高考仿真模拟卷江苏卷数学三

高考仿真模拟卷江苏卷数学三

‎2015年高考仿真模拟卷·江苏 数学卷（三）‎ 注意事项:‎ ‎1．本试卷由填空题和解答题两部分组成，满分160分，考试时间为120分钟. ‎ ‎2. 答题前，请您务必将自己的学校、姓名、考试号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上规定的地方.‎ ‎3. 答题时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效. ‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．‎ ‎1．（2015·上海市十三校高三第二次联考（理）·2）函数1 的定义域为__________.‎ ‎2．（2015·上海市闵行区高三一模（理）·1）已知集合A={x||x﹣|＞}，U=R，则　　．‎ ‎3．（2015·苏锡常镇高三调研一（理）·2）若复数（i为虚数单位）为纯虚数，则实数 ． ‎ ‎4．（2015·上海市闵行区高三一模（理）·8）已知集合M={1，3}，在M中可重复的依次取出三个数a，b，c，则“以a，b，c为边长恰好构成三角形”的概率是　 　．‎ ‎5．（2015·北京市朝阳区高三一模（理）改编·5）某商场每天上午10 点开门，晚上 19 点停止进入．在如图所示的框图中，t表示整点时刻，a（t ）表示时间段[t-1，t）内进入商场人次，S 表示某天某整点时刻前进入商场人次总和，为了统计某天进入商场的总人次数，则判断框内可以填　 　．‎ ‎6．（2015·上海市闵行区高三一模（理）·6）已知θ∈（，π），sin﹣cos=，则cosθ=　　．‎ ‎7．（2015·山东枣庄市高三一模（理）·15）若曲线 与曲线有唯一的公共点，则实数 的值为 ．‎ ‎8．（2015·浙江嘉兴高三下二模（理）改编·4）已知，实数满足：，若的最小值为1，则 ．‎ ‎9．（2015·江苏连云港、南通、扬州高三二模·9） 已知等差数列的首项为4，公差为2，前项和为．若（），则的值为 ．‎ ‎10．（2015·河南郑州市高三第二次质量预测（理）改编·12）已知双曲线的两焦点分别是过的直线交双曲线的右支于,两点，若,且,则双曲线的离心率为 　　　　 ．‎ ‎11．（2015·浙江温州高三第二次适应性测试（理）·11）已知为正六边形，若向量，则　　；　　（用坐标表示）．‎ ‎12．（2015·上海市十三校高三第二次联考（理）·14）在平面直角坐标系中有两点，以原点为圆心，r > 0为半径作一个圆，与射线交于点M ，与x轴正半轴交于N ，则当r变化时， |AM |+| BN |的最小值为__________．‎ ‎13．（2015·浙江温州高三第二次适应性测试（理）·14）若实数满足 ‎，则的范围是　　　　．‎ ‎14．（2015·山东威海市高三一模（理）·14）已知偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣，且当x∈[﹣1，0]时，f（x）=x2，若在区间[﹣1，3]内，函数g（x）=f（x）﹣loga（x+2）有4个零点，则实数a的取值范围是　　　　．‎ 二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） ‎ ‎15．（2015·浙江丽水高三一模（理）·16）（本小题满分14 分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（sinB﹣cosB）（sinC﹣cosC）=4cosBcosC．‎ ‎（Ⅰ） 求角A的大小；‎ ‎（Ⅱ） 若sinB=psinC，且△ABC是锐角三角形，求实数p的取值范围．‎ ‎16．（2015·安徽省“江淮十校”高三4月联考（理）·18）（本小题满分14 分）一个正四棱锥和一个正三棱锥的所有棱长都相等，如下左图，将他们全等的两面重合在一起拼成一个多面体ABCDEF，如下右图 ‎（I）求证：AE//BF;‎ ‎（II）过A、D、F三点作截面，将此多面体 上下两部分，求上下两部分的体积比．‎ ‎17．（2015·南京市高三二模·17）（本小题满分14分）右图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是矩形ABCD，上部是圆AB，该圆弧所在的圆心为O，为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH（其中E，F在圆弧AB上，G，H在弦AB上）．过O作，交AB 于M，交EF于N，交圆弧AB于P，已知（单位：m）,记通风窗EFGH的面积为S（单位：）‎ ‎（1）按下列要求建立函数关系式：‎ ‎ （i）设，将S表示成的函数；‎ ‎（ii）设，将S表示成的函数；‎ ‎（2）试问通风窗的高度MN为多少时？通风窗EFGH的面积S最大？‎ ‎18．（2015·重庆市巴蜀中学高三二模（理）·21）（本小题满分16 分）已知椭圆的右顶点、上顶点分别为坐标原点到直线的距离为且 ‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过椭圆的左焦点的直线交椭圆于两点，且该椭圆上存在点,使得四边形图形上的字母按此顺序排列）恰好为平行四边形，求直线的方程． ‎ ‎19．（2015·东北三校高三第二次联合考试·21）（本小题满分16 分）‎ ‎20．（2015·江苏连云港、南通、扬州高三二模·9）（本小题满分16分）设是公差为的等差数列，是公比为（）的等比数列．记．‎ ‎（1）求证：数列为等比数列；‎ ‎（2）已知数列的前4项分别为4，10，19，34．‎ ‎ ① 求数列和的通项公式；‎ ‎ ② 是否存在元素均为正整数的集合，，…，（，），使得数列，，…，为等差数列？证明你的结论．‎ 数学Ⅱ（附加题）‎ ‎21．［选做题］请考生在A、B、C、D四小题中任选两题作答，如果多做，则按所做的前两题记分．‎ A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）‎ ‎10. （2015·河北省“五个一名校联盟”质量监测（一）（理）·22） （本小题满分10分）如图，四边形ABCD内接于⊙,是⊙的直径，于点,平分.‎ ‎ （Ⅰ）证明：是⊙的切线 ‎ （Ⅱ）如果,求.‎ B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）‎ ‎（2015·南京市高三二模）已知矩阵 ，A的逆矩阵 ‎（1）求a,b的值； （2）求A的特征值．‎ C．（本小题满分10分，坐标系与参数方程选讲）‎ ‎（2015·九江第一次高考模拟（理）·23）（本小题满分10分）已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是．‎ ‎（1）写出直线的极坐标方程与曲线的普通方程；‎ ‎（2）若点是曲线上的动点，求到直线的距离的最小值，并求出点的坐标．‎ D．（本小题满分10分，不等式选讲）‎ ‎（2015·泰州高三二模）已知不等式对于满足条件的任意实数恒成立,求实数的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎［必做题］第22题，第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22．（2015·江西八所重点中学4月份联考（理）·19）（本小题满分10分）已知集合，函数的定义域、值域都是，且对于任意，。设、、、是1，2，3，4的任意一个排列，定义数表，若两个数表的对应位置上至少有一个数不同，就说这是两张不同的数表．‎ ‎（1）求满足条件的不同的数表的张数；‎ ‎（2）若（），从所有数表中任意抽取一张，记为表中的个数，求的分布列及期望．‎ ‎23．（2015·南京市高三二模）（本小题满分10分）已知，定义 记 ，求的值；‎ ‎（2）记 ，求所有可能值的集合．‎ ‎2015年高考仿真模拟卷·江苏 数学卷（三）‎ 参考答案与解析 ‎1．（0，1]．‎ ‎【命题立意】 令被开方数大于等于0，然后利用对数函数的单调性及真数大于0求出x的范围，写出集合区间形式即为函数的定义域．‎ ‎【解析】∴0＜x≤1∴函数的定义域为（0，1],故答案为：（0，1]．‎ ‎【举一反三】求解析式已知的函数的定义域应该考虑：开偶次方根的被开方数大于等于0；对数函数的真数大于0底数大于0小于1；分母非0．‎ ‎2．[﹣1，4]‎ ‎【命题立意】本题考查补集及其运算．‎ ‎【解析】由A中不等式变形得：x﹣＞或x﹣＜﹣，解得：x＞4或x＜﹣1，即A=（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞），∵U=R，∴ [﹣1，4]．故答案为：[﹣1，4]．‎ ‎3．-1‎ ‎【命题立意】本题考查了纯虚数的概念和复数运算.‎ ‎【解析】∵，∴1+m=0，解得m=-1.‎ ‎4．‎ ‎【命题立意】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．‎ ‎【解析】集合M={1，3}，在M中可重复的依次取出三个数a，b，c，基本事件总数n=23=8，‎ ‎“以a，b，c为边长恰好构成三角形”包含的基本事件个数m=5，∴“以a，b，c为边长恰好构成三角形”的概率：p=．故答案为：．‎ ‎5．t≤18‎ ‎【命题立意】本题考查了算法和程序框图．‎ ‎【解析】‎ 模拟执行程序，可得 t=10，S=0 满足条件，t=11，S=a（11） 满足条件，t=12，S=a（11）+a（12）… 满足条件，t=18，S=a（11）+a（12）+a（13）+a（14）+a（15）+a（16）+a（17）+a（18） 由题意，晚上 19 点停止进入，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值， 故判断框内可以填：t≤18．‎ ‎6．‎ ‎【命题立意】 本题考查二倍角的余弦，解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数的符号的正确选取．‎ ‎【解析】∵θ∈（，π），sin﹣cos=，∴1﹣sinθ=，∴sinθ=，∵θ∈（，π），∴cosθ=﹣=﹣．故答案为：．‎ ‎7．‎ ‎【命题立意】本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了方程有根的条件，是中档题.‎ ‎【解析】函数的导数为，的导数为，‎ ‎∵函数与有相同的公共切线，设公切线与函数切于点，公切线与函数切于点，‎ 则对应的切线斜率相等即，同时切线斜率,将代入 得，整理得，‎ 则，设，‎ 则函数的导数，则当x>2时，，‎ 当时，，即当时，函数取得极小值，同时也是最小值，‎ 则最小值为，‎ 则，故答案为.‎ ‎8．‎ ‎【命题立意】本题旨在考查线性规划的应用.‎ ‎【解析】作出不等式组表示的平面区域:‎ 由图可得在点处取得最小值1，从而得到，解得.‎ ‎9．7‎ ‎【命题立意】本题考查了等差数列的通项公式，前n项和公式．‎ ‎【解析】根据题意得，，∴，解得k=7．‎ ‎10．‎ ‎【命题立意】本题考查双曲线的定义、性质，考查计算能力，难度较大．．‎ ‎【解析】设椭圆的焦距为，则，由椭圆的定义知，，因为，所以，所以，‎ 过点作，垂足为，所以，，‎ 在和中，由勾股定理得，，‎ 所以，因为，‎ 所以，解得或（舍去）．‎ ‎11．‎ ‎【命题立意】正六边形的性质，平面向量的坐标运算，容易题.‎ ‎【解析】正六边形中，，则，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎12． ．‎ ‎【命题立意】本题考查两点间距离公式的应用，考查学生转化思想,推理和证明及分析解决问题的能力．‎ ‎【解析】由题意，设M（a，﹣a）（a＜0），则r=﹣‎2a，N（﹣‎2a，0）．‎ ‎∴|AM|+|BN|=+‎ 设‎2a=x，则|AM|+|BN|=+，‎ 可以理解为（x，0）与（﹣，）和（﹣1，）的距离和，‎ ‎∴|AM|+|BN|的最小值为（﹣，）和（﹣1，﹣）的距离，即2．‎ 故答案为：2．‎ ‎13．‎ ‎【命题立意】考查一元二次方程的根的判别式，容易题.‎ ‎【解析】令代入得，‎ 由一元二次方程必有解，则，解得，即的范围是.‎ ‎14．[5，+∞）‎ ‎【命题立意】本题主要考查函数的周期性的应用，函数的零点与方程的根的关系．‎ ‎【解析】函数f（x）满足f（x+1）=﹣，故有f（x+2）=f（x），‎ 故f（x）是周期为2的周期函数．‎ 再由f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x2，‎ 可得当x∈[﹣1，0]时，f（x）=x2，故当x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2 ，当x∈[1，3]时，f（x）=（x﹣2）2．‎ 由于函数g（x）=f（x）﹣loga（x+2）有4个零点，故函数y=f（x）的图象与y=loga（x+2）有4个交点，‎ 所以可得1≥loga（3+2），‎ ‎∴实数a的取值范围是[5，+∞）．‎ 故答案为：[5，+∞）．‎ ‎15． ； ‎ ‎【命题立意】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，考查了正弦定理的应用．‎ ‎【解析】（Ⅰ） 由题意得 ‎…（4分）‎ ‎∴…（7分）‎ ‎（Ⅱ） …（10分）‎ ‎∵△ABC为锐角三角形，且 ‎∴…（14分）‎ ‎∴．…（15分）‎ ‎16．（I）略 （II）1:2‎ ‎【命题立意】本题旨在考查空间中两直线平行的判定，以及几何体的体积 ‎【解析】证明：（Ⅰ）由题意知，△ABE、△CBE和△BEF都是正三角形，‎ ‎　取BE的中点O，连AO、FO、CO、AC,则BE⊥AO，BE⊥FO，BE⊥CO，‎ ‎　∴∠AOC、∠FOC分别是二面角A-BE-C和二面角F-BE-C的平面角，…………3分 设AB＝2,则AO＝FO＝CO＝,AC=,‎ 在△AOC中，，‎ 在△FOC中，‎ ‎∴∠AOC+∠FOC＝,即二面角A-BE-C与二面角F-BE-C互补，…………………5分 所以ABFE四点共面，又AB=BF=FE=EA，故AE∥BF.………………………………6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，四边形ABFE四边形CDEF都是菱形，‎ 所以过三点ADF的截面把多面体分成三棱锥A-DEF和四棱锥F-ABCD，‎ 连BD、FD则＝‎ 所以截面把多面体分成上、下两部分的体积比为１:２.…………………………………12分 ‎17．（1）（i）S＝10sinθ（20cosθ－7），0＜θ＜θ0，其中cosθ0＝（ii） S＝x，0＜x＜6．5（2）MN＝x＝4．‎5m时，通风窗的面积最大 ‎【命题立意】本题旨在考查函数的应用．‎ ‎【解析】（1）由题意知，OF＝OP＝10，MP＝6．5，故OM＝3．5．‎ ‎（i）在Rt△ONF中，NF＝OFsinθ＝10sinθ，ON＝OFcosθ＝10cosθ．‎ 在矩形EFGH中，EF＝2MF＝20sinθ，FG＝ON－OM＝10cosθ－3．5，‎ 故S＝EF×FG＝20sinθ（10cosθ－3．5）＝10sinθ（20cosθ－7）．‎ 即所求函数关系是S＝10sinθ（20cosθ－7），0＜θ＜θ0，其中cosθ0＝．‎ ‎ ………… 4分 ‎（ii）因为MN＝x，OM＝3．5，所以ON＝x＋3．5．‎ 在Rt△ONF中，NF＝＝＝．‎ 在矩形EFGH中，EF＝2NF＝，FG＝MN＝x，‎ 故S＝EF×FG＝x．‎ 即所求函数关系是S＝x，0＜x＜6．5． ………… 8分 ‎（2）方法一：选择（i）中的函数模型：‎ 令f（θ）＝sinθ（20cosθ－7），‎ 则f ′（θ）＝cosθ（20cosθ－7）＋sinθ（－20sinθ）＝40cos2θ－7cosθ－20．………… 10分 由f ′（θ）＝40cos2θ－7cosθ－20＝0，解得cosθ＝，或cosθ＝－．‎ ‎ 因为0＜θ＜θ0，所以cosθ＞cosθ0，所以cosθ＝．‎ ‎ 设cosα＝，且α为锐角，‎ 则当θ∈（0，α）时，f ′（θ）＞0 ，f（θ）是增函数；当θ∈（α，θ0）时，f ′（θ）＜0 ，f（θ）是减函数，‎ ‎ 所以当θ＝α，即cosθ＝时，f（θ）取到最大值，此时S有最大值．‎ 即MN＝10cosθ－3．5＝4．‎5m时，通风窗的面积最大． ………… 14分 方法二：选择（ii）中的函数模型：‎ 因为S＝ ，令f（x）＝x2（351－28x－4x2），‎ 则f ′（x）＝－2x（2x－9）（4x＋39）． ……… 10分 ‎ 因为当0＜x＜时 ，f ′（x）＞0，f（x）单调递增，当＜x＜时，f ′（x）＜0，f（x）单调递减， ‎ 所以当x＝时，f（x）取到最大值，此时S有最大值．‎ ‎ 即MN＝x＝4．‎5m时，通风窗的面积最大． ………… 14分 ‎18．（1）（2）‎ ‎【命题立意】本题考查椭圆的基本概念及直线方程．‎ ‎【解析】（1）直线的方程为坐标原点到直线的距离为 又解得故椭圆的方程为 ‎ ‎（2）由（1）可求得椭圆的左焦点为 易知直线的斜率不为0,故可设直线点因为四边形为平行四边形，所以 ‎ ‎ 联立 ‎ ‎ ,因为点在椭圆上，所以 ‎ 那么直线的方程为 ‎ ‎19．（1）（2）略（3）‎ ‎【命题立意】本题的旨意考查导数的综合应用.‎ ‎【解析】（1）‎ 依题意得：‎ 解得： ‎ ‎（2）当时：‎ 对成立 即：在上为增函数 又，故对成立 在上为增函数 ‎ ‎（2）‎ ‎ 由得：‎ ‎ ‎ ‎ 设 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 设 ‎ ‎ ‎ ‎ ①当时：对成立 ‎ 又 故 即：‎ 又 故 ‎ ‎②当时：由得 ‎ 当时：‎ ‎ 又 故： 即：‎ ‎ 又 故这与已知不符 ‎ 综上所述：实数的取值范围为 ‎ ‎20．（I）略（II）①，②假设不成立，从而不存在满足题意的集合 ‎【命题立意】本题考查了等差数列，等比数列，通项公式等，考查了学生的方程思想．‎ ‎【解析】（1）证明：依题意，‎ ‎， …… 3分 从而，又，‎ 所以是首项为，公比为的等比数列． …… 5分 ‎（2）① 法1：由（1）得，等比数列的前3项为，，，‎ 则，‎ 解得，从而， …… 7分 且 解得，，‎ 所以，． …… 10分 法2：依题意，得 …… 7分 消去，得 消去，得 消去，得，‎ 从而可解得，，，，‎ 所以，． …… 10分 ‎② 假设存在满足题意的集合，不妨设，，，，且，，‎ ‎，成等差数列，‎ 则，‎ 因为，所以， ①‎ 若，则，‎ 结合①得，，‎ 化简得，， ②‎ 因为，，不难知，这与②矛盾，‎ 所以只能，‎ 同理，，‎ 所以，，为数列的连续三项，从而，‎ 即，‎ 故，只能，这与矛盾，‎ 所以假设不成立，从而不存在满足题意的集合． …… 16分 ‎（注：第（2）小问②中，在正确解答①的基础上，写出结论“不存在”，就给1分．）‎ ‎21．A（Ⅰ）见解析（Ⅱ） ‎【命题立意】本题考查三角形相似的证明，考查圆的切线的性质，考查弦切角定理，属于基础．‎ ‎【解析】（Ⅰ）连结OA，则OA＝OD，所以∠OAD＝∠ODA，‎ 又∠ODA＝∠ADE，所以∠ADE＝∠OAD，所以OA∥CE．‎ 因为AE⊥CE，所以OA⊥AE．‎ 所以AE是⊙O的切线． ‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得△ADE∽△BDA，‎ 所以＝，即＝，则BD＝2AD，‎ 所以∠ABD＝30°，从而∠DAE＝30°，‎ 所以DE＝AEtan30°＝．‎ 由切割线定理，得AE2＝ED·EC，‎ 所以4＝（＋CD），所以CD＝． ‎ ‎21．B（1）a＝1，b＝－ （2）λ1＝1，λ2＝3‎ ‎【命题立意】本题旨在考查矩阵．‎ ‎【解析】（1）因为A A－1＝ ＝＝．‎ 所以 ‎ 解得a＝1，b＝－． …………………… 5分 ‎（2）由（1）得A＝，‎ 则A的特征多项式f（λ）＝＝（λ－3）（ λ－1）．‎ 令f（λ）＝0，解得A的特征值λ1＝1，λ2＝3． ………………… 10分 ‎21．C（1）ρcosθ﹣ρsinθ=1，y=x2（2），‎ ‎【命题立意】本题考查了参数方程化为普通方程．极坐标方程化为平面直角坐标方程．点到直线的距离公式，本题难度不大，属于基础题．‎ ‎【解析】（1）∵，∴x﹣y=1．‎ ‎∴直线的极坐标方程为：ρcosθ﹣ρsinθ=1．‎ 即，即．‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴ρcos2θ=sinθ，∴（ρcosθ）2=ρsinθ，即曲线C的普通方程为y=x2．‎ ‎（2）设P（x0，y0），，‎ ‎∴P到直线的距离：．‎ ‎∴当时，，∴此时，‎ ‎∴当P点为时，P到直线的距离最小，最小值为．‎ ‎21．D ‎【命题立意】本题考查了柯西不等式． ‎ ‎【解析】因为，所以，‎ 又对任意实数恒成立, 故，‎ 解得 ． ‎ ‎22．（1）216；（2）2。‎ ‎【命题立意】本题考查排列组合与概率知识。属于中等题。‎ ‎【解析】（1）∵、、、是1，2，3，4，的任意一个排列，共有种排法；‎ ‎……2分 又，∴第一个函数值有3种排法，第二个函数值有3种排法，第3、4个函数值只有1种排法； ……4分 ‎∴一共有3×3×=216种排法。 ……5分 ‎（2）P（=1）=，P（=2）=，P（=3） =。 ……9分 因此的分布列如下：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P E =2。 ……12分 ‎23．（1）63 （2）{－1，0}‎ ‎【命题立意】本题旨在考查新定义及其应用．‎ ‎【解析】（1）由题意知，fn（m）＝ 所以am＝ ………………… 2分 所以a1＋a2＋…＋a12＝C＋C＋…＋C＝63． ………………… 4分 ‎（2）当n＝1时， bm＝（－1）mmf1（m）＝则b1＋b2＝－1．………… 6分 当n≥2时，bm＝ 又mC＝m·＝n·＝nC，‎ 所以b1+b2＋…＋b2n＝n[－C＋C－C＋C＋…＋（－1）nC]＝0．‎ 所以b1+b2＋…＋b2n的取值构成的集合为{－1，0}． ………… 10分