全国普通高等学校高考数学五模试卷理科衡水金卷解析版

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全国普通高等学校高考数学五模试卷理科衡水金卷解析版

‎2016年全国普通高等学校高考数学五模试卷(理科)(衡水金卷)‎ ‎ ‎ 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)‎ ‎1.已知集合A={﹣1,1,2},B={1,a2﹣a},若B⊆A,则实数a的不同取值个数为(  )‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ ‎2.若(1﹣i)2=|1+i|2z(i为虚数单位),则复数z的实部与虚部的和为(  )‎ A.1 B.0 C.﹣1 D.2‎ ‎3.下列函数中,在定义域内与函数y=x3的单调性,奇偶性都相同的是(  )‎ A.y=sinx B.y=x3﹣x C.y=2x D.y=lg(x+)‎ ‎4.与双曲线﹣y2=1有相同的渐近线,且右焦点F到渐近线的距离为2的双曲线方程是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.阅读如图所示的程序框图,若输入的x值为﹣,则输出的y值是(  )‎ A. B. C.﹣2 D.2‎ ‎6.在第二届乌镇互联网大会中,为了提高安保的级别同时又为了方便接待,现将其中的五个参会国的人员安排酒店住宿,这五个参会国要在a、b、c三家酒店选择一家,且这三家至少有一个参会国入住,则这样的安排方法共有(  )‎ A.96种 B.124种 C.130种 D.150种 ‎7.在各项均为正值的等比数列{an}中,已知a5、a13分别是方程2x2﹣mx+2e4=0的两根,则a7a9a11的值为(  )‎ A.e6 B. C.e7 D.e5‎ ‎8.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是(  )‎ A.2+π+8 B.2+3π+8 C. +π+8 D. +2π+8‎ ‎9.设点M(x,y)满足不等式组,点P(,)(a>0,b>0),当•最大时,点M为(  )‎ A.(0,2) B.(0,0) C.(4,6) D.(2,0)‎ ‎10.已知点O是△ABC的外心,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若2c2﹣c+b2=0,则•的最大值是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.函数f(x)=的大致图象为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.知函数f(x)=ex﹣ax的图象在区间(﹣1,+∞)内与x轴没有交点,则实数a的取值范围是(  )‎ A.[﹣,e) B.(﹣,e) C.(﹣,) D.(0,e)‎ ‎ ‎ 二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)‎ ‎13.若(2x﹣)6的展开式中常数项为160,则a的值为      .‎ ‎14.观察下列式子:1+<1+,1++<1+,1+++<1+,…,根据上述规律,第n个不等式应该为      .‎ ‎15.将一个周长为18的矩形,以一边为侧棱,折成一个正三棱柱(底面为正三角形,侧棱与底面垂直),当这个正三棱柱的体积最大时,它的外接球的半径为      .‎ ‎16.数列{an}满足a1=1,a2=2,且an+2﹣2an+1+an=1,则++…+的最小值为      .‎ ‎ ‎ 三、解答题(共5小题,满分60分)‎ ‎17.已知向量=(sinx,),=(cosx,﹣1).‎ ‎(1)当∥时,求cos2x的值;‎ ‎(2)设函数f(x)=2(+)•,求当0≤x≤时,函数f(x)的最大值及对应的x值.‎ ‎18.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,且∠DAB=60°,侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD,G为AD边的中点.‎ ‎(1)求证:平面PAD⊥平面PGB ‎(2)若点E在BC边上,且=,求平面PDC和平面PGE所成的锐二面角的余弦值.‎ ‎19.从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量表得到如下频数分布表.‎ ‎ 质量指标值分组 ‎[75,85)‎ ‎[85,95)‎ ‎[95,105)‎ ‎[105,115)‎ ‎[115,125]‎ ‎ 频数 ‎ 6‎ ‎ 26‎ ‎ x ‎ 22‎ ‎ 8‎ ‎(1)作出这些数据的频率分布直方图(用阴影表示);‎ ‎(2)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表,据此估计这种产品质量指标值的平均数及方差s2;‎ ‎(3)当质量指标值位于(79.6,120.4)时,认为该产品为合格品.由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2(每组数取中间值).‎ ‎①利用该正态分布,求从该厂生产的产品中任取一件,该产品为合格品的概率;‎ ‎②该企业每年生产这种产品10万件,生产一件合格品利润10元,生产一件不合格品亏损20元,则该企业的年利润是多少?‎ ‎(提示:≈10.2,若Z~N(μ,σ2),则P(μ﹣σ<Z<μ+σ)=0.6826,P(μ﹣2σ<Z<μ+2σ)=0.9544)‎ ‎20.已知点F1(﹣1,0),F2(1,0),动点M到点F2的距离是2,线段MF1的中垂线交线段MF2于点P ‎(1)当点M变化时,求动点P的轨迹G的方程;‎ ‎(2)直线l与曲线G相切于点N,过F2作NF2的垂线与直线l相交于点Q,求证:点Q落在一条定直线m上,并求直线m的方程.‎ ‎21.已知函数f(x)=lnx+2.‎ ‎(1)若f(x)的切线过点P(0,2),求此切线的方程;‎ ‎(2)若方程f(x)=kx+k(k>0)在区间[1,e](其中e为自然数的底数)内有实根,求k的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-1:几何证明选讲]‎ ‎22.如图,已知圆上的四点A、B、C、D,CD∥AB,过点D的圆的切线DE与BA的延长线交于E点.‎ ‎(1)求证:∠CDA=∠EDB ‎(2)若BC=CD=5,DE=7,求线段BE的长.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ ‎23.已知直线l:(t为参数),曲线C:(θ为参数).‎ ‎(1)分别将直线l和曲线C的参数方程转化为普通方程;‎ ‎(2)求与直线l平行且与曲线C相切的直线l1的方程.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-5:不等式选讲]‎ ‎24.已知函数f(x)=|x﹣a|+|x+1|‎ ‎(1)若a=2,求函数f(x)的最小值;‎ ‎(2)如果关于x的不等式f(x)<2的解集不是空集,求实数a的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎2016年全国普通高等学校高考数学五模试卷(理科)(衡水金卷)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)‎ ‎1.已知集合A={﹣1,1,2},B={1,a2﹣a},若B⊆A,则实数a的不同取值个数为(  )‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ ‎【考点】集合的包含关系判断及应用.‎ ‎【分析】根据题意,分析可得:若B⊆A,必有a2﹣a=﹣1或a2﹣a=2,分2种情况讨论可得答案.‎ ‎【解答】解:∵B⊆A,∴a2﹣a=﹣1或a2﹣a=2.‎ ‎①由a2﹣a=﹣1得a2﹣a+1=0,无解.‎ ‎②由a2﹣a=2得a2﹣a﹣2=0,解得a=﹣1或2,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎2.若(1﹣i)2=|1+i|2z(i为虚数单位),则复数z的实部与虚部的和为(  )‎ A.1 B.0 C.﹣1 D.2‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算.‎ ‎【分析】由(1﹣i)2=|1+i|2z,得,然后利用复数代数形式的乘除运算和复数求模公式计算得答案.‎ ‎【解答】解:由(1﹣i)2=|1+i|2z,‎ 得=,‎ 则复数z的实部与虚部的和为:﹣1.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎3.下列函数中,在定义域内与函数y=x3的单调性,奇偶性都相同的是(  )‎ A.y=sinx B.y=x3﹣x C.y=2x D.y=lg(x+)‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性.‎ ‎【分析】函数y=x3的单调递增,为奇函数,分别判断函数的奇偶性和单调性即可.‎ ‎【解答】解:y=sinx是奇函数,在定义域上不是增函数,不满足条件.‎ y=x3﹣x是奇函数,函数的导数f′(x)=3x2﹣1,则f′(x)≥﹣1,则函数在定义域上不是单调递增函数,不满足条件.‎ y=2x是增函数,为非奇非偶函数,不满足条件,‎ 故选:D ‎ ‎ ‎4.与双曲线﹣y2=1有相同的渐近线,且右焦点F到渐近线的距离为2的双曲线方程是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】双曲线的简单性质.‎ ‎【分析】求得已知双曲线的渐近线方程,设所求双曲线的方程为﹣=1(a,b>0),由题意可得=,运用点到直线的距离公式,可得c,由a,b,c的关系,解方程可得a,b,进而得到双曲线的方程.‎ ‎【解答】解:双曲线﹣y2=1的渐近线方程为y=±x,‎ 设所求双曲线的方程为﹣=1(a,b>0),‎ 由题意可得=,‎ 右焦点F(c,0)到渐近线y=±x的距离为2,‎ 可得=2,解得c=2,即a2+b2=12,‎ 解得a=2,b=2,‎ 即有双曲线的方程为﹣=1.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎5.阅读如图所示的程序框图,若输入的x值为﹣,则输出的y值是(  )‎ A. B. C.﹣2 D.2‎ ‎【考点】程序框图.‎ ‎【分析】模拟执行程序,可得程序框图的功能是计算并输出y=的值,根据输入x=﹣,执行y=﹣x2+1,即可计算得解.‎ ‎【解答】解:模拟执行程序,可得程序框图的功能是计算并输出y=的值,‎ 由于:x=﹣∈(﹣1,0],‎ 所以:y=﹣(﹣)2+1=.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎6.在第二届乌镇互联网大会中,为了提高安保的级别同时又为了方便接待,现将其中的五个参会国的人员安排酒店住宿,这五个参会国要在a、b、c三家酒店选择一家,且这三家至少有一个参会国入住,则这样的安排方法共有(  )‎ A.96种 B.124种 C.130种 D.150种 ‎【考点】计数原理的应用.‎ ‎【分析】由题意知五个参会国要在a、b、c三家酒店选择一家,且这三家至少有一个参会国入住,可以把5个国家人分成三组,一种是按照1、1、3;另一种是1、2、2;当按照1、1、3来分时共有C53A33,当按照1、2、2来分时注意其中包含一个平均分组的问题,不要出错.‎ ‎【解答】解:∵五个参会国要在a、b、c三家酒店选择一家,且这三家至少有一个参会国入住,‎ ‎∴可以把5个国家人分成三组,‎ 一种是按照1、1、3;另一种是1、2、2‎ 当按照1、1、3来分时共有C53A33=60,‎ 当按照1、2、2来分时共有•A33═90,‎ 根据分类计数原理知共有60+90=150,‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎7.在各项均为正值的等比数列{an}中,已知a5、a13分别是方程2x2﹣mx+2e4=0的两根,则a7a9a11的值为(  )‎ A.e6 B. C.e7 D.e5‎ ‎【考点】等比数列的通项公式.‎ ‎【分析】利用根与系数的关系,由已知条件能求出a5•a13=e4,由此利用等比数列的性质能求出a9,即可得出结论.‎ ‎【解答】解:等比数列{an}中,‎ ‎∵a5、a13分别是方程2x2﹣mx+2e4=0的两根,‎ ‎∴a5•a13=e4,‎ ‎∴a9=e2,‎ ‎∴a7a9a11=a93=e6,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎8.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是(  )‎ A.2+π+8 B.2+3π+8 C. +π+8 D. +2π+8‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积.‎ ‎【分析】由三视图可知:该几何体为两部分组成,左边是一个圆柱的,右边是一个正三棱柱(底面为正三角形、侧棱与底面垂直).即可得出.‎ ‎【解答】解:由三视图可知:该几何体为两部分组成,左边是一个圆柱的,右边是一个正三棱柱(底面为正三角形、侧棱与底面垂直).‎ ‎∴该几何体的表面积=π×12+2+2×+2×2×2=2+3π+8,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎9.设点M(x,y)满足不等式组,点P(,)(a>0,b>0),当•最大时,点M为(  )‎ A.(0,2) B.(0,0) C.(4,6) D.(2,0)‎ ‎【考点】简单线性规划.‎ ‎【分析】由题意作平面区域,从而化简•=(,)•(x,y)=+,从而确定最大值时的点即可.‎ ‎【解答】解:由题意作平面区域如下,‎ ‎,‎ ‎•=(,)•(x,y)=+,‎ 故当x,y都有最大值时,‎ 即x=4,y=6时,有最大值;‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎10.已知点O是△ABC的外心,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若2c2﹣c+b2=0,则•的最大值是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】余弦定理.‎ ‎【分析】由b2=c﹣2c2>0得出c的范围,用表示出,根据向量的数量级定义得出•关于c的函数.求出此函数的最大值即可.‎ ‎【解答】解:过O作OD⊥AB于D,OE⊥AC于E,则D,E分别是AB,AC的中点.‎ ‎∴•==﹣=AC•AE﹣AB•AD=.‎ ‎∵2c2﹣c+b2=0,∴b2=c﹣2c2>0,解得0.‎ ‎∴==﹣(c﹣)2+.‎ ‎∴当c=时, •取得最大值.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎11.函数f(x)=的大致图象为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】函数的图象.‎ ‎【分析】利用导数求得函数的单调性,结合图象,得出结论.‎ ‎【解答】解:∵函数f(x)==,∴f′(x)==﹣•,‎ 令f′(x)=0,求得x=0或x=2,在(﹣∞,0)、(2,+∞)上,f′(x)<0,f(x)单调递减,‎ 在(0,2 )上,f′(x)>0,f(x)单调递增,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎12.知函数f(x)=ex﹣ax的图象在区间(﹣1,+∞)内与x轴没有交点,则实数a的取值范围是(  )‎ A.[﹣,e) B.(﹣,e) C.(﹣,) D.(0,e)‎ ‎【考点】函数的图象.‎ ‎【分析】化简可得函数y=ex与y=ax的图象在区间(﹣1,+∞)内没有交点,从而利用数形结合的方法求解.‎ ‎【解答】解:∵函数f(x)=ex﹣ax的图象在区间(﹣1,+∞)内与x轴没有交点,‎ ‎∴函数y=ex与y=ax的图象在区间(﹣1,+∞)内没有交点,‎ 作函数y=ex与y=ax的图象在区间(﹣1,+∞)内的图象如右图,‎ 当直线y=ax过点B(﹣1,)时,a=﹣;‎ 当直线y=ax与y=ex相切时,设切点为A(x,ex),‎ 故ex=,解得,x=1;‎ 故点A(1,e),‎ 故a=e;‎ 故实数a的取值范围是[﹣,e),‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ 二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)‎ ‎13.若(2x﹣)6的展开式中常数项为160,则a的值为 ﹣1 .‎ ‎【考点】二项式系数的性质.‎ ‎【分析】根据二项式展开式的通项公式求出常数项,再列出方程求a的值.‎ ‎【解答】解:(2x﹣)6展开式的通项公式为 Tr+1=•(2x)6﹣r•=(﹣a)r•26﹣r••x6﹣2r,‎ 令6﹣2r=0,解得r=3;‎ 所以展开式的常数项为 ‎(﹣a)3•23•=160,‎ 化简得a3=﹣1,‎ 解得a=﹣1.‎ 故答案为:﹣1.‎ ‎ ‎ ‎14.观察下列式子:1+<1+,1++<1+,1+++<1+,…,根据上述规律,第n个不等式应该为 1+++…+<1+ .‎ ‎【考点】归纳推理.‎ ‎【分析】根据规律,不等式的左边是n+1个自然数倒数的平方的和,右边分母是以2为首项,1为公差的等差数列,分子是以3为首项,2为公差的等差数列,由此可得结论.‎ ‎【解答】解:根据规律,‎ 不等式的左边是n+1个自然数倒数的平方的和,‎ 右边分母是以2为首项,1为公差的等差数列,‎ 分子是以3为首项,2为公差的等差数列,‎ 所以第n个不等式应该为1+++…+<1+.‎ 故答案为:1+++…+<1+.‎ ‎ ‎ ‎15.将一个周长为18的矩形,以一边为侧棱,折成一个正三棱柱(底面为正三角形,侧棱与底面垂直),当这个正三棱柱的体积最大时,它的外接球的半径为  .‎ ‎【考点】球的体积和表面积.‎ ‎【分析】正三棱柱的底面边长为x,高为y,则3x+y=9,0<x<3,表示正三棱柱的体积,利用基本不等式求最值,能求出正三棱柱的外接球的半径.‎ ‎【解答】解:设正三棱柱的底面边长为x,高为y,则3x+y=9,0<x<3,‎ 正三棱柱的体积V==‎ ‎=3‎ ‎≤3•()3=3,‎ 当且仅当x=2时,等号成立,此时y=3,‎ 可知正三棱柱的外接球的球心是其上下底面中心连线的中点,‎ 则半径为r===.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎16.数列{an}满足a1=1,a2=2,且an+2﹣2an+1+an=1,则++…+的最小值为 1 .‎ ‎【考点】数列的求和.‎ ‎【分析】化简an+2﹣2an+1+an=1可得(an+2﹣an+1)﹣(an+1﹣an)=1,从而可得数列{an+1﹣an}是以1为首项,1为公差的等差数列;从而解得an+1﹣an=1+(n﹣1)1=n,再累加法求其通项公式,从而解得.‎ ‎【解答】解:∵an+2﹣2an+1+an=1,‎ ‎∴(an+2﹣an+1)﹣(an+1﹣an)=1,‎ 而a2﹣a1=2﹣1=1,‎ ‎∴数列{an+1﹣an}是以1为首项,1为公差的等差数列;‎ ‎∴an+1﹣an=1+(n﹣1)1=n,‎ ‎∴a2﹣a1=1,‎ a3﹣a2=2,‎ ‎…,‎ an﹣an﹣1=n﹣1,‎ ‎∴an=1+2+3+…+(n﹣1)+1=+1,‎ ‎∴an﹣1=,‎ ‎∴==2(﹣)>0,‎ ‎∴当n=2时, ++…+有最小值,‎ 即=1,‎ 故答案为:1.‎ ‎ ‎ 三、解答题(共5小题,满分60分)‎ ‎17.已知向量=(sinx,),=(cosx,﹣1).‎ ‎(1)当∥时,求cos2x的值;‎ ‎(2)设函数f(x)=2(+)•,求当0≤x≤时,函数f(x)的最大值及对应的x值.‎ ‎【考点】三角函数中的恒等变换应用;平面向量数量积的运算;正弦函数的图象.‎ ‎【分析】(1)利用向量平行,求得tanx=﹣,二倍角公式cos2x=cos2x﹣sin2x═,可求得,‎ ‎(2)将f(x)化简得f(x)=sin(2x+)+,根据正弦函数的性质,求得f(x)的最大值及x的取值.‎ ‎【解答】解:(1)当∥时,﹣sinx=,‎ tanx=﹣,‎ cos2x=cos2x﹣sin2x==,‎ ‎=,‎ ‎=,‎ ‎(2)设函数f(x)=2(+)•=2sinxcosx+2cos2+,‎ ‎=sin2x+cos2x+,‎ ‎=sin(2x+)+,‎ ‎0≤x≤时,≤2x+≤,‎ 当x=时,f(x)的最大值为.‎ ‎ ‎ ‎18.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,且∠DAB=60°,侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD,G为AD边的中点.‎ ‎(1)求证:平面PAD⊥平面PGB ‎(2)若点E在BC边上,且=,求平面PDC和平面PGE所成的锐二面角的余弦值.‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法;平面与平面垂直的判定.‎ ‎【分析】(1)推导出BG⊥AD,从而BG⊥平面PAD,由此能证明平面PAD⊥平面PGB.‎ ‎(2)以G为原点,分别以GB,GD,GP所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出平面PDC和平面PGE所成的锐二面角的余弦值.‎ ‎【解答】证明:(1)∵在菱形ABCD中,∠DAB=60°,‎ G为AD的中点,∴BG⊥AD,‎ 又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,‎ ‎∴BG⊥平面PAD,‎ 又BG⊂平面PGB,‎ ‎∴平面PAD⊥平面PGB.‎ 解:(2)∵BG⊥平面PAD,∴BG⊥AD,BG⊥PG,‎ ‎∵△PAD是等边三角形,且G为AD的中点,∴PG⊥AD,‎ 以G为原点,分别以GB,GD,GP所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,‎ 则G(0,0,0),B(,0,0),P(0,0,),D(0,1,0),‎ C(),设E(,y0,0),‎ ‎∵,∴,即E(),‎ ‎∴=(0,0,),=(),‎ 设平面PDC的一个法向量=(x,y,z),‎ 则,令x=﹣1,得=(﹣1,,1),‎ 设平面PGE的一个法向量=(a,b,c),‎ 则,取a=1,得=(1,﹣2,0),‎ ‎∴|cos<>|===,‎ ‎∴平面PDC和平面PGE所成的锐二面角的余弦值为.‎ ‎ ‎ ‎19.从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量表得到如下频数分布表.‎ ‎ 质量指标值分组 ‎[75,85)‎ ‎[85,95)‎ ‎[95,105)‎ ‎[105,115)‎ ‎[115,125]‎ ‎ 频数 ‎ 6‎ ‎ 26‎ ‎ x ‎ 22‎ ‎ 8‎ ‎(1)作出这些数据的频率分布直方图(用阴影表示);‎ ‎(2)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表,据此估计这种产品质量指标值的平均数及方差s2;‎ ‎(3)当质量指标值位于(79.6,120.4)时,认为该产品为合格品.由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2(每组数取中间值).‎ ‎①利用该正态分布,求从该厂生产的产品中任取一件,该产品为合格品的概率;‎ ‎②该企业每年生产这种产品10万件,生产一件合格品利润10元,生产一件不合格品亏损20元,则该企业的年利润是多少?‎ ‎(提示:≈10.2,若Z~N(μ,σ2),则P(μ﹣σ<Z<μ+σ)=0.6826,P(μ﹣2σ<Z<μ+2σ)=0.9544)‎ ‎【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义;频率分布直方图.‎ ‎【分析】(1)由已知作出频率分布表,由此能作出作出这些数据的频率分布直方图;‎ ‎(2)求出质量指标值的样本平均数、质量指标值的样本方差;‎ ‎(3)运用离散型随机变量的期望和方差公式,即可求出;‎ ‎①由(2)知Z~N,从而求出P(79.6<Z<120.4),注意运用所给数据;‎ ‎②设这种产品每件利润为随机变量E(X),即可求得EX.‎ ‎【解答】解:(1)由频率分布表作出这些数据的频率分布直方图为:‎ ‎(2)质量指标值的样本平均数为:‎ ‎=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100.‎ 质量指标值的样本方差为 S2=(﹣20)2×0.06+(﹣10)2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08=104.‎ ‎(3)①由(2)知Z~N,从而P(79.6<Z<120.4)=P=0.9544;‎ ‎②由①知一件产品的质量指标值位于区间(79.6,120.4)的概率为0.9544,‎ 该企业的年利润是EX=100000[0.9544×10﹣(1﹣0.9544)×20]=863200.‎ ‎ ‎ ‎20.已知点F1(﹣1,0),F2(1,0),动点M到点F2的距离是2,线段MF1的中垂线交线段MF2于点P ‎(1)当点M变化时,求动点P的轨迹G的方程;‎ ‎(2)直线l与曲线G相切于点N,过F2作NF2的垂线与直线l相交于点Q,求证:点Q落在一条定直线m上,并求直线m的方程.‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【分析】(1)连接PF1,则|PF1|=|PM|,由|PF1|+|PF2|=|MF2|=2>|F1F2|=2,利用椭圆的标准方程即可得出.‎ ‎(2)当直线l斜率不存在时,不满足题意.当直线l斜率存在时,设N(x0,y0),设直线l:y﹣y0=k(x﹣x0),与椭圆方程=1联立,利用直线与椭圆相切的性质可得:△=0,整理﹣2kx0y0+﹣1=0,又+=1,解得k=﹣.直线l的方程与直线QF2的方程联立消去y即可得出.‎ ‎【解答】解:(1)连接PF1,则|PF1|=|PM|,∴|PF1|+|PF2|=|MF2|=2>|F1F2|=2,‎ ‎∴动点P的轨迹G是椭圆,设椭圆的标准方程为: =1(a>b>0).‎ 则2a=2,解得a=,又c=1,∴b2=a2﹣c2=1.‎ ‎∴椭圆的标准方程为: =1.‎ ‎(2)当直线l斜率不存在时,不满足题意.‎ 当直线l斜率存在时,设N(x0,y0),则+=1.‎ 设直线l:y﹣y0=k(x﹣x0),与椭圆方程=1联立化为:(1+2k2)x2+4k(y0﹣kx0)x+2﹣2=0,‎ ‎△=16k2﹣4(1+2k2)[2﹣2]=0,整理﹣2kx0y0+﹣1=0,又+=1,‎ ‎∴+kx0y0+=0,∴=0,解得k=﹣.‎ ‎∴直线l的方程化为:y=﹣(x﹣x0)+y0,①‎ 直线QF2的方程为:(x﹣1),②.‎ ‎①②联立消去y可得: =,与+2=2联立可得:(x0﹣2)(x﹣2)=0.‎ ‎∵,∴x0﹣2≠0,∴x=2.‎ ‎∴交点Q的横坐标为2落在直线x=2上.‎ ‎ ‎ ‎21.已知函数f(x)=lnx+2.‎ ‎(1)若f(x)的切线过点P(0,2),求此切线的方程;‎ ‎(2)若方程f(x)=kx+k(k>0)在区间[1,e](其中e为自然数的底数)内有实根,求k的取值范围.‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程.‎ ‎【分析】(1)设出切点坐标,表示出切线方程,将P(0,2)代入切线,求出切点的坐标,从而求出切线方程即可;‎ ‎(2)求出k=,(x∈[1,e]),设h(x)=,根据函数的单调性求出h(x)在[1,e]的最值,从而求出k的范围即可.‎ ‎【解答】解:(1)设切点是(x0,lnx0+2),‎ f′(x)=,k=,‎ ‎∴切线方程是y﹣(lnx0+2)=(x﹣x0),‎ 此直线过P(0,2),代入得:lnx0=1,‎ ‎∴x0=e,‎ ‎∴切线方程是y﹣3=(x﹣e),‎ 即y=x+2;‎ ‎(2)由f(x)=kx+k,得k=,(x∈[1,e]),‎ 设h(x)=,h′(x)=,‎ 设p(x)=﹣lnx﹣1,p′(x)=﹣﹣<0,‎ ‎∴p(x)在[1,e]递减,‎ ‎∴x∈[1,e]时,p(x)≤p(1)=0,‎ ‎∴h′(x)≤0,‎ ‎∴h(x)在[1,e]递减,‎ ‎∴h(x)最小值=h(e)=,‎ h(x)最大值=h(1)=1,‎ ‎∴≤k≤1时,f(x)=kx+k,(k>0)在[1,e]内有实根,‎ ‎∴k的范围是[,1].‎ ‎ ‎ ‎[选修4-1:几何证明选讲]‎ ‎22.如图,已知圆上的四点A、B、C、D,CD∥AB,过点D的圆的切线DE与BA的延长线交于E点.‎ ‎(1)求证:∠CDA=∠EDB ‎(2)若BC=CD=5,DE=7,求线段BE的长.‎ ‎【考点】与圆有关的比例线段;弦切角.‎ ‎【分析】(1)利用CD∥AB,过点D的圆的切线DE与BA的延长线交于E点,得出角相等,即可证明:∠CDA=∠EDB;‎ ‎(2)证明△BDC≌△EDA,可得BC=EA,由切割线定理可得DE2=EA•EB,即可求线段BE的长.‎ ‎【解答】(1)证明:∵CD∥AB,‎ ‎∴∠BDC=∠ABD,‎ ‎∵DE是圆的切线,‎ ‎∴∠ADE=∠ABD,‎ ‎∴∠ADE=∠BDC,‎ ‎∴∠CDA=∠EDB;‎ ‎(2)解:在△BCD,△ADE中,‎ ‎∵BC=CD=AD,∠BDC=∠EDA,∠BCD=∠EAD,‎ ‎∴△BDC≌△EDA,‎ ‎∴BC=EA,‎ 由切割线定理可得DE2=EA•EB,‎ ‎∴49=5BE,‎ ‎∴BE=.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ ‎23.已知直线l:(t为参数),曲线C:(θ为参数).‎ ‎(1)分别将直线l和曲线C的参数方程转化为普通方程;‎ ‎(2)求与直线l平行且与曲线C相切的直线l1的方程.‎ ‎【考点】参数方程化成普通方程.‎ ‎【分析】(1)根据直线参数方程的几何意义得出直线的倾斜角和定点,写出点斜式方程即可,利用同角三角函数的关系得出曲线的普通方程;‎ ‎(2)根据直线平行与斜率的关系得出l1斜率为,使用待定系数法求出l1的方程.‎ ‎【解答】解:(1)由参数方程可知直线l的倾斜角为60°,过定点(1,0).‎ ‎∴直线l的普通方程为y=(x﹣1),即x﹣y﹣=0.‎ 曲线C的普通方程为x2+y2=1.‎ ‎(2)∵直线l与直线l1平行,‎ ‎∴直线l1的斜率为,‎ 设直线l1的方程为x﹣y+c=0,‎ 则,∴c=±2.‎ ‎∴直线l1的方程为x﹣y+2=0,或x﹣y﹣2=0.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-5:不等式选讲]‎ ‎24.已知函数f(x)=|x﹣a|+|x+1|‎ ‎(1)若a=2,求函数f(x)的最小值;‎ ‎(2)如果关于x的不等式f(x)<2的解集不是空集,求实数a的取值范围.‎ ‎【考点】绝对值三角不等式;绝对值不等式的解法.‎ ‎【分析】(1)当a=2时,f(x)=|x﹣2|+|x+1|≥|(x﹣2)﹣(x+1)|=3,当(x﹣2)(x+1)≤0时,取等号,由此f(x)的最小值是3.‎ ‎(2)关于x的不等式f(x)<2的解集不是空集,只需|a+1|<2,由此能求出实数a的取值范围.‎ ‎【解答】解:(1)当a=2时,f(x)=|x﹣2|+|x+1|≥|(x﹣2)﹣(x+1)|=3,‎ 当(x﹣2)(x+1)≤0,即﹣1≤x≤2时,取等号,‎ ‎∴f(x)的最小值是3.‎ ‎(2)∵f(x)=|x﹣a|+|x+1|≥|(x﹣a)﹣(x+1)|=|a+1|,‎ 当(x﹣a)(x+1)≤0时取等号,‎ ‎∴若关于x的不等式f(x)<2的解集不是空集,‎ 只需|a+1|<2,解得﹣3<a<1,‎ ‎∴实数a的取值范围是(﹣3,1).‎ ‎ ‎ ‎2016年8月23日
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