高考数学一轮复习31 数列的概念

高考数学一轮复习31 数列的概念

第三章 数列 ‎●网络体系总览 ‎●考点目标定位 ‎1.知识要求：（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义；了解递推公式是给出一种数列的表示方法，并能写出数列的前n项.（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题.（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题.‎ ‎2.能力要求：培养观察能力、化归能力和解决实际应用问题的能力.‎ ‎●复习方略指南 本章在历年高考中占有较大的比重，约占10%～12%，特别是2002年共计26分，占17%，2003年共计21分，占14%，2004年26分，占17%.考题类型既有选择题，也有填空题和解答题，既有容易题，也有中档题，更有难题.由于等差数列和等比数列在内容上是平行的，所以在复习时要应用对比去认识、理解、掌握数列知识.‎ 纵观近几年的高考试题，可发现如下规律：‎ ‎1.等差（比）数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难度易、中、难三类皆有.‎ ‎2.数列中an与Sn之间的互化关系也是高考的一个热点.‎ ‎3.函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，解答试题时要注意灵活应用.‎ ‎4.解答题的难度有逐年增大的趋势.‎ 因此复习中应注意：‎ ‎1.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等.‎ ‎2.运用方程的思想解等差（比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量a1、d（或q），掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算.‎ ‎3.分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意q ‎=1和q≠1两种情况等等.‎ ‎4.等价转化是数学复习中常常运用的，数列也不例外.如an与Sn的转化；将一些数列转化成等差（比）数列来解决等.复习时，要及时总结归纳.‎ ‎5.深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是学好本章的关键.‎ ‎6.解题要善于总结基本数学方法.如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法，养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果.‎ ‎ ‎ ‎3.1 数列的概念 ‎●知识梳理 ‎1.数列：按一定次序排列的一列数叫做数列.‎ ‎（1）数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}，其中an是数列的第n项.‎ ‎（2）可视数列为特殊函数，它的定义域是正自然数集的子集（必须连续），因此研究数列可联系函数的相关知识，如数列的表示法（列表法、图象法、公式法等）、数列的分类（有限和无穷、有界无界、单调或摆动等）.应注意用函数的观点分析问题.‎ ‎2.通项公式 如果数列{an}的第n项an与项数n之间的函数关系可以用一个公式来表达，那么这个公式就叫做数列的通项公式，可以记为an=f（n）.‎ 并非每一个数列都可以写出通项公式，有些数列的通项公式也并非是唯一的.‎ ‎3.数列的前n项和 数列{an}的前n项之和，叫做数列的前n项和，常用Sn表示.‎ Sn与通项an的基本关系是：‎ an= ‎ Sn=a1+a2+…+an.‎ ‎4.数列的分类 ‎（1）按项分类 有穷数列:项数有限；无穷数列:项数无限.‎ ‎（2）按an的增减性分类 递增数列：对于任何n∈N*，均有an+1＞an；‎ 递减数列：对于任何n∈N*，均有an+1＜an；‎ 摆动数列：例如:－1，1，－1，1，…；‎ 常数数列：例如：6，6，6，6，…；‎ 有界数列：存在正数M使|an|≤M，n∈N*；‎ 无界数列：对于任何正数M，总有项an使得|an|＞M.‎ ‎5.递推是认识数列的重要手段，递推公式是确定数列的一种方式，根据数列的递推关系写出数列.‎ ‎●点击双基 ‎1.数列{an}中，a1=1，对于所有的n≥2，n∈N都有a1·a2·a3·…·an=n2，则a3+a5等于 A. B. C. D. ‎ 解析一：令n=2、3、4、5，分别求出a3=，a5=，∴a3+a5=.‎ 解析二：当n≥2时，a1·a2·a3·…·an=n2.‎ 当n≥3时，a1·a2·a3·…·an－1=（n－1）2.‎ 两式相除an=（）2，‎ ‎∴a3=，a5=.∴a3+a5=.‎ 答案：A ‎2.已知数列{an}中，a1=1，a2=3，an=an－1+（n≥3），则a5等于 A. B. C.4 D.5‎ 解析：令n=3，4，5，求a5即可.‎ 答案：A ‎3.根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn（万件）近似地满足关系式Sn=（21n－n2－5）（n=1，2，…，12），按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是 A.5、6月 B.6、7月 C.7、8月 D.8、9月 解法一：由Sn解出an=（－n2+15n－9），再解不等式（－n2+15n－9）＞1.5，得6＜n＜9.‎ 解法二：将选项中的月份代入计算验证.‎ 答案：C ‎4.已知an=，且数列{an}共有100项，则此数列中最大项为第____________项，最小项为第___________________项.‎ 解析：an==1+，又44＜＜45，－＞0，故第45项最大，第44项最小.‎ 答案：45 44‎ ‎●典例剖析 ‎【例1】 在数列{an}中，a1=1，an+1=，求an.‎ 剖析：将递推关系式变形，观察其规律.‎ 解：原式可化为－=n，∴－=1，－=2，－=3，…，‎ ‎－=n－1.‎ 相加得－=1+2+…+（n－1），‎ ‎∴an=.‎ 评析：求数列通项公式，特别是由递推公式给出数列时，除迭加、迭代、迭乘外还应注意变形式是否是等差（等比）数列.对于数列递推公式不要升温，只要能根据递推公式写出数列的前几项，由此来猜测归纳其构成规律.‎ ‎【例2】 有一数列｛an｝，a1＝a，由递推公式an＋1＝，写出这个数列的前4项，并根据前4项观察规律，写出该数列的一个通项公式.‎ 剖析：可根据递推公式写出数列的前4项，然后分析每一项与该项的序号之间的关系，归纳概括出an与n之间的一般规律，从而作出猜想，写出满足前4项的该数列的一个通项公式.‎ 解：∵a1＝a，an＋1＝，∴a2＝，a3＝＝＝，‎ a4＝＝＝.‎ 观察规律：an＝形式，其中x与n的关系可由n＝1，2，3，4得出x＝2n－1.而y比x小1，‎ ‎∴an＝.‎ 评述：从特殊的事例，通过分析、归纳、抽象总结出一般规律，再进行科学地证明，这是创新意识的具体体现，这种探索问题的方法，在解数列的有关问题中经常用到，应引起足够的重视.‎ 思考讨论 请同学总结解探索性问题的一般思路.‎ ‎【例3】 已知数列{an}的通项公式an=cn+，且a2=，a4=，求a10.‎ 剖析：要求a10，只需求出c、d即可.‎ 解：由题意知 解得∴an=n+.∴a10=×10+=.‎ 评述：在解题过程中渗透了函数与方程的思想.‎ ‎●闯关训练 夯实基础 ‎1.若数列{an}前8项的值各异，且an+8=an对任意的n∈N*都成立，则下列数列中，能取遍数列{an}前8项值的数列是 A.{a2k+1} B.{a3k+1} C.{a4k+1} D.{a6k+1}‎ 解析：由已知得数列以8为周期，当k分别取1，2，3，4，5，6，7，8时，a3k+1分别与数列中的第4项，第7项，第2项，第5项，第8项，第3项，第6项，第1项相等，故{a3k+1}能取遍前8项.‎ 答案：B ‎2.设an＝－n2＋10n＋11，则数列｛an｝从首项到第______________项的和最大.‎ A.10 B‎.11 ‎ C.10或11 D.12‎ 解析：an＝－n2＋10n＋11是关于n的二项函数，它是抛物线f（x）＝－x2＋10x＋11上的一些离散的点，从图象可看出前10项都是正数，第11项是0，所以前10项或前11项的和最大.‎ 另解： 由－n2＋10n＋11≥0得－1≤n≤11，‎ 又n∈N*，∴0＜n≤11.∴前10项为正，第11项为0.‎ 答案：C ‎3.设{an}是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对所有自然数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项，写出此数列的前三项：______________，______________，______________.‎ 解析：由题意得=，由此公式分别令n=1，n=2，n=3可依次解出前三项.‎ 答案：2 6 10‎ ‎4.（2004年春季上海，8）根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有___________________个点.‎ 解析：观察图中五个图形点的个数分别为1，1×2+1，2×3+1，3×4+1，4×5+1，故第n个图中个数为（n－1）×n+1=n2－n+1.‎ 答案：n2－n+1‎ ‎5.已知数列{an}的前n项和Sn满足log2（Sn+1）=n+1，求数列{an}的通项公式.‎ 解：由已知Sn+1=2n－1，得Sn=2n+1－1，故当n=1时，a1=S1=3；当n≥2时，an=Sn－Sn－1=2n，故an= ‎ ‎6.已知在正项数列{an}中，Sn表示前n项和且2=an+1，求an.‎ 解：由已知2=an+1，得当n=1时，a1=1；当n≥2时，an=Sn－Sn－1，代入已知有2=‎ Sn－Sn－1+1，即Sn－1=（－1）2.又an＞0，故=－1或= 1－（舍），即－=1（n≥2），由定义得{}是以1为首项，1为公差的等差数列，∴=n.故an=2n－1.‎ 培养能力 ‎7.（理）已知函数f（x）=－2x+2（≤x≤1）的反函数为y=g（x），a1=1，a2=g（a1），a3=g（a2），…，an=g（an－1），…，求数列{an}的通项公式.‎ 解：由已知得g（x）=－+1（0≤x≤1），则a1=1，an+1=－an+1.‎ 令an+1－P=－（an－P），则an+1=－an+P，比较系数得P=.‎ 由定义知，数列{an－}是公比q=－的等比数列，则an－=（a1－）·（－）n－1=‎ ‎［1－（－）n］.于是an=－（－）n.‎ ‎（文）根据下面各数列的前几项，写出数列的一个通项公式：‎ ‎（1）3，5，9，17，33，…；‎ ‎（2），，，，，…；‎ ‎（3）2，－6，12，－20，30，－42，….‎ 解：（1）联想数列2，4，8，16，32，…，可知所求通项公式为an=2n+1.‎ ‎（2）分别观察各项分子与分母的规律，分子为偶数列{2n}；分母为1×3，3×5，5×7，7×9，…，故所求通项公式为an=.‎ ‎（3）将数列变形为1×2，－2×3，3×4，－4×5，…，于是可得已知数列的通项公式为an=（－1）n+1·n（n+1）.‎ ‎8.已知数列{an}的通项an=（n+1）（）n（n∈N）.试问该数列{an}有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的项数；若没有，说明理由.‎ 解：∵an+1－an ‎=（n+2）（）n+1－（n+1）（）n ‎=（）n·，‎ ‎∴当n＜9时，an+1－an＞0，即an+1＞an；‎ 当n=9时，an+1－an=0，即an+1=an；‎ 当n＞9时，an+1－an＜0，即an+1＜an；‎ 故a1＜a2＜a3＜…＜a9=a10＞a11＞a12＞….‎ ‎∴数列{an}有最大项a9或a10，其值为10·（）9，其项数为9或10.‎ 探究创新 ‎9.有一个细胞集合，在一小时里死亡两个，剩下的细胞每一个都分裂成两个，假设开始有10个细胞，问经过几个小时后，细胞的个数为1540个？‎ 解：设n小时后的细胞个数为an，依题意得an+1=2（an－2），所以an+1－4=2（an－4）.‎ 又∵a1=10，∴an－4=（a1－4）·2n－1=3·2n.∴an=3·2n+4，使3·2n+4=1540.‎ ‎∴n=9.‎ ‎●思悟小结 ‎1.用归纳法依据前几项写出数列的一个通项公式，体现了由特殊到一般的思维方法，需要我们有一定的数学观察能力和分析能力，并熟知一些常见的数列的通项公式，如：数列{n2}，{2n}，{（－1）n}，{2n}，{2n－1}，并了解an= 的合一形式an=a+ b.‎ ‎2.对于符号（数字、字母、运算符号、关系符号）、图形、文字所表示的数学问题，要有目的地从局部到整体多角度进行观察，从而得出结论.‎ ‎3.求数列的通项公式是本节的重点，主要掌握两种求法.‎ ‎（1）由数列的前几项归纳出一个通项公式，关键是善于观察.（2）数列{an}的前n项和Sn与数列{an}的通项公式an的关系，要注意验证能否统一到一个式子中.‎ ‎●教师下载中心 教学点睛 ‎1.要注意强调数列、数列的项、数列的通项三个概念的区别.‎ ‎2.给出数列的方法中，递推关系包含两种：一种是项和项之间的关系；另一种是项和前n项和Sn之间的关系.要用转化的数学思想方法.转化是数学中最基本、最常用的解题策略，Sn和an的转化，可给出数列，问题总是在一步步的转化过程中得到解决，在运用转化的方法时，一定要围绕转化目标转化.‎ ‎3.重视函数与数列的联系，重视方程思想在数列中的应用.‎ 拓展题例 ‎【例1】 已知f（x）=（+）2（x≥0），又数列{an}（an＞0）中，a1=2，这个数列的前n项和的公式Sn（n∈N*）对所有大于1的自然数n都有Sn=f（Sn－1）.‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若bn=（n∈N*），求证b1+b2+…+bn－n=1－.‎ 分析：由于已知条件给出的是Sn与Sn－1的函数关系，而要求的是an的通项公式，故关键是确定Sn.‎ 解：（1）∵f（x）=（+）2，∴Sn=（+）2.‎ ‎∴－=.又=，故有=+（n－1）=n，‎ 即Sn=2n2（n∈N*）.‎ 当n≥2时，an=Sn－Sn－1=2n2－2（n－1）2=4n－2；‎ 当n=1时，a1=2，适合an=4n－2.‎ 因此，an=4n－2（n∈N*）.‎ ‎（2）∵bn==1+－，∴b1+b2+b3+…+bn－n=1－.‎ ‎【例2】 已知数列｛an｝中，an∈（0，），an＝＋·an－12，其中n≥2，n∈Ｎ*，求证：对一切自然数n都有an＜an＋1成立.‎ 证明：an＋1－an＝＋an2－an＝（an－1）2－.‎ ‎∵0＜an＜，∴－1＜an－1＜－.∴＜（an－1）2＜.‎ ‎∴（an－1）2－＞0.∴an＋1－an＞0，即an＜an＋1对一切自然数n都成立.‎