2008高考数学文科试题及答案广东卷

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2008高考数学文科试题及答案广东卷

‎ 2008年全国高考数学试题(文科)广东卷 一.选择题:共10个小题,每小题5分,满分50分,每小题只有一个答案是符合要求的 ‎ ‎1.第二十九届夏季奥林匹克运动会将于‎2008年8月8日在北京举行,若集合,集合,集合,则下列关系正确的是 A.AB      B.BC C..A∩B=C D..B∪C=A ‎2.已知0<a<2,复数z=a+i(i是虚数单位),则|z|的取值范围是 A.(1,) B. (1,) C.(1,3) D.(1,5)‎ ‎3.已知平面向量,,且,则 A. B. C. D.‎ ‎4.记等差数列{an}的前n项和为Sn,若S1=4,S4=20,则该数列的公差d=‎ A.7 B.‎6 C.3 D.2‎ ‎5.已知函数,x∈R,则是 ‎ A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的偶函数 ‎ C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数 ‎6.经过圆x2+2x+y2=0的圆心G,且与直线x+y=0垂直的直线方程是 A. B. ‎ C. D.‎ ‎7.将正三棱柱截去三个角(如图1所示A,B,C分别是△CHI三边的中点)得到几何体如图2,则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为 ‎8.命题“若函数(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数,则<‎0”‎的逆否命题是 ‎ A.若<0,则函数(a>0,a≠1)在其定义域内不是减函数 ‎ B.若≥0,则函数(a>0,a≠1)在其定义域内不是减函数 ‎ C.若<0,则函数(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数 ‎ D.若≥0,则函数(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数 ‎9.设a∈R,若函数y=e5+ax,x∈R有大于零的极值点,则 ‎ A.a< B.a> C.a> D.a<‎ ‎10.设a, b∈R,若>0,则下列不等式中正确的是 A.>0 B.a3+b3<‎0 ‎ C.b+a>0 D.<0‎ 二、填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分.‎ ‎(一)必做题(11-13题)‎ ‎11.为了调查某厂工人生产某种产品的能力,随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为,,由此得到频率分布直方图如图3,则这20名工人中一天生产该产品数量在的人数是   .‎ ‎ 图3‎ ‎12.若变量x,y满足则z=3x+2y的最大值是________。‎ ‎ 图4‎ ‎13.阅读图4的程序框图,若输入m=4,n=3,则输出a=_______,i=________。‎ ‎ (注:框图中的赋值符号“=”,也可以写成“←”或“:=”)‎ ‎(二)选择题(14-15题,考生只能从中选做一题)‎ ‎14.(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C1与C2的极坐标方向分别为,(≥0,0≤θ<),则曲线C1与C2交点的极坐标为________.‎ ‎15.(几何证明选讲选做题)已知PA是圆O的切点,切点为A,PA=2.AC是圆O的直径,PC与圆O交于B点,PB=1,则圆O的半径R=________.‎ 三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.‎ ‎16.(本小题满分13分)‎ ‎ 已知函数f(x)=Asin(x+)(A>0,0<<),xR的最大值是1,其图像经过点M.‎ (1) 求f(x)的解析式;‎ (2) 已知,且f()=,f()=,求f()的值.‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 某单位用2160万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少10层、每层‎2000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?‎ ‎(注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=)‎ ‎18.(本小题满分14分)‎ 如图5所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形,其中BD是圆的直径,∠ABD=60°,∠BDC=45°,△ADP~△BAD.‎ ‎(1)求线段PD的长;‎ ‎(2)若PC=R,求三棱锥P-ABC的体积.‎ ‎ 图5‎ ‎19.(本小题满分13分)‎ 某初级中学共有学生2000名,各年级男、女生人数如下表:‎ 初一年级 初二年级 初三年级 女生 ‎373‎ x y 男生 ‎377‎ ‎370‎ z 已知在全校学生中随机抽取1名,抽到初二年级女生的概率是0.19.‎ (1) 求x的值;‎ (2) 现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生,问应在初三年级抽取多少名?‎ (3) 已知y245,z245,求初三年级中女生比男生多的概率.‎ ‎20.(本小题满分14分)‎ 设,椭圆方程为=1,抛物线方程为x2=8(y-b).如图6所示,过点F(0,b+2)作x轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为,已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点,‎ ‎(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程; 图6‎ ‎(2)设分别是椭圆的左右端点,试探究在抛物线上是否存在点,使为直角三角形?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必求出这些点的坐标)。‎ ‎21.(本小题满分14分)设数列满足, ,数列满足b1=1,bn(n=2,3,…)是非零整数,且对任意的正整数m和自然数k,都有 ‎(1)求数列和的通项公式;‎ ‎(2)记,求数列的前n项和Sn.‎ ‎2008年全国高考数学试题(文科)‎ 广东卷参考答案 一.选择题 DBCCD AABAC 二.填空题 11.13; 12.70; 13.12,3; 14.; 15.‎ 三.解答题:‎ ‎ 16.解:(1)依题意知,,又 ‎ 所以 即,因此 ‎ (2)因为,且 ‎ 所以 ‎ 。‎ ‎ 17.解:设楼房每平方米的平均综合费为元,则 ‎ ‎ ‎ ,令得 ‎ 当时,,当时,‎ ‎ 因此,当时,取最小值 ‎ 答:为了楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为15层。‎ ‎ 18.解:(1)因为是园的直径,所以 ‎ 又△ADP~△BAD.‎ ‎ 所以 ‎ ‎ (2)在中,‎ ‎ 因为 ‎ ‎ 所以 又 ‎ 所以底面 ‎ ‎ ‎ 三棱锥体积为 ‎ 19.解:(1)因为,所以 ‎ (2)初三年级人数为 ‎ 现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生,应在初三年级抽取的人数为 ‎ 名 ‎ (3)设初三年级女生比男生多的事件为,初三年级女生男生数记为 ‎ ,由(2)知,且 ‎ 基本事件共有共11个,‎ ‎ 事件包含的基本事件有 共5个,所以 ‎ 20.解:(1)由得,当时,,‎ ‎ 所以点坐标为 ‎ ,过点的切线方程为 ‎ 即,令得,所以 坐标为 ‎ 由椭圆方程得坐标为,所以 ‎ 因此所求椭圆和抛物线的方程分别为 ‎ (2)因为过作轴的垂线与抛物线的交点只有一个,所以以为直角的直角三角形只有一个,同理以为直角的直角三角形也只有一个;‎ ‎ 若以为直角,设,而 由得,即 ‎ 关于的一元二次方程只有一解,所以有两解,即以为直角的直角三角形有两个,‎ ‎ 因此抛物线上共存在4个点使为直角三角形。‎ ‎21.解:(1)由得 ‎ ‎ 又,所以是以1为首项,为公比的等比数列 ‎ 所以,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由,得,由得 ……‎ 同理可得,为偶数时,,为奇数时,‎ 所以 ‎(2)‎ ‎ ‎ ‎ 当n为奇数时,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当n为偶数时,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 令 …………①‎ ‎ ①得…………②‎ ‎ ①②得 ‎ ‎ ‎ 所以 ‎ ‎ 因此 绝密☆启用前 试卷类型:A ‎ ‎2009年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) ‎ 数学(文科)‎ 本试卷共4页,21小题,满分150分。考试用时120分钟。‎ 注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。‎ ‎2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。‎ ‎3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。‎ ‎ 4.作答选做题时,请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。漏涂、错涂、多涂的,答案无效。‎ ‎ 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。‎ 参考公式:锥体的体积公式,其中是锥体的底面积,是锥体的高.‎ 一、选择题:本大题共10 小题,每小题5分,满分50分.每小题给出得四个选项中,只有一项十符合题目要求得. ‎ ‎1.已知全集U=R,则正确表示集合M= {-1,0,1} 和N= { x |x+x=0} 关系的韦恩(Venn)图是 ‎2.下列n的取值中,使=1(i是虚数单位)的是 A. n=2 B. n=‎3 C. n=4 D. n=5‎ ‎3.已知平面向量a= ,b=, 则向量 ‎ A平行于轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 C.平行于轴 D.平行于第二、四象限的角平分线 ‎4.若函数是函数的反函数,且,则 A. B. C. D.2 ‎ ‎5.已知等比数列的公比为正数,且·=2,=1,则=‎ A. B. C. D.2 ‎ ‎6.给定下列四个命题:‎ ‎①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;‎ ‎②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;‎ ‎③垂直于同一直线的两条直线相互平行;‎ ‎④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. ‎ 其中,为真命题的是 A.①和② B.②和③ C.③和④ D.②和④ ‎ ‎7.已知中,的对边分别为a,b,c若a=c=且,则b= ‎ A.2 B.4+ C.4— D.‎ ‎8.函数的单调递增区间是 ‎ A. B.(0,3) C.(1,4) D. ‎ ‎9.函数是 ‎ A.最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数 C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数 ‎10.广州2010年亚运会火炬传递在A、B、C、D、E五个城市之间进行,各城市之间的路线距离(单位:百公里)见下表.若以A为起点,E为终点,每个城市经过且只经过一次,那么火炬传递的最短路线距离是 A. B‎.21 C.22 D.23‎ 二、填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分。‎ ‎(一)必做题(11-13题)‎ ‎11.某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示:‎ 队员i ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 三分球个数 图1是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图,则图中判断框应填 ,输出的s= ‎ ‎(注:框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“:=”)‎ ‎ 图1‎ ‎12.某单位200名职工的年龄分布情况如图2,现要从中抽取40名职工作样本,用系统抽样法,将全体职工随机按1-200编号,并按编号顺序平均分为40组(1-5号,6-10号…,196-200号).若第5组抽出的号码为22,则第8组抽出的号码应是 。若用分层抽样方法,则40岁以下年龄段应抽取 人. ‎ ‎ 图 2‎ ‎13.以点(2,)为圆心且与直线相切的圆的方程是 .‎ ‎ (二)选做题(14、15题,考生只能从中选做一题)‎ ‎14.(坐标系与参数方程选做题)若直线(t为参数)与直线垂直,则常数= .‎ ‎15.(几何证明选讲选做题)如图3,点A、B、C是圆O上的点,且AB=4,,则圆O的面积等于 . ‎ ‎ 图3 ‎ 三、解答题,本大题共6小题,满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。‎ ‎16.(本小题满分12分)‎ 已知向量与互相垂直,其中 ‎(1)求和的值 ‎(2)若,,求的值 ‎17.(本小题满分13分)‎ 某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示,墩的上半部分是正四棱锥P-EFGH,下半部分是长方体ABCD-EFGH.图5、图6分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图.‎ ‎(1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图 ‎(2)求该安全标识墩的体积 ‎(3)证明:直线BD平面PEG ‎18.(本小题满分13分)‎ 随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图7.‎ ‎(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高;‎ ‎(2)计算甲班的样本方差 ‎(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于‎173cm的同学,求身高为‎176cm的同学被抽中的概率.‎ ‎19.(本小题满分14分)‎ 已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在轴上,离心率为,两个焦点分别为和,椭圆G上一点到和的距离之和为12.圆:的圆心为点.‎ ‎(1)求椭圆G的方程 ‎(2)求的面积 ‎(3)问是否存在圆包围椭圆G?请说明理由.‎ ‎20.(本小题满分14分)‎ 已知点(1,)是函数且)的图象上一点,等比数列的前n项和为,数列的首项为c,且前n项和满足-=+(n2).‎ ‎(1)求数列和的通项公式;‎ ‎(2)若数列{前n项和为,问>的最小正整数n是多少?‎ ‎21.(本小题满分14分)‎ 已知二次函数的导函数的图像与直线平行,且在=-1处取得最小值m-1(m).设函数 ‎(1)若曲线上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为,求m的值 ‎(2) 如何取值时,函数存在零点,并求出零点.‎ 参考答案 一、‎ ‎1. B 2. C 3. C 4. A 5. B 6. D 7.A 8. D 9.A 10.B 二、‎ ‎11.,‎ ‎12. 37, 20‎ ‎13.‎ ‎14. ‎ ‎15.‎ ‎16. ‎ ‎【解析】(1),,即 又∵, ∴,即,∴‎ 又 ,‎ ‎(2) ∵‎ ‎ , ,即 ‎ 又 , ∴‎ ‎17.‎ ‎【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.‎ ‎   (2)该安全标识墩的体积为:‎ ‎        ‎ ‎   (3)如图,连结EG,HF及 BD,EG与HF相交于O,连结PO.‎ ‎ 由正四棱锥的性质可知,平面EFGH , ‎ ‎ 又 平面PEG ‎ 又 平面PEG;‎ ‎18. ‎ ‎【解析】(1)由茎叶图可知:甲班身高集中于之间,而乙班身高集中于 之间。因此乙班平均身高高于甲班;‎ ‎ (2) ‎ ‎ 甲班的样本方差为 ‎ =57‎ ‎ (3)设身高为‎176cm的同学被抽中的事件为A;‎ ‎ 从乙班10名同学中抽中两名身高不低于‎173cm的同学有:(181,173) (181,176)‎ ‎ (181,178) (181,179) (179,173) (179,176) (179,178) (178,173)‎ ‎ (178, 176) (176,173)共10个基本事件,而事件A含有4个基本事件;‎ ‎ ;‎ ‎19.【解析】(1)设椭圆G的方程为: ()半焦距为c;‎ ‎ 则 , 解得 , ‎ ‎ 所求椭圆G的方程为:.‎ ‎(2 )点的坐标为 ‎ ‎ ‎(3)若,由可知点(6,0)在圆外,‎ ‎ 若,由可知点(-6,0)在圆外;‎ ‎ 不论K为何值圆都不能包围椭圆G.‎ ‎20.【解析】(1),‎ ‎ ,,‎ ‎ .‎ 又数列成等比数列, ,所以 ;‎ 又公比,所以 ;‎ ‎ ‎ 又,, ;‎ 数列构成一个首相为1公差为1的等差数列, , ‎ 当, ;‎ ‎();‎ ‎(2)‎ ‎ ;‎ ‎ 由得,满足的最小正整数为112.‎ ‎21.【解析】(1)设,则;‎ ‎ 又的图像与直线平行 ‎ ‎ 又在取极小值, ,‎ ‎ , ;‎ ‎ , 设 ‎ 则 ‎ ;‎ ‎ (2)由,‎ ‎ 得 ‎ ‎ 当时,方程有一解,函数有一零点;‎ ‎ 当时,方程有二解,若,,‎ ‎ 函数有两个零点;若,‎ ‎ ,函数有两个零点;‎ ‎ 当时,方程有一解, , 函数有一零点本资料由《七彩教育网》www.7caiedu.cn 提供!‎ 绝密★启用前 试卷类型:B ‎2010年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)‎ 数学(文科)‎ 本试卷共4页,21小题,满分150分。考试用时120分钟。‎ 注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。‎ ‎ 2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。‎ ‎ 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。‎ ‎ 4.作答选做题时。请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。漏涂、错涂、多涂的,答案无效。‎ ‎ 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。‎ 参考公式:锥体的体积公式V=Sh,其中S是锥体的底面积,h是锥体的高。 ‎ 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若集合A={0,1,2,3},B={1,2,4},则集合AB= ( A )‎ A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4} C.{1,2} D.{0}‎ ‎2.函数,的定义域是 ( B )‎ ‎ A.(2,) B.(1,) C.[1,) D.[2,)‎ ‎3.若函数与的定义域均为,则 ( D )‎ ‎ A.与均为偶函数 B.为奇函数,为偶函数 ‎ C.与均为奇函数 D.为偶函数,为奇函数 ‎4.已知数列{}为等比数列,是它的前n项和,若,且与的等差中项为,则S5= ( C )‎ w_w*w.k_s_5 u.c*o*m ‎ A.35 B.‎33 C.31 D.29‎ ‎5.若向量=(1,1),=(2,5),=(3,)满足条件(8—)·=30,则= ( C )‎ ‎ A.6 B.‎5 C.4 D.3‎ ‎6.若圆心在轴上、半径为的圆位于轴左侧,且与直线相切,则圆的方程是( D ) o*m ‎ A. B. ‎ ‎ C. D.‎ ‎7.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是 ( B )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎8.“>‎0”‎是“>‎0”‎成立的 (A )‎ ‎ A.充分非必要条件 B.必要非充分条件w_w*w.k_s_5 u.c*o*m ‎ C.非充分非必要条件 D.充要条件 ‎9.如图1,为正三角形,,,则多面体的正视图(也称主视图)是 ( D )‎ ‎10.在集合{a,b,c,d}上定义两种运算和如下: ( A )‎ 那么d ‎ A.a B.b C.c D.d 二、填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分. ‎ ‎(一)必做题(11~13题)‎ ‎11.某城市缺水问题比较突出,为了制定节水管理办法,‎ ‎ 对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查,其中4位居民 的月均用水量分别为,…, (单位:吨).根据图2所示的程序框图,若,,,分别为1,,,,则输出的结果s为 1.5 .‎ ‎12.某市居民2005~2009年家庭年平均收入x(单位:万元)与年平均支出Y(单位:万元)的统计资料如下表所示:w_w w. k#s5_u.c o*m 年份 ‎2005‎ ‎2006‎ ‎2007‎ ‎2008‎ ‎2009‎ 收入x ‎11.5‎ ‎12.1‎ ‎13‎ ‎13.3‎ ‎15‎ 支出Y ‎6.8‎ ‎8.8‎ ‎9.8‎ ‎10‎ ‎12‎ 根据统计资料,居民家庭年平均收入的中位数是 13 ,家庭年平均收入与年平均支出有 正 线性相关关系.‎ ‎13.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边,若a=1,b=,A+C=2B,则sinA= . w_w w. k#s5_u.c o*m ‎(二)选做题(14、15题,考生只能从中选做一题)‎ ‎14.(几何证明选讲选做题)如图3,在直角梯形ABCD中,DC∥AB, CB⊥AB,AB=AD=a,CD=,点E,F分别为线段AB,AD的中点,则EF= .‎ ‎15.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系(ρ,)() ‎ 中,曲线与的交点的极坐标为 .‎ 三、解答题:本大题共6小题,满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。‎ ‎16.(本小题满分14分)‎ 设函数,,,且以为最小正周期.‎ ‎(1)求;w_w w. k#s5_u.c o*m ‎(2)求的解析式;‎ ‎(3)已知,求的值.w_w*w.k_s_5 u.c*o*m ‎16.解:(1)由已知可得:‎ ‎(2)∵的周期为,即 ∴ 故 ‎ (3)∵‎ ‎ ∴由已知得:即 ‎ ∴故的值为或 ‎17.(本小题满分12分)‎ ‎ 某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中,随机抽取了100名电视观众,相关的数据如下表所示:w_w*w.k_s_5 u.c*o*m ‎(1)由表中数据直观分析,收看新闻节目的观众是否与年龄有关?w. k#s5_u.c o*m ‎(2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名,大于40岁的观众应该抽取几名?‎ ‎(3)在上述抽取的5名观众中任取2名,求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率。w_w*w.k_s_5 u.c*o*m ‎17.解:(1)画出二维条形图,通过分析数据的图形,或者联列表的对角线的乘积的差的绝对值来分析,得到的直观印象是收看新闻节目的观众与年龄有关;‎ ‎(2)在100名电视观众中,收看新闻的观众共有45人,其中20至40岁的观众有18人,大于40岁的观众共有27人。‎ 故按分层抽样方法,在应在大于40岁的观众中中抽取人。‎ ‎(3)法一:由(2)可知,抽取的5人中,年龄大于40岁的有3人,分别记作1,2,3;20岁至40岁的观众有2人,分别高为,若从5人中任取2名观众记作 ‎,则包含的总的基本事件有:共10个。其中恰有1名观众的年龄为20岁至40岁包含的基本事件有:共6个。‎ 故(“恰有1名观众的年龄为20至40岁”)=;‎ 法二:(“恰有1名观众的年龄为20至40岁”)=‎ ‎18.(本小题满分14分) w_w w. k#s5_u.c o*m 如图4,是半径为的半圆,为直径,点为弧AC的中点,点和点为线段的三等分点,平面外一点满足平面,=. ‎ ‎(1)证明:;‎ ‎(2)求点到平面的距离. w_w*w.k_s_5 u.c*o*m ‎18.法一:(1)证明:∵点B和点C为线段AD的三等分点, ∴点B为圆的圆心 又∵E是弧AC的中点,AC为直径, ∴即 ‎ ∵平面,平面, ∴‎ ‎ 又平面,平面且 ∴平面 ‎ 又∵平面, ∴‎ ‎(2)解:设点B到平面的距离(即三棱锥的高)为.‎ ‎ ∵平面, ∴FC是三棱锥F-BDE的高,且三角形FBC为直角三角形 ‎ 由已知可得,又 ∴‎ ‎ 在中,,故,‎ ‎ ∴,‎ ‎ 又∵平面,故三角形EFB和三角形BDE为直角三角形,‎ ‎ ∴,在中,, ∴,‎ ‎ ∵即,故,‎ 即点B到平面的距离为.‎ ‎ 法二:向量法,此处略,请同学们动手完成。‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和6个单位的维生素;一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和10个单位的维生素.另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含64‎ 个单位的碳水化合物,42个单位的蛋白质和54个单位的维生素. 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元,那么要满足上述的营养要求,并且花费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐? w_w*w.k_s_5 u.c*o*m ‎19.解:设应当为该儿童分别预订个单位的午餐,个单位的晚餐,所花的费用为,则依题意得:‎ ‎ 满足条件即,‎ ‎ 目标函数为,‎ ‎ 作出二元一次不等式组所表示的平面区域(图略),把变形为,得到斜率为,在轴上的截距为,随变化的一族平行直线。‎ ‎ 由图可知,当直线经过可行域上的点M时截距最小,即最小.‎ ‎ 解方程组:, 得点M的坐标为 所以,22‎ 答:要满足营养要求,并花费最少,应当为该儿童分别预订4个单位的午餐,3个单位的晚餐,此花的费用最少为22元.‎ ‎20.(本小题满分14分)‎ 已知函数对任意实数均有,其中常数为负数,且在区间上有表达式.w_w w. k#s5_u.c o*m ‎(1)求,的值;‎ ‎(2)写出在上的表达式,并讨论函数在上的单调性;‎ ‎(3)求出在上的最小值与最大值,并求出相应的自变量的取值. w_w*w.k_s_5 u.c*o*m ‎20.解:(1)∵,且在区间[0,2]时 ‎∴‎ 由得 ‎∴‎ ‎(2)若,则 ‎ ‎ ‎ ∴当时,‎ 若,则 ∴‎ ‎ ∴‎ ‎ 若,则 ∴‎ ‎ ∴‎ ‎∵‎ ‎∴当时,‎ ‎∵,∴当时,,由二次函数的图象可知,为增函数;‎ ‎ 当时,,由二次函数的图象可知,当时,为增函数,当时,为减函数;‎ 当时,,由二次函数的图象可知,当时,为减函数;当时,为增函数;‎ 当时,,由二次函数的图象可知,为增函数。‎ ‎(3)由(2)可知,当时,最大值和最小值必在或处取得。(可画图分析)‎ ‎∵,,,‎ ‎∴当时,;‎ 当时,‎ 当时,.‎ ‎21.(本小题满分14分)w_w w. k#s5_u.c o*m 已知曲线,点是曲线上的点(n=1,2,…).‎ ‎(1)试写出曲线在点处的切线的方程,并求出与轴的交点的坐标;‎ ‎(2)若原点到的距离与线段的长度之比取得最大值,试求点的坐标;w_w*w.k_s_5 u.c*o*m ‎(3)设与为两个给定的不同的正整数,与是满足(2)中条件的点的坐标,‎ 证明:‎ ‎21.解:(1),设切线的斜率为,则 ‎ ‎ ‎∴曲线在点处的切线的方程为:‎ 又∵点在曲线上, ∴‎ ‎∴曲线在点处的切线的方程为:即 令得,∴曲线在轴上的交点的坐标为 ‎(2)原点到直线的距离与线段的长度之比为:‎ ‎ ‎ 当且仅当即时,取等号。此时,‎ 故点的坐标为 ‎(3)证法一:要证 只要证 只要证 ‎,又 所以:‎ 证法二:由上知,只需证,‎ 又,故只需证,可用数学归纳法证明之(略).‎ ‎2011年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)‎ 数学(文科)‎ ‎ 本试卷共4页,21小题,满分150分。考试用时120分钟。‎ 注意事项:‎ ‎ 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将字迹的姓名和考生号、实施号、座位号填写在答题卡上用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。‎ ‎ 2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把大题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。‎ ‎ 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须卸载答题卡个题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。‎ ‎ 4.作答选做题时,请先用2B铅笔填涂选作题地题号对应的信息点,再作答,漏凃,错涂、多涂。答案无效。‎ ‎ 5.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。‎ 参考公式:锥体体积公式V=Sh,其中S为锥体的底面积,h为锥体的高。‎ ‎ 线性回归方程中系数计算公式 ‎ 样本数据x1,x2,……,xa的标准差,‎ ‎ 其中表示样本均值。‎ ‎ N是正整数,则 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.设复数z满足iz=1,其中i为虚数单位,则 ‎ ‎ A.-i B.i C.-1 D.1‎ ‎2.已知集合A=为实数,且,B=且则AB的元素个数为 ‎ A.4 B.‎3 ‎ C.2 D.1‎ ‎3.已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4)。若为实数,(),则=‎ ‎ A. B. C.1 D.2‎ ‎4.函数的定义域是 ‎ A. B.(1,+)‎ ‎ C.(-1,1)∪(1,+∞) D.(-,+)‎ ‎5.不等式2x2-x-1>0的解集是 ‎ A. B.(1, +) ‎ ‎ C.(-,1)∪(2,+) D.‎ ‎6.已知平面直角坐标系上的区域D由不等式 给定,若M(x,y)为D上的动点,点A的坐标为,则z=·的最大值为 ‎ A.3 B.‎4 ‎ C.3 D.4‎ ‎7.正五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个正五棱柱对角线的条数共有 ‎ A.20 B.‎15 ‎ C.12 D.10‎ ‎8.设圆C与圆x2+(y-3)2=1外切,与直线y =0相切,则C的圆心轨迹为 ‎ A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.圆 ‎9.如图1-3,某几何体的正视图(主视图),侧视图(左视图)和俯视图分别是等腰三角形和菱形,则该几何体体积为 ‎ A. B.‎4 ‎ C. D.2‎ ‎10.设f(x),g(x),h(x)是R上的任意实值函数,如下定义两个函数和;对任意x ∈,(f·g)(x)=;(f·g)(x)=‎ ‎.则下列恒等式成立的是 ‎ A.‎ ‎ B.‎ ‎ C.‎ ‎ D.‎ 二、填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分。‎ ‎11.已知是同等比数列,a2=2,a4-a3=4,则此数列的公比q=______‎ ‎12.设函数,若,则f(-a)=_______‎ ‎13.为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系,下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位:小时)与当天投篮命中率y 之间的关系:‎ 时间 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 命中率 ‎0.4‎ ‎0.5‎ ‎0.6‎ ‎0.6‎ ‎0.4‎ ‎ 小李这5天的平均投篮命中率为_________;用线性回归分析的方法,预测小李每月6号打篮球6小时的投篮命中率为________.‎ ‎(二)选择题(14-15题,考生只能从中选做一题)‎ ‎14.(坐标系与参数方程选做题)已知两曲线参数方程分别为(0<)和(t),它们的交点坐标为 。‎ ‎15.(集合证明选讲选做题)如图4,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=4,CD=2.E,F分别为AD,BC上点,且EF=3,EF∥AB,则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为 三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.‎ ‎16.(本小题满分为12分)‎ ‎ 已知函数,R。‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)设,f(3)=,f(3+2)=.求sin( )的值 ‎17.(本小题满分13分)‎ ‎ 在某次测验中,有6位同学的平均成绩为75分。用xn表示编号为n(n=1,2,…,6)的同学所得成绩,且前5位同学的成绩如下:‎ 编号n ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 成绩xn ‎70‎ ‎76‎ ‎72‎ ‎70‎ ‎72‎ ‎(1)求第6位同学的成绩x6,及这6位同学成绩的标准差s;‎ ‎(2)从前5位同学中,随机地选2位同学,求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率。‎ ‎18.(本小题满分13分)‎ ‎ 图5所示的集合体是将高为2,底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后,将其中一半沿切面向右水平平移后得到的.A,A′,B,B′分别为,,,的中点,分别为的中点.‎ ‎(1)证明:四点共面;‎ ‎(2)设G为A A′中点,延长到H′,使得.证明:‎ ‎19.(本小题满分14分)‎ ‎ 设a>0,讨论函数f(x)=lnx+a(1-a)x2-2(1-a)的单调性。‎ ‎20.(本小题满分14分)‎ ‎ 设b>0,数列}满足a1=b,‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)证明:对于一切正整数n,‎2ab+1‎ ‎21.(本小题满分14分)‎ ‎ 在平面直角坐标系中,直线交轴于点A,设是上一点,M是线段OP的垂直平分线上一点,且满足∠MPO=∠AOP ‎(1)当点P在上运动时,求点M的轨迹E的方程;‎ ‎(2)已知T(1,-1),设H是E 上动点,求+的最小值,并给出此时点H的坐标;‎ ‎(3)过点T(1,-1)且不平行与y轴的直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点,求直线的斜率k的取值范围。‎ 参考答案 一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算,共10小题,每小题5分,满分50分。‎ A卷:1—5DBCBA 6—10CADCB 二、填空题:本大题考查基本知识和基本运算,体现选择性。共5小题,每小题5分,满分20分,其中14—15题是选做题,考生只能选做一题。‎ ‎11.2 12.-9 13.0.5,0.53 14. 15.7:5‎ 三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。‎ ‎16.(本小题满分12分)‎ ‎ 解:(1)‎ ‎ ;‎ ‎ (2)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故 ‎17.(本小题满分13分)‎ ‎ 解:(1)‎ ‎ ‎ ‎ ,‎ ‎ ‎ ‎ (2)从5位同学中随机选取2位同学,共有如下10种不同的取法:‎ ‎ {1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{2,3},{2,4},{2,5},{3,4},{3,5},{4,5},‎ ‎ 选出的2位同学中,恰有1位同学的成绩位于(68,75)的取法共有如下4种取法:‎ ‎ {1,2},{2,3},{2,4},{2,5},‎ ‎ 故所求概率为 ‎18.(本小题满分13分)‎ ‎ 证明:(1)中点,‎ ‎ ‎ ‎ 连接BO2‎ ‎ 直线BO2是由直线AO1平移得到 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 共面。‎ ‎ (2)将AO1延长至H使得O1H=O‎1A,连接 ‎//‎ ‎ 由平移性质得=HB ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎19.(本小题满分14分)‎ ‎ 解:函数的定义域为 ‎ ‎ ‎ 当的判别式 ‎ ‎ ‎ ①当有两个零点,‎ ‎ ‎ ‎ 且当内为增函数;‎ ‎ 当内为减函数;‎ ‎ ②当内为增函数;‎ ‎ ③当内为增函数;‎ ‎ ④当 ‎ 在定义域内有唯一零点,‎ ‎ 且当内为增函数;当时,内为减函数。 的单调区间如下表:‎ ‎ (其中)‎ ‎20.(本小题满分14分)‎ ‎ 解:(1)由 ‎ ‎ ‎ 令 ‎ 当 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ①当 ‎ ②当时,‎ ‎ ‎ ‎ (2)当 ‎ 只需 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 综上所述 ‎21.(本小题满分14分)‎ ‎ 解:(1)如图1,设MQ为线段OP的垂直平分线,交OP于点Q,‎ ‎ ‎ ‎ 因此即 ‎ ①‎ ‎ 另一种情况,见图2(即点M和A位于直线OP的同侧)。‎ ‎ MQ为线段OP的垂直平分线,‎ ‎ ‎ ‎ 又 ‎ 因此M在轴上,此时,记M的坐标为 ‎ 为分析的变化范围,设为上任意点 ‎ 由 ‎ (即)得,‎ ‎ ‎ ‎ 故的轨迹方程为 ‎ ②‎ ‎ 综合①和②得,点M轨迹E的方程为 ‎ ‎ ‎(2)由(1)知,轨迹E的方程由下面E1和E2两部分组成(见图3):‎ ‎ ;‎ ‎ ‎ ‎ 当时,过T作垂直于的直线,垂足为,交E1于。‎ ‎ 再过H作垂直于的直线,交 ‎ 因此,(抛物线的性质)。‎ ‎ (该等号仅当重合(或H与D重合)时取得)。‎ ‎ 当时,则 ‎ 综合可得,|HO|+|HT|的最小值为3,且此时点H的坐标为 ‎ (3)由图3知,直线的斜率不可能为零。‎ ‎ 设 ‎ 故的方程得:‎ ‎ 因判别式 ‎ 所以与E中的E1有且仅有两个不同的交点。‎ ‎ 又由E2和的方程可知,若与E2有交点,‎ ‎ 则此交点的坐标为有唯一交点,从而表三个不同的交点。‎ ‎ 因此,直线的取值范围是
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