四川高考理科数学非延考区试题及答案详解

四川高考理科数学非延考区试题及答案详解

‎2008年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)‎ 理科数学(非延考卷)‎ 说明：2008年是四川省高考自主命题的第三年，因突遭特大地震灾害，四川六市州40县延考，本卷为非延考卷．‎ 一、选择题：（）‎ ‎1．若集合，，，则（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．复数（　　）‎ A．4 　B．4 C．4 　D．4‎ ‎3．（　　）‎ A． B． C． 　D．‎ ‎4．直线绕原点逆时针旋转，再向右平移1个单位后所得的直线为（　　）‎ A． B． C． 　 D．‎ ‎5．若，，则的取值范围是（　　）‎ A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．‎ ‎6．从包括甲、乙共10人中选4人去参加公益活动，要求甲、乙至少有1人参加，则不同的选法有（　　）‎ A．70 　B．112 C．140 D．168‎ ‎7．已知等比数列中，，则该数列前三项和的取值范围是（　　）‎ A． 　　B． 　C． D．‎ ‎8．设、是球的半径上的两点，且，分别过、、作垂直于的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为（　　） ‎ A．3：5：6 　　B．3：6：8 C．5：7：9 　D．5：8：9‎ ‎9．设直线平面，过平面外一点且与、都成角的直线有且只有（　　）‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 ‎ ‎10．设，其中，则函数是偶函数的充分必要条件是（　　）‎ A． 　　　B．　　　C．　　　D．‎ ‎11．定义在上的函数满足：，，则（　　）‎ A． 　B． 　 C． D．‎ ‎12．设抛物线的焦点为，准线与轴相交于点，点在上且，则的面积为（　　）‎ A．4 B．8 C．16 D．32‎ 二、填空题：（）‎ ‎13．的展开式中项的系数是 ‎ ‎14．已知直线，圆，则圆上各点到直线的距离的最小值是 ‎ ‎15．已知正四棱柱的一条对角线长为，且与底面所成的角的余弦值为，则该正四棱柱的体积是 ．‎ 16． 设等差数列的前项和为，，，则的最大值是 .‎ 三、解答题：（）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．求函数的最大值和最小值．‎ ‎18．设进入某商场的每一位顾客购买甲商品的概率0.5，购买乙商品的概率为 ‎0.6，且顾客购买甲商品与购买乙商品相互独立，每位顾客间购买商品也相互独立．‎ ‎（Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；‎ ‎（Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；‎ ‎（Ⅲ）设是进入商场的3位顾客至少购买甲、乙商品中一种的人数，求的分布列及期望．‎ B A C D E F ‎19．如图，面面，四边形与都是直角梯形，，，．‎ ‎（Ⅰ）求证：、、、四点共面；‎ ‎（Ⅱ）若，求二面角的大小．‎ ‎20．设数列满足：．‎ ‎（Ⅰ）当时，求证：是等比数列；‎ ‎（Ⅱ）求通项公式．‎ ‎21．设椭圆的左、右焦点分别是、，离心率，右准线上的两动点、，且．‎ ‎（Ⅰ）若，求、的值；‎ ‎（Ⅱ）当最小时，求证与共线．‎ ‎22．已知是函数的一个极值点．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅲ）当直线与函数的图像有3个交点，求的取值范围．‎ ‎2008年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)‎ 理科数学 说明：2008年是四川省高考自主命题的第三年，因突遭特大地震灾害，四川六市州40县延考，本卷为非延考卷．‎ 一、选择题：（）‎ ‎1、解析：选B．离散型集合的交并补，送分题．难度为三年来最低，究其原因，盖汶川地震之故．‎ ‎2、解析：选A．计算题，无任何陷阱，徒送分耳．2008四川考生因祸得福．‎ ‎3、解析：‎ 原式 ‎，‎ 选D．同角三角函数基本关系式，切化弦技巧等，属三角恒等变换范畴，辅以常规的代数变形．中等生无忧．‎ ‎4、解析：本题有新意，审题是关键．‎ 旋转则与原直线垂直，故旋转后斜率为．再右移1得．选A．‎ 本题一考两直线垂直的充要条件，二考平移法则．辅以平几背景之旋转变换．‎ ‎5、解析：，即，即，即；‎ 又由，得；‎ 综上，，即．选C．本题考到了正弦函数的正负区间．‎ 除三角函数的定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性之外，还要记对称轴、对称中心、正负区间．‎ ‎3，4，5题是本卷第一个坡，是中差生需消耗时间的地方．‎ ‎6、解析：审题后针对题目中的至少二字，首选排除法．．选C．本题应注意解题策略．‎ ‎7、解析：．由双勾函数的图象知，或，故本题选D．本题主要考查等比数列的相关概念和双勾函数的图象和性质．以上诸题，基本功扎实的同学耗时不多．‎ ‎8、解析：由题知，、是的三等分点，三个圆的面积之比即为半径的平方之比．在球的轴载面图中易求得：‎ ‎，，故三个圆的半径的平方之比为：，故本题选D．本题着意考查空间想象能力． ‎ ‎9、解析：所求直线在平面内的射影必与直线平行，这样的直线只有两条，选B．本题考查空间角的概念和空间想象能力．‎ ‎10、解析：本题考查理性思维和综合推理能力．函数是偶函数，则，，故排除A，B．‎ 又，，．选D．此为一般化思路．也可走特殊化思路，取，验证．‎ ‎11、解析：由，知，所以，即是周期函数，‎ 周期为4．所以．选C．题着意考查抽象函数的性质．赋值、迭代、构造是解抽象函数问题不可或缺的三招．本题看似艰深，实为抽象函数问题中的常规题型，优生要笑了．‎ ‎12、解析：解几常规题压轴，不怕．边读题边画图．的焦点，准线，．设，由，得，即．化简得：‎ ‎，与联立求解，解得：，．，选B．‎ 本题的难度仅体现在对运算的准确性和快捷性上．‎ 二、填空题：（）‎ ‎13、答案：．‎ 解析：二项式定理再现，难度高于文科。‎ ‎．‎ 项的系数是．这是中档略偏难的常规题．中差生在准确性和快捷性上有缺陷．‎ ‎14、答案：．‎ 解析：由数想形，所求最小值＝圆心到到直线的距离－圆的半径．圆心到直线的距离．故最小值为．‎ ‎15、答案：2．‎ 解析：由题意，，，‎ ‎16、答案：4．‎ 解析：由题意，，即，，．‎ 这是加了包装的线性规划，有意思．建立平面直角坐标系，画出可行域 ‎（图略），画出目标函数即直线，由图知，当直线过可行域内点时截距最大，此时目标函数取最大值．本题明为数列，实为线性规划，着力考查了转化化归和数形结合思想．掌握线性规划问题＂画－移－求－答＂四步曲，理解线性规划解题程序的实质是根本．这是本题的命题意图．‎ 因约束条件只有两个，本题也可走不等式路线．设，由解得，∴，由不等式的性质得： ，即，的最大值是4．‎ 从解题效率来看，不等式路线为佳，尽管命题者的意图为线性规划路线．本题解题策略的选择至关重要．‎ 三、解答题：（）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17、解析：‎ ‎，．‎ 解析：‎ ‎，．‎ ‎18、解析：题目这么容易，估计今年的评分标准要偏严了．‎ ‎（Ⅰ）‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎（Ⅲ）可取0，1，2，3．‎ ‎　　　　　　　　‎ ‎　　 ‎ 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎0.008‎ ‎0.096‎ ‎0.384‎ ‎0.512‎ ‎．‎ ‎19、解析：不是会不会的问题，而是熟不熟的问题，答题时间是最大问题．‎ ‎（Ⅰ）∵面面，‎ ‎　　　∴面．‎ ‎　　　∴以为原点，以，，所在直线为轴，轴，轴，‎ 建立如图所示的空间直角坐标系．‎ 不妨设，，，则 ‎　　　，，，，，．‎ ‎　　　∴，，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴、、、四点共面．‎ ‎（Ⅱ）设，则，∴，，．‎ 设平面的法向量为，‎ ‎　　　由，得，‎ ‎　　　设平面的法向量为 由，得，‎ ‎　　　‎ ‎　　　由图知，二面角为锐角，∴其大小为．‎ ‎20、解析：由题意，在中，令，得，．‎ ‎　　　由 ‎　　　得 ‎　　　两式相减得：‎ ‎　　　即　　　…………①‎ ‎（Ⅰ）当时，由①知，‎ ‎　　　于是 ‎ 又，所以是首项为1，公比为2的等比数列．‎ ‎（Ⅰ）变：当时，求的通项公式．解法如下：‎ 解：当时，由①知，‎ 两边同时除以得 ‎　　　　　　 ∴是等差数列，公差为，首项为 ‎　　　　　　∴‎ ‎∴（∴，∴是等比数列，首项为1，公比为2）‎ ‎（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知，，即 当时，由①：‎ ‎　　　两边同时除以得 可设　…………②‎ 展开②得，与比较，‎ 得，∴．‎ ‎∴‎ ‎∴是等比数列，公比为，首项为 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎21、解析：数列和解几位列倒数第三和第二，意料之中．开始挤牙膏吧．‎ ‎（Ⅰ）由已知，，．由，，∴．‎ 又，∴，．‎ ‎∴：，，．‎ 延长交于，记右准线交轴于．‎ ‎∵，∴．‎ 由平几知识易证≌‎ ‎∴，‎ 即，．‎ ‎∵，‎ ‎∴，，，．‎ ‎∴，．‎ ‎（Ⅰ）另解：∵，∴，．‎ 又 联立，消去、得：，‎ 整理得：，．解得．但解此方程组要考倒不少人．‎ ‎（Ⅱ）∵，∴．‎ ‎．‎ 当且仅当或时，取等号．此时取最小值．‎ 此时．‎ ‎∴与共线．‎ ‎（Ⅱ）另解：∵，∴，．‎ ‎　　　设，的斜率分别为，．‎ 由，由 ‎．当且仅当即，时取等号．‎ 即当最小时，，‎ 此时．‎ ‎∴与共线．‎ ‎22、解析：似曾相识．通览后三题，找感觉，先熟后生，先易后难，分步得分．本卷后三难中，压轴题最熟最易入手．‎ ‎（Ⅰ）‎ 是函数的一个极值点．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ），．‎ ‎　　　‎ 令，得，．‎ 和随的变化情况如下：‎ 增 极大值 减 极小值 增 的增区间是，；减区间是．‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知，在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减．‎ ‎　　　∴，．‎ ‎　　　又时，；时，；‎ ‎　　　可据此画出函数的草图（图略），由图可知，‎ 当直线与函数的图像有3个交点时，的取值范围为．‎