2019-2020年高考数学小题综合训练4

2019-2020年高考数学小题综合训练4

‎2019-2020年高考数学小题综合训练4 ‎ ‎1．已知全集U＝{1,2,3,4}，若A＝{1,3}，B＝{3}，则(∁UA)∩(∁UB)等于(　　)‎ A．{1,2} B．{1,4} C．{2,3} D．{2,4}‎ 答案　D 解析　根据题意得∁UA＝{2,4}，∁UB＝{1,2,4}，‎ 故(∁UA)∩(∁UB)＝{2,4}．‎ ‎2．设i是虚数单位，若复数z＝，则z的共轭复数为(　　)‎ A.＋i B．1＋i C．1－i D.－i 答案　D 解析　复数z＝＝＝，‎ 根据共轭复数的概念得，z的共轭复数为－i.‎ ‎3．从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示．若某高校A专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A专业的人数为(　　)‎ A．30 B．25 C．22 D．20‎ 答案　D 解析　50×(1.00＋0.75＋0.25)×0.2＝20.‎ ‎4．已知曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1，f(－1))处切线的斜率为8，则f(－1)等于(　　)‎ A．7 B．－4 C．－7 D．4‎ 答案　B 解析　∵y′＝4x3＋2ax，∴－4－2a＝8，‎ ‎∴a＝－6，∴f(－1)＝1＋a＋1＝－4.‎ ‎5．已知|a|＝1，|b|＝，且a⊥(a－b)，则向量a在b方向上的投影为(　　)‎ A．1 B. C. D. 答案　D 解析　设a与b的夹角为θ，‎ ‎∵a⊥(a－b)，‎ ‎∴a·(a－b)＝a2－a·b＝0，即a2－|a|·|b|cos θ＝0，‎ ‎∴cos θ＝，‎ ‎∴向量a在b方向上的投影为|a|·cos θ＝.‎ ‎6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)‎ A. B. C. D．8‎ 答案　B 解析　由三视图可知，该几何体是底面积为8，高为2的四棱锥，如图所示．‎ ‎∴该几何体的体积V＝×8×2＝.‎ ‎7．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象的一个对称中心为，且f＝，则ω的最小值为(　　)‎ A. B．1 C. D．2‎ 答案　A 解析　方法一　当x＝时，ωx＋φ＝ω＋φ＝k1π，k1∈Z，‎ 当x＝时，ωx＋φ＝ω＋φ＝2k2π＋或2k2π＋，k2∈Z，‎ 两式相减，得ω＝(k1－2k2)π－或(k1－2k2)π－，k1，k2∈Z，‎ 即ω＝4(k1－2k2)－或4(k1－2k2)－，k1，k2∈Z，‎ 又因为ω>0，所以ω的最小值为4－＝.‎ 方法二　直接令ω＋φ＝π，ω＋φ＝，得ω＝，‎ 解得ω＝.‎ ‎8．《九章算术》中的“两鼠穿墙”问题为“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”，可用如图所示的程序框图解决此类问题．现执行该程序框图，输入的d的值为33，则输出的i的值为(　　)‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ 答案　C 解析　i＝0，S＝0，x＝1，y＝1，开始执行程序框图，i＝1，S＝1＋1，x＝2，y＝；i＝2，S＝1＋2＋1＋，x＝4，y＝；…；i＝5，S＝(1＋2＋4＋8＋16)＋<33，x＝32，y＝，再执行一次，S>d退出循环，输出i＝6，故选C.‎ ‎9．在△ABC中，tan ＝sin C，若AB＝2，则△ABC的周长的取值范围是(　　)‎ A．(2,2] B．(2，4]‎ C．(4,2＋2] D．(2＋2，6]‎ 答案　C 解析　由题意可得 tan ＝tan＝ ‎＝2sin cos ，‎ 则sin2＝，即＝，‎ ‎∴cos C＝0，C＝.‎ 据此可得△ABC是以点C为直角顶点的直角三角形，‎ 则4＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥(a＋b)2－2×2，‎ 据此有a＋b≤2，‎ ‎∴△ABC的周长a＋b＋c≤2＋2.‎ 三角形满足两边之和大于第三边，‎ 则a＋b>2，∴a＋b＋c>4.‎ 综上可得，△ABC周长的取值范围是(4,2＋2]．‎ ‎10．一个三棱锥A－BCD内接于球O，且AD＝BC＝3，AC＝BD＝4，AB＝CD＝，则球心O到平面ABC的距离是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　由题意可得三棱锥A－BCD的三对对棱分别相等，‎ 所以可将三棱锥补成一个长方体AEDF－GCHB，如图所示，‎ 该长方体的外接球就是三棱锥A－BCD的外接球O，长方体AEDF－GCHB共顶点的三条面对角线的长分别为3,4，，‎ 设球O的半径为R，长方体的长、宽、高分别为x，y，z，‎ 由题意可知，解得 则(2R)2＝x2＋y2＋z2＝6＋3＋10＝19，即4R2＝19.‎ 在△ABC中，由余弦定理得 cos∠ACB＝＝，‎ 则sin∠ACB＝，‎ 再由正弦定理得＝2r(r为△ABC外接圆的半径)，则r＝，‎ 因此球心O到平面ABC的距离d＝＝.‎ ‎11．设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝13，Sm＝0，Sm＋1＝－15.其中m∈N*且m≥2，则数列的前n项和的最大值为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　∵Sm－1＝13，Sm＝0，Sm＋1＝－15，‎ ‎∴am＝Sm－Sm－1＝0－13＝－13，‎ am＋1＝Sm＋1－Sm＝－15－0＝－15，‎ 又∵数列{an}为等差数列，‎ ‎∴公差d＝am＋1－am＝－15－(－13)＝－2，‎ ‎∴ 解得a1＝13，‎ ‎∴an＝a1＋(n－1)d＝13－2(n－1)＝15－2n，‎ 当an≥0时，n≤7.5，‎ 当an＋1≤0时，n≥6.5，‎ ‎∴数列的前7项为正数，‎ ‎∴＝ ‎＝ ‎∴数列的前n项和的最大值为 ＝＝.故选D.‎ ‎12．已知函数f(x)＝若存在实数x1，x2，x3，x4满足x10，b>0)，‎ 只需C点在双曲线右支图象的上方(包括在图象上)即可，‎ 即－≤1，‎ 两边同乘a2b2，得b2－3a2≤a2b2，‎ 由于b2＝c2－a2＝4－a2，‎ 所以上式化为4－a2－3a2≤a2，‎ 解得－1≤a<2，所以<≤，‎ 故1<≤＋1.‎