物线x2＝8y的内部，
如图，设抛物线的准线为l，
过点P作PQ⊥l于点Q，过点A作AB⊥l于点B，连接AQ，
由抛物线的定义可知，△APF的周长为
|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PQ|＋|PA|＋|AF|≥|AQ|＋|AF|≥|AB|＋|AF|，
当且仅当P，B，A三点共线时，△APF的周长取得最小值，即|AB|＋|AF|.
因为A(－2，4)，所以不妨设△APF的周长最小时，点P的坐标为(－2，y0)，
代入x2＝8y，得y0＝.
故使△APF的周长最小的点P的坐标为.
例12.已知P是直线l：3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，则四边形PACB面积的最小值为________.
答案 2
解析 连接PC，由题意知圆的圆心C(1，1)，半径为1，从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x＋4y＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，Rt△PAC的面积S△PAC＝|PA||AC|＝|PA|越来越大，从而S四边形PACB也越来越大；
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当点P从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形PACB变小，显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直于直线l时，S四边形PACB有唯一的最小值，此时|PC|＝＝3，从而|PA|＝＝2，所以(S四边形PACB)min＝2××|PA|×|AC|＝2.
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