高考新课标Ⅱ卷文数试题解析精编

高考新课标Ⅱ卷文数试题解析精编

‎2016年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共24题,共150分,共4页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。‎ 注意事项:‎ ‎1．答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。‎ ‎2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。‎ ‎3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。‎ ‎4．作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。‎ ‎5．保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。‎ 第Ⅰ卷 一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎(1)已知集合，则 ‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由得，所以，因为，所以，故选D.‎ ‎【考点】 一元二次不等式的解法，集合的运算 ‎【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理.‎ ‎ (2)设复数z满足，则 =‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由得，所以，故选C.‎ ‎【考点】 复数的运算，共轭复数 ‎【名师点睛】复数的共轭复数是，据此先化简再计算即可.‎ ‎ (3) 函数 的部分图像如图所示，则 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由题图知，，最小正周期，所以，所以.因为图象过点，所以，所以，所以，令，得，所以，故选A.‎ ‎【考点】 三角函数的图像与性质 ‎【名师点睛】根据图像求解析式问题的一般方法是：先根据函数图像的最高点、最低点确定A，h的值，由函数的周期确定ω的值，再根据函数图像上的一个特殊点确定φ值．‎ ‎ (4)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：因为正方体的体积为8，所以棱长为2，所以正方体的体对角线长为，所以正方体的外接球的半径为，所以该球的表面积为，故选A.‎ ‎【考点】 正方体的性质，球的表面积 ‎【名师点睛】与棱长为的正方体相关的球有三个：‎ ‎ 外接球、内切球和与各条棱都相切的球，其半径分别为、和.‎ ‎ (5)设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y=（k>0）与C交于点P，PF⊥x轴，则k=‎ ‎（A） （B）1 （C） （D）2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：因为是抛物线的焦点，所以，‎ 又因为曲线与交于点，轴，所以，所以，选D.‎ ‎【考点】 抛物线的性质，反比例函数的性质 ‎【名师点睛】抛物线方程有四种形式，注意焦点的位置. 对于函数y= ，当时，在，上是减函数，当时，在，上是增函数.‎ ‎ (6)圆x2+y2−2x−8y+13=0的圆心到直线ax+y−1=0的距离为1，则a=‎ ‎（A）− （B）− （C） （D）2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由配方得，所以圆心为，因为圆的圆心到直线的距离为1，所以，解得，故选A.‎ ‎【考点】 圆的方程，点到直线的距离公式 ‎【名师点睛】直线与圆的位置关系有三种情况：相交、相切和相离. 已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围．‎ ‎ (7) 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 ‎（A）20π （B）24π （C）28π （D）32π ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由题意可知，圆柱的侧面积为，圆锥的侧面积为，圆柱的底面面积为，故该几何体的表面积为，故选C.‎ ‎【考点】 三视图，空间几何体的体积 ‎【名师点睛】以三视图为载体考查几何体的体积，解题的关键是根据三视图想象原几何体的形状构成，并从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后在直观图中求解．‎ ‎ (8)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯 ，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：因为红灯持续时间为40秒,所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为，故选B.‎ ‎【考点】几何概型 ‎【名师点睛】对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．‎ ‎ (9)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的 依次输入的a为2，2，5，则输出的s=‎ ‎（A）7‎ ‎（B）12‎ ‎（C）17‎ ‎（D）34‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由题意，，输入，则，循环；输入，则，循环；输入，，结束循环.故输出的，选C.‎ ‎【考点】 程序框图，直到型循环结构 ‎【名师点睛】识别算法框图和完善算法框图是高考的重点和热点．解决这类问题：首先，要明确算法框图中的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行算法框图，理解框图解决的实际问题；第三，按照题目的要求完成解答．对框图的考查常与函数和数列等相结合，进一步强化框图问题的实际背景．‎ ‎ (10)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是 ‎（A）y=x （B）y=lgx （C）y=2x （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：，定义域与值域均为，只有D满足，故选D．‎ ‎【考点】 函数的定义域、值域，对数的计算 ‎【名师点睛】对于基本初等函数的定义域、值域问题，应熟记图象，运用数形结合思想求解.‎ ‎ (11)函数的最大值为 ‎（A）4 （B）5 （C）6 （D）7‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：因为，而，所以当时，取得最大值5，选B.‎ ‎【考点】 正弦函数的性质、二次函数的性质 ‎【名师点睛】求解本题易出现的错误是认为当时，函数取得最大值.‎ ‎ (12) 已知函数f（x）（x∈）满足f(x)=f(2−x)，若函数 y=|x2−2x−3|与y=f(x)图像的交点为（x1,y1），(x2,y2)，…，（xm,ym），则 ‎ ‎(A)0 (B)m (C) 2m (D) 4m ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：因为的图像都关于对称，所以它们图像的交点也关于对称，当为偶数时，其和为；当为奇数时，其和为，因此选B.‎ ‎【考点】 函数图像的对称性 ‎【名师点睛】如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称轴；如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称中心.‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题5分。‎ ‎(13)已知向量a=(m,4)，b=(3,−2)，且a∥b，则m=___________. ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为a∥b，所以，解得．‎ ‎【考点】平面向量的坐标运算 ，平行向量 ‎【名师点睛】如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0.‎ ‎ (14)若x，y满足约束条件则z=x−2y的最小值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由得，记为点；由得，记为点；由得，记为点.分别将A，B，C的坐标代入，得，，，所以的最小值为．‎ ‎【考点】 简单的线性规划 ‎【名师点睛】利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：‎ ‎(1)在平面直角坐标系内作出可行域；‎ ‎(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；‎ ‎(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；‎ ‎(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．‎ ‎ (15)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，a=1，则b=____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为，且为三角形的内角，所以，，又因为，所以. ‎ ‎【考点】 正弦定理，两角和、差的三角函数公式 ‎【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．‎ ‎ (16)有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3. 甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________________.‎ ‎【答案】1和3‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意分析可知甲的卡片上的数字为1和3，乙的卡片上的数字为2和3，丙的卡片上的数字为1和2.‎ ‎【考点】 推理 ‎【名师点睛】演绎推理，就是从一般性的前提出发，通过推导即“演绎”，得出具体陈述或个别结论的过程.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎(17) (本小题满分12分)‎ 等差数列{}中，.‎ ‎(Ⅰ)求{}的通项公式；‎ ‎(Ⅱ) 设，求数列的前10项和，其中表示不超过的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）24.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ） 根据等差数列的通项公式及已知条件求，，从而求得；（Ⅱ）由（Ⅰ）求，再求数列的前10项和.‎ 试题解析：（Ⅰ)设数列的公差为d，由题意有.‎ 解得.‎ 所以的通项公式为.‎ ‎（Ⅱ）由(Ⅰ)知.‎ 当n=1,2,3时，；‎ 当n=4,5时，；‎ 当n=6,7,8时，；‎ 当n=9,10时，.‎ 所以数列的前10项和为.‎ ‎【考点】等差数列的通项公式，数列的求和 ‎【名师点睛】求解本题时常出现以下错误：对“表示不超过的最大整数”理解出错.‎ ‎(18) (本小题满分12分)‎ 某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：‎ 上年度出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎≥5‎ 保费 ‎0.85a a ‎1.25a ‎1.5a ‎1.75a ‎2a 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：‎ 出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎≥5‎ 频数 ‎60‎ ‎50‎ ‎30‎ ‎30‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎(Ⅰ)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求P(A)的估计值；‎ ‎(Ⅱ)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160％”.求P(B)的估计值；‎ ‎(Ⅲ)求续保人本年度的平均保费估计值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）由求P(A)的估计值；（Ⅱ）由求P(B)的估计值；（III）根据平均值的计算公式求解.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 试题解析：(Ⅰ)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内险次数小于2的频率为，故P(A)的估计值为0.55.‎ ‎（Ⅱ）事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为，故P(B)的估计值为0.3.‎ ‎(Ⅲ)由所给数据得 保费 ‎0.85a a ‎1.25a ‎1.5a ‎1.75a ‎2a 频率 ‎0.30‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ 调查的200名续保人的平均保费为 ‎，‎ 因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.‎ ‎【考点】 样本数据的频率、由频率估计概率、平均值的计算 ‎【名师点睛】样本的数字特征常见的命题角度有：(1)样本的数字特征与频率分布直方图交汇；(2)样本的数字特征与茎叶图交汇；(3)样本的数字特征与优化决策问题交汇.‎ ‎(19) (本小题满分12分)‎ ‎ 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于点H，将沿EF折到的位置.‎ ‎(Ⅰ)证明：；‎ ‎(Ⅱ)若,求五棱锥的体积.‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）证，再证（Ⅱ）证明，再证平面，最后根据锥体的体积公式求五棱锥的体积.‎ 试题解析：（I）由已知得 又由得，故 由此得，所以 ‎（II）由得 由得 所以 ‎ 于是故 由（I）知，又，‎ 所以平面于是 又由，所以，平面 又由得 五边形的面积 所以五棱锥D'–ABCFE体积 ‎【考点】 空间中线面位置关系的判断，几何体的体积 ‎【名师点睛】立体几何中的折叠问题，应注意折叠前后线段的长度、角哪些变了，哪些没变.‎ ‎(20) (本小题满分12分)‎ 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)当时，求曲线在处的切线方程；‎ ‎(Ⅱ)若当时，，求的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）先求的定义域，再求，，，由直线方程的点斜式可求曲线在处的切线方程为（Ⅱ）构造新函数，对实数分类讨论，用导数法求解.‎ 试题解析：（I）的定义域为.当时，‎ ‎，‎ 曲线在处的切线方程为 ‎（II）当时，等价于 设，则 ‎，‎ ‎（i）当，时， ，故在上单调递增，因此；‎ ‎（ii）当时，令得 ‎.‎ 由和得，故当时，，在单调递减，因此.‎ 综上，的取值范围是 ‎【考点】 导数的几何意义，利用导数判断函数的单调性 ‎【名师点睛】求函数的单调区间的方法：‎ ‎(1)确定函数y＝f(x)的定义域；‎ ‎(2)求导数y′＝f′(x)；‎ ‎(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；‎ ‎(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．‎ ‎(21) (本小题满分12分)‎ 已知A是椭圆E：的左顶点，斜率为的直线交E于A，M两点，点N在E上，.‎ ‎(Ⅰ)当时，求的面积 ‎ (Ⅱ) 当时，证明：.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）先求直线的方程，再求点的纵坐标，最后求的面积；（Ⅱ）设，将直线的方程与椭圆方程组成方程组，消去，用表示，从而表示，同理用表示，再由求的取值范围.‎ 试题解析：（Ⅰ）设，则由题意知.‎ 由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为.‎ 又，因此直线的方程为.‎ 将代入得.‎ 解得或，所以.‎ 因此的面积.‎ ‎（Ⅱ）将直线的方程代入得 ‎.‎ 由得，故.‎ 由题设，直线的方程为，故同理可得.‎ 由得，即.‎ 设，则是的零点，，所以在单调递增.又，因此在有唯一的零点，且零点在内，所以.‎ ‎【考点】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系 ‎【名师点睛】对于直线与椭圆的位置关系问题，通常将直线方程与椭圆方程联立进行求解，注意计算的准确性.‎ 请考生在第22~24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎(22) (本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲 如图，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F.‎ ‎(Ⅰ)证明：B，C，G，F四点共圆；‎ ‎(Ⅱ)若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积.‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）证再证四点共圆；（Ⅱ）证明四边形的面积是面积的2倍. ‎ 试题解析：（I）因为,所以 则有 所以由此可得 由此所以四点共圆.‎ ‎（II）由四点共圆，知.连结.‎ 由为斜边的中点，知,故因此四边形的面积是面积的2倍，即 ‎【考点】 三角形相似、全等，四点共圆 ‎【名师点睛】判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．通过相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等，还可间接证明线段相等．‎ ‎(23) (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，圆C的方程为.‎ ‎ (Ⅰ)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；‎ ‎(Ⅱ)直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A，B两点，,求l的斜率.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（I）利用，可得C的极坐标方程；（II）先将直线的参数方程化为极坐标方程，再利用弦长公式可得的斜率．‎ 试题解析：（I）由可得圆的极坐标方程 ‎（II）在（I）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为.‎ 设所对应的极径分别为将的极坐标方程代入的极坐标方程得 于是 由得.‎ 所以的斜率为或.‎ ‎【考点】圆的极坐标方程与普通方程互化，直线的参数方程，弦长公式 ‎【名师点睛】极坐标与直角坐标互化时要注意：将点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一；将曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性.‎ ‎(24) (本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数，M为不等式的解集.‎ ‎(Ⅰ)求M；‎ ‎(Ⅱ)证明：当a，b时，.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（I）先去掉绝对值，再分，和三种情况解不等式，即可得；（II）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当，时，．‎ 试题解析：（I）‎ 当时，由得解得；‎ 当时，；‎ 当时，由得解得.‎ 所以的解集.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，，从而 ‎，‎ 因此 ‎【考点】绝对值不等式，不等式的证明. ‎ ‎【名师点睛】形如(或)型的不等式主要有两种解法：‎ ‎(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应的方程的根，将数轴分为，， (此处设)三个部分，在每个部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式进行求解 ‎，然后取各个不等式解集的并集．‎ ‎(2)图象法：作出函数和的图象，结合图象求解．‎