江苏省苏锡常镇四市高考数学二模试卷解析

江苏省苏锡常镇四市高考数学二模试卷解析

‎ 2016年江苏省苏锡常镇四市高考数学二模试卷 ‎　‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．‎ ‎1．已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，2}，B={2，3，4}，那么A∪（∁UB）=　　　　　　．‎ ‎2．已知（a﹣i）2=2i，其中i是虚数单位，那么实数a=　　　　　　．‎ ‎3．从某班抽取5名学生测量身高（单位：cm），得到的数据为160，162，159，160，159，则该组数据的方差s2=　　　　　　．‎ ‎4．同时抛掷三枚质地均匀、大小相同的硬币一次，则至少有两枚硬币正面向上的概率为　　　　　　．‎ ‎5．若双曲线x2+my2=1过点（﹣，2），则该双曲线的虚轴长为　　　　　　．‎ ‎6．函数f（x）=的定义域为　　　　　　．‎ ‎7．某算法流程图如图所示，该程序运行后，若输出的x=15，则实数a等于　　　　　　．‎ ‎8．若tanα=，tan（α﹣β）=﹣，则tan（β﹣2α）=　　　　　　．‎ ‎9．若直线3x+4y﹣m=0与圆x2+y2+2x﹣4y+4=0始终有公共点，则实数m的取值范围是　　　　　　．‎ ‎10．设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1，S1，底面半径高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2，S2，若=，则的值为　　　　　　．‎ ‎11．已知函数f（x）=x3+2x，若f（1）+f（log3）＞0（a＞0且a≠1），则实数a的取值范围是　　　　　　．‎ ‎12．设公差为d（d为奇数，且d＞1）的等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm﹣1=﹣9，Sm=0，其中m＞3，且m∈N*，则an=　　　　　　．‎ ‎13．已知函数f（x）=x|x2﹣a|，若存在x∈[1，2]，使得f（x）＜2，则实数a的取值范围是　　　　　　．‎ ‎14．在平面直角坐标系xOy中，设点A（1，0），B（0，1），C（a，b），D（c，d），若不等式2≥（m﹣2）•+m（•）•（•）对任何实数a，b，c，d都成立，则实数m的最大值是　　　　　　．‎ ‎　‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知向量=（cosB，cosC），=（4a﹣b，c），且∥．‎ ‎（1）求cosC的值；‎ ‎（2）若c=，△ABC的面积S=，求a，b的值．‎ ‎16．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AA1=AB，D是AB的中点 ‎（1）求证：BC1∥平面A1CD；‎ ‎（2）若点P在线段BB1上，且BP=BB1，求证：AP⊥平面A1CD．‎ ‎17．某经销商计划销售一款新型的空气净化器，经市场凋研发现以下规律：当每台净化器的利润为x（单位：元，x＞0）时，销售量q（x）（单位：百台）与x的关系满足：若x不超过20，则q（x）=；若x大于或等于180，则销售为零；当20≤x≤180时．q（x）=a﹣b（a，b为实常数）．‎ ‎（1）求函数q（x）的表达式；‎ ‎（2）当x为多少时，总利润（单位：元）取得最大值，并求出该最大值．‎ ‎18．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的左，右焦点分别是F1，F2，右顶点、上顶点分别为A，B，原点O到直线AB的距离等于ab﹒‎ ‎（1）若椭圆C的离心率等于，求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若过点（0，1）的直线l与椭圆有且只有一个公共点P，且P在第二象限，直线PF2交y轴于点Q﹒试判断以PQ为直径的圆与点F1的位置关系，并说明理由﹒‎ ‎19．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=3，且对任意的正整数n，都有Sn+1=λSn+3n+1，其中常数λ＞0．设bn=（n∈N*）﹒‎ ‎（1）若λ=3，求数列{bn}的通项公式；‎ ‎（2）若λ≠1且λ≠3，设cn=an+（n∈N*），证明数列{cn}是等比数列；‎ ‎（3）若对任意的正整数n，都有bn≤3，求实数λ的取值范围．‎ ‎20．已知函数f（x）=a•ex+x2﹣bx（a，b∈R，e=2.71828…是自然对数的底数），其导函数为y=f′（x）．‎ ‎（1）设a=﹣1，若函数y=f（x）在R上是单调减函数，求b的取值范围；‎ ‎（2）设b=0，若函数y=f（x）在R上有且只有一个零点，求a的取值范围；‎ ‎（3）设b=2，且a≠0，点（m，n）（m，n∈R）是曲线y=f（x）上的一个定点，是否存在实数x0（x0≠m），使得f（x0）=f′（）（x0﹣m）+n成立？证明你的结论．‎ ‎　‎ ‎【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做两题，每小题0分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-1：几何证明选讲]‎ ‎21．已知△ABC内接于⊙O，BE是⊙O的直径，AD是BC边上的高．求证：BA•AC=BE•AD．‎ ‎　‎ B．[选修4-2：矩阵与变换]‎ ‎22．已知变换T把平面上的点（3，﹣4），（5，0）分别变换成（2，﹣1），（﹣1，2），试求变换T对应的矩阵M．‎ ‎　‎ C．[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎23．在平面直角坐标系xOy中，直线l过点M（1，2），倾斜角为﹒以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C：ρ=6cosθ﹒若直线l与圆C相交于A，B两点，求MA•MB的值．‎ ‎　‎ D．[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．设x为实数，求证：（x2+x+1）2≤3（x4+x2+1）﹒‎ ‎　‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎25．一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，若有3次摸到红球即停止．‎ ‎（1）求恰好摸4次停止的概率；‎ ‎（2）记4次之内（含4次）摸到红球的次数为X，求随机变量X的分布列．‎ ‎26．设实数a1，a2，…，an满足a1+a2+…+an=0，且|a1|+|a2|+…+|an|≤1（n∈N*且n≥2），令bn=（n∈N*）．求证：|b1+b2+…+bn|≤（n∈N*）．‎ ‎　‎ ‎2016年江苏省苏锡常镇四市高考数学二模试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．‎ ‎1．已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，2}，B={2，3，4}，那么A∪（∁UB）=　{1，2，5}　．‎ ‎【考点】交、并、补集的混合运算．‎ ‎【分析】先求出B的补集，再求出其与A的并集，从而得到答案．‎ ‎【解答】解：∵U={1，2，3，4，5}，又B={2，3，4}，‎ ‎∴（CUB）={1，5}，‎ 又A={1，2}，∴A∪（CUB）={1，2，5}．‎ 故答案为：{1，2，5}．‎ ‎　‎ ‎2．已知（a﹣i）2=2i，其中i是虚数单位，那么实数a=　﹣1　．‎ ‎【考点】复数代数形式的混合运算．‎ ‎【分析】直接化简方程，利用复数相等条件即可求解．‎ ‎【解答】解：a2﹣2ai﹣1=a2﹣1﹣2ai=2i，a=﹣1‎ 故答案为：﹣1‎ ‎　‎ ‎3．从某班抽取5名学生测量身高（单位：cm），得到的数据为160，162，159，160，159，则该组数据的方差s2=　　．‎ ‎【考点】极差、方差与标准差．‎ ‎【分析】求出数据的平均数，从而求出方差即可．‎ ‎【解答】解：数据160，162，159，160，159的平均数是：160，‎ 则该组数据的方差s2=（02+22+12+02+12）=，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎4．同时抛掷三枚质地均匀、大小相同的硬币一次，则至少有两枚硬币正面向上的概率为　　．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式．‎ ‎【分析】由已知条件利用n次独立重复试验概率计算公式求解．‎ ‎【解答】解：∵同时抛掷三枚质地均匀、大小相同的硬币一次，‎ ‎∴至少有两枚硬币正面向上的概率为：‎ p==．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎5．若双曲线x2+my2=1过点（﹣，2），则该双曲线的虚轴长为　4　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据条件求出双曲线的标准方程即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵双曲线x2+my2=1过点（﹣，2），‎ ‎∴2+4m=1，即4m=﹣1，‎ m=﹣，‎ 则双曲线的标准范围为x2﹣=1，‎ 则b=2，‎ 即双曲线的虚轴长2b=4，‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ ‎6．函数f（x）=的定义域为　（0，1）∪（1，2）　．‎ ‎【考点】函数的定义域及其求法．‎ ‎【分析】由对数式的真数大于0，分式的分母不等于0联立不等式组求得答案．‎ ‎【解答】解：要使原函数有意义，则，解得：0＜x＜2，且x≠1．‎ ‎∴函数f（x）=的定义域为：（0，1）∪（1，2）．‎ 故答案为：（0，1）∪（1，2）．‎ ‎　‎ ‎7．某算法流程图如图所示，该程序运行后，若输出的x=15，则实数a等于　1　．‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可解得a的值．‎ ‎【解答】解：模拟执行程序，可得 n=1，x=a 满足条件n≤3，执行循环体，x=2a+1，n=2‎ 满足条件n≤3，执行循环体，x=2（2a+1）+1=4a+3，n=3‎ 满足条件n≤3，执行循环体，x=2（4a+3）+1=8a+7，n=4‎ 不满足条件n≤3，退出循环，输出x的值为15．‎ 所以：8a+7=15，解得：a=1．‎ 故答案为：1‎ ‎　‎ ‎8．若tanα=，tan（α﹣β）=﹣，则tan（β﹣2α）=　﹣　．‎ ‎【考点】两角和与差的正切函数．‎ ‎【分析】根据题意，先有诱导公式可得tan（β﹣2α）=﹣tan（2α﹣β），进而结合正切的和角公式可得tan（β﹣2α）=﹣tan（2α﹣β）=﹣tan[（α﹣β）+α]=﹣，代入数据计算可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，tan（β﹣2α）=﹣tan（2α﹣β）=﹣tan[（α﹣β）+α]=﹣=﹣=﹣；‎ 故答案为：﹣．‎ ‎　‎ ‎9．若直线3x+4y﹣m=0与圆x2+y2+2x﹣4y+4=0始终有公共点，则实数m的取值范围是　[0，10]　．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】圆x2+y2+2x﹣4y+4=0的圆心（﹣1，2），半径r=1，求出圆心（﹣1，2）到直线3x+4y﹣m=0的距离d，由直线3x+4y﹣m=0与圆x2+y2+2x﹣4y+4=0始终有公共点，得d≤r，由此能求出实数m的取值范围．‎ ‎【解答】解：圆x2+y2+2x﹣4y+4=0的圆心（﹣1，2），半径r==1，‎ 圆心（﹣1，2）到直线3x+4y﹣m=0的距离d==，‎ ‎∵直线3x+4y﹣m=0与圆x2+y2+2x﹣4y+4=0始终有公共点，‎ ‎∴，‎ 解得0≤m≤10，‎ ‎∴实数m的取值范围是[0，10]．‎ 故答案为：[0，10]．‎ ‎　‎ ‎10．设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1，S1，底面半径高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2，S2，若=，则的值为　　．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【分析】根据体积比得出a和r的关系，代入面积公式求出面积比即可．‎ ‎【解答】解：圆锥的母线l==r．‎ V1=a3，S1=6a2，V2=，S2=πrl=πr2．‎ ‎∵==，∴a=r．‎ ‎∴==．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎11．已知函数f（x）=x3+2x，若f（1）+f（log3）＞0（a＞0且a≠1），则实数a的取值范围是　（0，1）∪（3，+∞）　．‎ ‎【考点】函数的值．‎ ‎【分析】可判断函数f（x）=x3+2x是奇函数，且在R上是增函数，从而化简f（1）+f（log3）＞0为log3＞﹣1；从而解得．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=x3+2x是奇函数，且在R上是增函数，‎ ‎∵f（1）+f（log3）＞0，‎ ‎∴f（log3）＞﹣f（1）=f（﹣1），‎ ‎∴log3＞﹣1；‎ ‎∴＞1或3＜a；‎ 即a∈（0，1）∪（3，+∞）；‎ 故答案为：（0，1）∪（3，+∞）．‎ ‎　‎ ‎12．设公差为d（d为奇数，且d＞1）的等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm﹣1=﹣9，Sm=0，其中m＞3，且m∈N*，则an=　3n﹣12　．‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】Sm﹣1=﹣9，Sm=0，其中m＞3，可得：（m﹣1）a1+d=﹣9，ma1+d=0，化为：d=．由于m＞3，且m∈N*，d为奇数，且d＞1，通过分类讨论验证即可得出．‎ ‎【解答】解：∵Sm﹣1=﹣9，Sm=0，其中m＞3，‎ ‎∴（m﹣1）a1+d=﹣9，‎ ma1+d=0，‎ 可得：d=．‎ ‎∵m＞3，且m∈N*，d为奇数，且d＞1，‎ ‎∴d=3，m=7．‎ ‎∴a1=﹣9．‎ ‎∴an=﹣9+3（n﹣1）=3n﹣12．‎ 故答案为：3n﹣12．‎ ‎　‎ ‎13．已知函数f（x）=x|x2﹣a|，若存在x∈[1，2]，使得f（x）＜2，则实数a的取值范围是　（﹣1，5）　．‎ ‎【考点】分段函数的应用．‎ ‎【分析】由题意可得f（x）＜2可得﹣2＜x3﹣ax＜2，即为﹣x2﹣＜﹣a＜﹣x2+，等价为（﹣x2﹣）min＜﹣a＜（﹣x2+）max，分别判断不等式左右两边函数的单调性，求得最值，解不等式即可得到a的范围．‎ ‎【解答】解：当x∈[1，2]时，f（x）=|x3﹣ax|，‎ 由f（x）＜2可得﹣2＜x3﹣ax＜2，‎ 即为﹣x2﹣＜﹣a＜﹣x2+，‎ 设g（x）=﹣x2﹣，导数为g′（x）=﹣2x+，‎ 当x∈[1，2]时，g′（x）≤0，‎ 即g（x）递减，可得g（x）min=﹣4﹣1=﹣5，‎ 即有﹣a＞﹣5，即a＜5；‎ 设h（x）=﹣x2+，导数为g′（x）=﹣2x﹣，‎ 当x∈[1，2]时，h′（x）＜0，‎ 即h（x）递减，可得h（x）max=﹣1+2=1．‎ 即有﹣a＜1，即a＞﹣1．‎ 综上可得，a的范围是﹣1＜a＜5．‎ 故答案为：（﹣1，5）．‎ ‎　‎ ‎14．在平面直角坐标系xOy中，设点A（1，0），B（0，1），C（a，b），D（c，d），若不等式2≥（m﹣2）•+m（•）•（•）对任何实数a，b，c，d都成立，则实数m的最大值是　﹣1　．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】根据条件可以求出向量的坐标，从而进行向量数量积的坐标运算便可求出的值，这样将这些值代入并整理便可得出c2+a2+d2+b2≥m（ac+bd+bc）．‎ ‎【解答】解：根据条件，‎ ‎，，，代入并整理得：‎ c2+a2+d2+b2≥m（ac+bd+bc），‎ 即c2+a2+d2+b2﹣m（ac+bd+bc）≥0恒成立，配方得：‎ ‎（a﹣）2+（d﹣）2+（c2+b2﹣bc）≥0恒成立，‎ 有（a﹣）2≥0，（d﹣）2≥0满足，‎ 则要：（c2+b2﹣bc）≥0恒成立，‎ 则有：，‎ 解得﹣2≤m≤﹣1，‎ 所以m最大值为﹣1．‎ ‎　‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知向量=（cosB，cosC），=（4a﹣b，c），且∥．‎ ‎（1）求cosC的值；‎ ‎（2）若c=，△ABC的面积S=，求a，b的值．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】（1）利用向量平行的坐标表示，正弦定理可得sinCcosB=（4sinA﹣sinB）cosC，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可得sinA=4sinAcosC，结合sinA＞0，即可解得cosC的值．‎ ‎（2）由（1）结合同角三角函数基本关系式可求sinC的值，利用三角形面积公式可解得ab=2，结合余弦定理可求a2+b2=4，从而解得a，b的值．‎ ‎【解答】（本题满分为14分）‎ 解：（1）∵m∥n，‎ ‎∴ccosB=（4a﹣b）cosC，…‎ 由正弦定理，得sinCcosB=（4sinA﹣sinB）cosC，‎ 化简，得sin（B+C）=4sinAcosC﹒…‎ ‎∵A+B+C=π，‎ ‎∴sinA=sin（B+C）﹒‎ 又∵A∈（0，π），‎ ‎∵sinA＞0，‎ ‎∴． …‎ ‎（2）∵C∈（0，π），，‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴ab=2﹒①…‎ ‎∵，由余弦定理得，‎ ‎∴a2+b2=4，②…‎ 由①②，得a4﹣4a2+4=0，从而a2=2，（舍负），‎ ‎∴，‎ ‎∴． …‎ ‎　‎ ‎16．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AA1=AB，D是AB的中点 ‎（1）求证：BC1∥平面A1CD；‎ ‎（2）若点P在线段BB1上，且BP=BB1，求证：AP⊥平面A1CD．‎ ‎【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（1）连接AC1，设与CA1 交于O点，连接OD，由O为AC1 的中点，D是AB的中点，可得OD∥BC1，即可证明BC1∥平面A1CD．‎ ‎（2）由题意，取A1B1 的中点O，连接OC1，OD，分别以OC1，OA1，OD为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设OA1=a，OC1=b，由题意可得各点坐标，可求=（b，﹣a，2），=（0．﹣a，2），=（0，﹣2a，﹣），由•=0， •=0，即可证明AP⊥平面A1CD．‎ ‎【解答】证明：（1）如图，连接AC1，设与CA1 交于O点，连接OD，‎ ‎∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，O为AC1 的中点，‎ ‎∵D是AB的中点，‎ ‎∴△ABC1中，OD∥BC1，‎ 又∵OD⊂平面A1CD，‎ ‎∴BC1∥平面A1CD．‎ ‎（2）由题意，取A1B1 的中点O，连接OC1，OD，分别以OC1，OA1，OD为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设OA1=a，OC1=b，‎ 则：由题意可得各点坐标为：A1（0，a，0），C（b，0，2a），D（0，0，2），P（0，﹣a，），A（0，a，2），‎ 可得： =（b，﹣a，2），=（0．﹣a，2），=（0，﹣2a，﹣），‎ 所以：由•=0，可得：AP⊥A1C，由•=0，可得：AP⊥A1D，‎ 又：A1 C∩A1 D=A1，‎ 所以：AP⊥平面A1CD．‎ ‎　‎ ‎17．某经销商计划销售一款新型的空气净化器，经市场凋研发现以下规律：当每台净化器的利润为x（单位：元，x＞0）时，销售量q（x）（单位：百台）与x的关系满足：若x不超过20，则q（x）=；若x大于或等于180，则销售为零；当20≤x≤180时．q（x）=a﹣b（a，b为实常数）．‎ ‎（1）求函数q（x）的表达式；‎ ‎（2）当x为多少时，总利润（单位：元）取得最大值，并求出该最大值．‎ ‎【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的最值及其几何意义．‎ ‎【分析】（1）分段函数由题意知分界点处函数值相等得到a，b ‎（2）总利润为每台的利润乘以销售量，分段函数每段求最大值，最后选择一个最大的为分段函数的最大值．‎ ‎【解答】解：（1）由x=20和x=180时可以解得a，b ‎∴a=90，b=3‎ ‎∴q（x）=‎ ‎（2）设总利润为W（x）‎ 则W（x）=‎ ‎①当x∈（0，20]时，W（x）=1260﹣为单调递增，最大值为1200，此时x=20‎ ‎②当x∈[20，180]时，W（x）=90x﹣3x，（W（x））′=90﹣‎ 此时x∈[20，80]时，W（x）单调递增．x∈[80，180]时，W（x）单调递减 ‎∴在x=80时取得最大为240000‎ 综上所述：x=80时，总利润最大为240000元．‎ ‎　‎ ‎18．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的左，右焦点分别是F1，F2，右顶点、上顶点分别为A，B，原点O到直线AB的距离等于ab﹒‎ ‎（1）若椭圆C的离心率等于，求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若过点（0，1）的直线l与椭圆有且只有一个公共点P，且P在第二象限，直线PF2交y轴于点Q﹒试判断以PQ为直径的圆与点F1的位置关系，并说明理由﹒‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）求得A，B的坐标，可得AB的方程，运用点到直线的距离公式和离心率公式，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；‎ ‎（2）点F1在以PQ为直径的圆上﹒由题意可得直线l与椭圆相切且l的斜率存在，设直线l的方程为：y=kx+1，代入椭圆方程，运用判别式为0，解得k的值，可得P（﹣a2，b2），从而可得直线PF2的方程，求得Q的坐标，可得向量，的坐标，求出数量积为0，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）由题意得点A（a，0），B（0，b），‎ 直线AB的方程为，即ax+by﹣ab=0﹒‎ 由题设，得，‎ 化简，得a2+b2=1﹒①，‎ 由，即为，即a2=3b2﹒②‎ 由①②，解得，‎ 可得椭圆C的方程为；‎ ‎（2）点F1在以PQ为直径的圆上﹒‎ 由题设，直线l与椭圆相切且l的斜率存在，设直线l的方程为：y=kx+1，‎ 由，得（b2+a2k2）x2+2ka2x+a2﹣a2b2=0，（*）‎ 则△=（2ka2）2﹣4（b2+a2k2）（a2﹣a2b2）=0，‎ 化简，得1﹣b2﹣a2k2=0，所以，‎ 由点P在第二象限，可得k=1，‎ 把k=1代入方程（*），得x2+2a2x+a4=0，‎ 解得x=﹣a2，从而y=b2，所以P（﹣a2，b2）﹒‎ 从而直线PF2的方程为：，‎ 令x=0，得，所以点﹒‎ 从而，，‎ 从而 ‎=，‎ 又a2+b2=1，a2=b2+c2，‎ ‎∴﹒‎ 所以点F1在以PQ为直径的圆上﹒‎ ‎　‎ ‎19．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=3，且对任意的正整数n，都有Sn+1=λSn+3n+1，其中常数λ＞0．设bn=（n∈N*）﹒‎ ‎（1）若λ=3，求数列{bn}的通项公式；‎ ‎（2）若λ≠1且λ≠3，设cn=an+（n∈N*），证明数列{cn}是等比数列；‎ ‎（3）若对任意的正整数n，都有bn≤3，求实数λ的取值范围．‎ ‎【考点】数列递推式；等比关系的确定．‎ ‎【分析】（1）利用递推关系、等差数列的通项公式即可得出．‎ ‎（2）利用递推关系、等比数列的定义及其通项公式即可得出；‎ ‎（3）通过对λ分类讨论，利用数列的通项公式及其不等式的性质即可得出．‎ ‎【解答】（1）解：∵，n∈N*，‎ ‎∴当n≥2时，，‎ 从而，n≥2，n∈N*﹒‎ 又在中，令n=1，可得，满足上式，‎ ‎∴，n∈N*﹒‎ 当λ=3时，，n∈N*，‎ 从而，即，‎ 又b1=1，所以数列{bn}是首项为1，公差为的等差数列，‎ ‎∴．‎ ‎（2）证明：当λ＞0且λ≠3且λ≠1时， =，‎ 又，‎ ‎∴{cn}是首项为，公比为λ的等比数列，﹒‎ ‎（3）解：在（2）中，若λ=1，则cn=0也适合，∴当λ≠3时，．‎ 从而由（1）和（2）可知：an=．‎ 当λ=3时，，显然不满足条件，故λ≠3．‎ 当λ≠3时，．‎ 若λ＞3时，，bn＜bn+1，n∈N*，bn∈[1，+∞），不符合，舍去．‎ 若0＜λ＜1时，，，bn＞bn+1，n∈N*，且bn＞0．‎ ‎∴只须即可，显然成立．故0＜λ＜1符合条件；‎ 若λ=1时，bn=1，满足条件．故λ=1符合条件；‎ 若1＜λ＜3时，，，从而bn＜bn+1，n∈N*，‎ ‎∵b1=1＞0．故，要使bn≤3成立，只须即可．‎ 于是．‎ 综上所述，所求实数λ的范围是．‎ ‎　‎ ‎20．已知函数f（x）=a•ex+x2﹣bx（a，b∈R，e=2.71828…是自然对数的底数），其导函数为y=f′（x）．‎ ‎（1）设a=﹣1，若函数y=f（x）在R上是单调减函数，求b的取值范围；‎ ‎（2）设b=0，若函数y=f（x）在R上有且只有一个零点，求a的取值范围；‎ ‎（3）设b=2，且a≠0，点（m，n）（m，n∈R）是曲线y=f（x）上的一个定点，是否存在实数x0（x0≠m），使得f（x0）=f′（）（x0﹣m）+n成立？证明你的结论．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．‎ ‎【分析】（1）求得f（x）的导数，由题意可得f′（x）≤0恒成立，即为﹣b≤ex﹣2x，令g（x）=ex﹣2x，求得导数，单调区间，可得极小值，且为最小值，即可得到b的范围；‎ ‎（2）求得f（x）的解析式，令f（x）=0，可得﹣a=，设h（x）=，求得h（x）的导数和单调区间、极值，结合零点个数只有一个，即可得到a的范围；‎ ‎（3）假设存在实数x0（x0≠m），使得f（x0）=f′（）（x0﹣m）+n成立．求得f（x）的导数，化简整理可得=e，考虑函数y=ex的图象与y=lnx的图象关于直线y=x对称，上式可转化为=，设t=＞1，上式即为lnt=，令m（t）=lnt﹣，t＞1，求出导数，判断单调性即可判断不存在．‎ ‎【解答】解：（1）函数f（x）=﹣ex+x2﹣bx的导数为f′（x）=﹣ex+2x﹣b，‎ 函数y=f（x）在R上是单调减函数，可得f′（x）≤0恒成立，‎ 即为﹣b≤ex﹣2x，令g（x）=ex﹣2x，‎ g′（x）=ex﹣2，当x＞ln2时，g′（x）＞0，g（x）递增；‎ 当x＜ln2时，g′（x）＜0，g（x）递减．‎ 则g（x）在x=ln2处取得极小值，且为最小值2﹣2ln2，‎ 即有﹣b≤2﹣2ln2，即b≥2ln2﹣2，‎ 则b的取值范围是[2ln2﹣2，+∞）；‎ ‎（2）由b=0，可得f（x）=a•ex+x2，‎ 令f（x）=0，即有﹣a=，‎ 设h（x）=，h′（x）=，‎ 当0＜x＜2时，h′（x）＜0，h（x）在（0，2）递减；‎ 当x＞2或x＜0时，h′（x）＞0，h（x）在（﹣∞，0），（2，+∞）递增．‎ 可得h（x）在x=2处取得极大值，‎ 且h（x）＞0，x→+∞，h（x）→0，‎ 由题意函数y=f（x）在R上有且只有一个零点，‎ 则﹣a=0或﹣a＞，‎ 即为a=0或a＜﹣，即a的取值范围是{0}∪（﹣∞，﹣）；‎ ‎（3）假设存在实数x0（x0≠m），使得f（x0）=f′（）（x0﹣m）+n成立．‎ 函数f（x）=a•ex+x2﹣bx的导数为f′（x）=aex+2x﹣b，‎ 可得a•ex0+x02﹣bx0=（ae+x0+m﹣b）（x0﹣m）+a•em+m2﹣bm，‎ 化简可得（x0﹣m）（+x0+m﹣b）=（ae+x0+m﹣b）（x0﹣m），‎ 由a≠0，x0≠m，可得=e，‎ 上式的几何意义为函数y=ex图象上两点的斜率等于中点处的切线的斜率，‎ 考虑函数y=ex的图象与y=lnx的图象关于直线y=x对称，‎ 上式可转化为=，‎ 设x0＞m＞0，即有lnx0﹣lnm=，即ln=，‎ 设t=＞1，上式即为lnt=，‎ 令m（t）=lnt﹣，t＞1，则m′（t）=﹣=＞0，‎ 则m（t）在（1，+∞）递增，‎ 即有m（t）＞m（1）=0，则方程lnt=无实数解．‎ 即有=不成立，‎ 则=e不成立．‎ 故不存在实数x0（x0≠m），使得f（x0）=f′（）（x0﹣m）+n成立．‎ ‎　‎ ‎【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做两题，每小题0分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-1：几何证明选讲]‎ ‎21．已知△ABC内接于⊙O，BE是⊙O的直径，AD是BC边上的高．求证：BA•AC=BE•AD．‎ ‎【考点】与圆有关的比例线段．‎ ‎【分析】连结AE．证明△BEA∽△ACD，可得，即可证明BA•AC=BE•AD．‎ ‎【解答】证明：连结AE．‎ ‎∵BE是⊙O的直径，‎ ‎∴∠BAE=90°． …‎ ‎∴∠BAE=∠ADC． …‎ 又∵∠BEA=∠ACD，‎ ‎∴△BEA∽△ACD． …‎ ‎∴，‎ ‎∴BA•AC=BE•AD． …‎ ‎　‎ B．[选修4-2：矩阵与变换]‎ ‎22．已知变换T把平面上的点（3，﹣4），（5，0）分别变换成（2，﹣1），（﹣1，2），试求变换T对应的矩阵M．‎ ‎【考点】几种特殊的矩阵变换．‎ ‎【分析】先设出所求矩阵，利用待定系数法建立一个四元一次方程组，解方程组即可．‎ ‎【解答】解：设，由题意，得，…‎ ‎∴…‎ 解得．…‎ 即． …‎ ‎　‎ C．[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎23．在平面直角坐标系xOy中，直线l过点M（1，2），倾斜角为﹒以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C：ρ=6cosθ﹒若直线l与圆C相交于A，B两点，求MA•MB的值．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程．‎ ‎【分析】直线l的参数方程为为参数），圆C：ρ=6cosθ，即ρ2=6ρcosθ，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，代入可得直角坐标方程﹒直线l的参数方程代入圆C的普通方程，利用根与系数的关系、参数的意义即可得出．‎ ‎【解答】解：直线l的参数方程为为参数），‎ 圆C：ρ=6cosθ，即ρ2=6ρcosθ，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，代入可得直角坐标方程为：（x﹣3）2+y2=9﹒‎ 直线l的参数方程代入圆C的普通方程，得，‎ 设该方程两根为t1，t2，则t1•t2=﹣1﹒‎ ‎∴MA•MB=|t1•t2|=1．‎ ‎　‎ D．[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．设x为实数，求证：（x2+x+1）2≤3（x4+x2+1）﹒‎ ‎【考点】不等式的证明．‎ ‎【分析】利用作差法得出右﹣左=2x4﹣2x3﹣2x+2，只需证明恒大于等于零即可．‎ ‎【解答】证明：右﹣左=2x4﹣2x3﹣2x+2‎ ‎=2（x﹣1）（x3﹣1）=2（x﹣1）2（x2+x+1）‎ ‎=，‎ 所以（x2+x+1）2≤3（x4+x2+1）﹒‎ ‎　‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎25．一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，若有3次摸到红球即停止．‎ ‎（1）求恰好摸4次停止的概率；‎ ‎（2）记4次之内（含4次）摸到红球的次数为X，求随机变量X的分布列．‎ ‎【考点】离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式．‎ ‎【分析】（1）设事件“恰好摸4次停止”的概率为P，利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出恰好摸4次停止的概率．‎ ‎（2）由题意，得X=0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．‎ ‎【解答】解：（1）设事件“恰好摸4次停止”的概率为P，‎ 则． …‎ ‎（2）由题意，得X=0，1，2，3，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，…‎ ‎∴X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎…‎ ‎　‎ ‎26．设实数a1，a2，…，an满足a1+a2+…+an=0，且|a1|+|a2|+…+|an|≤1（n∈N*且n≥2），令bn=（n∈N*）．求证：|b1+b2+…+bn|≤（n∈N*）．‎ ‎【考点】数学归纳法；数列递推式．‎ ‎【分析】按照数学归纳法的证题步骤：先证明n=2时命题成立，再假设当n=k时结论成立，去证明当n=k+1时，结论也成立，从而得出命题对任意n≥2，n∈N*，等式都成立 ‎【解答】证明：（1）当n=2时，a1=﹣a2，‎ ‎∴2|a1|=|a1|+|a2|≤1，即，‎ ‎∴，即当n=2时，结论成立．‎ ‎（2）假设当n=k（k∈N*且k≥2）时，结论成立，‎ 即当a1+a2+…+ak=0，且|a1|+|a2|+…+|ak|≤1时，‎ 有．‎ 则当n=k+1时，由a1+a2+…+ak+ak+1=0，且|a1|+|a2|+…+|ak+1|≤1，‎ ‎∵2|ak+1|=|a1+a2+…+ak|+|ak+1|≤a1|+|a2|+…+|ak+1|≤1，‎ ‎∴，‎ 又∵a1+a2+…+ak﹣1+（ak+ak+1）=0，且|a1|+|a2|+…+|ak﹣1|+|ak+ak+1|≤|a1|+|a2|+…+|ak+1|≤1，‎ 由假设可得，‎ ‎∴，‎ ‎=，‎ ‎=，‎ 即当n=k+1时，结论成立．‎ 综上，由（1）和（2）可知，结论成立．‎ ‎　‎ ‎2016年8月27日