高考数学一轮复习正态分布
2019 年高考数学一轮复习：正态分布
正态分布
1．正态曲线的性质
(1)正态曲线的定义
函数φμ，σ(x)＝ 1
2π σ
2
2
2
)(
e
x
，x∈(－∞，＋
∞)，其中实数μ和σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x)
的图象(如图)为正态分布密度曲线．简称__________．
(2)正态曲线的性质：
①曲线位于 x 轴____________，与 x 轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线____________对称；
③曲线在 x＝μ处达到峰值__________；
④曲线与 x 轴之间的面积为____________；
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着
________的变化而沿 x 轴平移，如图甲所示．
⑥ 当 μ 一 定 时 ， 曲 线 的 形 状 由 σ 确 定 ， σ 越
__________，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集
中；σ越__________，曲线越“矮胖”，表示总体的分
布越分散，如图乙所示．
2．正态分布的定义与简单计算
(1)正态分布的定义及表示
如果对于任何实数 a，b(a
P(X≤σ1)，B 错误；对任意正数 t，
P(X≤t)≥P(Y≤t)，P(X≥t)≤P(Y≥t)，C 正确，D 错误，
故选 C.
(2017·惠州二调)已知随机变量ξ服从正态分
布 N(1，1)，若 P(ξ<3)＝0.977，则 P(－1<ξ<3)＝( )
A．0.683 B．0.853 C．0.954 D．0.977
解：因为已知随机变量ξ服从正态分布 N(1，1)，
所以正态曲线关于直线 x＝1 对称，又 P(ξ<3)＝0.977，
所以 P(ξ>3)＝1－0.977＝0.023，所以 P(－1<ξ<3)＝1
－P(ξ<－1)－P(ξ>3)＝1－2P(ξ>3)＝1－0.046＝0.954.
故选 C.
(2015·湖南)在如图所示的正方形中随机投掷
10 000 个点，则落入阴影部分(曲线 C 为正态分布 N(0，
1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )
A．2 386 B．2 718 C．3 413 D．4 772
附：若 X～N(μ，σ2)，则 P(μ－σ2)
＝________．
解：P(ξ>2)＝1－P（－2≤ξ≤2）
2
＝0.3.故填 0.3.
(2016·青岛模拟)某班有 50 名同学，一次数学
考 试 的 成 绩 ξ 服 从 正 态 分 布 N(110 ， 102) ， 已 知
P(100≤ξ≤110)＝0.34，估计该班学生数学成绩在 120
分以上的有________人．
解：数学成绩ξ的正态曲线关于直线 x＝110 对称，
因 为 P(100≤ ξ ≤ 110) ＝ 0.34. 所 以 P(ξ≥120) ＝
P(ξ≤100)＝1
2
×(1－0.34×2)＝0.16. 数学成绩在 120
分以上的人数为 0.16×50＝8.故填 8.
类型一 正态分布的概念与性质
已 知 三 个 正 态 分 布 密 度 函 数 φi(x) ＝
1
2πσi
2
2
2
)(
e i
ix
(x∈R，i＝1，2，3)的图象如图所示，
则( )
A．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＞σ3
B．μ1＞μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3
C．μ1＝μ2＜μ3，σ1＜σ2＝σ3
D．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3
解：由正态曲线关于直线 x＝μ对称，知μ1＜μ2＝
μ3；σ的大小决定曲线的形状，σ越大，总体分布越分
散，曲线越矮胖；σ越小，总体分布越集中，曲线越
瘦高，则σ1＝σ2＜σ3.实际上，由φ1(μ1)＝φ2(μ2)＞φ3(μ3)，
则 1
2πσ1
＝ 1
2πσ2
＞ 1
2πσ3
，即σ1＝σ2＜σ3.故选
D.
【点拨】正态曲线的性质(详见“考点梳理”)大
都可由φμ，σ(x)的解析式推知．如σ一定，当 x<μ且 x
增大时，(x－μ)2 减小⇒－（x－μ）2
2σ2
增大⇒ 2
2
2
)(
e
x
增
大⇒φμ，σ(x)在 x＝μ左侧单调递增．其他类似可得．
某市期末教学质量检测，甲、乙、丙三
科考试成绩近似服从正态分布，则由如图曲线可得下
列说法中正确的是( )
A．甲学科总体的方差最小
B．丙学科总体的均值最小
C．乙学科总体的方差最小
D．甲、乙、丙的总体的均值不相同
解：由图象可知三个图象的对称轴相同，即三学
科的均值相同，甲学科成绩的正态分布图象最瘦高，
说明甲学科成绩最集中，方差最小．故选 A.
类型二 正态分布的计算问题
(2017·石家庄模拟)设 X～N(1，σ2)，其正
态分布密度曲线如图所示，且 P(X≥3)＝0.022 8，那
么向正方形 OABC 中随机投掷 20 000 个点，则落入阴
影部分的点的个数的估计值为( )
附：随机变量ξ服从正态分布 N(μ，σ2)，则 P(μ
－σ<ξ<μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954 4.
A．12 076 B．13 174 C．14 056 D．7 539
解：由题意得，P(X≤－1)＝P(X ≥3)＝0.022 8，
所以 P(－10 ， 则 P(X<μ － b) ＝
1－P（μ－b0)和 N(μ2，σ
22)(σ2>0)的密度函数分别为φ1(x)和φ2(x)，其图象如图所
示，则有( )
A．μ1<μ2，σ1<σ2 B．μ1<μ2，σ1>σ2
C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2
解：f(x)＝ 1
2πσe
－（x－μ）2
2σ2 中 x＝μ是对称轴，故
μ1<μ2；σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小曲线越“高
瘦”，故σ1<σ2.故选 A.
2．(2016·郑州调研)已知随机变量ξ服从正态分布
N(2，σ2)，且 P(ξ<4)＝0.8，则 P(0<ξ<4)＝( )
A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2
解：由 P(ξ<4)＝0.8，得 P(ξ≥4)＝0.2.
又正态曲线关于 x＝2 对称．
则 P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)＝0.2，
所以 P(0<ξ<4)＝1－P(ξ≤0)－P(ξ≥4)＝0.6.
故选 A.
3．(2016·云南师大附中月考)设随机变量ξ服从正
态分布 N(4，3)，若 P(ξ＜a－5)＝P(ξ>a＋1)，则实数
a 等于( )
A．4 B．5 C．6 D．7
解：根据对称性有a－5＋a＋1
2
＝4，得 a＝6.故选
C.
4．(2016·新余二模)在如图所示的正方形中随机投
掷 10 000 个点，则落入阴影部分(曲线 C 为正态分布
N(－2，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )
附：若 X～N(μ，σ2)，则 P(μ－σ1)＝1
－ P( － 1≤X≤1) ＝ 1 － P(μ － 3σ≤X≤μ ＋ 3σ) ＝ 1 －
0.997 4＝0.002 6.故选 D.
6．给出下列函数(其中μ∈(－∞，＋∞)，σ>0)：
①f(x)＝ 1
2πσe－（x+μ）2
2σ2 ；
②f(x)＝ 1
2πe－（x-μ）2
4 ；
③f(x)＝ 1
2· 2πe－x2
4；
④f(x)＝ 1
πe－(x－μ)2，
则可以作为正态分布密度函数的个数有( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解：对于①，f(x)＝ 1
2πσe－（x+μ）2
2σ2 .由于μ∈(－∞，
＋∞)，所以－μ∈(－∞，＋∞)，故它可以作为正态分
布密度函数；
对于②，若σ＝1，则应为 f(x)＝ 1
2πe－（x-μ）2
2 .若σ
＝ 2，则应为 f(x)＝ 1
2π· 2
e－（x-μ）2
4 ，均与所给函数
不相符，故它不能作为正态分布密度函数；
对于③，它就是当σ＝ 2，μ＝0 时的正态分布
密度函数；
对于④，它是当σ＝ 2
2
时的正态分布密度函数．
所以一共有 3 个函数可以作为正态分布密度函
数．故选 C.
7．(2017·广州模拟)按照国家规定，某种大米质量
(单位：kg)必须服从正态分布ξ～N(10，σ2)，根据检
测结果可知 P(9.9≤ξ≤10.1)＝0.96，某公司为每位职
工购买一袋这种包装的大米作为福利，若该公司有
2000 名职工， 则分发到的大米质量在 9.9 kg 以下的
职工数大约为________．
解 ： 由 题 意 得 P(ξ<9.9) ＝ p(ξ>10.1) ＝
1－P（9.9≤ξ≤10.1）
2
＝0.02，从而分发到的大米质量
在 9.9 kg 以下的职工数大约为 0.02×2000＝40(人)，
故填 40.
8．某一部件由三个电子元件按如图方式连接而
成，元件 1 或元件 2 正常工作，且元件 3 正常工作，
则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：
小时)均服从正态分布 N(1 000，502)，且各个元件能否
正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过 1 000
小时的概率为________．
解：由于三个电子元件的使用寿命(单位：小时)
均服从正态分布 N(1 000，502)，所以每个元件使用寿
命超过 1 000 小时的概率 P(X≥1 000)＝1
2.所以该部件
的使用寿命超过 1 000 小时的概率 P＝ 1－1
2
×1
2 ×1
2
＝3
8.故填3
8.
9．已知某种零件的尺寸ξ(单位：mm)服从正态分
布，其正态曲线在区间(0，80)上是增函数，在区间(80，
＋∞)上是减函数，且 f(80)＝ 1
8 2π.
(1)求正态分布密度函数的解析式；
(2)估计尺寸在 72mm～88mm 间的零件大约占总
数的百分之几？
解：(1)由于正态曲线在区间(0，80)上是增函数，
在区间(80，＋∞)上是减函数，所以正态曲线关于直
线 x＝80 对称，且在 x＝80 处取得最大值．因此得μ
＝80， 1
2πσ
＝ 1
8 2π
，所以σ＝8.
故正态分布密度函数的解析式是
φμ，σ(x)＝ 1
8 2πe－（x-8）2
128 .
(2)由μ＝80，σ＝8，得μ－σ＝80－8＝72，μ＋
σ＝80＋8＝88.
所以零件尺寸位于区间(72，88)内的概率是0.6826.
因此尺寸在 72mm～88mm 间的零件大约占总数
的 68.26%.
10．在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生
的成绩近似服从正态分布 N(60，100)，已知成绩在 90
分以上(含 90 分)的学生有 13 人．
(1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？
(2)若计划奖励竞赛成绩排在前 228 名的学生，问
受奖学生分数线是多少？
解：(1)设学生的成绩为 X，共有 n 人参加竞赛，
因为 X～N(60，100)，所以μ＝60，σ＝10.
所以 P(X≥90)＝1
2[1－P(3060.
所以 P(120－x0S22.
(2)设事件 A：在甲种食用油中随机抽取 1 桶，其
质量指标不大于 20，
事件 B：在乙种食用油中随机抽取 1 桶，其质量
指标不大于 20，
事件 C：在甲、乙两种食用油中随机抽取 1 桶，
恰有一桶的质量指标不大于 20，且另一桶大于 20，
则 P(A)＝0.20＋0.10＝0.3，P(B)＝0.10＋0.20＝
0.3，
所以 P(C)＝P(
—
A)P(B)＋P(A)P(
—
B)＝0.42，
(3)计算得：—
x＝26.5，由条件得 Z～N(26.5，142.75)，
从而 P(26.5－11.95
查看更多
