上海市静安区高考数学一模试卷

上海市静安区高考数学一模试卷

‎2019年上海市静安区高考数学一模试卷 一、填空题 ‎1．（3分）函数y＝log2 （4﹣x2）的定义域是　 　．‎ ‎2．（3分）已知向量＝（1，2），＝（3，5），则向量的坐标是　 　．‎ ‎3．（3分）在二项式（x2﹣）5的展开式中，含x4的项的系数是　 　．‎ ‎4．（3分）若直线（2a2﹣7a+3）x+（a2﹣9）y+3＝0与x轴平行，则a的值是　 　．‎ ‎5．（3分）若α，β是一二次方程2x2+x+3＝0的两根，则＝　 　．‎ ‎6．（3分）在数列{an}中，a1＝1，且{an}是公比为的等比数列，设Tn＝a1+a3+a5+…+a2n﹣1，则Tn＝　 　．（n∈N*）‎ ‎7．（3分）某用人单位为鼓励员工爱岗敬业，在分配方案中规定：年度考核合格的员工，从下一年一月份开始在上一年平均月工资收入基础上增加7%作为新一年的月工资收入．假设某员工自2004年一月以来一直在该单位供职，且同一年内月工资收入相同，2004年的月工资收入为5000元，则2019年一月该员工的月工资收入为　 　元．（结果保留两位小数）‎ ‎8．（3分）已知cos（）＝，则cos（）＝　 　．‎ ‎9．（3分）以两条直线11：2x+y＝0．l2：x+3y+5＝0的交点为圆心，并且与直线x+3y+15＝0相切的圆的方程是　 　．‎ ‎10．（3分）已知球的半径为24cm，一个圆锥的高等于这个球的直径，而且球的表面积等于圆锥的表面积，则这个圆锥的体积是　 　cm3．‎ ‎11．（3分）集合A＝{y|y＝logx﹣x，1≤x≤2}，B＝{x|x2﹣5tx+1≤0}，若A∩B＝A，则实数t的取值范围是　 　‎ ‎12．（3分）若定义在实数集R上的奇函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，且当0≤x≤1时，f（x）＝x，则方程f（x）＝在区间（﹣4，10）内的所有实根之和为　 　．‎ 二、选择题 ‎13．（3分）电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告，其中4个商业广告2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有（　　）‎ A．A•A B．C•C ‎ C．A•A D．C•C ‎14．（3分）已知椭圆的标准方程为＝1（m＞0），焦点在x轴上，则其焦距为（　　）‎ A．2 B．2 C．2 D．2‎ ‎15．（3分）已知下列4个命题：‎ ‎①若复数z1，z2的模相等，则z1，z2是共轭复数 ‎②z1，z2都是复数，若z1+z2是虚数，则z1不是z2的共轭复数 ‎③复数z是实数的充要条件是z＝．（是z的共轭复数）．‎ ‎④已知复数z1＝﹣1+2i，z2＝1﹣i，z3＝3﹣2i（i是虚数单位），它们对应的点分别为A，B，C，O为坐标原点，若＝x+y（x，y∈R），则x+y＝1．‎ 则其中正确命题的个数为（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎16．（3分）设表示平面向量，||，||都是小于9的正整数，且满足（||+||）（||+3||）＝105，（+）（+3）＝33，则和的夹角大小为（　　）‎ A． B． C． D．‎ 三、解答题 ‎17．如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角为60°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95米，AB与水平线之间的夹角为6°20′，AC的长为1.40米，计算BC的长（结果保留3个有效数字，单位：米）‎ ‎18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA＝AC＝AB，E、F分别是CD、PD的中点．‎ ‎（1）求证：CD⊥平面PAE；‎ ‎（2）求异面直线AF与PE所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．‎ ‎19．设f（x）＝sin2x+2acosx+a2﹣6a+13．x∈[﹣，]．‎ ‎（1）求函数f（x）的最大值M；‎ ‎（2）对（1）中的M，是否存在常数b（b＞0且b≠1），使得当a＞1时，y＝logbM有意义，且y的最大值是﹣？若存在，求出b的值；若不存在，说明理由．‎ ‎20．设m＞0，椭圆Γ：＝1与双曲线C：m2x2﹣y2＝m2的焦点相同．‎ ‎（1）求椭圆Γ与双曲线C的方程；‎ ‎（2）过双曲线C的右顶点作两条斜率分别为k1，k2的直线l1，l2，分别交双曲线C于点P，Q（P，Q不同于右顶点），若k1•k2＝﹣1，求证：直线PQ的倾斜角为定值，并求出此定值；‎ ‎（3）设点T（0，2），若对于直线l：y＝x+b，椭圆Γ上总存在不同的两点A与B关于直线l对称，且9＜4＜10，求实数b的取值范围．‎ ‎21．将n个数a1，a2，…，an的连乘积a1•a2•…•an记为ai，将n个数a1，a2，…，an的和a1+a2+…+an记为，n∈N*）‎ ‎（1）若数列{xn}满足x1＝1，xn+1＝x+xn，n∈N*，设Pn＝，Sn＝．‎ 求P5+S5；‎ ‎（2）用[x]表示不超过x的最大整数，例如[2]＝2，[3.4]＝3，[﹣1.8]＝﹣2．若数列{xn}满足x1＝1，xn+1＝x+xn，n∈N*，求[]的值；‎ ‎（3）设定义在正整数集N*上的函数f（n）满足，当＜n≤（m∈N*）时，f（n）＝m，问是否存在正整数n，使得＝2019？若存在，求出n的值；若不存在，说明理由（已知＝）．‎ ‎2019年上海市静安区高考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、填空题 ‎1．（3分）函数y＝log2 （4﹣x2）的定义域是　（﹣2，2）　．‎ ‎【考点】33：函数的定义域及其求法．菁优网版权所有 ‎【专题】33：函数思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用．‎ ‎【分析】根据对数函数的性质转化为不等式进行求解即可．‎ ‎【解答】解：要使函数有意义，4﹣x2＞0，‎ 得x2＜4，得﹣2＜x＜2，‎ 即函数的定义域为（﹣2，2），‎ 故答案为：（﹣2，2）‎ ‎【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．比较基础．‎ ‎2．（3分）已知向量＝（1，2），＝（3，5），则向量的坐标是　（2，3）　．‎ ‎【考点】9J：平面向量的坐标运算．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题；35：转化思想；41：向量法；5A：平面向量及应用．‎ ‎【分析】根据即可求出向量的坐标．‎ ‎【解答】解：．‎ 故答案为：（2，3）．‎ ‎【点评】考查向量减法的几何意义，以及向量坐标的减法运算．‎ ‎3．（3分）在二项式（x2﹣）5的展开式中，含x4的项的系数是　10　．‎ ‎【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题．‎ ‎【分析】根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x的指数为4求得r，再代入系数求出结果．‎ ‎【解答】解：根据所给的二项式写出展开式的通项，‎ ‎ ，‎ 要求x4的项的系数 ‎∴10﹣3r＝4，‎ ‎∴r＝2，‎ ‎∴x4的项的系数是C52（﹣1）2＝10‎ 故答案为：10‎ ‎【点评】本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．‎ ‎4．（3分）若直线（2a2﹣7a+3）x+（a2﹣9）y+3＝0与x轴平行，则a的值是　　．‎ ‎【考点】I3：直线的斜率；II：直线的一般式方程与直线的平行关系．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5B：直线与圆．‎ ‎【分析】直线（2a2﹣7a+3）x+（a2﹣9）y+3＝0与x轴平行，则，解得即可．‎ ‎【解答】解：直线（2a2﹣7a+3）x+（a2﹣9）y+3＝0与x轴平行，则，解得a＝，‎ 故答案为：‎ ‎【点评】本题给出两条直线互相平行，求参数a的值．着重考查了两条直线平行的条件及其应用的知识，属于基础题．‎ ‎5．（3分）若α，β是一二次方程2x2+x+3＝0的两根，则＝　﹣　．‎ ‎【考点】3V：二次函数的性质与图象．菁优网版权所有 ‎【专题】51：函数的性质及应用．‎ ‎【分析】由已知结合韦达定理，可得α+β＝﹣，α•β＝，进而根据＝代入可得答案．‎ ‎【解答】解：∵α，β是一二次方程2x2+x+3＝0的两根，‎ ‎∴α+β＝﹣，α•β＝，‎ ‎∴＝＝＝﹣，‎ 故答案为：﹣‎ ‎【点评】本题考查的知识点是根与系数的关系（韦达定理），难度不大，属于基础题．‎ ‎6．（3分）在数列{an}中，a1＝1，且{an}是公比为的等比数列，设Tn＝a1+a3+a5+…+a2n﹣1，则Tn＝　　．（n∈N*）‎ ‎【考点】8E：数列的求和；8J：数列的极限．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列；55：点列、递归数列与数学归纳法．‎ ‎【分析】利用等比数列，求出数列的和，然后求解数列的极限即可．‎ ‎【解答】解：数列{an}中，a1＝1，且{an}是公比为的等比数列，‎ Tn＝a1+a3+a5+…+a2n﹣1＝＝．‎ 则Tn＝＝．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查数列求和以及数列的极限的求法，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎7．（3分）某用人单位为鼓励员工爱岗敬业，在分配方案中规定：年度考核合格的员工，从下一年一月份开始在上一年平均月工资收入基础上增加7%作为新一年的月工资收入．假设某员工自2004年一月以来一直在该单位供职，且同一年内月工资收入相同，2004年的月工资收入为5000元，则2019年一月该员工的月工资收入为　13795.16　元．（结果保留两位小数）‎ ‎【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题；38：对应思想；4A：数学模型法；54：等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】本题实质为一个等比数列求某一项题，建模，得知b2004＝5000，q＝0.07，计算 b2019，即可 ‎【解答】解：b2004＝5000，q＝0.07，‎ ‎∴b2019＝b2004q15＝5000•（0.07）15≈13795.16，‎ 故答案为：13795.16．‎ ‎【点评】本题考查了实际问题的在实际生活中的应用，考查了等比数列的应用，属于基础题 ‎8．（3分）已知cos（）＝，则cos（）＝　　．‎ ‎【考点】GS：二倍角的三角函数．菁优网版权所有 ‎【专题】35：转化思想；49：综合法；56：三角函数的求值．‎ ‎【分析】利用诱导公式求得sin（﹣α）＝，再利用二倍角的余弦公式求得cos（）的值．‎ ‎【解答】解：∵已知cos（）＝sin（﹣α）＝，则cos（）＝1﹣2＝1﹣2•＝，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题主要考查诱导公式，二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．‎ ‎9．（3分）以两条直线11：2x+y＝0．l2：x+3y+5＝0的交点为圆心，并且与直线x+3y+15＝0相切的圆的方程是　（x﹣1）2+（y+2）2＝10　．‎ ‎【考点】JE：直线和圆的方程的应用．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；5B：直线与圆．‎ ‎【分析】根据题意，联立直线的方程分析可得圆心的坐标，又由直线与圆的位置关系可得r＝＝，由圆的标准方程分析可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，，解可得：，即圆心的坐标为（1，﹣2）；‎ 又由圆与直线x+3y+15＝0相切，则r＝＝，‎ 即要求圆的方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝10；‎ 故答案为：（x﹣1）2+（y+2）2＝10．‎ ‎【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线的交点，属于基础题．‎ ‎10．（3分）已知球的半径为24cm ‎，一个圆锥的高等于这个球的直径，而且球的表面积等于圆锥的表面积，则这个圆锥的体积是　12288π　cm3．‎ ‎【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何．‎ ‎【分析】设圆锥的底面半径为r，结合已知可得圆锥的表面积S＝πr（r+）＝4π×242，求出底面半径，代入圆锥体积公式，可得答案．‎ ‎【解答】解：∵球的半径为24cm，圆锥的高等于这个球的直径，‎ ‎∴圆锥的高h＝48cm，‎ 设圆锥的底面半径为r，则圆锥的母线长为：cm，‎ 故圆锥的表面积S＝πr（r+）＝4π×242cm2，‎ 解得：r＝16cm，‎ 故圆锥的体积V＝＝12288πcm3，‎ 故答案为：12288π ‎【点评】本题考查的知识点是旋转体，圆锥的几何特征，球的表面积公式，难度中档．‎ ‎11．（3分）集合A＝{y|y＝logx﹣x，1≤x≤2}，B＝{x|x2﹣5tx+1≤0}，若A∩B＝A，则实数t的取值范围是　t≤﹣　‎ ‎【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；51：函数的性质及应用；5J：集合．‎ ‎【分析】根据题意，先分析集合A，是减函数，结合x的取值范围分析可得y的取值范围，即可得集合A；又A∩B＝A，则A⊆B，设f（x）＝x2﹣5tx+1，则函数f（x）与x轴有2个交点，设两个交点的坐标为（x1，0）、（x2，0），且x1＜x2；进而可得x1≤﹣3，x2≥﹣1，结合二次函数的性质可得，解可得t的取值范围，即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，对于集合A，是减函数，且1≤x≤2；‎ 则﹣3≤y≤﹣1，故A＝[﹣3，﹣1]；‎ 又A∩B＝A，则A⊆B，B不能为空集，‎ 设f（x）＝x2﹣5tx+1，则函数f（x）与x轴有2个交点，设两个交点的坐标为（x1‎ ‎，0）、（x2，0），且x1＜x2；‎ 则B＝{x|x2﹣5tx+1≤0}＝{x|x1＜x＜x2}，‎ 若A∩B＝A，则有x1≤﹣3，x2≥﹣1，‎ 则有，解可得t≤﹣；‎ 故答案为：t≤﹣．‎ ‎【点评】本题考查集合的包含关系的应用，涉及二次函数的性质，注意借助二次函数的性质分析集合B，属于基础题．‎ ‎12．（3分）若定义在实数集R上的奇函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，且当0≤x≤1时，f（x）＝x，则方程f（x）＝在区间（﹣4，10）内的所有实根之和为　24　．‎ ‎【考点】57：函数与方程的综合运用．菁优网版权所有 ‎【专题】31：数形结合；4R：转化法；51：函数的性质及应用．‎ ‎【分析】根据函数对称性和奇偶性求出函数的周期性，判断函数在一个周期内方程f（x）＝根的个数以及对称关系进行求解即可．‎ ‎【解答】解：奇函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，‎ 即f（1﹣x）＝f（1+x）＝﹣f（x﹣1），‎ 即f（x+2）＝﹣f（x），‎ 则f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），‎ 即函数f（x）是周期为4的周期函数，‎ 若﹣1≤x≤0，则﹣1≤﹣x≤0，‎ 则f（﹣x）＝（﹣x）＝﹣f（x），‎ 即f（x）＝﹣（﹣x），‎ ‎∵当0≤x≤1时，f（x）＝x，‎ ‎∴0≤f（x）≤1，‎ 此时f（x）＝在区间（0，1）内只有一个根，‎ 则f（x）在[﹣1，1]内f（x）＝只有一个根，‎ 又f（x）图象关于直线x＝1对称，‎ ‎∴在一个周期内f（x）＝有有两个根，且这两个根关于对称轴对称，（图象为草图只代表单调性）‎ ‎∵在（﹣4，10）内函数的对称轴为x＝﹣3，x＝1，x＝5，x＝9，‎ 即方程f（x）＝在区间（﹣4，10）内有8个根，它们两两关于对称轴对称，‎ 设8个根分别为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，‎ 则x1+x2＝2×（﹣3）＝﹣6，x3+x4＝2×1＝2，x5+x6＝2×5＝10，x7，x8＝2×9＝18，‎ 则所以根之和为﹣6+2+10+18＝24，‎ 故答案为：24．‎ ‎【点评】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件判断函数的周期性，利用函数的周期性和对称，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度．‎ 二、选择题 ‎13．（3分）电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告，其中4个商业广告2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有（　　）‎ A．A•A B．C•C ‎ C．A•A D．C•C ‎【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有 ‎【专题】35：转化思想；49：综合法；5O：排列组合．‎ ‎【分析】先把4个商业广告排好顺序，再用插空法求得2个公益广告不能连续播放的方法数．‎ ‎【解答】解：先把4个商业广告排好顺序，共有种方法，再把2个公益广告插入5个空（包括两头）中，‎ 根据分布计数原理，共有• 种方法，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查排列组合的应用，分布计数原理，不相邻问题采用插空法，属于中档题．‎ ‎14．（3分）已知椭圆的标准方程为＝1（m＞0），焦点在x轴上，则其焦距为（　　）‎ A．2 B．2 C．2 D．2‎ ‎【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】利用椭圆的焦点坐标所在的x轴，推出焦距即可．‎ ‎【解答】解：椭圆的标准方程为＝1（m＞0），焦点在x轴上，‎ 可得c＝，‎ 可得焦距：2．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．‎ ‎15．（3分）已知下列4个命题：‎ ‎①若复数z1，z2的模相等，则z1，z2是共轭复数 ‎②z1，z2都是复数，若z1+z2是虚数，则z1不是z2的共轭复数 ‎③复数z是实数的充要条件是z＝．（是z的共轭复数）．‎ ‎④已知复数z1＝﹣1+2i，z2＝1﹣i，z3＝3﹣2i（i是虚数单位），它们对应的点分别为A，B，C，O为坐标原点，若＝x+y（x，y∈R），则x+y＝1．‎ 则其中正确命题的个数为（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【考点】2K：命题的真假判断与应用．菁优网版权所有 ‎【专题】38：对应思想；48：分析法；5A：平面向量及应用；5N：数系的扩充和复数．‎ ‎【分析】由复数的模和共轭复数的概念可判断①；由虚数和共轭复数的概念可判断②；‎ 由复数为实数的条件可判断③；由复数的几何意义和向量的坐标表示，解方程可判断④．‎ ‎【解答】解：①，若复数z1，z2的模相等，比如z1＝1+3i，z2＝3﹣i，则z1，z2不是共轭复数，故①错；‎ ‎②，z1，z2都是复数，若z1+z2是虚数，则z1不是z2的共轭复数，反之z1，z2是共轭复数 可得其和为实数，故②对；‎ ‎③，复数z是实数的充要条件是z＝．（是z的共轭复数），故③对；‎ ‎④，已知复数z1＝﹣1+2i，z2＝1﹣i，z3＝3﹣2i（i是虚数单位），‎ 它们对应的点分别为A，B，C，O为坐标原点，‎ 若＝x+y（x，y∈R），即有3＝﹣x+y，﹣2＝2x﹣y，解得x＝1，y＝4，‎ 则x+y＝5，故④错．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查复数的概念，主要是复数的模和实数、虚数和共轭复数的概念，考查判断能力和运算能力，属于基础题．‎ ‎16．（3分）设表示平面向量，||，||都是小于9的正整数，且满足（||+||）（||+3||）＝105，（+）（+3）＝33，则和的夹角大小为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题；5A：平面向量及应用．‎ ‎【分析】解不定方程+4||•||+3＝105，由105＝3×5×7，又因为||，||都是小于9的正整数，则||＝3，||＝4，‎ 由数量积表示两个向量的夹角及（+）•（+3）＝33，得cosθ＝＝﹣又θ∈[0，π]，所以θ＝，‎ ‎【解答】解：由（||+||）（||+3||）＝105，得：+4||•||+3＝105，‎ 由105＝3×5×7，又因为||，||都是小于9的正整数，‎ 则||＝3，||＝4，‎ 又（+）•（+3）＝33，‎ 所以+4•+3＝33，‎ 所以•＝﹣6，‎ cosθ＝＝﹣‎ 又θ∈[0，π]‎ 所以θ＝，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考了不定方程求解及数量积表示两个向量的夹角，属中档题．‎ 三、解答题 ‎17．如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角为60°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95米，AB与水平线之间的夹角为6°20′，AC的长为1.40米，计算BC的长（结果保留3个有效数字，单位：米）‎ ‎【考点】HR：余弦定理；HU：解三角形．菁优网版权所有 ‎【专题】58：解三角形．‎ ‎【分析】由题意，△ABC中，已知△ABC两边AB＝1.95m，AC＝1.40m，夹角A＝66° 20′，求BC．‎ ‎【解答】解：由余弦定理，得BC2＝AB2+AC2﹣2AB×ACcosA＝1.952+1.402﹣2×1.95×1.40cos66°20′＝3.568，‎ 所以BC≈1.89（m）‎ 答：顶杆BC约长1.89m．‎ ‎【点评】本题考查了利用余弦定理解决实际中的线段长度；关键是将所求抽象为数学问题解答．‎ ‎18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA＝AC＝AB，E、F分别是CD、PD的中点．‎ ‎（1）求证：CD⊥平面PAE；‎ ‎（2）求异面直线AF与PE所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．‎ ‎【考点】LM：异面直线及其所成的角；LW：直线与平面垂直．菁优网版权所有 ‎【专题】14：证明题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．‎ ‎【分析】（1）推导出CD⊥PA，CD⊥AE，由此能证明CD⊥平面PAE．‎ ‎（2）以A为原点，AB为x轴，AE为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AF与PE所成角的大小．‎ ‎【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA＝AC＝AB，‎ E、F分别是CD、PD的中点．‎ ‎∴CD⊥PA，CD⊥AE，‎ ‎∵PA∩AE＝A，∴CD⊥平面PAE．‎ 解：（2）以A为原点，AB为x轴，AE为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，‎ 设PA＝AC＝AB＝2，‎ 则A（0，0，0），D（﹣1，，0），P（0，0，2），F（﹣，，1），E（0，），‎ ‎＝（﹣，1），＝（0，），‎ 设异面直线AF与PE所成角的大小为θ，‎ 则cosθ＝＝＝．‎ ‎∴异面直线AF与PE所成角的大小为arccos．‎ ‎【点评】本题考查线面垂直的证明，考查异面直线所成角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎19．设f（x）＝sin2x+2acosx+a2﹣6a+13．x∈[﹣，]．‎ ‎（1）求函数f（x）的最大值M；‎ ‎（2）对（1）中的M，是否存在常数b（b＞0且b≠1），使得当a＞1时，y＝logbM有意义，且y的最大值是﹣？若存在，求出b的值；若不存在，说明理由．‎ ‎【考点】HW：三角函数的最值．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题；33：函数思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．‎ ‎【分析】（1）设cosx＝t，则0≤t≤1，可得f（t）＝﹣（t﹣a）2+2a2﹣6a+14，0≤t≤1，分段讨论，即可求出，‎ ‎（2）当a＞1时，M＝a2﹣4a+13＝（a﹣2）2+9≥9恒成立，则可得logb9＝﹣，解得即可．‎ ‎【解答】解：（1）f（x）＝sin2x+2acosx+a2﹣6a+13＝﹣cos2x+2acosx+a2﹣6a+14，x∈[﹣，]，‎ 设cosx＝t，则0≤t≤1，‎ ‎∴f（t）＝﹣t2+2at+a2﹣6a+14＝﹣（t﹣a）2+2a2﹣6a+14，0≤t≤1，‎ 当a＜0时，f（t）max＝f（0）＝a2﹣6a+14，‎ 当0≤a≤1时，f（t）max＝f（a）＝2a2﹣6a+14‎ 当a＞1时吗，f（t）max＝f（1）＝a2﹣4a+13，‎ 故M＝；‎ ‎（2）当a＞1时，M＝a2﹣4a+13＝（a﹣2）2+9≥9恒成立，‎ ‎∵当a＞1时，y＝logbM有意义，且y的最大值是﹣，‎ ‎∴0＜b＜1，‎ ‎∴logb9＝﹣，‎ ‎∴b＝9，‎ ‎∴b＝‎ ‎【点评】本题考查了三角函数的化简以及性质和二次函数的性质，以及对数的意义，属于中档题 ‎20．设m＞0，椭圆Γ：＝1与双曲线C：m2x2﹣y2＝m2的焦点相同．‎ ‎（1）求椭圆Γ与双曲线C的方程；‎ ‎（2）过双曲线C的右顶点作两条斜率分别为k1，k2的直线l1，l2，分别交双曲线C于点P，Q（P，Q不同于右顶点），若k1•k2＝﹣1，求证：直线PQ的倾斜角为定值，并求出此定值；‎ ‎（3）设点T（0，2），若对于直线l：y＝x+b，椭圆Γ上总存在不同的两点A与B关于直线l对称，且9＜4＜10，求实数b的取值范围．‎ ‎【考点】KL：直线与椭圆的综合．菁优网版权所有 ‎【专题】15：综合题；38：对应思想；4R：转化法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．‎ ‎【分析】（1）根据椭圆Γ：＝1与双曲线C：m2x2﹣y2＝m2的焦点相同，即可求出m的值，‎ ‎（2）设l1，l2的方程分别为y＝k1（x﹣1），y＝k2（x﹣1），分别联立方程组 ‎，，即可求出点P，Q的坐标，根据斜率公式计算即可，‎ ‎（3）由题意设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB方程为：y＝﹣x+t．联立消y整理可得：4x2﹣6tx+3t2﹣3＝0，由△＞0解得t的范围．再由根与系数的关系结合中点坐标公式求得直线AB之中点坐标，代入直线AB，再由点P在直线l上求得b和t的关系，再根据向量的数量积公式求出t的范围，即可即可求得b的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）∵椭圆Γ：＝1与双曲线C：m2x2﹣y2＝m2即x2﹣＝1的焦点相同，‎ ‎∴3m﹣m＝1+m2，且m＞0，‎ 解得m＝1，‎ ‎∴椭圆Γ的方程为+y2＝1，双曲线C的方程为x2﹣y2＝1，‎ 证明：（2）由（1）可知，双曲线的右顶点为（1，0），‎ 设l1，l2的方程分别为y＝k1（x﹣1），y＝k2（x﹣1），‎ 分别联立方程组，，‎ 解得，，‎ 即P（，），Q（，），‎ ‎∵k1•k2＝﹣1，‎ ‎∴kPQ＝＝＝0，‎ ‎∴直线PQ的倾斜角为0°，‎ 故直线PQ的倾斜角为定值，为0°，‎ ‎（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB方程为：y＝﹣x+t，‎ 由，消y整理可得：4x2﹣6tx+3t2﹣3＝0，消x整理可得4y2﹣2ty+t2﹣3＝0，‎ 由△＝（﹣6t）2﹣16（3t2﹣3）＝4﹣t2＞0，解得﹣2＜t＜2．‎ ‎∴x1+x2＝，x1x2＝（t2﹣1），y1+y2＝，y1y2＝（t2﹣3），‎ 设直线AB之中点为P（x0，y0），则x0＝（x1+x2）＝‎ 由点P在直线AB上得：y0＝﹣x0+b＝，‎ 又点P在直线l上，∴＝+b，则b＝﹣t．‎ 又∵＝（x1，y1﹣2），＝（x2，y2﹣2），‎ ‎∴•＝x1x2+y1y2﹣2（y1+y2）+4＝（t2﹣1）+（t2﹣3）﹣t+4，‎ ‎∴4•＝4t2﹣4t+10，‎ ‎∵9＜4＜10，‎ ‎∴9＜4t2﹣4t+10＜10，‎ ‎∴（2t﹣1）2＞0，t（t﹣1）＜0‎ 解得0＜t＜1，且t≠‎ ‎∴b＝﹣t∈（﹣，﹣）∪（﹣，0）．‎ ‎【点评】本题考查椭圆双曲线的简单性质，考查直线与双曲线椭圆位置关系的应用，训练了平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，是中档题．‎ ‎21．将n个数a1，a2，…，an的连乘积a1•a2•…•an记为ai，将n个数a1，a2，…，an的和a1+a2+…+an记为，n∈N*）‎ ‎（1）若数列{xn}满足x1＝1，xn+1＝x+xn，n∈N*，设Pn＝，Sn＝．‎ 求P5+S5；‎ ‎（2）用[x]表示不超过x的最大整数，例如[2]＝2，[3.4]＝3，[﹣1.8]＝﹣2．若数列{xn ‎}满足x1＝1，xn+1＝x+xn，n∈N*，求[]的值；‎ ‎（3）设定义在正整数集N*上的函数f（n）满足，当＜n≤（m∈N*）时，f（n）＝m，问是否存在正整数n，使得＝2019？若存在，求出n的值；若不存在，说明理由（已知＝）．‎ ‎【考点】8E：数列的求和．菁优网版权所有 ‎【专题】35：转化思想；48：分析法；55：点列、递归数列与数学归纳法．‎ ‎【分析】（1）由题意可得＝，＝＝﹣，即有＝﹣，由累乘法和裂项相消求和即可得到所求和；‎ ‎（2）由＝1﹣＝1﹣（﹣），运用裂项相消求和和[x]表示的含义，即可得到所求值；‎ ‎（3）求得f（n）的解析式，结合自然数的平方和公式，计算即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：（1）数列{xn}满足x1＝1，xn+1＝x+xn，n∈N*，设Pn＝，Sn＝，‎ 可得xn+1＝x+xn＝xn（1+xn），‎ 即有＝，‎ ‎＝＝﹣，‎ 即有＝﹣，‎ 可得P5+S5＝•…+﹣+﹣+…+﹣＝+﹣‎ ‎＝+1﹣＝1；‎ ‎（2）x1＝1，xn+1＝x+xn，n∈N*，可得＝1﹣＝1﹣（﹣），‎ 可得＝2009﹣（﹣+﹣+…+﹣）‎ ‎＝2019﹣1+＝2018+，‎ 由x1＝1，xn+1＝x+xn＞1，可得∈（0，1），‎ 即有[]＝2018；‎ ‎（3）设定义在正整数集N*上的函数f（n）满足，‎ 当＜n≤（m∈N*）时，f（n）＝m，‎ 当m＝1时，0＜n≤1，可得f（1）＝1；‎ 当m＝2时，1＜n≤3时，f（2）＝f（3）＝2；‎ 当m＝3时，3＜n≤6时，f（4）＝f（5）＝f（6）＝3，‎ ‎…，m＝k时，可得f（n）＝k（k个k），‎ 可得＝1+（2+2）+（3+3+3）+（4+4+4+4）+…+（k+k+…+k）+…‎ ‎＝1+22+32+42+…+k2+…，‎ 由12+22+32+42+…+182＝＝2109，‎ 由2109﹣90＝2019，90÷18＝5，‎ 可得当n＝×18×（18+1）﹣5＝166时，满足＝2019．‎ ‎【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和和公式法求和，考查运算能力和推理能力，属于难题．‎ 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/4/17 7:59:24；用户：qgjyuser10373；邮箱：qgjyuser10373.21957750；学号：21985380‎