高考有方法－几何概型专题分析

高考有方法－几何概型专题分析

必修3几何概型专题分析 练之方法：‎ 1. 求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度或角度).‎ 2. 求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．‎ 3. 对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的问题也可利用其对立事件去求．‎ 练之题组：‎ 题组一 与长度有关的几何概型的求法 ‎1. 在区间[－1,2]上随机取一个数x，则x∈[0,1]的概率为________．‎ 解析：本题考查与长度有关的几何概型的概率.‎ x∈[0,1]为1个单位长度，由已知可得.‎ ‎2. x是[－4,4]上的一个随机数，则使x满足x2＋x－2<0的概率为(　　)‎ A. B. C. D．0‎ 解析：本题考查与长度有关的几何概型的概率.‎ 由题意求出x2＋x－2<0的解集为(－2,1)，只需求出区间(－2,1)的长度为3.‎ 区间[－4,4]的长度为8，长度之比即为所求的概率为.故选B.‎ ‎3. 在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：本题考查与长度有关的几何概型的概率.‎ 如右图，在AB边上取点P′，使＝，则P在AP′内运动时，△PBC的面积大于.故选C.‎ 题组二 与角度有关的几何概型问题 ‎4. 在圆心角为90°的扇形AOB中，以圆心O为起点作射线OC，求使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率．‎ 解析：本题考查与角度有关的几何概型的概率.‎ 如图，把圆弧三等分，则∠AOF＝∠BOE＝30°，‎ 记A为“在扇形AOB内作一射线OC，使∠AOC和∠BOC都不小于30°”，要使∠AOC和∠BOC都不小于30°，则OC就落在∠EOF内，‎ ‎∴P(A)＝＝.‎ ‎5. 在等腰Rt△ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M，则|AM|<|AC|的概率为 .‎ 解析：本题考查与角度有关的几何概型的概率.‎ 在∠ACB内的射线CM是均匀分布的，‎ 所以射线CM作在任何位置都是等可能的，‎ 在AB上取AC′＝AC.‎ 则∠ACC′＝67.5°，‎ 故满足条件的概率为＝0.75.‎ ‎6.如下图，A是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A′，连结AA′，它是一条弦，它的长度大于等于半径长度的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：本题考查与角度有关的几何概型的概率.‎ 如图，当AA′长度等于半径时，A′位于B或C点，此时∠BOC＝120°，则优弧 ＝πR，∴满足条件的P＝＝，故选B 题组三 与面积有关的几何概型问题 ‎7. 如图所示，在矩形ABCD中，AB＝‎4 cm，BC＝‎2 cm，在图形上随机撒一粒黄豆，则黄豆落到阴影部分的概率是________．‎ 解析：本题考查与面积有关的几何概型的概率.‎ P＝＝＝.‎ ‎8. 现向如图所示正方形内随机地投掷飞镖，求飞镖落在阴影部分的概率．‎ 解析：本题考查与面积有关的几何概型的概率 投中正方形木板上每一点(投中线上或没投中都不算)都是一个基本事件．‎ 记事件A＝{飞镖落在阴影部分}；‎ 把x＝1代入6x－3y－4＝0得y＝，‎ 把y＝－1代入6x－3y－4＝0得x＝，‎ ‎∴E、F两点坐标分别为E、F，‎ ‎∴|BE|＝1－＝，|BF|＝1＋＝，‎ ‎∴S△BEF＝××＝，‎ S正方形＝22＝4，‎ ‎∴由几何概率公式得：P(A)＝＝＝.‎ 答：飞镖落在阴影部分的概率是.‎ ‎9．甲、乙两人相约10天之内在某地会面，约定先到的人等候另一个人，经过3天以后方可离开．若他们在限期内到达目的地是等可能的，求甲、乙两人会面的概率．‎ 解析：本题考查与面积有关的几何概型的概率.本题中每人到达会面地点的时间是随机的，可以认为是等可能的，故是几何概型的求概率问题．‎ 设甲、乙两人分别在第x、y天到达某地，0≤x≤10,0≤y≤10，他们会面的充要条件是|x－y|≤3.因为点(x，y)分布在如图的正方形OABC内，其基本条件S1为介于两直线x－y＝±3之间的阴影部分，故所求概率P＝＝.‎ 题组四 与体积有关的几何概型问题 ‎10. 有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．‎ 解析：本题考查与体积有关的几何概型的概率.‎ V圆柱＝2π，V半球＝×π×13＝π，‎ ＝，‎ 故点P到O的距离大于1的概率为.‎ ‎11. 在体积为V的三棱锥S－ABC的棱AB上任取一点P，则三棱锥S－APC的体积大于的概率是________．‎ 解析：本题考查与体积有关的几何概型的概率.‎ 如图，三棱锥S－ABC与三棱锥S－APC的高相同，要使三棱锥S－APC的体积大于，只需△APC的面积大于△ABC的面积的.‎ 假设点P′是线段AB靠近点A的三等分点，记事件M为“三棱锥S－APC的体积大于”，则事件M发生的区域是线段P′B.‎ 从而P(M)＝＝.‎