课间学习网智能题库——全国高考文科数学试题及答案辽宁卷
2013 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）
数学（供文科考生使用）
第 I 卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
（1）已知集合 1,2,3,4 , | 2 ,A B x x A B 则
（A） 0 （B） 0,1 （C） 0,2 （D） 0,1,2
【答案】B
【解析】 由已知，B= 所以 A∩B= ，选 B。
（2）复数的 1
1Z i
模为
（A） 1
2
（B） 2
2
（C）（D）
【答案】B
【解析】由已知 Z= − ,所以
选 B
（3）已知点 1,3 , 4, 1 ,A B AB 则与向量 同方向的单位向量为
（A） 3 4
5 5
，- （B） 4 3
5 5
，-
（C） 3 4
5 5
， （D） 4 3
5 5
，
【答案】A
【解析】 ，所以| | 5AB ，这样同方向的单位向量是
3 4
5 5
，- 选 A
（4）下面是关于公差 0d 的等差数列 na 的四个命题：
1 : np a数列 是递增数列； 2 : np na数列 是递增数列；
3 : nap n
数列 是递增数列； 4 : 3np a nd数列 是递增数列；
其中的真命题为
（A） 1 2,p p （B） 3 4,p p （C） 2 3,p p （D） 1 4,p p
【答案】D
【解析】因为= ，且 所以函数是增函数，所以正确；
,增区间是 , 当 ，不是递增 所以错；
,如果 是递减数列， 是常数列， 是递增数列，所以错；
，是递增数列，正确.选 D
（5）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，
数据的分组一次为 20,40 , 40,60 , 60,80 ,8 20,100 .
若低于 60 分的人数是 15 人，则该班的学生人数是
（A）（B）
（C）（D）
【答案】B
【解析】第一、第二小组的频率分别是 0.005×20=0.1,0.01×20=0.2，所以低于 60 分
的频率是 0.3，设班级人数为 x，则 .选 B
（6）在 ABC ，内角 , ,A B C 所对的边长分别为 , , .a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B A b
,a b B 且 则
A．
6
B．
3
C． 2
3
D． 5
6
【答案】A
1sin cos sin cos ,2a B C c B A b
因为 0
b,所以 B 为锐角 所以 B= ，选 A
（7）已知函数 2 1ln 1 9 3 1,. lg 2 lg 2f x x x f f
则
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 2( ) ln( 1 9 3 ) 1f x x x 所以 ( ) ( ) 2f x f x ，因为 lg 2 + 1lg 2
= 0 所以
选 D.
（8）执行如图所示的程序框图，若输入 8,n S 则输出的
A． 4
9
B． 6
7
C． 8
9
D．10
11
【答案】A
【解析】 2
1
1s s i
是对 2
1
1i
求和。因为 2
1 1 1 1( )2 1 11 i ii
，
同时 2i i ，所以所求和为 1 1 1 1 1 1 1[( ) ( ) ( )]2 1 3 3 5 7 9
= 4
9
（9）已知点 30,0 , 0, , , . ABC ,O A b B a a 若 为直角三角形 则必有
A． 3b a B． 3 1b a a
C． 3 3 1 0b a b a a
D． 3 3 1 0b a b a a
【答案】C
【解析】若 A 为直角，则根据 A、B 纵坐标相等，所以 3 0b a ；若 B 为直角，则利用
1OB ABK K 或 得 3 1 0b a a
，所以选 C
（10）已知三棱柱 1 1 1 6 . 3 4ABC A B C O AB AC 的 个顶点都在球 的球面上若 ， ，
,AB AC 1 12AA O ，则球 的半径为
A． 3 17
2
B． 2 10 C．13
2
D．3 10
[答案]C
【解析】如图：因为 ,AB AC 所以 BC 是小圆的直径， 是小圆的直径，
所以球心在 的中点 R= =
（11）已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
的左焦点为 ,F C与过原点的直线相交于
,A B两点，连接 AF,BF 若 ， ，则 C 的离心率为
（A） 3
5
（B） 5
7
（C） 4
5
（D） 6
7
【答案】B
【解析】设为椭圆的右焦点，由椭圆的对称性知，四边形 AFB 是平行四边形，由
， 得 AF=6 即有 ，所以
c=FO= ,2a=AF+A ，所以 e= 选 B
（12）已知函数 2 2 2 22 2 , 2 2 8.f x x a x a g x x a x a 设
1 2max , , min , , max ,H x f x g x H x f x g x p q 表示 ,p q 中的较
大值， min ,p q 表示 ,p q 中的较小值，记 1H x 得最小值为 2H x 得最小值为,则
A B
（A） 2 2 16a a （B） 2 2 16a a
（C） 16 （D）
【答案】C
【解析】
⟹
解得： 两曲线交
点为 M , N
A B − =−16，选 C
第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题-第 22 题为必考题，每个试题考
生都必须作答。第 22 题-第 24 题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.
（13）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是.
【答案】16 16
【解析】直观图是圆柱中去除正四棱柱。V 2 22 4 2 4 16 16
（14）已知等比数列 1 3n n na S a n a a是递增数列, 是 的前 项和.若 ， 是方程
2
65 4 0x x S 的两个根，则 .
【答案】63
【解析】解方程 得 1 31, 4a a ，所以 2 3
1
4aq a
， 2q 代入等比求和
公式得 6 63S
（15）已知为双曲线
2 2
: 1 ,9 16
x yC P Q C PQ 的左焦点， 为 上的点，若 的长等于
虚轴长的2倍，点 A 在线段 PQ 上，则∆PQF 的周长为.
【答案】44
【解析】| | | | 6,| | | | 6,FP PA FQ QA + =8
⟹
| | | | 28FP FQ ，
| | | | | | 44FP FQ PQ
Py
（16）为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取 5 个班级，把每个班
级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为 7，样本方差为 4，且样本数据互相
不相同，则样本数据中的最大值为.
【答案】10
【解析】方法一：设五个班级的数据分别为 0≤ ,
=7⋯
⋯
⟹
在 中最大的不能是 ，假
设当最大值是 时， 由于
所以 或两个为
1
一个
为
2
，一个为
0
，都不符合数据不等和整数的条件，因此最大值只能是，又
+++=20所以数据为
4
，
6
，
7
，
8
，
10方法二：设五个班级的数据分别为 0< ,
=7
⟺
⋯
=4
⇔
⋯
构造函数 ，
x
对 恒成立
即 4-2 =4-2 >0 对
恒成立，所以 −4×4 <0
⟹ ⟹所以 数据为 4，6，7，8，10
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分 12 分）
设向量 3sin ,sin , cos ,sinx , 0, .2a x x b x x
（I）若 .a b x 求 的值；
（II）设函数 ( ) ( )f x a b f x ，求 的最大值
【解析】：由
.
,得 4 ,又 .从而 .所以 .
,
= =
当 ∈ 时， 取最大值 1
所以 的最大值为
18．（本小题满分 12 分）
如图， .AB O PA O C O是圆 的直径， 垂直圆 所在的平面， 是圆 上的点
（I）求证： BC PAC 平面 ；
（II）设 / / .Q PA G AOC QG PBC为 的中点， 为 的重心，求证： 平面
.由 AB 是圆 O 的直径.得 AC
⊥
BC.由 PA
⊥
平面
ABC,BC⊂
平面
ABC.
得 PA
⊥BC
又
PA∩AC=A.PA⊂
平面
PAC.AC⊂
平面
PAC.
所以
BC⊥
平面
PAC.连 QG 并延长交 AC 与 M,连接 QM,QO.由 G 为
∆
AOC 的重心.得 M 为 AC 中点.
得 QM
∥
PC 又 O 为 AB 中点，得 OM
∥
BC,因为 QM
∩
MO
=
M,QM
⊂
平面
QMO,
QO
⊂
平面
QMO.
BC∩PC=C. BC⊂
平面
PBC. PC⊂
平面
PBC.
所以平面
QMO∥
平面
PBC.因为 QG
⊂
平面
QMO.
所以 QG
∥
平面
PBC19．（本小题满分 12 分）
现有 6 道题，其中 4 道甲类题，2 道乙类题，张同学从中任取 3 道题解答.试求：
（I）所取的 2 道题都是甲类题的概率；
（II）所取的 2 道题不是同一类题的概率.
.将 4 道甲类题依次编号为 1，2，3，4：2 道乙类题依次编号为 5，6.任取 2 道题，
基本事件为：
共 15 个.而且这些基本事件的出现是等可
能的.
用 A 表示’’都是甲类题’’这一事件.则 A 包含的基本事件有
.共 6 个.所以 P .
. 基本事件同 .用B表示’’不是同一类题’’这一事件,则B包含的基本事件
有 共 8 个,所以 P
20．（本小题满分 12 分）
如图，抛物线 2 2
1 2 0 0 2: 4 , : 2 0 . ,C x y C x py p M x y C 点 在抛物线 上，
1M C过 作 0, , . 1 2A B M O A B O x 的切线，切点为 为原点 时， 重合于 当 时，
1- .2MA切线 的斜率为
（I） P求 的值 ；
（II） 2M C AB N当 在 上运动时，求线段 中点 的轨迹方程
, , .A B O O重合于 时 中点为
[解析] （I）因为抛物线:
=
4 上任意一点 的切线斜率为 .且切线 MA 的斜率为
−
，
所以
A
点的坐标为
.
故切线
MA
的方程为
因为 M 在切线 MA 与抛物线上。于是
所以 P
=
2
（II）设 N .A ,B . ,由 N 为线段 AB 中点知
切线 MA,MB 的方程为
MA,MB 的交点 M 的坐标为
又 M 在上，即 ,所以
所以 ,
当 时也满足所以 AB 中点轨迹方程为
21．（本小题满分 12 分）
（I）证明：当 20,1 sin ;2x x x x 时，
（II）若不等式
3
2 2 2 cosx 4 0,12
xax x x x a 对 恒成立，求实数 的 取
值范围.
【解析】（I）记 F ,则 当
∈
时，
,
F 在 上是增函数；当
∈
时，
,
F 在 上是减函数；又 F ，
F ,所以当
∈
时 F .即
记 H ，则当
∈
时，
<0
，所以 H 在 上是
减函数，则 H ，即
综上，
≤
，
∈（II）解法一
因为当
∈
时
≤
=
所以，当 时，不等式 对
∈
恒成立
下面证明，当 时，不等式 对
∈
不恒
成立
因为
∈
时，
≥
=
≥
=
所以存在 （例如取 和 中的较小值）满足
即当
a>−2
时，
≤0
对
∈
不恒成立。
综上，实数
a
的取值范围是（
−∞
，
−2]
解法二
记 ，
则 ，
记
G ,
则
=2+3
当 时，
> ,
因此
<2+3
于是 在 上是减函数，因此，当 时， ，即
当 时，
≤0
对
∈
不恒成立。
下面证明，当 时，下面证明，当 时，不等式
对
∈
不恒成立，
由于 在 上是减函数，且
= >0
，
= ≥6 −
时， ，所以当
时， ，因此
在 上是增函数，故
当
<6 −
时， ，又
>0
，故存在 使
=0
则当
0 =0
所以 在 上是增函数，所以
当 时，
所以当 时，不等式 对
∈
不恒成立，
综上，实数
a
的取值范围是（
−∞
，
−2]
请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一
题计分。作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。
22．（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲
如图， .AB O CD O E AD CD D 为 直径，直线 与 相切于 垂直于 于 ，BC垂直于
, .CD C EF F AE BE于 ， 垂直于 ，连接 证明：
（I） ;FEB CEB
（II） 2 .EF AD BC
解析（I）由直线 CD 与圆 O 相切，得
∠CEB=∠EAB
由
AB
为圆
O
的直径，得
AE⊥EB,
从而
∠EAB+∠EBF= ,
又
EF⊥AB
，得
∠FEB+∠EBF= ,
从而
∠EAB=∠FEB
，故
∠FEB=∠CEB
（II）由 BC
⊥
CE,EF
⊥
AB,
∠FEB=∠CEB,BE
是公共边，得
Rt⊿BCE≅ Rt⊿AFE,
得
AD=AF,
又在
Rt⊿AEB
中，EF
⊥
AB,故 ,所以
23（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 xoy 中以为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系.圆，直线的极坐标方程分
别为 4sin , cos 2 2.4
.
（I） 1 2C C求 与 交点的极坐标；
（II） 1 1 2 .P C Q C C PQ设 为 的圆心， 为 与 交点连线的中点已知直线 的参数方程为
3
3 , , .
12
x t a
t R a bby t
为参数 求 的值
[解析] （I）圆的直角坐标方程为 ,直线的直角坐标方程为 ,
解 得 , ,所以交点的极坐标为 ，
注不唯一
（II）P,Q 的直角坐标为 PQ 的直角方程为 ，由参数方程可得
所以 解得
24．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
已知函数 , 1.f x x a a 其中
（I） =2 4 4 ;a f x x 当 时，求不等式 的解集
（II） 2 2 2 |1 2 ,x f x a f x x x 已知关于 的不等式 的解集为
.a求 的值
【解析】（I）当 时，
当 时，由 得 解得
当 时， 无解
当 时， 的解集为 解得
所以 的解集为
（II）记 ,则
由 ，解得
又已知 的解集为
所以 于是
