2010参数方程与极坐标历年高考解答题真题及答案汇编

2010参数方程与极坐标历年高考解答题真题及答案汇编

选修4-4参数方程与极坐标历年高考解答题真题及答案汇编 ‎1．（2010·江苏高考·Ｔ2１）在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值．‎ ‎【命题立意】本题主要考查曲线的极坐标方程等基本知识，考查转化问题的能力．‎ ‎【思路点拨】将圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0化为普通方程后求解.‎ ‎【规范解答】∵ρ=2cosθ，∴，圆的普通方程为：，‎ 直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0的普通方程为，‎ 又圆与直线相切，所以解得：，或．‎ ‎2（2010·福建高考理科·Ｔ21）在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为(为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ=2sinθ．‎ ‎(Ⅰ)求圆C的直角坐标方程；‎ ‎(Ⅱ)设圆C与直线交于点．若点的坐标为(3，)，求．‎ ‎【命题立意】本题主要考查直线的参数方程、圆的极坐标方程，直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力．‎ ‎【思路点拨】（1）求圆的标准方程，（2）写出直线的一般方程，联立圆与直线的方程可求出A，B的坐标，进而求出|PA|+|PB|的值． ‎ ‎【规范解答】 （1）由ρ=2sinθ，得ρ2=2ρsinθ，∴x2+y2=2y,‎ 所以.‎ ‎（2）直线的一般方程为，容易知道P在直线上，又，所以P在圆外，联立圆与直线方程可以得到：，所以|PA|+|PB|=‎ ‎3．（2010·辽宁高考理科·Ｔ23）已知P为半圆C：（为参数，）上的点，点A的坐标为（1,0），O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为.‎ ‎（1）以O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；‎ ‎（2）求直线AM的参数方程.‎ ‎【命题立意】本题考查了点的极坐标，以及直线的参数方程，考查计算能力和转化与化归能力．‎ ‎【思路点拨】（1）由M点的极角和极径，直接写出点M的极坐标．‎ ‎ （2）先求点M的直角坐标，再用直线的参数方程写出所求直线的参数方程．‎ ‎【规范解答】（1）由已知，M点的极角为，且M点的极径等于，‎ 故点M的极坐标为（，）. ‎ ‎（2）M点的直角坐标为（），A（0,1），故直线AM的参数方程为 ‎，（t为参数）.‎ ‎4（2010 海南宁夏高考理科T23）已知直线:，（t为参数），圆: ‎ ‎(为参数)，‎ ‎（1)当=时，求与的交点坐标；‎ ‎（2）过坐标原点作的垂线，垂足为,为的中点，当变化时，求点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线. ‎ ‎【命题立意】本题主要考查了极坐标方程与普通方程的灵活转化.‎ ‎【规范解答】（1）当时，C1的普通方程为，C2的普通方程为 ‎.‎ 联立方程组解得C1与C2的交点为（1,0），.‎ ‎（2）C1的普通方程为.‎ 点坐标为，故当变化时，点轨迹的参数方程为 ‎ ‎ 点轨迹的普通方程为 故点轨迹是圆心为，半径为的圆.‎ ‎5（2011·新课标全国高考理科·Ｔ23）在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为，（为参数），M是C1上的动点，P点满足,P点的轨迹为曲线C2.‎ ‎(Ⅰ)求C2的方程.‎ ‎(Ⅱ)在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求.‎ ‎【思路点拨】第（Ⅰ）问，意味着为的中点，设出点的坐标，可由点的参数方程（曲线的方程）求得点的参数方程；‎ 第（Ⅱ）问，先求曲线和的极坐标方程，然后通过极坐标方程，求得射线与的交点的极径，求得射线与的交点的极径，最后只需求＝即可.‎ ‎【精讲精析】（I）设P(x,y),则由条件知M().由于M点在C1上，所以 ‎ 即 ‎ 从而的参数方程为 ‎，（为参数）.‎ ‎（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为.‎ 射线与的交点的极径为，‎ 射线与的交点的极径为.‎ 所以.‎ ‎6.（2011·新课标全国高考文科·Ｔ23）在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为 ‎（为参数）,M是C1上的动点，P点满足,P点的轨迹为曲线C2.‎ ‎(Ⅰ)求C2的方程.‎ ‎(Ⅱ)在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求.‎ ‎【思路点拨】第（Ⅰ）问，意味着为的中点，设出点的坐标，可由点的参数方程（曲线的方程）求得点的参数方程；‎ 第（Ⅱ）问，先求曲线和的极坐标方程，然后通过极坐标方程，求得射线与的交点的极径，求得射线与的交点的极径，最后只需求＝即可.‎ ‎【精讲精析】（I）设P(x,y),则由条件知M().由于M点在C1上，所以 ‎ 即 ‎ 从而的参数方程为 ‎（为参数）.‎ ‎（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为.‎ 射线与的交点的极径为，‎ 射线与的交点的极径为.‎ 所以 ‎7.（2011·福建高考理科）在直角坐标系xOy中，直线的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为.‎ ‎（I）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，），判断点P与直线l的位置关系；‎ ‎（II）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值.‎ ‎【思路点拨】（I）将点P的极坐标化为直角坐标，然后代入直线的方程看是否满足，从而判断点P与直线的位置关系；‎ ‎（II）将点Q到直线的距离转化为关于的三角函数式，然后利用三角函数的知识求最小值.‎ ‎【精讲精析】（I）把极坐标系下的点化为直角坐标得点.‎ 因为点的直角坐标满足直线的方程，‎ 所以点在直线上.‎ ‎（II）因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为，从而点Q到直线的距离为 由此得，当时，取得最小值，且最小值为 ‎8.（2012·新课标全国高考真题）‎ 已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程是，正方形的顶点都在上，且依逆时针次序排列，点的极坐标为. ‎ ‎（1）求点的直角坐标.‎ ‎（2）设为上任意一点，求的取值范围.‎ ‎【解题指南】（1）利用极坐标的定义求得A，B，C，D的坐标.‎ ‎（2）由方程的参数式表示出|PA|2+ |PB|2 + |PC|2+ |PD|2关于的函数式，利用函数的知识求取值范围.‎ ‎【解析】（1）由已知可得 ‎，‎ ‎，‎ 即 .‎ ‎(2)设令，则 ‎ .‎ 因为所以的取值范围是.‎ ‎9（2012·辽宁高考真题）‎ 在直角坐标系中，圆，圆.‎ ‎ (1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆的极坐标方程，并求出圆的交点坐标(用极坐标表示).‎ ‎ (2)求圆的公共弦的参数方程.‎ ‎【解题指南】将直角坐标方程化为极坐标方程，联立，求得交点极坐标.‎ ‎【解析】(1)圆的极坐标方程为；圆的极坐标方程为；‎ 联立方程组，解得.故圆，的交点极坐标为.‎ ‎（2）由，及得，‎ 圆，的交点直角坐标为.‎ 故圆，的公共弦的参数方程为.‎ ‎10（2012·江苏高考真题）在极坐标系中，已知圆C经过点，圆心为直线与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．‎ ‎【解析】∵圆圆心为直线与极轴的交点，‎ ‎∴在中令，得.‎ ‎∴圆的圆心坐标为（1，0）.‎ ‎∵圆经过点，∴圆的半径为.‎ ‎∴圆经过极点，∴圆的极坐标方程为.‎ ‎11.（2013·新课标全国Ⅱ高考真题）‎ 已知动点P，Q都在曲线C： 上，对应参数分别为t=α ‎ 与=2α（0＜α＜2π）,M为PQ的中点.‎ ‎（1）求M的轨迹的参数方程.‎ ‎（2）将M到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点.‎ ‎【解题指南】(1)借助中点坐标公式，用参数表示出点M的坐标，可得参数方程.‎ ‎(2)利用距离公式表示出点M到原点的距离d,判断d能否为0,可得M的轨迹是否过原点.‎ ‎【解析】（1）依题意有因此 ‎. ‎ M的轨迹的参数方程为 ‎（2）M点到坐标原点的距离 ‎.‎ 当时，，故M的轨迹过坐标原点.‎ ‎12（2013·新课标Ⅰ高考真题）已知曲线C1的参数方程为 ‎ （为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为. ‎ ‎（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）。‎ ‎【解析】将消去参数，化为普通方程,‎ 即：.‎ 将代入得 ‎.‎ ‎（Ⅱ）的普通方程为.‎ 由，解得或.‎ 所以与交点的极坐标分别为，‎ ‎13（2013·辽宁高考真题）在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系。圆，直线的极坐标方程分别为 求与的交点的极坐标；设为的圆心，为与的交点连线的中点，已知直线的参数方程为求的值。‎ ‎【解题指南】‎ ‎ 利用极坐标和直角坐标的互化关系，将不熟悉的极坐标转化为熟悉的直角坐标来探究.‎ ‎【解析】由得，‎ 圆的直角坐标方程为 直线的直角坐标方程分别为 由解得 所以圆，直线的交点直角坐标为 再由，将交点的直角坐标化为极坐标所以与的交点的极坐标 由知，点，的直角坐标为 故直线的直角坐标方程为 ①‎ 由于直线的参数方程为 消去参数 ②‎ 对照①②可得 解得 ‎14.(2014·新课标全国卷Ⅱ高考真题）‎ 在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ,θ∈.‎ ‎(1)求C的参数方程.‎ ‎(2)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:y=‎ x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D的坐标.‎ ‎【解题提示】(1)先求出C的普通方程,然后再化为参数方程.‎ ‎(2)利用C的参数方程设出点D的坐标,利用切线与直线l垂直,可得直线GD与直线l的斜率相同,求得点D的坐标.‎ ‎【解析】（1）C的普通方程为 (0≤y≤1).‎ 可得C的参数方程为 (t为参数，0≤t≤π).‎ ‎（2）设D（1+cos t,sin t），由（1）知C是以G（1，0）为圆心，1为半径的上半圆.因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同，tan t=,t=.‎ 故D的直角坐标为 ,即 .‎ ‎15.(2014·福建高考理科）‎ 已知直线的参数方程为，圆C的参数方程为 ‎．‎ ‎(1)求直线和圆C的普通方程；‎ ‎(2)若直线与圆C有公共点，求实数的取值范围．‎ ‎【解析】(1)直线的普通方程为，‎ 圆的普通方程为；…………………………………………………3分 ‎(2)∵直线与圆有公共点，‎ ‎∴圆的圆心到直线的距离，解得，‎ ‎∴实数的取值范围是.……………………………………………7分 ‎16.（2014·辽宁高考真题）‎ 将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.‎ ‎（Ⅰ）写出C的参数方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线与C的交点为 ‎，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程.‎ ‎【解析】（Ⅰ）设为圆上的点，在已知变换下变为C上的点.依题意得 由得，即曲线C的方程为.‎ 故C的参数方程为（为参数）.‎ ‎（Ⅱ）由解得或 不妨设，则线段的中点坐标为所求直线斜率为 于是所求直线方程为化为极坐标方程，并化简得 ‎17(2014·新课标全国1卷高考真题）选修4—4：坐标系与参数方程 已知曲线：，直线：（为参数）.‎ ‎(Ⅰ)写出曲线的参数方程，直线的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）过曲线上任一点作与夹角为的直线，交于点，求的最大值与最小值.‎ ‎【解析】：.(Ⅰ) 曲线C的参数方程为： （为参数）， ‎ 直线l的普通方程为： ………5分 ‎ ‎（Ⅱ）（2）在曲线C上任意取一点P (2cos,3sin)到l的距离为 ‎，‎ 则+-，其中为锐角．且.‎ 当时，取得最大值，最大值为；‎ 当时，取得最小值，最小值为. …………10分 ‎18(2015年全国一卷)选修4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中.直线:x＝－2，圆：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ （I） 求，的极坐标方程；‎ （II） 若直线的极坐标方程为，设与的交点为， ，求△C2MN的面积 ‎ 解：‎ ‎ （I）因为，，所以的极坐标方程为，的极坐标方程为。 ……5分 ‎ （II）将代入，得，解得，。故，即。‎ ‎ 由于的半径为1，所以的面积为。 ……10分 ‎19（2015年全国2卷）‎ 在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t ≠ 0），其中0 ≤ α < π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：，C3：。‎ ‎（1）求C2与C3交点的直角坐标；‎ ‎（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求的最大值。‎ 解析：(I)、曲线C2的直角坐标方程为，曲线C3的直角坐标方程为 联立 所以C3与C2交点的直角坐标为 ‎(II)曲线C1的极坐标方程为 因此A的极坐标为，B的极坐标为 所以 当时,|AB|取得最大值，最大值为4‎