高考总复习经典讲义空间向量及其运算

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高考总复习经典讲义空间向量及其运算

‎ 空间向量及其运算 知识点1、向量共线、共面的判定. ‎ ‎1、共线: 对空间任意两个向量a, b(b≠0), a∥b的充要条件是_______________. ‎ ‎2、共面: 如果两个向量a, b(不共线), 那么向量p与向量a, b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x, y), 使_______________. 答案: p=xa+yb.‎ ‎3、不共面: 如果三个向量a, b, c不共面, 那么对空间任一向量p, 存在有序实数组{x, y, z}, 使得p=____________________________, 把{a, b, c}叫做空间的一个基底. ‎ 知识点2、向量运算律 ‎ ‎① 两向量的数量积 已知两个非零向量a, b, 则____________________叫做向量a, b的数量积, 记作________, 即__________________.数量积的坐标运算, 若a=(a1, a2, a3), b=(b1, b2, b3), 则 a·b=____________________.‎ ‎② 空间向量数量积的运算律 结合律: (λa)·b=____________; 交换律: a·b=_______; 分配律: a·(b+c)=_____________.‎ ‎③ 模、夹角和距离公式 设a=(a1, a2, a3), b=(b1, b2, b3), ‎ 则|a|==________________, cos〈a, b〉==________________________ .‎ 若A(a1, b1, c1), B(a2, b2, c2), 则||=__________________________.‎ 题型一 直线的方程形式 ‎(1) 空间向量: 在空间中, 具有______和______的量叫做空间向量. ‎ ‎(2) 相等向量: 方向______且模______的向量. ‎ ‎(3) 共线向量定理 ‎1. 若a=(2x,1,3), b=(1, -2y,9), 且a∥b, 则(  )‎ A. x=1, y=1 B. x=, y=- C. x=, y=- D. x=-, y= 解: 选C, ∵a∥b, ∴==, ∴x=, y=-.‎ ‎2. (2016·青岛月考)‎ 如图所示, 在平行六面体ABCD—A1B‎1C1D1中, M为AC与BD的交点, 若=a, =b, =c, 则下列向量中与相等的向量是(  )‎ A. -a+b+c B.a+b+c C.a-b+c D. -a-b+c 解: 选A, [=++=-++ ‎=-a+c+(a+b)=-a+b+c.‎ ‎3. (2016·广州调研)在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中, 已知∠BAD=∠A′AB=∠A′AD=60°, ‎ AB=3, AD=4, AA′=5, 则||=________.‎ 解: ∵=++=++, ‎ ‎∴||2=2+2+2+2·+2·+2· ‎=32+42+52+2×3×4×cos 60°+2×4×5×cos 60°+2×3×5×cos 60°=97, ∴||=.‎ ‎4. 有下列4个命题: ‎ ‎① 若p=xa+yb, 则p与a、b共面; ② 若p与a、b共面, 则p=xa+yb; ‎ ‎③ 若=x+y, 则P、M、A、B共面; ④ 若P、M、A、B共面, 则=x+y.‎ 其中真命题的个数是(   )‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎4. 选B, ①正确. ②中若a、b共线, p与a不共线, 则p=xa+yb就不成立. ③正确. ④中若M、A、B共线, 点P不在此直线上, 则=x+y不正确. ‎ ‎5. A(1,0,1), B(4,4,6), C(2,2,3), D(10,14,17)这四个点________(填共面或不共面). ‎ ‎5. 共面, 解: =(3,4,5), =(1,2,2), =(9,14,16), 设=x+y, ‎ 即(9,14,16)=(3x+y,4x+2y,5x+2y). ∴, 从而A、B、C、D四点共面. ‎ 题型二 空间基向量的应用 ‎6、已知空间四边形OABC中, M为BC的中点, N为AC的中点, P为OA的中点, Q为OB的中点, 若AB=OC, 求证: PM⊥QN.‎ 设=a, =b, =c. ∵=(+)=(b+c), =(+)=(a+c), ‎ ‎∴=+=-a+(b+c)=(b+c-a), ‎ =+=-b+(a+c)=(a+c-b). ‎ ‎∴·=[c-(a-b)][c+(a-b)]=[c2-(a-b)2]=(||2-||2)‎ ‎∵||=||, ∴·=0. 即⊥, 故PM⊥QN.‎ ‎7、如图, 在正四面体ABCD中, E、F分别为棱AD、BC的中点, 则异面直线AF和CE所成角的余弦值为________. ‎ 设{, , }为空间一组基底, 则=+, ‎ =+=+(-)=-+.‎ ‎∴·=·=-·-2+·+· ‎=-2-2+2+2=-2.‎ 又||=||=||, ∴||·||=||2. ∴cos〈, 〉===-.‎ ‎∴异面直线AF与CE所成角的余弦值为.‎ ‎8、(2016·合肥调研)两个边长为1的正方形ABCD与正方形ABEF相交于AB, ∠EBC=90°, 点M、N分别在BD、AE上, 且AN=DM.‎ ‎(1) 求证: MN∥平面EBC; (2) 求MN长度的最小值. ‎ 解: 如图所示, 建立坐标系后, 要证MN平行于平面EBC, 只要证的横坐标为0即可. ‎ ‎(1) 证明 如图所示, 以、、为单位正交基底建立空间直角坐标系, 则A(1,0,0), D(1,1,0), E(0,0,1), B(0,0,0), 设==λ, 则 =++=λ++λ=λ(1,1,0)+(0, -1,0)+λ(-1,0,1)=(0, λ-1, λ). ‎ ‎∵0<λ<1, ∴λ-1≠0, λ≠0, 且的横坐标为0. ∴平行于平面yBz, 即MN∥平面EBC.‎ ‎(2) 解: 由(1)知||=== , ‎ ‎∴当λ=时, MN取得长度的最小值为.‎ A组 专项基础训练题组 ‎1. 下列命题: ‎ ‎① 若A、B、C、D是空间任意四点, 则有+++=0; ‎ ‎② |a|-|b|=|a+b|是a、b共线的充要条件; ‎ ‎③ 若a、b共线, 则a与b所在直线平行; ‎ ‎④ 对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C, 若=x+y+z(其中x、y、z∈R)则P、A、B、C四点共面. 其中假命题的个数是(  C )‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎2. 如图所示, 在正方体ABCD—A1B‎1C1D1中, O是底面ABCD的中心, M、N分别是棱DD1、D‎1C1的中点, 则直线OM(  A )‎ A. 既垂直于AC, 又垂直于MN B. 垂直于AC, 但不垂直于MN C. 垂直于MN, 但不垂直于AC D. 与AC、MN都不垂直 ‎3. (2016·绍兴月考) 如图所示, 在三棱柱ABC—A1B‎1C1中, AA1⊥底面ABC, AB=BC=AA1, ∠ABC=90°, 点E、F分别是棱AB、BB1的中点, 则直线EF和BC1所成的角是(  B )‎ A. 45° B. 60°‎ C. 90° D. 120°‎ ‎4. 设点C(‎2a+1, a+1,2)在点P(2,0,0)、A(1, -3,2)、B(8, -1,4)确定的平面上, 则a等于(  A  )‎ A. 16 B. 4 C. 2 D. 8‎ 解: 选A [由=λ1+λ2得: (‎2a-1, a+1,2)=λ1(-1, -3,2)+λ2(6, -1, 4), ‎ ‎∴解得a=16.‎ ‎5. 在直角坐标系中, A(-2,3), B(3, -2), 沿x轴把直角坐标系折成120°的二面角, 则AB的长度为(  B  )‎ A. B. 2 C. 3 D. 4 解: 过A、B分别作AA1⊥x轴, BB1⊥x轴, 垂足分别为A1和B1, 则AA1=3, A1B1=5, BB1=2, ‎ ‎∵=++, ∴2=2+2+2+2·=32+52+22+2×3×2×cos 60°=44.∴||=2.‎ ‎6. (2016·信阳模拟)如图所示, 已知空间四边形ABCD, F为BC的中点, E为AD的中点, 若=λ(+), 则λ=________.‎ 解: ∵=++, 又=++, ‎ ‎∴2=+, ∴=(+), ∴λ=.‎ ‎7. (2016·铜川模拟)在正方体ABCD—A1B‎1C1D1中, 给出以下向量表达式: ‎ ‎① (-)-;   ② (+)-; ‎ ‎③ (-)-2;   ④ (+)+.‎ 其中能够化简为向量的是________. (填所有正确的序号)‎ 解 ①(-)-=-=; ‎ ‎②(+)-=-=; ‎ ‎③(-)-2=-2≠; ‎ ‎④(+)+=+(+)=≠.‎ ‎8. (2016·丽水模拟) 如图所示, PD垂直于正方形ABCD所在平面,‎ AB=2, E为PB的中点, cos〈, 〉=, 若以DA, DC, DP所在直线分别为x, y, z轴建立空间直角坐标系, 则点E的坐标为________. ‎ 解: 设DP=y>0, 则A(2,0,0), B(2,2,0), P(0,0, y), E,‎ =(0,0, y), =. ∴cos〈, 〉====.‎ 解得y=2, ∴E(1,1,1). ‎ B组 专项能力提升题组 ‎9. 如图所示, 已知ABCD—A1B‎1C1D1是棱长为3的正方体, 点E在AA1上, 点F在CC1上, 且AE=FC1=1.‎ ‎(1) 求证: E、B、F、D1四点共面; ‎ ‎(2) 若点G在BC上, BG=, 点M在BB1上, GM⊥BF, 垂足为H, 求证: EM⊥平面BCC1B1.‎ 证明: (1) 建立如图所示的空间直角坐标系, 则=(3,0,1), =(0,3,2), ‎ =(3,3,3). 所以=+. 故、、共面. ‎ 又它们有公共点B, ∴E、B、F、D1四点共面. (6分)‎ ‎(2) 设M(0,0, z), 则=. 而=(0,3,2), ‎ 由题设, 得·=-×3+z·2=0, 得z=1. ∴M(0,0,1), E(3,0,1), ∴=(3,0,0). ‎ 又=(0,0,3), =(0,3,0), ∴·=0, ∴·=0, 从而ME⊥BB1, ME⊥BC.‎ 又∵BB1∩BC=B, ∴ME⊥平面BCC1B1.‎ ‎10、如图所示, 已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,‎ ‎ AB=, AF=1, M是线段EF的中点. ‎ 求证: (1) AM∥平面BDE; (2) AM⊥面BDF.‎ 证: (1)建立如图所示的空间直角坐标系, ‎ 设AC∩BD=N, 连接NE. 则点N、E的坐标分别为、‎ ‎(0,0,1). ∴=.又点A、M的坐标分别为 ‎(, , 0)、, ∴=.‎ ‎∴=且NE与AM不共线. ∴NE∥AM. 又∵NE⊂平面BDE, AM⊄平面BDE, ∴AM∥平面BDE.‎ ‎(2) 由(1)得, =, ∵D(, 0,0), F(, , 1), B(0, , 0), ‎ ‎∴=(0, , 1), =(, 0,1). ∴·=0, ·=0.∴⊥, ⊥, ‎ 即AM⊥DF, AM⊥BF. 又DF∩BF=F, ∴AM⊥平面BDF.‎ ‎11、(2009·福建)如图, 四边形ABCD是边长为1的正方形, MD⊥平面ABCD, NB⊥平面ABCD, 且MD=NB=1, E为BC的中点. ‎ ‎(1) 求异面直线NE与AM所成角的余弦值;‎ ‎(2) 在线段AN上是否存在点S, 使得ES⊥平面AMN?若存在, 求线段AS的长;若不存在, 请说明理由. ‎ 解 (1) 如图所示, 以点D为坐标原点, 建立空间直角坐标系D—xyz.‎ 依题意, 得D(0,0,0), A(1,0,0), M(0,0,1), C(0,1,0), B(1,1,0), N(1,1,1), ‎ E.∴=, =(-1,0,1). ‎ ‎∵cos〈, 〉===-, ‎ ‎∴异面直线NE与AM所成角的余弦值为.‎ ‎(2) 假设在线段AN上存在点S, 使得ES⊥平面AMN.‎ ‎∵=(0,1,1), 可设=λ=(0, λ, λ), 又=, ‎ ‎∴=+=. 由ES⊥平面AMN, 得 即故λ=, 此时=, ||=.‎ 经检验, 当AS=时, ES⊥平面AMN. 故线段AN上存在点S, 使得ES⊥平面AMN, 此时AS=.‎ ‎12. (2011·汕头月考) 如图所示, 已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a, 点M、N分别是AB、CD的中点. ‎ ‎(1) 求证: MN⊥AB, MN⊥CD;‎ ‎(2) 求MN的长;‎ ‎(3) 求异面直线AN与CM所成角的余弦值. ‎ ‎(1) 证明 设=p, =q, =r.‎ 由题意可知: |p|=|q|=|r|=a, 且p、q、r三向量两两夹角均为60°.‎ =-=(+)-=(q+r-p), (2分)‎ ‎∴·=(q+r-p)·p=(q·p+r·p-p2)=(a2·cos 60°+a2·cos 60°-a2)=0.‎ ‎∴MN⊥AB,又∵=-=r-q, ‎ ‎∴·=(q+r-p)·(r-q)=(q·r-q2+r2-q·r-p·r+p·q)‎ ‎=(a2cos 60°-a2+a2-a2cos 60°-a2cos 60°+a2cos 60°)=0, ∴MN⊥CD.‎ ‎(2) 解 由(1)可知=(q+r-p), ∴||2=2=(q+r-p)2‎ ‎=[q2+r2+p2+2(q·r-p·q-r·p)]==×‎2a2=.‎ ‎∴||=a, ∴MN的长为a.(9分)‎ ‎(3) 解 设向量与的夹角为θ.‎ ‎∵=(+)=(q+r), =-=q-p, ‎ ‎∴·=(q+r)·= ‎===.(12分)‎ 又∵||=||=a, ∴·=||·||·cos θ即a·a·cos θ=.‎ ‎∴cos θ=, ∴向量与的夹角的余弦值为, 从而异面直线AN与CM所成角的余弦值为.‎
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