高考安徽文科数学试题及答案解析

高考安徽文科数学试题及答案解析

‎2015年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）‎ 数学（文科）‎ 第Ⅰ卷（选择题 共50分）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．‎ ‎（1）【2015年安徽，文1】设是虚数单位，则复数（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】，故选C．‎ ‎（2）【2015年安徽，文2】设全集，，，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】，，故选B．‎ ‎（3）【2015年安徽，文3】设，，则是成立的（ ）‎ ‎（A）充分必要条件 （B）充分不必要条件 （C）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】，，，但，则是成立的必要不充分条件，故选C．‎ ‎（4）【2015年安徽，文4】下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】选项A： 的定义域为，故不具备奇偶性，故A错误；选项B： 是偶函数，但无解，即不存在零点，故B错误；选项C： 是奇函数，故C错；选项D： 是偶函数，且，故选D．‎ ‎（5）【2015年安徽，文5】已知，满足约束条件，则 的最大值是（ ）‎ ‎ （A）-1 （B）-2 （C）-5 （D）1‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意作出约束条件确定的可行域，如下图：令，‎ 可知在图中处，取到最大值-1，故选A．‎ ‎（6）【2015年安徽，文6】下列双曲线中，渐近线方程为的是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】由双曲线的渐进线的公式可行选项A的渐进线方程为，故选A．‎ ‎（7）【2015年安徽，文7】执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的为（ ）‎ ‎（A）3 （B）4 （C）5 （D）6‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，程序框图循环如下：①，；②，；‎ ‎③，；④，，此时，‎ ‎，所以输出．故选B．‎ ‎（8）【2015年安徽，文8】直线与圆相切，则（ ）‎ ‎（A）-2或12 （B）2或-12 （C）-2或-12 （D）2或12‎ ‎【答案】D ‎【解析】直线与圆心为，半径为1的圆相切，2或12，故选D． ‎ ‎（9）【2015年安徽，文9】一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，该四面体的直观图如下，，时直角三角形，，是等边三角形，则，，所以四面体的表面积，故选C．‎ ‎（10）【2015年安徽，文10】函数的图像如图所示，则下列结论 ‎ 成立的是（ ）‎ ‎（A），，， （B），，， ‎ ‎（C），，， （D），，，‎ ‎【答案】A ‎【解析】由函数的图像可知，令，又，可知， ‎ 是的两根，由图可知，，，故选A．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．‎ ‎（11）【2015年安徽，文11】= ．‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】．‎ ‎（12）【2015年安徽，文12】在中，，，，则 ．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】由正弦定理可知：．‎ ‎（13）【2015年安徽，文13】已知数列中，，，则数列的前9项和等于 ．‎ ‎【答案】27‎ ‎【解析】时，，且，是以为首项，为公差的等差数列．‎ ‎．‎ ‎（14）【2015年安徽，文14】在平面直角坐标系中，若直线与函数的图像只有一个交点，则的值为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】在同一直角坐株系内，作出与的大致图像，如下图：由题意，可知．‎ ‎（15）【2015年安徽，文15】是边长为2的等边三角形，已知向量、满足，，则下列结论中正确的是 ．（写出所有正确结论得序号）‎ ‎①为单位向量；②为单位向量；③；④；⑤．‎ ‎【答案】①④⑤‎ ‎【解析】∵等边三角形的边长为2，，，故①正确；，‎ ‎，故②错误，④正确；由于，与夹角为，故③错误；又，故⑤正确．因此，正确的编号是①④⑤．‎ 三、解答题：本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定 区域内．‎ ‎（16）【2015年安徽，文16】（本小题满分12分）已知函数．‎ ‎ （Ⅰ）求最小正周期；‎ ‎ （Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．‎ 解：（Ⅰ）化简可得，即可求出的最小正周期．‎ ‎（Ⅱ）时，，，，．‎ ‎（17）【2015年安徽，文17】（本小题满分12分）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问 ‎50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），‎ 其中样本数据分组区间为，，…，，．‎ ‎（Ⅰ）求频率分布图中的值；‎ ‎（Ⅱ）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；‎ ‎（Ⅲ）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率． ‎ 解：（Ⅰ）因为，所以．‎ ‎（Ⅱ）由所给出频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为 ‎，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4．‎ ‎ （Ⅲ）受访职工中评分在的有：(人)，记为；受访职工中评分在的 有：(人)，记为．从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10‎ 种，它们是，，，，，，，，，‎ ‎，又因为所抽取2人的评分都在的结果又1种，即，故所求的概率为．‎ ‎（18）【2015年安徽，文18】（本小题满分12分）已知数列是递增的等比数列，且，．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设为数列的前项和，，求数列的前项和．‎ 解：（Ⅰ）由题设知：，又，可解得或（舍去）．‎ ‎ 由得公比，故． ‎ ‎（Ⅱ），，‎ ‎． ‎ ‎（19）【2015年安徽，文19】（本小题满分13分）如图，三棱锥中，平面，，，，．‎ ‎（Ⅰ）求三棱锥的体积；‎ ‎（Ⅱ）证明：在线段上存在点M，使得，并求的值．‎ 解：（Ⅰ）由题设，，，可得．‎ 由平面，可知是三棱锥的高，又，‎ 所以三棱锥的体积． ‎ ‎（Ⅱ）在平面内，过点作，垂足为．在平面内，过点作交于点，连接．由平面知．由于，故平面，又平面，所以．在直角中，，从而．由，得．‎ ‎（20）【2015年安徽，文20】（本小题满分13分）设椭圆的方程为，点为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，点在线段上，满足，直线的斜率为．‎ ‎（Ⅰ）求的离心率；‎ ‎（Ⅱ）设点的坐标为，为线段的中点，证明．‎ 解：（Ⅰ）由题设条件知，点的坐标为，又，从而，‎ 进而得，故．‎ ‎（Ⅱ）由是的中点知，点的坐标为，可得．又，‎ 从而有．‎ 由（Ⅰ）的计算结果可知，所以，故．‎ ‎（21）【2015年安徽，文21】（本题满分13分）已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求的定义域，并讨论的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若，求在内的极值．‎ 解：（Ⅰ）由题意知，所求的定义域为．，‎ ‎，所以当或时，，‎ 当时，．‎ 因此，的单调递减区间为和，的单调递增区间为．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）的解答可知，在上单调递增，在上单调递减，‎ ‎ 因此，是的极大值点．所以在内的极大值为．‎ ‎ 所以在内极大值为100，无极小值．‎