高考数学二轮复习资料专题12数学思想方法教师版
2012年高考数学二轮复习精品资-专题12（教师版）
【考纲解读】
1.熟练掌握函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想.
2.能够对所学知识进行分类或归纳,能应用数学思想方法分析和解决问题,系统地把握知识间的内在联系.
【考点预测】
1.函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点，也是高考的一个热点。对函数试题的设计仍然会围绕几个基本初等函数和函数的性质、图象、应用考查函数知识；与方程、不等式、解析几何等内容相结合，考查函数知识的综合应用；在函数知识考查的同时，加强对函数方程、分类讨论、数形结合、等价转化等数学思想方法的考查。
2.预测在今年的高考中,数形结合与分类讨论思想仍是考查的一个热点，数形结合的考查方式常以数学式、数学概念的几何意义、函数图象、解析几何等为载体综合考查,分类讨论思想的考查重点为含有参数的函数性质问题、与等比数列的前n项和有关的计算推证问题、直线与圆锥曲线的位置关系不定问题等。
3.预测在今年的高考中,运用化归与转化思想解题的途径主要有：借助函数、方程（组）、辅助命题、等价变换、特殊的式与数的结构、几何特征进行转化,其方法有:正反转化、数形转化、语义转化、等与不等、抽象问题与具体问题化归，一般问题与特殊问题化归，正向思维与逆向思维化归。
【要点梳理】
1.函数与方程思想：我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。
2.数形结合的思想:是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧,特别是在解选择与填空题时发挥着奇特功效.具体操作时,应注意以下几点:(1)准确画图,注意函数的定义域;(2)用图象法讨论方程的解的个数.
3．与分类讨论有关的知识点有：直线的斜率分为存在和不存在两种情形、等比数列中的公比和、由参数的变化引起的分类讨论、由图形的不确定性引起的分类讨论、指对函数的底数分为和两种情形等。分类的原则是：不重复、不遗漏、分层次讨论。分类讨论的一般流程是：明确讨论的对象、选择分类的标准、逐类进行讨论、归纳整合。
4．转化与化归常用的方法有：直接转化法、换元法、数形结合法、构造法、坐标法、类比法、特殊化方法等。
【考点在线】
考点一 函数与方程思想
函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f(x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。
例1. (2011年高考江苏卷8)在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是________.
【答案】4
【解析】设坐标原点的直线方程为,则由解得交点坐标为、，即为P、Q两点，所以线段PQ长为，当且仅当时等号成立，故线段PQ长的最小值是4.
【名师点睛】本小题考察函数与方程，两点间距离公式以及基本不等式，中档题.
【备考提示】：正确理解函数与方程思想是解答好本类题的关键.
练习1: (2011年高考山东卷理科16)已知函数=当2＜a＜3＜b＜4时，函数的零点 .
【答案】2
【解析】方程=0的根为,即函数的图象与函数的交点横坐标为,且,结合图象,因为当时,,此时对应直线上的点的横坐标;当时, 对数函数的图象上点的横坐标,直线的图象上点的横坐标,故所求的.
考点二 数形结合思想
数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。
数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。
数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。
例2. 若方程lg(－x＋3x－m)＝lg(3－x)在x∈(0,3)内有唯一解，求实数m的取值范围。
【解析】 原方程变形为 ,即：,
设曲线y＝(x－2) , x∈(0,3)和直线y＝1－m，图像如图所示.由图可知：
当1－m＝0时，有唯一解，m＝1;
②当1≤1－m<4时，有唯一解，即－3
0得∈R且≠2，把x=1代入方程得∈R，把x=2代入方程得=3．
综上的值为2或3．
【名师点睛】：本题讨论时,要考虑到集合B有可能是空集，还有可能是单元素集的情况．
【备考提示】：分类讨论是高考的一个热点,在二轮复习时,要有意识地去应用,注意问题点.
【考题回放】
1.(2011年高考广东卷文科2)已知集合为实数，且，为实数，且，则的元素个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】方法一：由题得，，所以选C.
方法二：直接作出单位圆和直线，观察得两曲线有两个交点，故选C.
2.（2011年高考湖南卷文科1)设全集则（ ）
A． B． Ｃ． Ｄ．
【答案】B
【解析】画出韦恩图，可知.
3.(2011年高考全国卷理科7)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有( )
(A)4种 (B)10种 (C)18种 (D)20种
【答案】B
【解析】：选画册2本，集邮册2本，共有赠送方法，选画册1本，集邮册3本，共有赠送方法，故共有赠送方法4+6=10种，故选B.
4. (2011年高考天津卷理科8)对实数与，定义新运算“”： 设函数若函数的图像与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D.
【答案】B
【解析】由题意知,若,即时, ;当,即
或时, ,要使函数的图像与轴恰有两个公共点，只须方程有两个不相等的实数根即可,即函数的图像与直线有两个不同的交点即可,画出函数的图像与直线,不难得出答案B.
5.(2011年高考江苏卷14)设集合,
, 若 则实数m的取值范围是______________
【答案】
6. (2011年高考天津卷理科20)已知数列与满足：， ，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设，证明：是等比数列；
（Ⅲ）设证明：．
【解析】本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.
（Ⅰ）解:由,,可得, 又
当n=1时,,由,,得;
当n=2时,,可得.
当n=3时,,可得.
（Ⅱ）证明:对任意,
,①
,②
,③
②-③得 ④,
将④代入①,可得即(),又,
故,因此,所以是等比数列.
（III）证明：由（II）可得，
于是，对任意，有
将以上各式相加，得
即，
此式当k=1时也成立.由④式得
从而
所以，对任意，
对于n=1，不等式显然成立.
所以，对任意
7.(2011年高考安徽卷理科20)工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别，假设互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.
（Ⅰ）如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率。若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？
（Ⅱ）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为，其中是的一个排列，求所需派出人员数目的分布列和均值（数字期望）；
（Ⅲ）假定，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小。
【命题意图】：本题考查相互独立事件的概率计算，考查离散型随机变量及其分布列，均值等基本知识，考查在复杂情境下处理问题的能力以及抽象概括能力、合情推理与演绎推理，分类讨论思想，应用意识与创新意识。
【解析】：（Ⅰ）无论怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是，所以任务能被完成的概率为=
（Ⅱ）当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为时，所需派出人员数目的分布列为
1
2
3
P
所需派出人员数目的均值（数字期望）是
（Ⅲ）（方法一）由（Ⅱ）如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人时，所需派出人员数目的均值（数字期望）是
按常理，优先派完成任务概率大的人，可减少所需派出人员的数目的均值。
下面证明：对于的任意组合，都有
……（＊）
事实上△=
=
=
=
,所以（＊）式成立。
（方法二）（i）可将（Ⅱ）中改写为
，若交换前两人的顺序，则变为，由此可见，当时，交换前两人的顺序可减少所需派出人员的数目的均值。
（ii）也可将（Ⅱ）中改写为，若交换后两人的顺序则变为，由此可见，保持第一个人不变，当时，交换后两人的顺序可减少所需派出人员的数目的均值。
组合（i）（ii）可知，当时达到最小，即优先派完成任务概率大的人，可减少所需派出人员的数目的均值，这一结论也合乎常理。
【高考冲策演练】
一、选择题：
1．（2011年高考辽宁卷文科1)已知集合A={x}，B={x}}，则AB=（ ）
（A） {x}} （B）{x} （C）{x}} （D）{x}
【答案】D
【解析】利用数轴可以得到AB={x}.
2.如果实数x、y满足等式(x－2)＋y＝3，那么的最大值是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】转化为圆上动点与原点连线的斜率范围问题.
3．（2010年高考山东卷理科11）函数y=2x -的图像大致是( )
【答案】A
【解析】因为当x=2或4时，2x -=0，所以排除B、C；当x=-2时，2x -=，故排除D，所以选A。
4．（2010年高考福建卷理科4）函数的零点个数为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】C
【解析】当时，令解得；
当时，令解得，所以已知函数有两个零点，选C。
5.(2010年高考天津卷理科2)函数的零点所在的一个区间是( )
（A）（-2，-1） （B）（-1，0） （C）（0，1） （D）（1，2）
【答案】B
【解析】因为，，所以选B。
6．(2010年高考天津卷理科8)设函数f（x）= 若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是( )
（A）（-1，0）∪（0，1） （B）（-∞，-1）∪（1,+∞）
（C）（-1，0）∪（1,+∞） （D）（-∞，-1）∪（0,1）
【答案】C
【解析】当时，由f(a)>f(-a)得：，即，即，
解得；当时，由f(a)>f(-a)得：，即，
即，解得，故选C。
7．（ 2010年高考全国卷I理科2）记,那么( )
A. B. - C. D. -
【答案】B
【解析】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切互化这一转化思想的应用.,所以
8. (2010年高考湖北卷理科5)已知和点满足.若存在实数使得成立，则=( )
A． 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】由知，点M为的重心，设点D为底边BC的中点，则
=，所以有，故=3，选B.
9．（ 2010年高考全国卷I理科7）正方体ABCD-中，B与平面AC所成角的余弦值为( )
A B C D
【答案】D
【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D到平面AC的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.
【解析】因为BB1//DD1,所以B与平面AC所成角和DD1与平面AC所成角相等,设DO⊥平面AC，由等体积法得,即.设DD1=a,
则,.
所以,记DD1与平面AC所成角为,则,所以.
10．(2010年高考数学湖北卷理科9）若直线与曲线有公共点，则的取值范围是( )
A． B.
C. D.
【答案】C
【解析】曲线方程可化简为，即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，依据数形结合，当直线与此半圆相切时须满足圆心（2，3）到直线y=x+b距离等于2，解得，因为是下半圆故可得（舍），当直线过（0，3）时，解得b=3,故所以C正确.
11．（2010年高考上海市理科17）若是方程的解，则属于区间（ ）
(A)(,1) (B)(,) (C)(,) (D)(0,)
【答案】C
12. (2010年高考天津卷理科9)设集合A＝，B＝。若,则实数必满足（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【答案】D
【解析】由题意可得：，对集合B有 或，因为，所以有或，解得或，即，选D。
【命题意图】本小题考查绝对值不等式的解法、集合之间的关系等基础知识，考查同学们数形结合的数学思想。
二．填空题：
13．设全集U={x|00}，求A∪B和A∩B．
【解析】本题采用数轴表示法，根据数轴表示的范围，可直观、准确的写出问题的结果．∵ A={x|x2－5x－6≤0}={x|－6≤x≤1}，
B={x|x2＋3x>0}={x|x<－3，或x>0}． 如图所示，
∴ A∪B={x|－6≤x≤1}∪{x|x<－3，或x>0}=R．
A∩B={x|－6≤x≤1}∩{x|x<－3，或x>0}={x|－6≤x＜－3，或0k时，都成立
（1）设M=｛1｝，，求的值；
（2）设M=｛3，4｝，求数列的通项公式
【解析】考察等差数列概念、和与通项关系、集合概念、转化与化归、分析问题与解决问题的能力，其中（1）是容易题，（2）是难题。
（1）即：
所以，n>1时，成等差，而，
（2）由题意：，
当时，由（1）（2）得：
由（3）（4）得：
由（1）（3）得：
由（2）（4）得：
由（7）（8）知：成等差，成等差；设公差分别为：
由（5）（6）得：
由（9）（10）得：成等差，设公差为d,
在（1）（2）中分别取n=4,n=5得：
22. （ 2010年高考全国卷I理科21）已知抛物线的焦点为F，过点的直线与相交于、两点，点A关于轴的对称点为D .
（Ⅰ）证明：点F在直线BD上；
（Ⅱ）设，求的内切圆M的方程 .
【命题意图】本小题为解析几何与平面向量综合的问题，主要考查抛物线的性质、直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系、圆的几何性质与圆的方程的求解、平面向量的数量积等知识,考查考生综合运用数学知识进行推理论证的能力、运算能力和解决问题的能力，同时考查了数形结合思想、设而不求思想.
【解析】设，，，的方程为.
（Ⅱ）由①知，
因为 ，
故 ，
解得
所以的方程为
又由①知
故直线BD的斜率，
因而直线BD的方程为
因为KF为的平分线，故可设圆心，到及BD的距离分别为.
由得，或（舍去），
故 圆M的半径.
所以圆M的方程为.
