新课标高考二轮备考抓分点透析文专题六立体几何

新课标高考二轮备考抓分点透析文专题六立体几何

专题六 立体几何 ‎【重点知识回顾】‎ 稳定中有所创新,由知识立意转为能力立意 ‎（1） 考查重点及难点稳定：高考始终把空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直的性质与判定,以及求线面角、二面角等知识都是重点考查的内容，其中线线角、线面角、二面角的求解更是重中之重在难度上平稳过渡，始终以中等偏难为主。实行新课程的高考，命题者在求稳的同时注重创新高考创新，主要体现在命题的立意和思路上注重对学生能力的考查 ‎ （2）空间几何体中的三视图仍是高考的一个重要知识点解答题的考查形式仍要注重在一个具体立体几何模型中考查线面的关系 ‎（3）使用，“向量”仍将会成为高考命题的热点，一般选择题、填空题重在考查向量的概念、数量积及其运算律在有些立体几何的解答题中，建立空间直角坐标系，以向量为工具，利用空间向量的坐标和数量积解决直线、平面问题的位置关系、角度、长度等问题，比用传统立体几何的方法简便快捷，空间向量的数量积及坐标运算仍是2012年高考命题的重点 ‎（4）支持新课改，在重叠部分做文章,在知识交汇点处命题 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？‎ ‎ 平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：‎ ‎ ‎ ‎ 线面平行的判定：‎ ‎ ‎ ‎ 线面平行的性质：‎ ‎ ‎ ‎ 三垂线定理（及逆定理）：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 线面垂直：‎ ‎ ‎ ‎ 面面垂直：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 三类角的定义及求法 ‎ （1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°‎ ‎ （2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90°‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ （三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO，则AO⊥棱l，∴∠AOB为所求。）‎ ‎ 三类角的求法：‎ ‎ ①找出或作出有关的角。‎ ‎ ②证明其符合定义，并指出所求作的角。‎ ‎ ③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。‎ 点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。‎ ‎ 将空间距离转化为两点的距离，构造三角形，解三角形求线段的长（如：三垂线定理法，或者用等积转化法）。‎ ‎ 如：正方形ABCD—A1B‎1C1D1中，棱长为a，则：‎ ‎ （1）点C到面AB‎1C1的距离为___________；‎ ‎ （2）点B到面ACB1的距离为____________；‎ ‎ （3）直线A1D1到面AB‎1C1的距离为____________；‎ ‎ （4）面AB‎1C与面A1DC1的距离为____________；‎ ‎ （5）点B到直线A‎1C1的距离为_____________。‎ 你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质？‎ ‎ 正棱柱——底面为正多边形的直棱柱 ‎ 正棱锥——底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。‎ ‎ 正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：‎ ‎ ‎ ‎ 它们各包含哪些元素？‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 球有哪些性质？‎ ‎ ‎ ‎ （2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此，要找球心角！‎ ‎ （3）如图，θ为纬度角，它是线面成角；α为经度角，它是面面成角。‎ ‎ ‎ ‎ （5）球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径R与内切球半径r之比为R：r＝3：1。‎ ‎【典型例题】‎ 1， 空间几何体及三视图 例1．用一些棱长为‎1cm的小正方体码放成一个几何体，图1为其俯视图，图2为其主视图则这个几何体的体积最大是 ‎7 cm3．‎ ‎ ‎ 图1（俯视图） 图2（主视图）‎ 例2.一个多面体的直观图及三视图如图所示，则多面体的体积为 ▲ ．‎ ‎ ‎ 例4.右图是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，这些相同的小正方体共有▲ 个．5‎ 例5．如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度: cm), 则此几何体的表面积是 。‎ 主视图 俯视图 左视图 ‎2‎ 俯视图 主视图 左视图 ‎2‎ ‎1‎ ‎2‎ 例 6.矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B－AC－D，则四面体ABCD的外接球的体积为 ‎ 例7.一个几何体的三视图中，正视图和侧视图都是矩形，俯视图是等腰直角三角形（如图），根据图中标注的长度，可以计算出该几何体的表面积是 12+4 ．‎ ‎2.平行与垂直 例8.已知：正方体，，E为棱的中点．‎ ‎⑴求证：；‎ ‎⑵求证：平面；⑶求三棱锥的体积 ‎ ‎ 证明：连结，则//， ∵是正方形，∴．‎ ‎∵面，∴．‎ 又，∴面． ‎ ‎∵面，∴，‎ ‎∴． ‎ ‎⑵证明：作的中点F，连结．‎ ‎∵是的中点，∴，‎ ‎∴四边形是平行四边形，∴ ． ‎ ‎∵是的中点，∴，‎ 又，∴．‎ ‎∴四边形是平行四边形，//，‎ ‎∵，，‎ ‎∴平面面． ‎ 又平面，∴面 例A B C D E 9. 多面体中，，，，。‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：‎ 证明：（1）∵‎ ‎∴ ‎ ‎（2）令中点为，中点为，连结、‎ ‎ ∵是的中位线 ‎∴ ‎ A B C D E M N 又∵‎ ‎∴‎ ‎∴ ‎ ‎ ∴‎ ‎ ∵为正 ‎∴ ‎ ‎ ∴‎ ‎ 又∵，‎ ‎∴四边形为平行四边形 ‎ ‎∴‎ ‎∴ ‎ 例10．如图四边形是菱形，平面， 为的中点. 求证：‎ ‎⑴ ∥平面；‎ B A C D P Q O ‎⑵ 平面平面.‎ 解：证：设 ,连 ‎ ‎ ⑴ ∵为菱形， ∴ 为中点，又为中点。‎ ‎ ∴∥ ‎ ‎ 又 , ∴∥‎ ‎ ⑵ ∵为菱形， ∴, ‎ ‎ 又∵， ∴ ‎ ‎ 又 ∴ 又 ‎ ∴ ‎ ‎3.距离与角 例11．已知所在的平面互相垂直，且ＡＢ＝ＢＣ＝ＢＤ，，求：‎ ‎⑴．直线AD与平面BCD所成角的大小；‎ ‎ ⑵．直线AD与直线BC所成角的大小；‎ ‎⑶．二面角A-BD-C的余弦值．‎ ‎⑴如图，在平面ABC内，过A作AH⊥BC，垂足为H，‎ 则AH⊥平面DBC，∴∠ADH即为直线AD与平面BCD所成的角 ‎ 由题设知△AHB≌△AHD，则DH⊥BH，AH=DH，∴∠ADH=45°‎ ‎⑵∵BC⊥DH，且DH为AD在平面BCD上的射影，‎ ‎∴BC⊥AD，故AD与BC所成的角为90° ‎ ‎⑶过H作HR⊥BD，垂足为R，连结AR，则由三垂线定理知，AR⊥BD，故∠ARH为二面角A—BD—C的平面角的补角 设BC=a,则由题设知，AH=DH=,在△HDB中，HR=a，∴tanARH==2‎ 故二面角A—BD—C的余弦值的大小为 ‎ ‎【点评】:本题着眼于让学生掌握通性通法。几何法在书写上体现：“作出来、证出来、指出来、算出来、答出来”五步。斜线和平面所成的角是一个直角三角形所成的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面内的射影。因此求直线和平面所成的角，几何法一般先定斜足、再作垂线找射影、通过解直角三角形求解；向量法则利用斜线和射影的夹角或考虑法向量，设 为直线与平面所成的角，为直线的方向向量与平面的法向量之间的夹角，则有或（如图）‎ ‎ ‎ 特别地 时，，；时， ，或。‎ ‎⑴用两面垂直的性质作垂线，找垂足的位置作出线面角，⑵利用三垂线定理证，⑶利用对称性定义法作二面角 ‎【变式与拓展】如图，BCD是等腰直角三角形，斜边CD的长等于点P到BC的距离，D是P在平面BCD上的射影．‎ ‎⑴.求PB与平面BCD所成角；‎ ‎⑵.求BP与平面PCD所成的角.‎ ‎【解法】‎ ‎⑴. PD⊥平面BCD，∴BD是PB在平面BCD内的射影，‎ ‎∴∠PBD为PB与平面BCD所成角,BD⊥BC，‎ 由三垂线定理得BC⊥BD，∴BP=CD，设BC=a，‎ 则BD=a，BP=CD=a∴在Rt△BPD中，‎ cos∠DBP= ∴∠DBP=45°, 即PB与平面BCD所成角为45°．‎ ‎⑵.过B作BE⊥CD于E，连结PE，PD⊥平面BCD得PD⊥BE，∴BE⊥平面PCD，‎ ‎∴∠BPE为BP与平面PCD所成的角,在Rt△BEP中，BE=a, BP=a,∴∠BPE=30° 即BP与平面PCD所成角为30°‎ 例12.在四棱锥P-ABCD中，已知ABCD为矩形，PA ⊥平面ABCD，设PA=AB=a，BC=‎2a，求二面角B-PC-D的大小 B D P C A B D P C A 解析一 Ｅ Ｆ B D P C A 解析三 E F G B D P C A 解析二 Ｍ Ｎ Ｑ 解析1.定义法 过D作DE ⊥PC于E，过E作EF ⊥PC于F，连接FD，由二面角的平面角的定义可知是所求二面角B-PC-D的平面角。求解二面角B-PC-D的大小只需解△DEF即可 ‎【解法一】过D作DE ⊥PC于E，过E作EF ⊥PC于F，连接FD，由二面角的平面角的定义可知是所求二面角B-PC-D的平面角 在四棱锥P-ABCD中， PA ⊥平面ABCD且ABCD为矩形，∵AD⊥DC∴PD⊥DC ‎∵PA=a，AD=BC=‎2a，∴PD=,PC=,DE=,CE=‎ 同理在Rt△PBC中，，‎ 在Rt△EFC中,FC=, 在Rt△DFC中,DF=,‎ 在△DEF中由余弦定理cos=‎ 所求二面角B-PC-D的余弦值为 解析2.垂面法　　易证面PAB⊥面PBC，过A作AM ⊥BP于M，显然AM ⊥面PBC，从而有AM ⊥PC，同法可得AN ⊥PC，再由AM与AN相交与A得PC ⊥面AMN。设面AMN交PC于Q，则为二面角B-PC-D的平面角；再利用三面角公式可解 ‎【解法二】略 解析3.利用三垂线求解　　把四棱锥P-ABCD补成如图的直三棱柱PAB-EDC，显然二面角E-PC-D与二面角D-PC-B互补，转化为求二面角E-PC-D。‎ 易证面PEDA ⊥PDC，过E作EF ⊥ PD于F，显然PF ⊥面PDC，在面PCE内，过E作EG ⊥PC于G，连接GF，由三垂线得GF⊥ PC 即为二面角E-PC-D的平面角，只需解△EFG即可 B D P C A 解析四 Ｅ Ｆ 解析4.在面PDC内，分别过D、B作DE ⊥PC 于E，‎ BF ⊥PC于F，连接EF即可。‎ 利用平面知识求BF、EF、DE的长度，‎ 再利用空间余弦定理求出q 即可 ‎【点评】.用几何法求二面角的方法比较多，常见的有：‎ ‎（1）定义法, 在棱上的点分别作棱的垂线，如解析１‎ ‎（2）三垂线求解 ,在棱上的点分别作棱的垂线，如解析２‎ ‎（3）垂面法, 在棱上的点分别作棱的垂线，如解析３‎ 用几何法将二面角转化为其平面角，要掌握以下三种基本做法：①直接利用定义，图(1).②利用三垂线定理及其逆定理，图 (2).最常用。③作棱的垂面，图(3).‎ A O B M N a b a b A O P A B O P a b ‎ (1)‎ ‎ (2)‎ ‎ (3)‎ ‎【模拟演练】‎ 一、选择 ‎1．已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．一个几何体的三视图如图所示，已知侧视图是一个等腰三角形, 根据图中尺寸(单位:),可知这个几何体的体积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4．已知、是不重合的直线，、、是两两不重合的平面，给出下列命题：①若则；②若，则;③若，；④若其中真命题的序号为 （ ）‎ ‎ A ①② B①③ C ①④ D ②④‎ ‎5.　在正三棱锥中，分别为、的中点，若与所成的角为，则与所成的角为（ ）‎ ‎　A. 　B. C. D. ‎ ‎7．已知直三棱柱ABC－A1B‎1C1中，AC=BC，M、N分别是A1B1，AB的中点，P点在线段上，则与平面的位置关系是 （ ）‎ ‎ A．垂直 ‎ ‎ B．平行 ‎ ‎ C．相交但不垂直 ‎ ‎ D． 要依P点的位置而定 ‎11. 如图所示，设地球半径为，点在赤道上，为地心，点在北纬30°的纬线（为其圆心）上，且点，，共面，点、、共线若，则异面直线与所成角的正弦值为 （ ）‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ 二、填空 ‎13.已知一个正四棱柱内接于球，该正四棱柱高为3，体积为24，则这个球的表面积是 。‎ ‎14．若直线l与平面 所成角为，直线a在平面内，且与直线l异面，则直线l与直线a所成的角的取值范围是 。 ‎ 三解答题 ‎17．（本题满分12分）‎ 如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，，平面，点是的中点。‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求证：。‎ ‎ ‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 如图所示，矩形中，G是对角线AC，BD的交点，，，F为CE上的点，且，连接FG.‎ ⑴求证：；‎ ⑵求证：//；‎ ⑶求三棱锥的体积.‎ ‎19．如图,四棱锥的底面为直角梯形，‎ ABCD,。　‎ ‎(Ⅰ)求证:‎ ‎(Ⅱ)求二面角的大小　‎ 专题训练答案 ‎1．B 解析：由正方体对角线得到直径可知，，所以棱长为。‎ ‎2.A 解析：由三视图可知该几何体的底面是底边为6，高是4的等腰三角形，该几何体的高为5，所以。‎ ‎4．D解析：①只有、相交才正确，所以①错误；②正确；③l还需与、的交线垂直，错误；④由平面与平面平行的性质定理可知正确，选D. ‎ ‎5．C 解析：由正三棱锥的对应棱互相垂直，得。取的中点，连，则，所以△是直角三角形，与所成的角为，就是∠＝，从而∠＝，即与所成的角为，故选C。‎ ‎7．B 解析：由题设知B‎1M∥AN且B‎1M=AN，四边形ANB‎1M是平行四边形，‎ 故B1N∥AM，B1N∥AMC1平面．又C‎1M∥CN，得CN∥平面AMC1，则平面B1NC∥AMC1，平面AMC1，∴∥平面B1NC。‎ ‎11.C 解析：分别以所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，易得A（0，R，0），B（R，0，0），C（0，，D（0，0，R），所以， 故选C。‎ ‎13. 解析：正四棱柱高为3，体积为24，底面积为8，正方形边长为2，正四棱柱的对角线长即球的直径为5，∴ 球的半径为，球的表面积是。‎ ‎14．；解析：因为直线l是平面的斜线，斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角，故a与l所成的角大于或等于；又因为异面直线所成的角不大于.‎ ‎17、证明：（1）平面，平面，。 2分 ‎ ‎ 又，平面，平面，‎ 平面，平面，平面平面。 6分 ‎（2）连结交于点，并连结，四边形为平行四边形 ‎∴为的中点， 又为的中点。 8分 ‎ ‎∴在中为中位线， ，平面，‎ 平面，，。 12分 ‎ ‎18、解：（1）证明：∵，‎ ‎∴，∴， 2分 又∵，∴ ， 4分 又∵‎ ‎∴.，，。 5分 ⑵证明：∵，∴，又 ‎∴是的中点，又易知是的中点，‎ ‎∴在△中，，又，‎ ‎∴. 9分 ⑶由⑵知且， .‎ ‎∴∴，‎ 又∵，∴，∴在中，。‎ ‎∴在，‎ ‎∴在。 12分 解析：（Ⅰ）如图，建立坐标系，‎ 则，，，，，‎ ‎，，，‎ ‎，　 2分 ‎，，又，平面　 6分 ‎（Ⅱ）设平面的法向量为，‎ 则，，‎ 又，，‎ 解得 ‎。 8分 平面的法向量取为，‎ ‎，。　‎ 二面角的大小为。　 12分