（浙江专版）2020年高考数学一轮复习 正弦定理和余弦定理

（浙江专版）2020年高考数学一轮复习 正弦定理和余弦定理

第06节 正弦定理和余弦定理 A 基础巩固训练 ‎1.【2018年理数全国卷II】在中，，，，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎ 2.【2018年全国卷Ⅲ文】的内角的对边分别为，，，若的面积为，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎3.【2017课标II，文16】的内角的对边分别为,若,则 ‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】由正弦定理可得 ‎4.【2018年北京卷理】在△ABC中，a=7，b=8，cosB= –．‎ ‎（Ⅰ）求∠A；‎ 10‎ ‎（Ⅱ）求AC边上的高．‎ ‎【答案】(1) ∠A= (2) AC边上的高为 ‎（Ⅱ）在△ABC中，∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA==．‎ 如图所示，在△ABC中，∵sinC=，∴h==，∴AC边上的高为．‎ ‎5. 【2017课标3，理17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 ，a=2,b=2.‎ ‎（1）求c；‎ ‎（2）设D为BC边上一点，且ADAC,求△ABD的面积.‎ ‎【答案】(1) ；(2) ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1)由题意首先求得，然后利用余弦定理列方程，边长取方程的正实数根可得 ；‎ ‎(2)利用题意首先求得△ABD面积与△ACD面积的比值，然后结合△ABC的面积可求得△ABD的面积为 .‎ 试题解析：（1）由已知得 ，所以 .‎ 在 △ABC中，由余弦定理得 ，即 .‎ 解得： (舍去)， .‎ 10‎ B 能力提升训练 ‎1. 提出了已知三角形三边求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即.现有周长为的满足，则用以上给出的公式求得的面积为 A. 12 B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意结合正弦定理可得：，‎ ‎∵△ABC周长为,即a+b+c=，‎ ‎∴a=4,b=6,c=，‎ 所以，‎ 本题选择D选项.‎ ‎2.【2017课标1，文11】△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，c=，则C=‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 10‎ ‎3.【2017浙江，13】已知△ABC，AB=AC=4，BC=2． 点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是______，cos∠BDC=_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】取BC中点E，DC中点F，由题意：，‎ ‎△ABE中，，，‎ ‎．‎ 又，‎ ‎，‎ 综上可得，△BCD面积为，．‎ ‎4.【2017浙江，11】我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积， ．‎ ‎【答案】‎ 10‎ ‎5.【2017北京，理15】在△ABC中， =60°，c=a.‎ ‎（Ⅰ）求sinC的值；‎ ‎（Ⅱ）若a=7，求△ABC的面积.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ C思维扩展训练 ‎1.【2018届河南省南阳市第一中学第十九次考】已知的内角，，的对边分别为，，，且，，点是的重心，且，则的外接圆的半径为__________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】分析：如图，延长AD交BC于E，易得由条件结合正弦定理及内角和定理可得A=，再利用余弦定理解得a，c，再结合正弦定理易得结果.‎ 详解：如图，延长AD交BC于E，则 10‎ ‎ ‎ 由正弦定理及得 ‎，‎ 因 故，‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 又，∴‎ 即，∵‎ ‎∴A=‎ 在中，由余弦定理有 ‎，‎ 在中，由余弦定理有 ‎，‎ 又 故 ‎∴‎ 10‎ 即①‎ 又在中，由余弦定理得 ‎②‎ 由①②解得 由正弦定理有 解得，即 故答案为：1‎ ‎2.△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝8，c＝6，A＝，∠BAC的角平分线交边BC于点D，则|AD|＝___________.‎ ‎【答案】‎ 法二：在AC上取|AE|＝|AB|＝6，连结BE，则△ABE为等边三角形 记AD与BE的交点为F 在△BEC中，由余弦定理可得|BC|＝2‎ 再由正弦定理：‎ 可得sin∠EBC＝，进而tan∠EBC＝‎ 10‎ 所以，在Rt△BFD中，|FD|＝3×＝‎ 又|AF|＝3，故|AD|＝‎ ‎3.【2018届浙江省金丽衢十二校第二次联考】 已知函数f（x）=sin（x+）+sin（x﹣）+cosx．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）在△ABC中，f（A）=，△ABC的面积为，AB=，求BC的长．‎ ‎【答案】（1） （2）2或 ‎ ‎【解析】分析：（1）先根据两角和与差正弦公式展开，再根据配角公式得基本三角函数形式，最后根据正弦函数周期公式求结果，（2）先求A,再根据面积公式求不，最后根据余弦定理求a.‎ 详解：‎ 解：函数f（x）=sin（x+）+sin（x﹣）+cosx．‎ 化简可得：f（x）=2sinxcos+cosx=sinx+cosx=2sin（x+）‎ ‎（Ⅰ）f（x）的最小正周期T=；‎ ‎（Ⅱ）由f（A）=，即2sin（A+）=，‎ ‎∴sin（A+）=，‎ ‎∵0＜A＜π，‎ ‎∴＜（A+）．‎ 可得：（A+）=或 则A=或A=．‎ 当则A=时，△ABC的面积为=bcsinA，AB=c=，‎ ‎∴b=AC=2‎ 余弦定理：BC2=22+（2）2﹣2××cos，‎ 解得：BC=2‎ 当A=时，△ABC的面积为=bc，AB=c=，‎ ‎∴b=AC=1‎ 直角三角形性质可得：BC2=22+（2）2，‎ 10‎ 解得：BC=．‎ ‎4. 【陕西省咸阳市2018年高考5月信息专递】在中，角的对边分别为，且．‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若，求的面积最大值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎（Ⅱ）由余弦定理得：，‎ 即，‎ 整理得：．‎ ‎（当且仅当取等号），‎ ‎，即，‎ ‎，‎ 故面积的最大值为．‎ ‎5.在中，角，，所对的边分别是，，，且，.‎ ‎（1）若满足条件的有且只有一个，求的取值范围；‎ ‎（2）当的周长取最大值时，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ 10‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）首先利用三角恒等变形求出的三角函数值，再利用正弦定理即可求解；（2）利用正弦定理将周长的表达式转化为以为变量的函数，利用三角函数的性质即可求解.‎ 试题解析：（1），即，‎ 又∵，且，有，若满足条件的有且只有一个，则有或，则的取值范围为；（2）设的周长为，由正弦定理得 ‎，‎ 其中为锐角，且， ，当，时取到，‎ 此时. ‎ 10‎