2009-2016年北京高考数学理科圆锥曲线试题汇编

2009-2016年北京高考数学理科圆锥曲线试题汇编

‎13．（2016北京理）双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a=　　　　　　．‎ ‎【分析】根据双曲线渐近线在正方形的两个边，得到双曲线的渐近线互相垂直，即双曲线是等轴双曲线，结合等轴双曲线的性质进行求解即可．‎ ‎【解答】解：∵双曲线的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，‎ ‎∴渐近线互相垂直，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为y=±x，‎ 即a=b，‎ ‎∵正方形OABC的边长为2，‎ ‎∴OB=2，即c=2，‎ 则a2+b2=c2=8，‎ 即2a2=8，‎ 则a2=4，a=2，‎ 故答案为：2‎ ‎【点评】本题主要考查双曲线的性质的应用，根据双曲线渐近线垂直关系得到双曲线是等轴双曲线是解决本题的关键．‎ ‎19．（2016北京理）已知椭圆C：（a＞0，b＞0）的离心率为，A（a，0），B（0，b），O（0，0），△OAB的面积为1．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N．求证：|AN|•|BM|为定值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和三角形的面积公式，结合a，b，c的关系，解方程可得a=2，b=1，进而得到椭圆方程；‎ ‎（Ⅱ）方法一、设椭圆上点P（x0，y0），可得x02+4y02=4，求出直线PA的方程，令x=0，求得y，|BM|；求出直线PB的方程，令y=0，可得x，|AN|，化简整理，即可得到|AN|•|BM|为定值4．‎ 方法二、设P（2cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），求出直线PA的方程，令x=0，求得y，|BM|；求出直线PB的方程，令y=0，可得x，|AN|，运用同角的平方关系，化简整理，即可得到|AN|•|BM|为定值4．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，‎ 又△OAB的面积为1，可得ab=1，‎ 且a2﹣b2=c2，‎ 解得a=2，b=1，c=，‎ 可得椭圆C的方程为+y2=1；‎ ‎（Ⅱ）证法一：设椭圆上点P（x0，y0），‎ 可得x02+4y02=4，‎ 直线PA：y=（x﹣2），令x=0，可得y=﹣，‎ 则|BM|=|1+|；‎ 直线PB：y=x+1，令y=0，可得x=﹣，‎ 则|AN|=|2+|．‎ 可得|AN|•|BM|=|2+|•|1+|‎ ‎=||=||‎ ‎=||=4，‎ 即有|AN|•|BM|为定值4．‎ 证法二：设P（2cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），‎ 直线PA：y=（x﹣2），令x=0，可得y=﹣，‎ 则|BM|=||；‎ 直线PB：y=x+1，令y=0，可得x=﹣，‎ 则|AN|=||．‎ 即有|AN|•|BM|=||•||‎ ‎=2||‎ ‎=2||=4．‎ 则|AN|•|BM|为定值4．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率和基本量的关系，考查线段积的定值的求法，注意运用直线方程和点满足椭圆方程，考查化解在合理的运算能力，属于中档题．‎ ‎10．（2015北京理）已知双曲线的一条渐近线为，则__________．‎ ‎【解析】令，所以．‎ ‎19． （2015北京理）‎ 已知椭圆：（）的离心率为，点，和点都 在椭圆上，直线交轴于点M． ‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程，并求点的坐标（用，表示）；‎ ‎（Ⅱ）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点．问：轴上是否存在点Q，使得若存在，求点的坐标；若不不存在，说明理由．‎ ‎ ‎ 解：（Ⅰ）由题意知，，又，解得，‎ 所以的方程为．‎ 的斜率，所以方程，‎ 令，解得，所以 ‎（Ⅱ），同（I）可得，‎ ‎，，‎ 因为所以，‎ 设则即，‎ 又在椭圆上，所以，即，‎ 所以，故存在使得 ‎11．（2014北京理）设双曲线经过点，且与具有相同渐近线，则的方程为______；‎ ‎ 渐近线方程为__________。‎ 解答：，；‎ ‎19．（2014北京理）已知椭圆，⑴求椭圆的离心率；⑵设为原点，若点在椭圆上，点在直线上，且，求直线与圆的位置关系，并证明你的结论。‎ 解答：⑴由题意，椭圆：，所以，，从而。因此，。故椭圆的离心率；‎ ⑵直线与圆相切。证明如下：设点，，其中。因，故，即，解得。当时，，代入椭圆的方程，得。故直线：，圆心到直线的距离。‎ 此时直线与圆相切；当时，直线：，即，圆心到的距离 。又，，故 ，此时与圆相切。综上得证。‎ ‎6．（2013北京理）若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎ 答案：B ‎7．（2013北京理）直线过抛物线：的焦点且与轴垂直，则与所围成的图形的面积等于 （ ）‎ A． B．2 C． D．‎ 解答：（7）C ‎19．（2013北京理） (本小题共14分)‎ 已知、、是椭圆W：上的三个点，是坐标原点．‎ ‎（1）当点是的右顶点，且四边形为菱形时，求此菱形的面积．‎ ‎（2）当点不是的顶点时，判断四边形是否可能为菱形，并说明理由．‎ 解：（Ⅰ）椭圆的右顶点B的坐标为（2，0）．‎ ‎ 因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分．‎ ‎ 所以可设A（1，m），代入椭圆方程得，即 ‎ 所以菱形OABC的面积是 ‎ （Ⅱ）假设四边形OABC为菱形．‎ ‎ 因为点B不是W的顶点，且直线AC不过原点，所以可设AC的方程为 ‎ ‎ ‎ 由消去y并整理得 ‎ ‎ ‎ 设，，则 ‎ 所以AC的中点为 ‎ 因为M为AC和OB的交点，所以直线OB的斜率为 ‎ 因为，所以AC与OB不垂直．‎ ‎ 所以OABC不是菱形，与假设矛盾． 所以当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC不可能是菱形．‎ ‎12．（2012北京理）在直角坐标系中，直线过抛物线的焦点，且与该抛物线相交于、两点，其中，点在轴上方．若直线的倾斜角为，则的面积为 ．‎ ‎【解析】由可求得焦点坐标F(1,0)，因为倾斜角为，所以直线的斜率为，利用点斜式，直线方程为，将直线和曲线联立 ‎，因此．‎ ‎【答案】‎ ‎19．（2012北京理）（本小题共14分）‎ 已知曲线：．‎ ‎（1）若曲线是焦点在轴点上的椭圆，求的取值范围；‎ ‎（2）设，曲线与轴的交点为、（点位于点的上方），直线 与曲线交于不同的两点、，直线与直线交于点．‎ 求证：三点共线．‎ 解：（1）原曲线方程可化简得：‎ 由题意可得：，解得：‎ ‎（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：，‎ ‎，解得： 由韦达定理得：①，，②‎ 设，，‎ 方程为：，则，‎ ‎，，‎ 欲证三点共线，只需证，共线 即成立，化简得：‎ 将①②代入易知等式成立，则三点共线得证。（lby lfx）‎ ‎19．（2011北京理）（本小题共14分）‎ 已知椭圆，过点作圆的切线交椭圆于两点，‎ ‎（1）求椭圆的焦点坐标及离心率；‎ ‎（2）将表示为的函数，并求的最大值；‎ 解：（I）由题意得a=2，b=1，所以c=∴椭圆G的焦点坐标 离心率e=．‎ ‎（II）由题意知：|m|≥1，‎ 当m=1时，切线l的方程为x=1，点A（1，） 点B（1，﹣） 此时|AB|=；‎ 当m=﹣1时，同理可得|AB|=；‎ 当m≠±1时，设切线l的方程为：y=k（x﹣m），由⇒（1+4k2）x2﹣8k2mx+4k2m2﹣4=0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=‎ 又由l与圆圆x2+y2=1相切∴圆心到直线l的距离等于圆的半径即=1⇒m=，‎ 所以|AB|=‎ ‎==，由于当m=±1时，|AB|=，‎ 当m≠±1时，|AB|=，此时m∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） ‎ 又|AB|=≤2（当且仅当m=±时，|AB|=2），‎ 所以，|AB|的最大值为2．‎ 故|AB|的最大值为2．‎ ‎13．（2010北京理）已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 ．‎ ‎，‎ ‎19．（2010北京理）（本小题共14分）www.@ks@5u.com 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，是动点，且直线与的斜率之积等于.(1)求动点的轨迹方程；‎ ‎(2)设直线与分别与直线交于点、，问：是否存在点使得与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.‎ ‎19，解：（1）因点B与（-1,1）关于原点对称，得B点坐标为（1，-1）。‎ ‎ 设P点坐标为，则，由题意得，‎ ‎ 化简得：。即P点轨迹为：‎ ‎ （2）因，可得，‎ ‎ 又，‎ ‎ 若，则有， 即 设P点坐标为，则有：解得：，又因，解得。‎ ‎ 故存在点P使得与的面积相等，此时P点坐标为或 ‎13．（2009北京理）椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，则_________；的小大为____________.‎ ‎19．（2009北京理）（本小题共14分）‎ 已知双曲线的离心率为，右准线方程为 ‎（1）求双曲线的方程；‎ ‎（2）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值。 ‎ 解答（Ⅰ）由题意，得，解得，‎ ‎∴，∴所求双曲线的方程为.‎ ‎（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为，线段AB的中点为，‎ 由得（判别式）,‎ ‎∴,‎ ‎∵点在圆上，‎ ‎∴，∴.‎