高考冲刺 集合与逻辑提高
高考冲刺 集合与逻辑
【高考展望】
集合与常用逻辑用语是高考的必考内容，多为选择题或填空题，难度不大.集合命题以集合的基本运算，尤其是交集与补集的运算为主；常用逻辑用语多与函数、三角、数列、不等式等知识综合进行命题，难度不大，命题比较分散，命题的四种形式、充要条件的判断、含有逻辑联结词的命题的判断以及含量词的命题等考点均有涉及.
【知识升华】
一、集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语言，并用集合语言表达数学问题，运用集合观点去研究和解决数学问题。
1．学习集合的基础能力是准确描述集合中的元素，熟练运用集合的各种符号，如、、、、=、、∪，∩等等；
2．强化对集合与集合关系题目的训练，理解集合中代表元素的真正意义，注意利用几何直观性研究问题，注意运用Venn图解题方法的训练，加强两种集合表示方法转换和化简训练；解决集合有关问题的关键是准确理解集合所描述的具体内容（即读懂问题中的集合）以及各个集合之间的关系，常常根据“Venn图”来加深对集合的理解，一个集合能化简（或求解），一般应考虑先化简（或求解）；
3．确定集合的“包含关系”与求集合的“交、并、补”是学习集合的中心内容，解决问题时应根据问题所涉及的具体的数学内容来寻求方法。
① 区别∈与、与、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}；
② AB时，A有两种情况：A＝φ与A≠φ。
③若集合A中有个元素，则集合A的所有不同的子集个数为，所有真子集的个数是－1, 所有非空真子集的个数是
④区分集合中元素的形式：
如；
；
；
；
；
；
。
⑤空集是指不含任何元素的集合。、和的区别；0与三者间的关系。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。条件为，在讨论的时候不要遗忘了的情况。
⑥符号“”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现点与直线（面）的关系 ；符号“”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线(面)的关系。
二、常用逻辑用语
1．命题
命题：可以判断真假的语句叫命题；
逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联结词；简单命题：不含逻辑联结词的命题。复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题。
常用小写的拉丁字母p，q，r，s，……表示命题，故复合命题有三种形式：p或q；p且q；非p。
2．复合命题的真值
“非p”形式复合命题的真假可以用下表表示：
p
非p
真
假
假
真
“p且q”形式复合命题的真假可以用下表表示：
p
q
p且q
真
真
真
真
假
假
假
真
假
假
假
假
“p且q”形式复合命题的真假可以用下表表示：
p
q
P或q
真
真
真
真
假
真
假
真
真
假
假
假
注：1°像上面表示命题真假的表叫真值表；2°由真值表得：“非p”形式复合命题的真假与p的真假相反；“p且q”形式复合命题当p与q同为真时为真，其他情况为假；“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况为真；3°真值表是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的复合命题的真假，而不涉及简单命题的具体内容。
3．四种命题
如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题；
如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，这个命题叫做原命题的否命题；
如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，这个命题叫做原命题的逆否命题。
两个互为逆否命题的真假是相同的，即两个互为逆否命题是等价命题.若判断一个命题的真假较困难时，可转化为判断其逆否命题的真假。
4．充要条件
一般地，如果已知pÞq，那么就说：p是q的充分条件；q是p的必要条件。
一般地，如果既有pÞq，又有qÞp，就记作：pq.“”叫做等价符号。pq表示pÞq且qÞp。
这时p既是q的充分条件，又是q的必要条件，则p是q的充分必要条件，简称充要条件。
5．全称命题与特称命题
这里，短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号表示。含有全体量词的命题，叫做全称命题。
短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号表示，含有存在量词的命题，叫做存在性命题。
【典型例题】
类型一、集合概念
例1.已知集合M={y|y=x2＋1,x∈R},N={y|y=x＋1,x∈R}，则M∩N=（ ）
A．（0，1），（1，2） B．{（0，1），（1，2）}C．{y|y=1,或y=2} D．{y|y≥1}
【思路点拨】集合M、N是用描述法表示的，元素是实数y而不是实数对(x,y)，因此M、N分别表示函数y=x2＋1(x∈R)，y=x＋1(x∈R)的值域，求M∩N即求两函数值域的交集．
【答案】D
【解析】M={y|y=x2＋1,x∈R}={y|y≥1}， N={y|y=x＋1,x∈R}={y|y∈R}．
∴M∩N={y|y≥1}∩{y|y∈R}={y|y≥1},∴应选D．
【总结升华】①本题求M∩N，经常发生解方程组
从而选B的错误，这是由于在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么．事实上M、N的元素是数而不是点，因此M、N是数集而不是点集．②集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x2＋1}、{y|y=x2＋1,x∈R}、{(x,y)|y=x2＋1,x∈R}，这三个集合是不同的．
举一反三：
【变式】若集合M＝{0,1,2}，N＝{(x，y)|x－y≥0，x2＋y2≤4，x，y∈M}，则N中元素的个数为( )
A．9 B．6 C．4 D．2
【答案】C
【解析】由题意知（0,0），（1,0），（1,1），（2,0）符合，选C.
例2.若P={y|y=x2,x∈R}，Q={(x，y)|y=x2,x∈R}，则必有（ ）
A．P∩Q= B．P Q C．P=Q D．P Q
【思路点拨】有的同学一接触此题马上得到结论P=Q，这是由于他们仅仅看到两集合中的y=x2,x∈R相同，而没有注意到构成两个集合的元素是不同的，P集合是函数值域集合，Q集合是y=x2,x∈R上的点的集合，代表元素根本不是同一类事物．
【答案】A
【解析】正确解法应为： P表示函数y=x2的值域，Q表示抛物线y=x2上的点组成的点集，因此P∩Q=．∴应选A．
类型二、集合元素的互异性
集合元素的互异性，是集合的重要属性，教学实践告诉我们，集合中元素的互异性常常被学生在解题中忽略，从而导致解题的失败，下面再结合例题进一步讲解以期强化对集合元素互异性的认识．
例3.若A={2，4, 3－22－＋7},B={1, ＋1, 2－2＋2,－ (2－3－8), 3＋2＋3＋7}，且A∩B={2，5}，则实数的值是________．
【解析】∵A∩B={2，5}，∴3－22－＋7=5,由此求得=2或=±1． A={2,4,5}，集合B中的元素是什么，它是否满足元素的互异性，有待于进一步考查．
当=1时，2－2＋2=1，与元素的互异性相违背，故应舍去=1．
当=－1时，B={1,0,5,2,4}，与A∩B={2，5}相矛盾，故又舍去=－1．
当=2时，A={2，4，5},B={1,3,2,5,25}，此时A∩B={2，5}，满足题设．
故=2为所求．
举一反三：
【变式】已知集合A={x|x2－3x＋2=0},B={x|x2－x＋－1=0}，且A∪B=A，则的值为______．
【思路点拨】由A∪B=A而推出B有四种可能，进而求出的值．
【解析】∵ A∪B=A，
∵ A={1，2}，∴ B=或B={1}或B={2}或B={1，2}．
若B=，则令△<0得∈；
若B={1}，则令△=0得=2，此时1是方程的根；
若B={2}，则令△=0得=2，此时2不是方程的根，∴∈；
若B={1，2}则令△>0得∈R且≠2，把x=1代入方程得∈R，把x=2代入方程得=3．
综上的值为2或3．
【总结升华】本题不能直接写出B={1，－1}，因为－1可能等于1，与集合元素的互异性矛盾，另外还要考虑到集合B有可能是空集，还有可能是单元素集的情况．
类型三、集合的关系与运算
例4.已知全集，，，则（ ）
A. B. C. D.
【思路点拨】首先通过解不等式确定两个集合、，然后求出，再求.注意集合是满足条件的整数的集合.
【解析】解，即，得，所以；
解，得或，故或，
所以，故.
【答案】A
【总结升华】解答集合间的包含与运算关系问题的一般思路：
（1）正确理解各个集合的含义，认清集合元素的属性，代表意义；
（2）根据集合的性质化简集合；
（3）确定集合间的包含关系或运算结果，注意灵活利用数轴、韦恩图等直观表示各个集合.
举一反三：
【变式】设全集是实数集，，则图中阴影部分所表示的集合是（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由解得：，故；
而，图中所示集合为
，故选C.
【变式2】记关于的不等式的解集为，不等式的解集为．
（I）若，求；
（II）若，求正数的取值范围．
【思路点拨】先解不等式求得集合和．
【解析】（I）由，得．
（II）．
由，得，又，所以，
即的取值范围是．
例5．设集合,则满足的集合B的个数是（ ）
A . 1 B .3 C .4 D . 8
【解析】，，则集合B中必含有元素3，即此题可转化为求集合的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B共有个.故选C.
【总结升华】本题考查了并集运算以及集合的子集个数问题，同时考查了等价转化思想.
例6.设A={x|－2
1}，B={x|x2＋x＋b≤0}，已知A∪B={x|x>－2}，A∩B={x|1－2}，且A∩B={x|10}，求A∪B和A∩B．
【解析】∵ A={x|x2－5x－6≤0}={x|－6≤x≤1}，
B={x|x2＋3x>0}={x|x<－3，或x>0}． 如图所示，
∴ A∪B={x|－6≤x≤1}∪{x|x<－3，或x>0}=R．
A∩B={x|－6≤x≤1}∩{x|x<－3，或x>0}={x|－6≤x＜－3，或0－4．
【总结升华】此题容易发生的错误是由A∩=只片面地推出方程只有两个负根（因为两根之积为1，因为方程无零根），而把A=漏掉，因此要全面准确理解和识别集合语言．
举一反三：
【变式】已知集合A={x|x2－3x－10≤0}，集合B={x|p＋1≤x≤2p－1}．若BA，则实数p的取值范围是________．
【解析】由x2－3x－10≤0得－2≤x≤5．
欲使BA，只须∴ p的取值范围是－3≤p≤3．
上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"这一结论，即B=时，符合题设．
应有：①当B≠时，即p＋1≤2p－1p≥2．
由BA得：－2≤p＋1且2p－1≤5．由－3≤p≤3．∴ 2≤p≤3.
②当B=时，即p＋1>2p－1p＜2．
由①、②得：p≤3．
【总结升华】从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A∪B=，AB等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题．
类型五、集合的新定义问题
例10.设S是整数集Z的非空子集，如果∀a，b∈S，有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的，若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V＝Z，且∀a，b，c∈T，有abc∈T；∀x，y，z∈V，有xyz∈V，则下列结论恒成立的是( )
A．T，V中至少有一个关于乘法是封闭的
B．T，V中至多有一个关于乘法是封闭的
C．T，V中有且只有一个关于乘法是封闭的
D．T，V中每一个关于乘法都是封闭的
【思路点拨】根据新定义，就是要判断“∀a，b∈T，有ab∈T”，“∀x，y∈V，有xy∈V”这两个全称命题的真假．
【解析】 A T全部是偶数，V全部是奇数，那么T，V对乘法是封闭的，但如果T是全部偶数和1,3，那么此时T，V都符合题目要求，但是在V里面，任意取的数是－1和－3，那么相乘等于3，而V里面没有3，所以V对乘法不封闭．排除B、C、D选项，所以“至少一个”是对的．
【总结升华】集合的创新问题，通常需要弄清题目给出的新定义、新概念、新法则与教材上的知识间的联系，将新的定义、概念、法则转化为“常规数学”问题，然后求解．
例11.在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0，1，2，3，4。给出如下四个结论：
①2011∈[1]；
②－3∈[3]；
③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；
④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]。
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拨】对各个选项进行分析：①∵2011÷5=402…1；②∵-3÷5=-1…2，③整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，故Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④从正反两个方面考虑即可得答案．
【答案】C
【解析】①∵2011÷5=402…1，∴2011∈[1]，故①正确；
②∵-3=5×（-1）+2，∴-3∉[3]，故②错误；
③因为整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，故Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故③正确；
④∵整数a，b属于同一“类”，∴整数a，b被5除的余数相同，从而a-b被5除的余数为0，
反之也成立，故“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a-b∈[0]”．故④正确．
故正确的是：①③④，选C
【总结升华】本题为同余的性质的考查，具有一定的创新，关键是对题中“类”的题解，属基础题．
举一反三：
【变式】设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”(即对任意的a，b∈S，对于有序元素对(a，b)，在S中有唯一确定的元素a*b与之对应)．若对任意的a，b∈S，有a*(b*a)＝b，则对任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是( )
A．(a*b)*a＝a
B．[a*(b*a)]*(a*b)＝a
C．b*(b*b)＝b
D．(a*b)*[b*(a*b)]＝b
【答案】A
【解析】选项B中，[a*(b*a)]*(a*b)＝b*(a*b)＝a，成立；选项C中，b*(b*b)＝b，成立；选项D中，把(a*b)看做一个整体，记为c，则(a*b)*[b*(a*b)]＝c*(b*c)＝b，成立，故只有选项A中的结论不恒成立．
例12.定义集合运算：设,
,则集合的所有元素之和为 （ ）
A．0 B．2 C．3 D．6
【思路点拨】本题为新定义问题，可根据题中所定义的的定义，求出集合，而后再进一步求解．
【解析】由的定义可得：，故选D．
【总结升华】近年来，新定义问题也是高考命题的一大亮点，此类问题一般难度不大，需严格根据题中的新定义求解即可，切忌同脑海中已有的概念或定义相混淆．
关于逆命题、否命题、逆否命题，也可以有如下表述：
第一：交换原命题的条件和结论，所得的命题为逆命题；
第二：同时否定原命题的条件和结论，所得的命题为否命题；
第三：交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题为逆否命题；
类型六、命题与逻辑联结词
例13.命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（ ）
A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”
B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”
C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”
D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
【答案】B
【解析】因为一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换，因此逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”
举一反三：
【变式1】命题：“若，则”的逆否命题是（ ）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
【答案】D.
【变式2】命题“若，则”的否命题为__________.
【答案】若a≤b，则2a≤2b-1
【总结升华】否命题不同于命题否定: 对命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定题设又否定结论.
例14.已知命题函数的定义域为；命题函数是减函数.若命题和“或”为真，则实数的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
【思路点拨】先分别求出两个命题为真时实数的取值范围，然后根据含逻辑联结词的复合命题的真假判断两个命题的真假，求出相应的实数的取值范围.
【答案】C
【解析】为真，则，即；为真，则，即.因为命题和“或”为真，所以命题假，命题为真.故的取值范围是.
【总结升华】命题真假的判定方法：
（1）简单命题的判断根据所涉及到的只是直接进行判断；
（2）四种命题的真假判断，互为逆否命题的两个命题的真假相同；
（3）含有逻辑联结词的命题的真假根据真值表，记住相应的规律；
（4）含有量词的命题的真假根据相关知识进行判断.
举一反三：
【变式】原命题：“设，若，则.”以及它的逆命题，否命题、逆否命题中，真命题共有（ ）个.
A．0 B．1 C．2 D．4
【解析】因为当时，，故原命题是假命题，其逆否命题也是假命题.
逆命题为：若，则.显然由可知（若，则，与已知矛盾），根据不等式乘法的单调性，两边同时乘以，可得.即逆命题是正确的，由因为逆命题和否命题互为逆否命题，所以否命题也是正确的.
故原命题的逆命题和否命题是真命题，应选C.
【答案】C
例15.对于函数①，②，
③.判断如下三个命题的真假：
命题甲：是偶函数；命题乙：上是减函数，在区间上是增函数；命题丙：在上是增函数.能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（）
A.①③ B.①② C. ③ D. ②
【答案】 D
【总结升华】真假判断（真值表）可概括为: p或q：同假为假，一真为真； p且q：同真为真，一假为假；非p： 真假相反，真假假真
举一反三：
【变式】下列四个命题中，真命题的序号有 （写出所有真命题的序号）.
①将函数y=的图象按向量v=(－1,0)平移，得到的图象对应的函数表达式为y=
②圆x2+y2+4x+2y+1=0与直线y=相交，所得弦长为2
③若sin(+)= ,sin(－)=,则tancot=5
④如图，已知正方体ABCD- A1B1C1D1，P为底面ABCD内一动点，
P到平面AA1D1D的距离与到直线CC1的距离相等，则P点的轨迹是抛物线的一部分.
【解析】①错误，得到的图象对应的函数表达式应为y＝|x－2|
②错误，圆心坐标为（－2，1），到直线y=的距离为>半径2，故圆与直线相离，
③正确，sin(+)=＝sincos＋cossin，sin(－)＝sincos－cossin＝，两式相加，得2 sincos＝，两式相减，得2 cossin＝，故将上两式相除，即得tancot=5
④正确，点P到平面AD1的距离就是点P到直线AD的距离，
点P到直线CC1就是点P到点C的距离，由抛物线的定义
可知点P的轨迹是抛物线。
类型七、充要条件
例16.若，的二次方程的一个根大于零，另一根小于零，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【思路点拨】先化简两个条件，即求出它们的充要条件，然后判断这两个条件之间的关系，也可直接利用两个集合之间的关系来判断.
【答案】A
【解析】方法一：（等价转化）由，解得；而方程的一根大于零，另一根小于零的充要条件是，即，解得.
因为命题：“若，则”是真命题；而“若，则”是假命题，所以是的充分不必要条件，所以是充分不必要条件，选A.
方法二：（集合法）由方法一可知，满足条件A的参数的取值集合为，满足条件B的参数的取值集合为，显然，所以是充分不必要条件，选A.
【总结升华】解决此类问题的应该注意两个方面的问题：一是准确化简条件，也就是求出每个条件对应的充要条件；二是注意问题的形式，看清“是的……”还是“的……是”，如果是第二种形式，要先转为第一种形式，然后再判断；三是灵活利用各种方法判断两个条件之间的关系，充要条件的判断常通过“”来判断，即转化为两个命题的判断，当比较难于判断的问题时，可借助两个集合之间的关系来判断.
举一反三：
【变式】在中，分别是角所对的边，则“”是“”的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由正弦定理可知，故，
由，，得，所以，即“”是“”的充分必要条件.
【变式】下列选项中，p是q的必要不充分条件的是
（A）p:＞b+d , q:＞b且c＞d
（B）p:a＞1,b>1 q:的图像不过第二象限
（C）p: x=1, q:
（D）p:a＞1, q: 在上为增函数
【解析】由＞b且c＞d＞b+d，而由＞b+d ＞b且c＞d，可举反例。选A
【总结升华】要判断A是B的什么条件，只要判断由A能否推出B和由B能否推出A即可．
例17. “”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【思路点拨】简易逻辑考查重点是命题的真假情况，全称量词与存在量词，充要条件。全称量词与存在量词是新增内容，没有出现单独命题的情况，只是在大题中有体现。充要条件是近几年的高考的重点内容，它可与三角、立体几何、解析几何，不等式等知识联系起来综合考查
【解析】当时，，
反之，当时，有，
或，故应选A.
【总结升华】本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、基本运算的考查.
类型八、含有量词的命题
例18.已知函数，，设，则下列说法不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拨】首先化简函数解析式，然后根据三角函数的性质以及诱导公式判断.
【答案】C
【解析】由诱导公式可知，，，所以.
选项A，显然当时，有，即成立，所以该选项正确；
选项B，对，，所以，故该选项正确；
选项C，为奇函数，应为恒成立，所以该命题不正确；
选项D，，所以恒成立，故该选项正确.
综上，应选C.
【总结升华】解决此类问题应该注意两个方面的问题：一是严格按照定义函数的运算法则进行推理，把一些新定义、新背景的问题转化为熟悉的问题，准确利用所学知识进行判断；二是灵活选择方法判断全称命题和特称命题的真假.
判断下列命题的真假，写出它们的否定并判断真假.
（1）； （2）；
（3）； （4）.
解析：
(1)由于都有，故，为真命题；
：，为假命题
(2) 因为不存在一个实数，使成立，为假命题；
：，为真命题.
(3)因为只有或满足方程，为假命题；
：，为真命题.
(4) 由于使成立的数有，且它们是有理数，为真命题；
：，为假命题.
【总结升华】
1. 要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素，验证成立；要判断全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个，使不成立即可；
2.要判断一个特称命题的真假，依据：只要在限定集合M中，至少能找到一个，使成立，则这个特称命题就是真命题，否则就是假命题.
3.全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是特称命题.但同一个特称或全称命题由于语言环境的不同,可有不同的表述方法,在实际应用中要灵活选择.
举一反三：
【变式】命题“存在R，0”的否定是
A. 不存在R, >0 B. 存在R, 0
C. 对任意的R, 0 D. 对任意的R, >0
【解析】由题否定即“不存在，使”，故选择D。
【变式】命题“对任意的”的否定是（ ）
A.不存在 B.存在
C.存在 D. 对任意的
【答案】C.
