高考数学试卷分类汇编及详细解析 圆锥曲线

高考数学试卷分类汇编及详细解析 圆锥曲线

‎2006年普通高等学校招生全国统一考试数学分类汇编 第八章《圆锥曲线》‎ 一、选择题（共26题）‎ ‎1．（安徽卷）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为 A． B． C． D．‎ 解：椭圆的右焦点为(2,0)，所以抛物线的焦点为(2,0)，则，故选D。‎ ‎2．（福建卷）已知双曲线(a>0,b<0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,+∞] D.(2,+∞)‎ 解析：双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，∴ ≥，离心率e2=，∴ e≥2，选C ‎3．（广东卷）已知双曲线，则双曲线右支上的点到右焦点的距离与点到右准线的距离之比等于 A. B. C. 2 D. 4‎ 解析：依题意可知 ，，故选C.‎ ‎4．（湖北卷）设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若且，则点的轨迹方程是 A． B．‎ C． D．‎ 解：设P（x，y），则Q（－x，y），又设A（a，0），B（0，b），则a>0，b>0，于是 ‎，由可得a＝x，b＝3y，所以x>0，y>0又＝（－a，b）＝（－x，3y），由＝1可得 故选D ‎5．（湖南卷）过双曲线M:的左顶点A作斜率为1的直线,若与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是 ( )‎ A. B. C. D. ‎ 解析：过双曲线的左顶点(1，0)作斜率为1的直线：y=x－1, 若与双曲线的两条渐近线分别相交于点, 联立方程组代入消元得，∴ ，x1+x2=2x1x2，又,则B为AC中点，2x1=1+x2，代入解得，∴ b2=9，双曲线的离心率e=，选A.‎ ‎6．（江苏卷）已知两点M（－2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足　＝0，则动点P（x，y）的轨迹方程为 ‎（A）　　　（B）　　　（C）　　　（D）‎ ‎【思路点拨】本题主要考查平面向量的数量积运算，抛物线的定义.‎ ‎【正确解答】设，，，‎ 则 由，则，‎ 化简整理得 所以选B ‎【解后反思】向量的坐标表示和数量积的性质在平面向量中的应用是学习的重点和难点.‎ 也是高考常常考查的重要内容之一.在平时请多多注意用坐标如何来表示向量平行和向量垂直,既要注意它们联系,也要注意它们的区别.‎ ‎7．（江西卷）设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若＝－4，则点A的坐标是（ ）‎ A．（2，±2） B. (1，±2) C.（1，2） D.(2，2)‎ 解：F（1，0）设A（，y0）则＝（ ，y0），＝（1－，－y0），由 ‎· ＝－4Þy0＝±2，故选B ‎8．（江西卷）P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆（x＋5）2＋y2＝4和（x－5）2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（ ）‎ A. 6 B‎.7 C.8 D.9‎ 解：设双曲线的两个焦点分别是F1（－5，0）与F2（5，0），则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大，此时|PM|－|PN|＝（|PF1|－2）－（|PF2|－1）＝10－1＝9故选B ‎9．（辽宁卷）双曲线的两条渐近线与直线围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎【解析】双曲线的两条渐近线方程为，与直线围成一个三角形区域时有。‎ ‎10．（辽宁卷）曲线与曲线的 ‎(A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同 ‎【解析】由知该方程表示焦点在x轴上的椭圆，由知该方程表示焦点在y轴上的双曲线，故只能选择答案A。‎ ‎【点评】本题考查了椭圆和双曲线方程及各参数的几何意义，同时着重考查了审题能力即参数范围对该题的影响。‎ ‎11．（辽宁卷）直线与曲线 的公共点的个数为 ‎(A)1 (B)2 (C)3 (D)4‎ ‎【解析】将代入得：‎ ‎，显然该关于的方程有两正解，即x有四解，所以交点有4个，故选择答案D。‎ ‎【点评】本题考查了方程与曲线的关系以及绝对值的变换技巧，同时对二次方程的实根分布也进行了简单的考查。‎ ‎12．（辽宁卷）方程的两个根可分别作为（　　）‎ Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率 Ｄ．两椭圆的离心率 解：方程的两个根分别为2，，故选A ‎ ‎13．（全国卷I）双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则 A． B． C． D．‎ 解：双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，∴ m<0，且双曲线方程为，∴ m=，选A.‎ ‎14．（全国卷I）抛物线上的点到直线距离的最小值是 A． B． C． D．‎ 解：设抛物线上一点为(m，－m2)，该点到直线的距离为，当m=时，取得最小值为，选A.‎ ‎15．（全国II）已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是 ‎（A）2 （B）6 （C）4 （D）12‎ 解析(数形结合)由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a,可得的周长为4a=,所以选C ‎16．（全国II）已知双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线的离心率为 ‎（A） (B) (C) (D) 解析:双曲线焦点在x轴,由渐近线方程可得,故选A ‎17．（山东卷）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ 解：不妨设椭圆方程为（a>b>0），则有，据此求出e＝，选B ‎18．（山东卷）在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为，则该双曲线的离心率为 ‎(A) (B)2 (C) (D)2‎ 解：不妨设双曲线方程为（a>0，b>0），则依题意有，‎ 据此解得e＝，选C ‎19．(陕西卷)已知双曲线 － =1(a>)的两条渐近线的夹角为,则双曲线的离心率为 A.2 B. C. D. 解：双曲线(a>)的两条渐近线的夹角为，则，∴ a2=6，双曲线的离心率为 ，选D．‎ ‎20．（四川卷）已知两定点，如果动点满足，则点的轨迹所包围的图形的面积等于 ‎（A） （B） （C） （D）‎ 解：两定点，如果动点满足，设P点的坐标为(x，y)，‎ 则，即，所以点的轨迹所包围的图形的面积等于4π，选B.‎ ‎21．（四川卷）直线与抛物线交于两点，过两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，则梯形的面积为 ‎（A）48 （B）56 （C）64 （D）72‎ 解析：直线与抛物线交于两点，过两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，联立方程组得，消元得，解得，和，∴ |AP|=10，|BQ|=2，|PQ|=8，梯形的面积为48，选A.‎ ‎22．（天津卷）如果双曲线的两个焦点分别为、，一条渐近线方程为，那么它的两条准线间的距离是（ ）‎ A． 　　 B．　　　　　 C． 　　 D． ‎ 解析：如果双曲线的两个焦点分别为、，一条渐近线方程为，∴ ，解得，所以它的两条准线间的距离是，选C. ‎ ‎23．（天津卷）椭圆的中心为点，它的一个焦点为，相应于焦点的准线方程为，则这个椭圆的方程是（　　）‎ Ａ． Ｂ．‎ Ｃ． Ｄ．‎ 解析：椭圆的中心为点它的一个焦点为∴ 半焦距，相应于焦点F的准线方程为 ∴ ，，则这个椭圆的方程是，选D.‎ ‎24．（浙江卷）抛物线的准线方程是 ‎ (A) (B) (C) (D) ‎ 解：2p＝8，p＝4，故准线方程为x＝－2，选A ‎25．(重庆卷)设是右焦点为的椭圆上三个不同的点，则“成等差数列”是“”的 ‎（A）充要条件 （B）必要不充分条件 ‎ ‎（C）充分不必要条件 （D）既非充分也非必要 解：a＝5，b＝3，c＝4，e＝，F（4，0），由焦半径公式可得|AF|＝5－x1，‎ ‎|BF|＝5－×4＝，|CF|＝5－x2，故成等差数列 Û（5－x1）＋（5－x2）＝2×Û故选A ‎26．（上海春）抛物线的焦点坐标为( )‎ ‎ （A）. （B）. （C）. （D）.‎ 解：（直接计算法）因为p=2 ，所以抛物线y2=4x的焦点坐标为 ．应选B． 27．（上海春）若，则“”是“方程表示双曲线”的( )‎ ‎ （A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件.‎ ‎ （C）充要条件. （D）既不充分也不必要条件.‎ 解：应用直接推理和特值否定法．当k>3时，有k-3>0,k+3>0，所以方程 表示双曲线；当方程 表示双曲线时，k=-4 是可以的，这不在k>3里．故应该选A． 二、填空题（共7题）‎ ‎28．（江西卷）已知为双曲线的两个焦点，为双曲线右支上异于顶点的任意一点，为坐标原点．下面四个命题（　　）‎ Ａ．的内切圆的圆心必在直线上；‎ Ｂ．的内切圆的圆心必在直线上；‎ Ｃ．的内切圆的圆心必在直线上； ‎ Ｄ．的内切圆必通过点．‎ 其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．‎ 解：设的内切圆分别与PF1、PF2切于点A、B，与F1F2切于点M，则|PA|＝|PB|，|F1A|＝|F1M|，|F2B|＝|F2M|，又点P在双曲线右支上，所以|PF1|－|PF2|＝2a，故|F1M|－|F2M|＝2a，而|F1M|＋|F2M|＝2c，设M点坐标为（x，0），则由|F1M|－|F2M|＝2a可得（x＋c）－（c－x）＝2a解得x＝a，显然内切圆的圆心与点M的连线垂直于x轴，故A、D正确。‎ ‎29．（山东卷）已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，‎ 则y12+y22的最小值是 .‎ 解：显然³0，又＝4（）³8，当且仅当时取等号，所以所求的值为32。‎ ‎30．（山东卷）已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 ．‎ 解：已知为所求；‎ ‎31．(上海卷)若曲线＝||＋1与直线＝＋没有公共点，‎ 则、分别应满足的条件是 ．‎ 解：作出函数的图象，‎ ‎ 如右图所示：‎ ‎ 所以，；‎ ‎32．(上海卷)已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为,且焦距与虚轴长之比为，则双曲线的标准方程是____________________.‎ 解：双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为,则焦点在x轴上，且a=3，焦距与虚轴长之比为，即，解得，则双曲线的标准方程是.‎ ‎33．(上海卷)若曲线与直线没有公共点，则的取值范围是_________.‎ 解：曲线得|y|>1，∴ y>1或y<－1，曲线与直线没有公共点，则的取值范围是[－1，1].‎ ‎34．（四川卷）如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于 七个点，是椭圆的一个焦点，则 ;‎ 解析：如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则根据椭圆的对称性知，，同理其余两对的和也是，又，∴ =35‎ 三、解答题（共28题）‎ O F x y P M H ‎35．（安徽卷）如图，F为双曲线C：的右焦点。P为双曲线C右支上一点，且位于轴上方，M为左准线上一点，为坐标原点。已知四边形为平行四边形，。‎ ‎（Ⅰ）写出双曲线C的离心率与的关系式；‎ ‎（Ⅱ）当时，经过焦点F且品行于OP的直线交双曲线于A、B点，若，求此时的双曲线方程。‎ 解：∵四边形是，∴，作双曲线的右准线交PM于H，则，又，。‎ ‎（Ⅱ）当时，，，，双曲线为四边形是菱形，所以直线OP的斜率为，则直线AB的方程为，代入到双曲线方程得：，‎ 又，由得：，解得，则，所以为所求。‎ ‎36．（北京卷）已知点，动点满足条件.记动点的轨迹为.‎ ‎（Ⅰ）求的方程；‎ ‎（Ⅱ）若是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值.‎ 解：（1）依题意，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，所求方程为： （x>0）‎ （1） 当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x＝x0，此时A（x0，），‎ B（x0，－），＝2 ‎ 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋b，代入双曲线方程中，得：（1－k2）x2－2kbx－b2－2＝0……………………1°‎ 依题意可知方程1°有两个不相等的正数根，设A（x1，y1），B（x2，y2），则 解得|k|>1又＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋（kx1＋b）（kx2＋b）＝（1＋k2）x1x2＋kb（x1＋x2）＋b2＝>2‎ 综上可知的最小值为2‎ ‎37．（北京卷）椭圆的两个焦点F1、F2，点P在椭圆C上，且P F1⊥PF2,,| P F1|=,,| P F2|=.‎ ‎（I）求椭圆C的方程；‎ ‎（II）若直线L过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M交椭圆于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线L的方程。‎ 解法一：(Ⅰ)因为点P在椭圆C上，所以，a=3.‎ 在Rt△PF1F2中，故椭圆的半焦距c=,‎ 从而b2=a2－c2=4,‎ ‎ 所以椭圆C的方程为＝1.‎ ‎(Ⅱ)设A，B的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2）. 由圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）. 从而可设直线l的方程为 y=k(x+2)+1,‎ ‎ 代入椭圆C的方程得 （4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k－27=0.‎ ‎ 因为A，B关于点M对称. 所以 解得，‎ 所以直线l的方程为 即8x-9y+25=0. (经检验，符合题意)‎ 解法二：(Ⅰ)同解法一.‎ ‎(Ⅱ)已知圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）.‎ ‎ 设A，B的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).由题意x1x2且 ‎ ①‎ ‎ ②‎ 由①－②得 ③‎ 因为A、B关于点M对称，所以x1+ x2=－4, y1+ y2=2,‎ 代入③得＝，即直线l的斜率为，‎ 所以直线l的方程为y－1＝（x+2），即8x－9y+25=0.(经检验，所求直线方程符合题意.)‎ ‎38．（福建卷）已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。‎ ‎（Ⅰ）求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点F且不与坐标轴垂直交椭圆于A、B两点，线段 AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围.‎ 本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力。‎ ‎ 解：（I）‎ ‎ 圆过点O、F，‎ ‎ 圆心M在直线上。‎ ‎ 设则圆半径 ‎ ‎ ‎ 由得 解得 ‎ 所求圆的方程为 ‎ （II）设直线AB的方程为 ‎ 代入整理得 ‎ 直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根。‎ ‎ 记中点 则 ‎ 的垂直平分线NG的方程为 令得 ‎ ‎ ‎ 点G横坐标的取值范围为 ‎39．（福建卷）已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。‎ ‎ （I）求过点O、F，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；‎ ‎ （II）设过点F的直线交椭圆于A、B两点，并且线段AB的中点在直线上，求直线AB的方程。‎ 本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力。‎ 解：（I）‎ 圆过点O、F，‎ 圆心M在直线上。‎ 设则圆半径 由得解得 所求圆的方程为 ‎（II）设直线AB的方程为 代入整理得 直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根，‎ 记中点则 线段AB的中点N在直线上，‎ ‎，或 当直线AB与轴垂直时，线段AB的中点F不在直线上。‎ 直线AB的方程是或 ‎40．（湖北卷）设分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线。‎ ‎（Ⅰ）、求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）、设为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线分别与椭圆相交于异于的点，证明点在以为直径的圆内。‎ 点评：本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力。‎ 解：（Ⅰ）依题意得 a＝‎2c，＝4，解得a＝2，c＝1，从而b＝.‎ 故椭圆的方程为 .‎ ‎（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.设M（x0，y0）.‎ ‎∵M点在椭圆上，∴y0＝（4－x02）. 又点M异于顶点A、B，∴－20，∴·>0，则∠MBP为锐角，从而∠MBN为钝角，‎ 故点B在以MN为直径的圆内。‎ 解法2：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.设M（x1，y1），N（x2，y2），‎ 则－2b>0),其半焦距c=6‎ ‎∴,b2=a2-c2=9.‎ 所以所求椭圆的标准方程为 ‎（2）点P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0)关于直线y=x的对称点分别为点P，(2，5)、F1，(0，-6)、F2，(0，6).‎ 设所求双曲线的标准方程为由题意知，半焦距c1=6‎ ‎,b12=c12-a12=36-20=16. 所以所求双曲线的标准方程为 ‎44．（江西卷）如图，椭圆Q：（a>b>0）的右焦点F（c，0），过点F的一动直线m绕点F转动，并且交椭圆于A、B两点，P是线段AB的中点 （1） 求点P的轨迹H的方程 （2） 在Q的方程中，令a2＝1＋cosq＋sinq，b2＝sinq（0b>0）上的点A（x1，y1）、B（x2，y2），又设P点坐标为P（x，y），则 ‎1°当AB不垂直x轴时，x1¹x2，‎ 由（1）－（2）得 b2（x1－x2）2x＋a2（y1－y2）2y＝0‎ ‎ ‎ ‎b2x2＋a2y2－b2cx＝0…………（3）‎ ‎2°当AB垂直于x轴时，点P即为点F，满足方程（3）‎ 故所求点P的轨迹方程为：b2x2＋a2y2－b2cx＝0‎ ‎（2）因为，椭圆 Q右准线l方程是x＝，原点距l 的距离为，由于c2＝a2－b2，a2＝1＋cosq＋sinq，b2＝sinq（0b>0）‎ 上的点A（x1，y1）、B（x2，y2），又设P点坐标为P（x，y），则 ‎1°当AB不垂直x轴时，x1¹x2，‎ 由（1）－（2）得b2（x1－x2）2x＋a2（y1－y2）2y＝0‎ ‎ ‎ ‎b2x2＋a2y2－b2cx＝0…………（3）‎ ‎2°当AB垂直于x轴时，点P即为点F，满足方程（3）‎ 故所求点P的轨迹方程为：b2x2＋a2y2－b2cx＝0‎ ‎（2）因为轨迹H的方程可化为：‎ ‎M（，），N（ ，－），F（c，0），使△MNF为一个正三角形时，则 tan＝＝，即a2＝3b2. 由于，‎ ‎，则1＋cosq＋sinq＝3 sinq，得q＝arctan ‎46．（辽宁卷）已知点,是抛物线上的两个动点,是坐标原点,向量,满足.设圆的方程为 ‎(I) 证明线段是圆的直径;‎ ‎(II)当圆C的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为时，求P的值。‎ ‎【解析】(I)证明1: ‎ 整理得: ‎ 设M(x,y)是以线段AB为直径的圆上的任意一点,则 即 整理得:‎ 故线段是圆的直径 证明2: ‎ 整理得: ……..(1)‎ 设(x,y)是以线段AB为直径的圆上则 即 去分母得: ‎ 点满足上方程,展开并将(1)代入得:‎ 故线段是圆的直径 证明3: ‎ 整理得: ……(1)‎ 以线段AB为直径的圆的方程为 展开并将(1)代入得:‎ 故线段是圆的直径 ‎(II)解法1:设圆C的圆心为C(x,y),则 又因 所以圆心的轨迹方程为 设圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则 当y=p时,d有最小值,由题设得 .‎ 解法2: 设圆C的圆心为C(x,y),则 又因 所以圆心的轨迹方程为 设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0的距离为,则 因为x-2y+2=0与无公共点,所以当x-2y-2=0与仅有一个公共点时,该点到直线x-2y=0的距离最小值为 将(2)代入(3)得 解法3: 设圆C的圆心为C(x,y),则 圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则 又因 当时,d有最小值,由题设得 .‎ ‎【点评】本小题考查了平面向量的基本运算,圆与抛物线的方程.点到直线的距离公式等基础知识,以及综合运用解析几何知识解决问题的能力.‎ ‎47．（辽宁卷）已知点是抛物线上的两个动点，是坐标原点，向量满足，设圆的方程为．‎ ‎（1）证明线段是圆的直径；‎ ‎（2）当圆的圆心到直线的距离的最小值为时，求的值．‎ 解析：本小题主要考查平面向量的基本运算，圆与抛物线的方程，点到直线的距离等基础知识，以及综合运用解析几何知识解决问题的能力。‎ ‎（I）证法一：‎ 即 整理得......................12分 设点M（x,y）是以线段AB为直径的圆上的任意一点，则 即 展开上式并将①代入得 故线段是圆的直径。‎ 证法二：‎ 即，‎ 整理得①……3分 若点在以线段为直径的圆上，则 去分母得 点满足上方程，展开并将①代入得 所以线段是圆的直径.‎ 证法三：‎ 即，‎ 整理得 以为直径的圆的方程是 展开，并将①代入得 所以线段是圆的直径.‎ ‎（Ⅱ）解法一：设圆的圆心为，则 ‎，‎ 又 所以圆心的轨迹方程为：‎ 设圆心到直线的距离为，则 当时，有最小值，由题设得……14分 解法二：设圆的圆心为，则QQ 又 ‎…………9分 所以圆心得轨迹方程为…………11分++设直线与的距离为,则 因为与无公共点.‎ 所以当与仅有一个公共点时，该点到的距离最小，最小值为 将②代入③，有…………14分 解法三：设圆的圆心为，则 若圆心到直线的距离为，那么 又 当时，有最小值时，由题设得 ‎48．（全国卷I）在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与轴的交点分别为A、B，且向量。求：‎ ‎（Ⅰ）点M的轨迹方程； （Ⅱ）的最小值。‎ ‎.解: 椭圆方程可写为: + =1 式中a>b>0 , 且 得a2=4,b2=1,所以曲线C的方程为: x2+ =1 (x>0,y>0). y=2(01,y>2) ‎ ‎(Ⅱ)| |2= x2+y2, y2= =4+ , ‎ ‎∴| |2= x2－1++5≥4+5=9.且当x2－1= ,即x=>1时,上式取等号.‎ 故||的最小值为3.‎ ‎49．（全国卷I）设P是椭圆短轴的一个端点，为椭圆上的一个动点，求的最大值。‎ 解: 依题意可设P(0,1),Q(x,y),则 |PQ|=,又因为Q在椭圆上,‎ 所以,x2=a2(1－y2) , |PQ|2= a2(1－y2)+y2－2y+1=(1－a2)y2－2y+1+a2‎ ‎ =(1－a2)(y－ )2－+1+a2 .‎ 因为|y|≤1,a>1, 若a≥, 则||≤1, 当y=时, |PQ|取最大值;‎ 若1

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