2014年版高考数学专题目09直线与圆考二轮难点解析

2014年版高考数学专题目09直线与圆考二轮难点解析

专题09 直线与圆-2014年高考数学考纲解读及热点难点试题演练 高考对本内容的考查主要有：直线和圆的方程；两直线的平行与垂直关系；点到直线的距离；直线与圆的位置关系；直线被圆截得的弦长．多为B级或C级要求．‎ ‎1．两直线平行或垂直 ‎(1)两条直线平行：对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在且l1与l2不重合时，l1∥l2.‎ ‎(2)两条直线垂直：对于两条直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.特别地，当l1，l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零时，l1⊥l2.‎ ‎2．圆的方程 ‎(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，圆心为(a，b)，半径为r.‎ ‎(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－‎4F＞0)，圆心为，半径为r＝；对于二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是 ‎3．直线方程的5种形式中只有一般式可以表示所有的直线．在利用直线方程的其他形式解题时，一定要注意它们表示直线的局限性．比如，根据“在两坐标轴上的截距相等”这个条件设方程时一定不要忽略过原点的特殊情况．而题中给出直线方程的一般式，我们通常先把它转化为斜截式再进行处理．‎ ‎4．处理有关圆的问题，要特别注意圆心、半径及平面几何知识的应用，如弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形经常用到，利用圆的一些特殊几何性质解题，往往使问题简化．‎ ‎5．直线与圆中常见的最值问题 ‎(1)圆外一点与圆上任一点的距离的最值．‎ ‎(2)直线与圆相离，圆上任一点到直线的距离的最值．‎ ‎(3)过圆内一定点的直线被圆截得弦长的最值．‎ ‎(4)直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值问题．‎ ‎(5)两圆相离，两圆上点的距离的最值．‎ 考点1、直线和圆的方程 ‎【例1】 若一三角形三边所在的直线方程分别为x＋2y－5＝0，y－2＝0，x＋y－4＝0，则能够覆盖此三角形且面积最小的圆的方程为________．‎ ‎【方法技巧】求圆的方程就是要确定圆心坐标和半径，通常用待定系数法；对于【解析】几何填空题利用其几何性质往往会起到方便、快捷作用．‎ ‎【变式探究】已知过某定圆上的每一点均可以作两条相互垂直的直线与椭圆＋＝1的公共点都各只有一个，那么该定圆的方程为________．‎ 考点2、直线与圆、圆与圆的位置关系 ‎【例2】 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x－3)2＋(y＋2)2＝4，圆C2：(x＋m)2＋(y＋m＋5)2＝‎2m2‎＋‎8m＋10(m∈R，且m≠－3)．‎ ‎(1)设P为坐标轴上的点，满足：过点P分别作圆C1与圆C2的一条切线，切点分别为T1、T2，使得PT1＝PT2，试求出所有满足条件的点P的坐标；‎ ‎(2)若斜率为正数的直线l平分圆C1，求证：直线l与圆C2总相交．‎ ‎ ‎ ‎(2)依题意可设直线l的方程为：y＋2＝k(x－3)，k＞0，化简得kx－y－3k－2＝0，‎ ‎【方法技巧】根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系，判定直线与圆的位置关系．‎ ‎【变式探究】 平面直角坐标系xOy中，直线x－y＋1＝0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为.‎ ‎(1)求圆O的方程；‎ ‎(2)若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当DE长最小时，求直线l的方程；‎ ‎(3)设M，P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交于x轴于点(m,0)和(n,0)，问mn是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．‎ mn＝·＝ ‎＝＝2，故mn为定值2.‎ ‎【例1】 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A为椭圆＋＝1的右顶点，点D(1,0)，点P，B在椭圆上，＝.‎ ‎(1)求直线BD的方程；‎ ‎(2)求直线BD被过P，A，B三点的圆C截得的弦长；‎ ‎(3)是否存在分别以PB，PA为弦的两个相外切的等圆？若存在，求出这两个圆的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎【方法技巧】求圆中弦长问题，多用垂径定理，先计算圆心到直线的距离，再利用弦长公式AB＝2；求圆的方程问题常见于找出圆心和半径，对于两圆的位置关系则多借助于几何关系进行判定．‎ ‎【变式探究】 如图所示，已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切．过点B(－2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P.‎ ‎(1)求圆A的方程；‎ ‎(2)当MN＝2时，求直线l的方程；‎ ‎(3)·是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 则＝，又＝(1,2)，‎ ‎∴·＝·＝－5.‎ ‎1．若圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是________．‎ ‎2．已知直线x－y＋a＝0与圆x2＋y2＝1交于A、B两点，且向量、满足|＋|＝|－|，其中O为坐标原点，则实数a的值为______．‎ ‎3．已知圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的圆心为抛物线y2＝4x的焦点，且与直线3x＋4y＋2＝0相切，则该圆的方程为________．‎ ‎4．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆中过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD，则四边形ABCD的面积是________．‎ ‎5．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ax－6＝0(a＞0)的公共弦的长为2，则a＝________.‎ ‎6．在平面直角坐标系中，设直线l：kx－y＋＝0与圆C：x2＋y2＝4相交于A、B两点，＝＋，若点M在圆C上，则实数k＝________.‎ ‎7．若直线ax＋by＝1过点A(b，a)，则以坐标原点O为圆心，OA长为半径的圆的面积的最小值是________．‎ ‎【解析】　由题意知，ab＝，x半径r＝≥＝1，故面积的最小值为π.‎ ‎【答案】　π ‎8．直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点(其中a，b是实数)，且△AOB是直角三角形(O是坐标原点)，则点P(a，b)与点(0,1)之间距离的最小值为________．‎ ‎【解析】‎ ‎9．已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.‎ ‎(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；‎ ‎(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．‎ ‎【解析】解　(1)设点P的坐标为(x，y)，则＝2化简可得(x－5)2＋y2＝16，即为所求．‎ ‎(2)曲线C是以点(5, 0)为圆心，4为半径的圆，如图．‎ ‎10．已知以点C(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为原点．‎ ‎(1)求证：△AOB的面积为定值；‎ ‎(2)设直线2x＋y－4＝0与圆C交于点M，N，若|OM|＝|ON|，求圆C的方程；‎ ‎(3)在(2)的条件下，设P，Q分别是直线l：x＋y＋2＝0和圆C上的动点，求|PB|＋|PQ|的最小值及此时点P的坐标．‎ ‎11.已知双曲线x2－＝1.‎ ‎(1)若一椭圆与该双曲线共焦点，且有一交点P(2,3)，求椭圆方程．‎ ‎(2)设(1)中椭圆的左、右顶点分别为A、B，右焦点为F，直线l为椭圆的右准线，N为l上的一动点，且在x轴上方，直线AN与椭圆交于点M.若AM＝MN，求∠AMB的余弦值；‎ ‎(3)设过A、F、N三点的圆与y轴交于P、Q两点，当线段PQ的中点为(0,9)时，求这个圆的方程．‎ ‎ ‎ ‎12．已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.‎ ‎(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；‎ ‎(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．‎ ‎13．在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．‎ ‎(1)求圆C的方程；‎ ‎(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．‎ 又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a.‎ 所以2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0. ②‎ 由①②可得a＝－1，满足Δ>0，故a＝－1.‎ ‎14．已知直线l：y＝x＋m，m∈R.‎ ‎(1)若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；‎ ‎(2)若直线l关于x轴对称的直线为l′，问直线l′与抛物线C：x2＝4y是否相切？说明理由．‎ ‎ ‎ 所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.‎ ‎(2)同法一．‎