无锡慧源高复学校高考数学模拟

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无锡慧源高复学校高考数学模拟

无锡慧源高复 数学模拟试卷8‎ ‎ (考试时间:120分钟 总分:160分)‎ 注意事项:所有试题的答案均填写在答题纸上,答案写在试卷上的无效.‎ 一、填空题:(本大题共14小题,每小题5分,共70分.请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上.)‎ ‎1.已知集合,集合,则 ▲ .‎ ‎(第2题)‎ ‎2.如图,在复平面内,点对应的复数为,若(为虚数单位),‎ 则 ▲ .‎ ‎3.在平面直角坐标系中,双曲线的实轴长为 ‎(第5题)‎ ‎ ▲ .‎ ‎4.某校共有教师200人,男学生800人,女学生600人,现用分层抽样的方 法从所有师生中抽取一个容量为的样本,已知从男学生中抽取的人数为100‎ 人,那么 ▲ .‎ ‎5.执行如图所示的伪代码,当输入的值分别为时,最后输出的 的值为 ▲ .‎ ‎6.甲乙两人下棋,若甲获胜的的概率为,甲乙下成和棋的概率为,则乙不输棋的概率为 ▲ .‎ ‎7.已知直线与圆相交于两点,若,‎ 则 ▲ .‎ ‎8.若命题“存在”为假命题,则实数的取值范围是 ▲ .‎ ‎9.‎(第9题)‎ 如图,长方体中,为的中点,三棱锥 的体积为,四棱锥的体积为,则 的值为 ▲ . ‎ ‎10.已知公差为的等差数列及公比为的等比数列满足,‎ 则的取值范围是 ▲ .‎ ‎11.设是上的奇函数,当时,,记,则数列 的前项和为 ▲ . ‎ ‎12.在平面直角坐标系中,已知点分别为轴,轴上一点,且,若点 ‎,则的取值范围是 ▲ . ‎ ‎13.若正实数满足,则的最大值为 ▲ .‎ ‎14.已知函数(其中为常数,),若实数满足:①,②,③,则的值为 ▲ .‎ 二、解答题:(本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) ‎ ‎15.(本题满分14分)‎ 在中,角的对边分别为,向量.‎ ‎(1)若,求证:;‎ ‎(2)若,,求的值.‎ ‎16.(本题满分14分)‎ 如图,在三棱锥中,,,点,分别为,的中点.‎ ‎(1)求证:直线平面;‎ ‎(2)求证:.‎ ‎17.(本题满分14分)‎ ‎ 一个玩具盘由一个直径为米的半圆和一个矩形构成,米,如图所示.小球从点出发以的速度沿半圆轨道滚到某点处后,经弹射器以的速度沿与点切线垂直的方向弹射到落袋区内,落点记为.设弧度,小球从到所需时间为.‎ ‎(1)试将表示为的函数,并写出定义域;‎ ‎(2)求时间最短时的值. ‎ ‎18.(本题满分16分)‎ ‎ 已知数列满足,其中是数列的前项和. ‎ ‎(1)若数列是首项为,公比为的等比数列,求数列的通项公式;‎ ‎(2)若,,求数列的通项公式;‎ ‎(3)在(2)的条件下,设,求证:数列中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积.‎ ‎19.(本题满分16分)‎ ‎ 如图,在平面直角坐标系中, 已知圆,椭圆, 为椭圆右顶点.过原点且异于坐标轴的直线与椭圆交于两点,直线与圆的另一交点为,直线与圆的另一交点为,其中.设直线的斜率分别为.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)记直线的斜率分别为,是否存在常数,使得?若存在,求值;若不存在,说明理由;‎ ‎(3)求证:直线必过点.‎ ‎20.(本题满分16分)‎ ‎ 已知函数,,.‎ (1) 若,求证:‎ ‎(ⅰ)在的单调减区间上也单调递减;‎ ‎(ⅱ)在上恰有两个零点;‎ (2) 若,记的两个零点为,求证:.‎ 数学试题(附加题)‎ ‎21.【选做题】请考生在A、B、C、D四小题中任选两题作答.如果多做,按所做的前两题记分.‎ A.(几何证明选讲,本题满分10分)‎ ‎ 如图,圆是的外接圆,点是劣弧的中点,连结并延长,与以为切点的切线交于点,求证:.‎ B.(矩阵与变换,本题满分10分)‎ 已知矩阵的一个特征值为,求.‎ C.(坐标系与参数方程,本题满分10分)‎ ‎ 在平面直角坐标系中,已知直线与椭圆 的一条准线的交点位于轴上,求实数的值.‎ D.(不等式选讲,本题满分10分)‎ ‎ 已知正实数满足,求证:.‎ ‎22.【必做题】(本题满分10分)‎ 如图,在直三棱柱ABC—A1B‎1C1中,AC = 3,BC = 4,AB = 5,AA1 = 4.‎ ‎ (1)设,异面直线AC1与CD所成角的余弦值为,求的值;‎ ‎(2)若点D是AB的中点,求二面角D—CB1—B的余弦值.‎ ‎23. 【必做题】(本题满分10分)‎ ‎ 已知,若存在互不相等的正整数…,使得…同时小于,则记为满足条件的的最大值.‎ (1) 求的值;‎ (2) 对于给定的正整数,‎ ‎(ⅰ)当时,求的解析式;‎ ‎(ⅱ)当时,求的解析式.‎ 高三数学参考答案 一、填空题 ‎1.; 2.; 3.; 4.; 5.; ‎ ‎6.; 7.; 8.; 9.; 10.; ‎ ‎11.; 12.; 13. ; 14.. ‎ 二、解答题 ‎15. 证明:(1)因为,‎ 所以,所以. ……………7分 ‎(2)因为,所以,即,‎ 因为,所以,又,所以,则,…12分 所以. ……………14分 ‎16. 证明(1)∵点,分别为,的中点,‎ ‎∴,‎ 又∵平面,平面,‎ ‎∴直线平面. ……………6分 ‎ ‎(2)∵,‎ ‎∴,,‎ 又∵,在平面内,‎ ‎∴平面, ……………8分 ‎∵平面,∴,‎ ‎∵,为的中点,∴,‎ ‎∵,,,在平面内,‎ ‎∴平面, ……………12分 ‎∵平面,∴. ……………14分 ‎17. 解:(1)过作于,则,‎ ‎,,,‎ 所以,.……7分 ‎(写错定义域扣1分)‎ ‎(2),‎ ‎,…………9分 记,,‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 故当时,时间最短. …………14分 ‎18. 解:(1)因为,‎ ‎ , …………2分 所以. …………4分 ‎(2)若,则,∴,‎ 两式相减得,即,‎ 当时,,‎ 两式相减得,即, …………8分 又由,得,,‎ 所以数列是首项为,公差为的等差数列, ‎ 故数列的通项公式是. …………10分 ‎(3)由(2)得 ,‎ 对于给定的,若存在,使得,‎ 只需, ‎ ‎ 即,即,则, …………12分 取,则, ‎ ‎∴对数列中的任意一项,都存在和使得. …………16分 ‎19.解:(1)设,则,‎ 所以. …………4分 ‎(2)联立得,‎ 解得,‎ 联立得,‎ 解得, …………8分 所以,,‎ 所以,故存在常数,使得. …………10分 ‎(3)当直线与轴垂直时,,‎ 则,所以直线必过点.‎ 当直线与轴不垂直时,直线方程为:,‎ 联立,解得,‎ 所以,故直线必过点. …………16 分 ‎(不考虑直线与轴垂直情形扣1分)‎ ‎20. 证:(1)因为,所以,‎ 由得的递减区间为, …………2 分 当时,,‎ 所以在的递减区间上也递减. …………4 分 ‎(2)解1:,‎ 因为,由得,‎ 令,则,‎ 因为,且,所以必有两个异号的零点,记正零点为,则时,,单调递减;时,,单调递增,若在上恰有两个零点,则, …………7 分 由得,‎ 所以,又因为对称轴为所以,‎ 所以,所以,‎ 又,‎ 设中的较大数为,则, ‎ 故在上恰有两个零点. …………10 分 解2:,‎ 因为,由得,‎ 令,‎ 若在上恰有两个零点,则在上恰有两个零点,‎ 当时, 由得,此时在上只有一个零点,不合题意;‎ 当时,由得, …………7 分 令,‎ 则,‎ 当时,单调递增,且由值域知 值域为;当时,单调递增,且,由 值域知值域为;‎ 因为,所以,而与有两个交点,所以在上恰有两个零点. …………10 分 ‎(3)解1:由(2)知,对于在上恰有两个零点,‎ 不妨设,又因为,,所以,……12 分 又因为,,所以,‎ 所以. …………16 分 解2:由(2)知,‎ 因为时,单调递增,,,‎ 所以, …………12 分 当时,单调递增,,,‎ 所以,‎ 所以. …………16 分 附加题参考答案 ‎21.A.证明:连结,因为为圆的切线,‎ 所以, ‎ 又是公共角,所以~, ……………5分 所以 ,‎ ‎ 因为点是劣弧的中点,所以,即. ……………10分 ‎21.B. 解:代入,得 ‎ 矩阵 ……………5分 ‎ ∴ ……………10分 ‎21.C. 解:直线:, ‎ 椭圆:, …………………………5分 准线:‎ ‎ 由得, …………………………10分 ‎21.D.证明:因为正实数满足,‎ ‎ 所以,即, …………………………5分 ‎ 所以 因此, ……………………10分 ‎22. 解:(1)由AC = 3,BC = 4,AB = 5得   ……………1分 以CA、CB、CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.则A(3,0,0),(0,0,4),B(0,4,0),设D(x,y,z),则由得,而,‎ ‎  根据解得,或  ……………5分 ‎(2),可取平面的一个法向量为;‎ ‎…………………………7分 而平面的一个法向量为,并且与二面角D—CB1—B相等,‎ ‎  所以二面角D—CB1—B的余弦值为. ………10分 ‎(第(1)题中少一解扣1分;没有交代建立直角坐标系过程扣1分.第(2)题如果结果相差符号扣1分.)‎ ‎23. 解:(1)由题意,取,,满足题意,‎ 若,则必有,不满足题意,‎ 综上所述:的最大值为,即.          ………………4分 ‎(2)由题意,当时,‎ 设…,…,‎ 显然,时,满足,‎ ‎∴从集合中选出的至多个, ‎ 时,,‎ ‎∴从集合中选出的必不相邻,‎ 又∵从集合中选出的至多个,‎ ‎∴从集合中选出的至多个,放置于从集合中选出的之间,‎ ‎∴,                         ………………6分 ‎(ⅰ)当时,‎ 取一串数为:…,‎ 或写成,(),‎ 此时,(),,满足题意,‎ ‎∴,                        ………………8分 ‎(ⅱ)当时,‎ 从中选出的个:…,考虑数的两侧的空位,填入集合的两个数,不妨设,则,与题意不符,‎ ‎∴,‎ 取一串数为:…‎ 或写成,(),‎ 此时,(),,满足题意,‎ ‎∴,                      ………………10分 ‎(写出(ⅰ)、(ⅱ)题的结论但没有证明各给1分.)‎
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