贵州省贵阳市高考数学一模试卷解析理科

贵州省贵阳市高考数学一模试卷解析理科

‎2017年贵州省贵阳市高考数学一模试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．已知i为虚数单位，则z=i+i2+i3+…+i2017=（　　）‎ A．0 B．1 C．﹣i D．i ‎2．满足{1，2}⊆P⊊{1，2，3，4}的集合P的个数是（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎3．数列{an}满足a1=0，﹣=1（n≥2，n∈N*），则a2017=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．如图的程序框图，如果输入三个数a，b，c，（a2+b2≠0）要求判断直线ax+by+c=0与单位圆的位置关系，那么在空白的判断框中，应该填写下面四个选项中的（　　）‎ A．c=0？ B．b=0？ C．a=0？ D．ab=0？‎ ‎5．某一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱长为（　　）‎ A．2 B． C．2 D．3‎ ‎6．函数曲线y=x与y=x2所围成的封闭区域的面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．圆C与x轴相切于T（1，0），与y轴正半轴交于两点A、B，且|AB|=2，则圆C的标准方程为（　　）‎ A．（x﹣1）2+（y﹣）2=2 B．（x﹣1）2+（y﹣2）2=2 C．（x+1）2+（y+）2=4 D．（x﹣1）2+（y﹣）2=4‎ ‎8．设M为边长为4的正方形ABCD的边BC的中点，N为正方形区域内任意一点（含边界），则•的最大值为（　　）‎ A．32 B．24 C．20 D．16‎ ‎9．若m∈（，1），a=lgm，b=lgm2，c=lg3m，则（　　）‎ A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a ‎10．已知球O的半径为2，四点S、A、B、C均在球O的表面上，且SC=4，AB=，∠SCA=∠SCB=，则点B到平面SAC的距离为（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎11．斜率为k（k＞0）的直线经过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，与抛物线交于A、B两点，与抛物线的准线交于C点，当B为AC中点时，k的值为（　　）‎ A． B． C．2 D．3‎ ‎12．已知M是函数f（x）=e﹣2|x﹣1|+2sin[π（x﹣）]在x∈[﹣3，5]上的所有零点之和，则M的值为（　　）‎ A．4 B．6 C．8 D．10‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．已知tan（π+α）=2，则cos2α+sin2α=　　．‎ ‎14．n的展开式中，所有二项式系数之和为512，则展开式中x3的系数为　　（用数字作答）．‎ ‎15．我国古代数学家刘徽是公元三世纪世界上最杰出的数学家，他在《九章算术圆田术》注重，用割圆术证明了圆面积的精确公式，并给出了计算圆周率的科学方法，所谓“割圆术”，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的周长无限接近圆的周长，进而求得较为精确的圆周率（圆周率指周长与该圆直径的比率）．刘徽计算圆周率是从正六边形开始的，易知圆的内接正六边形可分为六个全等的正三角形，每个三角形的边长均为圆的半径R，此时圆内接正六边形的周长为6R，此时若将圆内接正六边形的周长等同于圆的周长，可得圆周率为3，当正二十四边形内接于圆时，按照上述算法，可得圆周率为　　（参考数据：cos15°≈0.966，≈0.26）‎ ‎16．已知数列{an}满足：2a1+22a2+23a3+…+2nan=n（n∈N*），数列{}的前n项和为Sn，则S1•S2•S3…S10=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共5小题，满分60分）‎ ‎17．（12分）已知锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b=sin（A+C），cos（A﹣C）+cosB=c．‎ ‎（1）求角A的大小；‎ ‎（2）求b+c的取值范围．‎ ‎18．（12分）2017年1月1日，作为贵阳市打造“千园之城”27个示范性公元之一的泉湖公园正式开园，元旦期间，为了活跃气氛，主办方设置了水上挑战项目向全体市民开放，现从到公园游览的市民中随机抽取了60名男生和40名女生共100人进行调查，统计出100名市民中愿意接受挑战和不愿意接受挑战的男女生比例情况，具体数据如图表：‎ ‎（1）根据条件完成下列2×2列联表，并判断是否在犯错误的概率不超过1%的情况下愿意接受挑战与性别有关？‎ ‎ 愿意 ‎ 不愿意 ‎ 总计 ‎ 男生 ‎ 女生 ‎ 总计 ‎（2）水上挑战项目共有两关，主办方规定：挑战过程依次进行，每一关都有两次机会挑战，通过第一关后才有资格参与第二关的挑战，若甲参加每一关的每一次挑战通过的概率均为，记甲通过的关数为X，求X的分布列和数学期望．‎ 参考公式与数据：‎ ‎ P（K2≥k0）‎ ‎ 0.1‎ ‎ 0.05‎ ‎ 0.025‎ ‎ 0.01‎ ‎ k0‎ ‎ 2.706‎ ‎3.841 ‎ ‎5.024 ‎ ‎6.635 ‎ K2=．‎ ‎19．（12分）底面为菱形的直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱A1B1、A1D1的中点．‎ ‎（Ⅰ）在图中作一个平面α，使得BD⊂α，且平面AEF∥α，（不必给出证明过程，只要求作出α与直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的截面．）‎ ‎（II）若AB=AA1=2，∠BAD=60°，求平面AEF与平面α的距离d．‎ ‎20．（12分）经过原点的直线与椭圆C： +=1（a＞b＞0）交于A、B两点，点P为椭圆上不同于A、B的一点，直线PA、PB的斜率均存在，且直线PA、PB的斜率之积为﹣．‎ ‎（1）求椭圆C的离心率；‎ ‎（2）设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，斜率为k的直线l经过椭圆的右焦点，且与椭圆交于M、N两点，若点F1在以|MN|‎ 为直径的圆内部，求k的取值范围．‎ ‎21．（12分）设f（x）=lnx，g（x）=x|x|．‎ ‎（1）求g（x）在x=﹣1处的切线方程；‎ ‎（2）令F（x）=x•f（x）﹣g（x），求F（x）的单调区间；‎ ‎（3）若任意x1，x2∈[1，+∞）且x1＞x2，都有m[g（x1）﹣g（x2）]＞x1f（x1）﹣x2f（x2）恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎　‎ 四、请考生在第22.23题中任选一题作答，如多做，则按所做的第一题记分选修4-4：坐标系与参数方程选讲 ‎22．（10分）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ﹣2cosθ﹣6sinθ+=0，直线l的参数方程为（t为参数）．‎ ‎（1）求曲线C的普通方程；‎ ‎（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，点P的坐标为（3，3），求|PA|+|PB|的值．‎ ‎　‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23．设f（x）=|x+1|﹣|x﹣4|．‎ ‎（1）若f（x）≤﹣m2+6m恒成立，求实数m的取值范围；‎ ‎（2）设m的最大值为m0，a，b，c均为正实数，当3a+4b+5c=m0时，求a2+b2+c2的最小值．‎ ‎　‎ ‎2017年贵州省贵阳市高考数学一模试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．已知i为虚数单位，则z=i+i2+i3+…+i2017=（　　）‎ A．0 B．1 C．﹣i D．i ‎【考点】虚数单位i及其性质．‎ ‎【分析】利用等比数列的求和公式、复数的周期性即可得出．‎ ‎【解答】解：z====i，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了等比数列的求和公式、复数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎2．满足{1，2}⊆P⊊{1，2，3，4}的集合P的个数是（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【考点】集合的包含关系判断及应用．‎ ‎【分析】集合A一定要含有1、2两个元素，可能含有3、4，但不能包含全部，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：P可以为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，个数为3．‎ 故选B．‎ ‎【点评】子集包括真子集和它本身，集合的子集个数问题，对于集合M的子集问题一般来说，若M中有n个元素，则集合M的子集共有2n个，真子集2n﹣1个．‎ ‎　‎ ‎3．数列{an}满足a1=0，﹣=1（n≥2，n∈N*），则a2017=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】推导出{}是首项为1，公差为了的等差数列，由此能求出a2017的值．‎ ‎【解答】解：∵数列{an}满足a1=0，﹣=1（n≥2，n∈N*），‎ ‎∴=1，‎ ‎∴{}是首项为1，公差为了的等差数列，‎ ‎∴=1+（n﹣1）=n，‎ ‎∴，‎ 解得a2017=．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查数列的第2016项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎4．如图的程序框图，如果输入三个数a，b，c，（a2+b2≠0）要求判断直线ax+by+c=0与单位圆的位置关系，那么在空白的判断框中，应该填写下面四个选项中的（　　）‎ A．c=0？ B．b=0？ C．a=0？ D．ab=0？‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】根据直线ax+by+c=0与单位圆x2+y2=1的位置关系，当c2＜a2+b2，且c=0时，直线与单位圆相交过圆心，即可得解．‎ ‎【解答】解：根据直线ax+by+c=0与单位圆x2+y2=1的位置关系，‎ 当c2＜a2+b2，且c=0时，直线与单位圆相交过圆心，‎ 可得：空白的判断框中，应该填写c=0？‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是程序框图的作用，点到直线的距离，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎5．某一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱长为（　　）‎ A．2 B． C．2 D．3‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由三视图知该几何体是底面为直角梯形的直四棱锥，‎ 结合图中数据，即可求出四棱锥中最长的棱长．‎ ‎【解答】解：由三视图知，几何体是一个四棱锥，‎ 且四棱锥的底面是一个直角梯形OABC，‎ 直角梯形的上底是BC=1，下底是AO=2，‎ 垂直于底边的腰是OP=2，‎ 如图所示：‎ 则四棱锥的最长棱长为PB===3．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了几何体三视图的应用问题，解题的关键是还原出几何体结构特征，是基础题．‎ ‎　‎ ‎6．函数曲线y=x与y=x2所围成的封闭区域的面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】定积分．‎ ‎【分析】利用定积分的几何意义，首先表示面积，然后计算定积分．‎ ‎【解答】解：函数曲线y=x与y=x2所围成的封闭区域的面积为==；‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查了定积分的几何意义的应用解决封闭图形的面积问题，关键是正确利用定积分表示封闭图形的面积；属于常规题型．‎ ‎　‎ ‎7．圆C与x轴相切于T（1，0），与y轴正半轴交于两点A、B，且|AB|=2，则圆C的标准方程为（　　）‎ A．（x﹣1）2+（y﹣）2=2 B．（x﹣1）2+（y﹣2）2=2 C．（x+1）2+（y+‎ ‎）2=4 D．（x﹣1）2+（y﹣）2=4‎ ‎【考点】圆的标准方程．‎ ‎【分析】确定圆心与半径，即可求出圆C的标准方程．‎ ‎【解答】解：由题意，圆的半径为=，圆心坐标为（1，），‎ ‎∴圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣）2=2，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查圆的标准方程，考查学生的计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎8．设M为边长为4的正方形ABCD的边BC的中点，N为正方形区域内任意一点（含边界），则•的最大值为（　　）‎ A．32 B．24 C．20 D．16‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】以A为坐标原点，以AB方向为x轴正方向，以AD方向为y轴方向建立坐标系，将向量的数量积用坐标表示，再利用线性规划方法解决问题．‎ ‎【解答】解：以A为坐标原点，以AB方向为x轴正方向，以AD方向为y轴方向建立坐标系，‎ 则A=（0，0），M（4，2），‎ 则=（4，2），‎ 设N点坐标为（x，y），则=（x，y），，‎ ‎∴•=4x+2y，‎ 设z=4x+2y，平移目标函数，则过点C（4，4）时有最大值，此时最大值为z=16+8=24，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式的应用，向量的主要功能就是数形结合，将几何问题转化为代数问题，但关键是建立合适的坐标系，将向量用坐标表示，再将数量积运算转化为方程或函数问题 ‎　‎ ‎9．若m∈（，1），a=lgm，b=lgm2，c=lg3m，则（　　）‎ A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a ‎【考点】对数值大小的比较．‎ ‎【分析】m∈（，1），可得a=lgm＜0，1＞m＞m2＞0，因此a＞b，c=lg3m＞lgm=a，即可得出．‎ ‎【解答】解：∵m∈（，1），∴a=lgm＜0，1＞m＞m2＞0，‎ ‎∴a＞b，c=lg3m＞lgm=a，‎ ‎∴c＞a＞b．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎10．已知球O的半径为2，四点S、A、B、C均在球O的表面上，且SC=4，AB=，∠SCA=∠SCB=，则点B到平面SAC的距离为（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎【考点】点、线、面间的距离计算；球的体积和表面积．‎ ‎【分析】过AB的小圆的圆心为D．可得AC=BC=2，AD=BD=，即可求解B到平面SAC的距离．‎ ‎【解答】解：球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=，∠SCA=∠SCB=，半径为2，‎ 过AB的小圆的圆心为D．可得AC=BC=2，AD=BD=，‎ ‎∴△ABD是等边三角形，AD边上的高为B到平面SAC的距离，即．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了学生的空间想象力，考查转化思想以及计算能力．属于中档题．‎ ‎　‎ ‎11．斜率为k（k＞0）的直线经过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，与抛物线交于A、B两点，与抛物线的准线交于C点，当B为AC中点时，k的值为（　　）‎ A． B． C．2 D．3‎ ‎【考点】直线与抛物线的位置关系．‎ ‎【分析】如图，设A，B两点的抛物线的准线上的射影分别为E，M，过B作AE的垂线BN，在三角形ABN中，∠BAN等于直线AB的倾斜角，其正切值即为k值，利用在直角三角形ABN中，tan∠BAN=，从而得出直线AB的斜率．‎ ‎【解答】解：如图，设A，B两点的抛物线的准线上的射影分别为E，M，‎ 过B作AE的垂线BN，‎ 在三角形ABN中，∠BAN等于直线AB的倾斜角，其正切值即为k值，‎ 设|BF|=n，B为AC中点，可得2|BF|=|AE|，即|AF|=2|BF|，∴|AF|=2n，‎ 根据抛物线的定义得：|AE|=2n，|BF|=n，‎ ‎∴|AN|=n，‎ 在直角三角形ABC中，tan∠BAN===2；‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考察了直线与抛物线的位置关系，抛物线的简单性质，特别是焦点弦问题，解题时要善于运用抛物线的定义解决问题．‎ ‎　‎ ‎12．已知M是函数f（x）=e﹣2|x﹣1|+2sin[π（x﹣）]在x∈[﹣3，5]上的所有零点之和，则M的值为（　　）‎ A．4 B．6 C．8 D．10‎ ‎【考点】根的存在性及根的个数判断．‎ ‎【分析】函数的零点，转化为两个函数的图形的交点的横坐标，利用函数的对称性，求解即可．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=e﹣2|x﹣1|+2sin[π（x﹣）]在x∈[﹣3，5]上的所有零点，就是e﹣2|x﹣1|=﹣2sin[π（x﹣）]在x∈[﹣3，5]上的所有的根，即e﹣2|x﹣1|=2cosπx在x∈[﹣3，5]上的所有根，就是函数y=e﹣2|x﹣1|与y=2cosπx，交点的横坐标，画出两个函数的图象如图，因为两个函数都关于x=1对称，两个函数共有8个交点，所以函数f（x）=e﹣2|x﹣1|+2sin[π（x﹣）]在x∈[﹣3，5]上的所有零点之和，M=8．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．已知tan（π+α）=2，则cos2α+sin2α=　　．‎ ‎【考点】终边相同的角．‎ ‎【分析】利用倍角公式、弦化切即可得出．‎ ‎【解答】解：∵tan（π+α）=tanα=2，‎ ‎∴sin2α+cos2α====．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了二倍角公式的应用，熟练掌握公式是解本题的关键，是基础题．‎ ‎　‎ ‎14．（x﹣）n的展开式中，所有二项式系数之和为512，则展开式中x3的系数为　126　（用数字作答）．‎ ‎【考点】二项式定理的应用．‎ ‎【分析】先由条件求得n=9，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得展开式中x3的系数．‎ ‎【解答】解：由题意2n=512，则n=9，通项公式为Tr+1=•（﹣1）r•，‎ 令9﹣r=3，求得r=4，可得该展开式中x3的系数=126，‎ 故答案为：126．‎ ‎【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎15．我国古代数学家刘徽是公元三世纪世界上最杰出的数学家，他在《九章算术圆田术》注重，用割圆术证明了圆面积的精确公式，并给出了计算圆周率的科学方法，所谓“割圆术”，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的周长无限接近圆的周长，进而求得较为精确的圆周率（圆周率指周长与该圆直径的比率）．刘徽计算圆周率是从正六边形开始的，易知圆的内接正六边形可分为六个全等的正三角形，每个三角形的边长均为圆的半径R，此时圆内接正六边形的周长为6R，此时若将圆内接正六边形的周长等同于圆的周长，可得圆周率为3，当正二十四边形内接于圆时，按照上述算法，可得圆周率为　3.12　（参考数据：cos15°≈0.966，≈0.26）‎ ‎【考点】模拟方法估计概率．‎ ‎【分析】求出边长为≈0.26R，周长为0.26×24R=2πR，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：正二十四边形的圆心角为15°，圆的半径R，边长为≈0.26R，‎ 周长为0.26×24R=2πR，∴π=3.12，‎ 故答案为3.12．‎ ‎【点评】本题考查模拟方法估计概率，考查学生的计算能力，比较基础．‎ ‎　‎ ‎16．已知数列{an}满足：2a1+22a2+23a3+…+2nan=n（n∈N*），数列{}的前n项和为Sn，则S1•S2•S3…S10=　　．‎ ‎【考点】数列递推式；数列的求和．‎ ‎【分析】根据2a1+22a2+23a3+…+2nan=n，求出an=，再利用对数的运算性质和裂项法即可得到=﹣，裂项求和得到Sn，代值计算即可．‎ ‎【解答】解：∵2a1+22a2+23a3+…+2nan=n，‎ ‎∴2a1+22a2+23a3+…+2n﹣1an﹣1=n﹣1，‎ ‎∴2nan=1，‎ ‎∴an=，‎ ‎∴===﹣，‎ ‎∴Sn=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=，‎ ‎∴S1•S2•S3…S10=×××…××=，‎ 故答案为：‎ ‎【点评】本题考查了数列的通项公式的求法和裂项求和，属于中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题（共5小题，满分60分）‎ ‎17．（12分）（2017•贵阳一模）已知锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b=sin（A+C），cos（A﹣C）+cosB=c．‎ ‎（1）求角A的大小；‎ ‎（2）求b+c的取值范围．‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】（1）由已知利用正弦定理可得：a=sinA，c=sinC，利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得2sinAsinC=，从而可求a==sinA，结合A为锐角，可求A的值．‎ ‎（2）由余弦定理，基本不等式可求b+c≤‎ ‎，由三角形两边之和大于第三边可得b+c＞a=，即可得解b+c的范围．‎ ‎【解答】解：（1）∵b=sin（A+C），可得：b=sinB，‎ ‎∴由正弦定理，可得：a=sinA，c=sinC，‎ ‎∵cos（A﹣C）+cosB=c，可得：cos（A﹣C）﹣cos（A+C）=c，‎ 可得：cosAcosC+sinAsinC﹣（cosAcosC﹣sinAsinC）=，‎ ‎∴2sinAsinC=，‎ ‎∴2ac=，可得：a==sinA，‎ ‎∵A为锐角，‎ ‎∴A=．‎ ‎（2）∵a=，A=，‎ ‎∴由余弦定理可得：（）2=b2+c2﹣2bccos，即=b2+c2﹣bc，整理可得：（b+c）2=+bc，‎ 又∵=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc，当且仅当b=c时等号成立，‎ ‎∴（b+c）2=+bc≤+=，解得：b+c≤，当且仅当b=c时等号成立，‎ 又b+c＞a=，‎ ‎∴b+c∈（，]．‎ ‎【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，基本不等式以及三角形两边之和大于第三边等知识的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2017•贵阳一模）2017年1月1日，作为贵阳市打造“千园之城”27个示范性公元之一的泉湖公园正式开园，元旦期间，为了活跃气氛，主办方设置了水上挑战项目向全体市民开放，现从到公园游览的市民中随机抽取了60名男生和40名女生共100人进行调查，统计出100名市民中愿意接受挑战和不愿意接受挑战的男女生比例情况，具体数据如图表：‎ ‎（1）根据条件完成下列2×2列联表，并判断是否在犯错误的概率不超过1%的情况下愿意接受挑战与性别有关？‎ ‎ 愿意 ‎ 不愿意 ‎ 总计 ‎ 男生 ‎ 女生 ‎ 总计 ‎（2）水上挑战项目共有两关，主办方规定：挑战过程依次进行，每一关都有两次机会挑战，通过第一关后才有资格参与第二关的挑战，若甲参加每一关的每一次挑战通过的概率均为，记甲通过的关数为X，求X的分布列和数学期望．‎ 参考公式与数据：‎ ‎ P（K2≥k0）‎ ‎ 0.1‎ ‎ 0.05‎ ‎ 0.025‎ ‎ 0.01‎ ‎ k0‎ ‎ 2.706‎ ‎3.841 ‎ ‎5.024 ‎ ‎6.635 ‎ K2=．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．‎ ‎【分析】（1）利用k2计算公式即可得出．‎ ‎（2）由题意可得：X=0，1，2．可得P（X=0）=，P（X=2）=，P（X=1）=1﹣P（X=0）﹣P（X=2）．‎ ‎【解答】解：（1）由统计表格可得：‎ ‎ 愿意 ‎ 不愿意 ‎ 总计 ‎ 男生 ‎ 15‎ ‎ 45‎ ‎ 60‎ ‎ 女生 ‎ 20‎ ‎ 20‎ ‎ 40‎ ‎ 总计 ‎ 35‎ ‎ 65‎ ‎ 100‎ ‎∴K2=≈6.594＜6.635，‎ 在犯错误的概率不超过1%的情况下不能接受挑战与性别有关．‎ ‎（2）由题意可得：X=0，1，2．‎ 则P（X=0）==，P（X=2）==，‎ P（X=1）=1﹣P（X=0）﹣P（X=2）=．‎ ‎ X ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ P E（X）=0+1×=．‎ ‎【点评】本题考查了随机变量的分布列的性质及其数学期望、“独立性检验”计算公式及其原理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2017•贵阳一模）底面为菱形的直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱A1B1、A1D1的中点．‎ ‎（Ⅰ）在图中作一个平面α，使得BD⊂α，且平面AEF∥α，（不必给出证明过程，只要求作出α与直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的截面．）‎ ‎（II）若AB=AA1=2，∠BAD=60°，求平面AEF与平面α的距离d．‎ ‎【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）取B1C1的中点H，C1D1的中点G，平面BHGD就是所求平面α．‎ ‎（Ⅱ）取BC中点M，以D为原点，DA为x轴，DM为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面AEF与平面α的距离．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）取B1C1的中点H，C1D1的中点G，连结BH、GH、DH，‎ 则平面BHGD就是所求平面α，‎ α与直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的截面为平面BHGD．‎ ‎（Ⅱ）∵菱形的直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AA1=2，∠BAD=60°，‎ ‎∴取BC中点M，以D为原点，DA为x轴，DM为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，‎ A（2，0，0），D（0，0，0），B（1，，0），H（0，，2），‎ ‎=（2，0，0），=（1，，0），=（0，，2），‎ 设平面α（即平面BHGD）的法向量=（x，y，z），‎ 则，取y=2，得=（﹣2，2，﹣），‎ ‎∴平面AEF与平面α的距离d===．‎ ‎【点评】本题考查满足面面平行的平面的作法，考查两平面间的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2017•贵阳一模）经过原点的直线与椭圆C： +=1（a＞b＞0）交于A、B两点，点P为椭圆上不同于A、B的一点，直线PA、PB的斜率均存在，且直线PA、PB的斜率之积为﹣．‎ ‎（1）求椭圆C的离心率；‎ ‎（2）设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，斜率为k的直线l经过椭圆的右焦点，且与椭圆交于M、N两点，若点F1在以|MN|为直径的圆内部，求k的取值范围．‎ ‎【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（1）设P（x0，y0），A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），代入椭圆方程得，由直线PA、PB的斜率之积为﹣，得到=，由此能求出椭圆C的离心率．‎ ‎（2）由e=，得，从而=1，c=，焦点F1（﹣，0），设MN：y=k（x﹣），联立，得，由此利用韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能求出k的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）设P（x0，y0），A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），‎ 则，∴，‎ ‎∵•=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴椭圆C的离心率e==．‎ ‎（2）∵e=，∴，‎ ‎∴=1，c=，焦点F1（﹣，0），‎ 设MN：y=k（x﹣），‎ 联立，得，‎ 设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，‎ ‎=，‎ ‎∴＜0，‎ ‎∴（x1+，y1）•（，y2）=（）+y1y2‎ ‎=+‎ ‎=（1+k2）x1x2﹣（x1+x2）（1﹣k2）+3b2（1+k2）‎ ‎=++＜0，‎ ‎∴（1+k2）（12k2﹣4）+24k2（1﹣k2）+3（1+k2）（4k2+1）＜0，‎ 整理，得，解得k的取值范围是（﹣）．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，考查实数的取值范围求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、椭圆性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2017•贵阳一模）设f（x）=lnx，g（x）=x|x|．‎ ‎（1）求g（x）在x=﹣1处的切线方程；‎ ‎（2）令F（x）=x•f（x）﹣g（x），求F（x）的单调区间；‎ ‎（3）若任意x1，x2∈[1，+∞）且x1＞x2，都有m[g（x1）﹣g（x2）]＞x1f（x1）﹣x2f（x2）恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（1）求出函数g（x）的导数，计算g（﹣1），g′（﹣1），求出切线方程即可；‎ ‎（2）求出函数F（x）的导函数，得到导函数的单调性，从而求出函数F（x）的单调性即可；‎ ‎（3）已知可转化为x1＞x2≥1时，mg（x1）﹣x1f（x1）≥mg（x2）﹣x2f（x2）恒成立，令h（x）=mg（x）﹣xf（x）=x2﹣xlnx，则h（x）为单调递增的函数结合导数工具即可求得实数m的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）x＜0时，g（x）=﹣x2，g′（x）=﹣x，‎ 故g（﹣1）=﹣，g′（﹣1）=1，‎ 故切线方程是：y+=（x+1），‎ 即x﹣y+=0；‎ ‎（2）F（x）=xlnx﹣x|x|=xlnx﹣x2，（x＞0），‎ F′（x）=lnx﹣x+1，F″（x）=﹣1，‎ 令F″（x）＞0，解得：0＜x＜1，令F″（x）＜0，解得：x＞1，‎ 故F′（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，‎ 故F′（x）≤F′（1）=0，‎ 故F（x）在（0，+∞）递减；‎ ‎（3）已知可转化为x1＞x2≥1时，mg（x1）﹣x1f（x1）≥mg（x2）﹣x2f（x2）恒成立，‎ 令h（x）=mg（x）﹣xf（x）=x2﹣xlnx，则h（x）为单调递增的函数，‎ 故h′（x）=mx﹣lnx﹣1≥0恒成立，即m≥恒成立，‎ 令m（x）=，则m′（x）=﹣，‎ ‎∴当x∈[1，+∞）时，m′（x）≤0，m（x）单调递减，‎ m（x）≤m（1）=1，‎ 故m≥1．‎ ‎【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．‎ ‎　‎ 四、请考生在第22.23题中任选一题作答，如多做，则按所做的第一题记分选修4-4：坐标系与参数方程选讲 ‎22．（10分）（2017•贵阳一模）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ﹣2cosθ﹣6sinθ+=0，直线l的参数方程为（t为参数）．‎ ‎（1）求曲线C的普通方程；‎ ‎（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，点P的坐标为（3，3），求|PA|+|PB|的值．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程；参数方程的优越性．‎ ‎【分析】（1）利用极坐标与直角坐标化简公式化简求解即可．‎ ‎（2）把直线方程代入圆的方程化简可得t的二次方程，利用根与系数的关系，以及|PA|=|t1|，|PB|=|t2|求出|PA|•|PB|．‎ ‎【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ﹣2cosθ﹣6sinθ+=0，‎ 可得：ρ2﹣2ρcosθ﹣6ρsinθ+1=0，‎ 可得x2+y2﹣2x﹣6y+1=0，‎ 曲线C的普通方程：x2+y2﹣2x﹣6y+1=0．‎ ‎（2）由于直线l的参数方程为（t为参数）．‎ 把它代入圆的方程整理得 t2+2t﹣5=0，∴t1+t2=﹣2，t1t2=﹣5，‎ ‎|PA|=|t1|，|PB|=|t2|，|PA|+|PB|=|t1|+|t2|==2．‎ ‎∴|PA|+|PB|的值2．‎ ‎【点评】本题考查参数方程化普通方程，考查极坐标方程化直角坐标方程，考查了直线的参数方程中参数t的几何意义，是基础题．‎ ‎　‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23．（2017•贵阳一模）设f（x）=|x+1|﹣|x﹣4|．‎ ‎（1）若f（x）≤﹣m2+6m恒成立，求实数m的取值范围；‎ ‎（2）设m的最大值为m0，a，b，c均为正实数，当3a+4b+5c=m0时，求a2+b2+c2的最小值．‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．‎ ‎【分析】（1）求出f（x）=|x+1|﹣|x﹣4|的最大值，f（x）max≤﹣m2+6m即可．‎ ‎（2）由柯西不等式（a2+b2+c2）（32+42+52）≥（3a+4b+5c）2=25‎ ‎【解答】解（1）﹣5≤|x+1|﹣|x﹣4|≤5．，‎ 由于f（x）≤﹣m2+6m的解集为R，‎ ‎∴﹣m2+6m≥5，即1≤m≤5．‎ ‎（2）由（1）得m的最大值为5，∴3a+4b+5c=5‎ 由柯西不等式（a2+b2+c2）（32+42+52）≥（3a+4b+5c）2=25﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 故a2+b2+c2≥．（当且仅当a=，b=c=时取等号）‎ ‎∴a2+b2+c2的最小值为．‎ ‎【点评】本题考查绝对值不等式的最值，柯西不等式的应用，属于中档题．‎ ‎　‎