江苏数学高考考试说明

江苏数学高考考试说明

‎2015年江苏省高考说明－数学科 一、命题指导思想 ‎2017年普通高等学校招生全国统一考试数学科（江苏卷）的命题，将依据《普通高中数学课程标准（实验）》，参照《普通高等学校招生全国统一考试大纲》，结合江苏省普通高考课程标准教学要求，按照“有利于科学选拔人才、促进学生健康发展、维护社会公平”的原则，既考查中学数学的基础知识和方法，又考查考生进入高等学校继续学习所需要的基本能力．试卷保持较高的信度、效度以及必要的区分度和适当的难度．‎ ‎1．突出数学基础知识、基本技能、基本思想方法的考查 对数学基础知识和基本技能的考查，贴近教学实际，既注意全面，又突出重点．支撑学科知识体系的重点内容在试卷中要占有较大比例．注重知识内在联系的考查，不刻意追求知识的覆盖面．注重对中学数学中所蕴涵的数学思想方法的考查．‎ ‎2．重视数学基本能力和综合能力的考查 数学基本能力主要包括空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理这几方面的能力．‎ ‎（1）空间想象能力的考查要求是:能够根据题设条件想象并作出正确的平面直观图形，能够根据平面直观图形想象出空间图形；能够正确地分析出图形中基本元素及其相互关系，并能够对空间图形进行分解和组合．‎ ‎（2）抽象概括能力的考查要求是：能够通过对实例的探究，发现研究对象的本质；能够从给定的信息材料中概括出一些结论，并用于解决问题或作出新的判断．‎ ‎（3）推理论证能力的考查要求是：能够根据已知的事实和已经获得的正确的数学命题，运用归纳、类比和演绎进行推理，论证某一数学命题的真假性．‎ ‎（4）运算求解能力的考查要求是：能够根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理；能够根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径；能够根据要求对数据进行估计或近似计算．‎ ‎（5）数据处理能力的考查要求是：能够运用基本的统计方法对数据进行整理、分析，以解决给定的实际问题．‎ 数学综合能力的考查，主要体现为分析问题与解决问题能力的考查，要求能够综合地运用有关的知识与方法，解决较为困难的或综合性的问题．　　‎ ‎3．注重数学的应用意识和创新意识的考查　　‎ 数学的应用意识的考查要求是：能够运用所学的数学知识、思想和方法，构造数学模型，将一些简单的实际问题转化为数学问题，并加以解决．　　‎ 创新意识的考查要求是:能够发现问题、提出问题，综合与灵活运用所学的数学知识和思想方法，创造性地解决问题．　　‎ 二、考试内容及要求 数学试卷由必做题与附加题两部分组成．选修测试历史的考生仅需对试题中的必做题部分作答；选修测试物理的考生需对试题中必做题和附加题这两部分作答．必做题部分考查的内容是高中必修内容和选修系列1的内容；附加题部分考查的内容是选修系列2中的内容以及选修系列4中专题4-1《几何证明选讲》、4-2《矩阵与变换》、4-4《坐标系与参数方程》、4-5《不等式选讲》这4个专题的内容（考生只需选考其中两 个专题）．‎ 对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在下表中分别用A、B、C表示）．‎ 了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题．‎ 理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题．‎ 掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题．‎ 具体考查要求如下：‎ ‎1．必做题部分　　‎ 内 容 要 求 A B C ‎1．集合 集合及其表示　　‎ ‎√‎ 子集　　‎ ‎√‎ 交集、并集、补集 ‎√‎ ‎2．函数概念 与基本初 等函数Ⅰ　　‎ 函数的概念 ‎√‎ 函数的基本性质 ‎√‎ 指数与对数　　‎ ‎√‎ 指数函数的图象与性质　　‎ ‎√‎ 对数函数的图象与性质　　‎ ‎√‎ 幂函数　　‎ ‎√‎ 函数与方程　　‎ ‎√‎ 函数模型及其应用　　‎ ‎√‎ ‎3．基本初等 函数Ⅱ（三 角函数）、‎ 三角恒等 变换 三角函数的概念　‎ ‎√‎ 同角三角函数的基本关系式　‎ ‎√‎ 正弦函数、余弦函数的诱导公式 ‎√‎ 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质　　‎ ‎√‎ 函数的图象与性质　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎√‎ 两角和（差）的正弦、余弦及正切 ‎√‎ 二倍角的正弦、余弦及正切　　‎ ‎√‎ ‎4．解三角形 正弦定理、余弦定理及其应用 ‎√‎ ‎5．平面向量 平面向量的概念 ‎√‎ 平面向量的加法、减法及数乘运算 ‎√‎ 平面向量的坐标表示 ‎√‎ 平面向量的数量积 ‎√‎ 平面向量的平行与垂直 ‎√‎ 平面向量的应用 ‎√‎ ‎6．数列 数列的概念 ‎√‎ 等差数列 ‎√‎ 等比数列 ‎√‎ ‎7．不等式 基本不等式 ‎√‎ 一元二次不等式 ‎√‎ 线性规划 ‎√‎ ‎8．复数 复数的概念　　‎ ‎√‎ 复数的四则运算　　‎ ‎√‎ 复数的几何意义　　‎ ‎√‎ ‎9．导数及其应用　　‎ 导数的概念　　‎ ‎√‎ 导数的几何意义　　‎ ‎√‎ 导数的运算　　‎ ‎√‎ 利用导数研究函数的单调性与极值　　‎ ‎√‎ 导数在实际问题中的应用　　‎ ‎√‎ ‎10．算法初步 算法的含义　　‎ ‎√‎ 流程图　　‎ ‎√‎ 基本算法语句　　‎ ‎√‎ ‎11．常用逻辑用语　　‎ 命题的四种形式　‎ ‎√‎ 充分条件、必要条件、充分必要条件　　‎ ‎√‎ 简单的逻辑联结词　　‎ ‎√‎ 全称量词与存在量词　　‎ ‎√‎ ‎12．推理与证明　　‎ 合情推理与演绎推理　　‎ ‎√‎ 分析法与综合法　　‎ ‎√‎ 反证法　　‎ ‎√‎ ‎13．概率、统计　　‎ 抽样方法　　‎ ‎√‎ 总体分布的估计　　‎ ‎√‎ 总体特征数的估计　　‎ ‎√‎ 随机事件与概率　　‎ ‎√‎ 古典概型　　‎ ‎√‎ 几何概型　　‎ ‎√‎ 互斥事件及其发生的概率　　‎ ‎√‎ ‎14．空间几何体　　‎ 柱、锥、台、球及其简单组合体　　‎ ‎√‎ 柱、锥、台、球的表面积和体积　　‎ ‎√‎ ‎15．点、线、面 之间的位置关系　　‎ 平面及其基本性质　　‎ ‎√‎ 直线与平面平行、垂直的判定及性质　　‎ ‎√‎ 两平面平行、垂直的判定及性质　　‎ ‎√‎ ‎16．平面解析 几何初步　　‎ 直线的斜率和倾斜角　　‎ ‎√‎ 直线方程　　‎ ‎√‎ 直线的平行关系与垂直关系　　‎ ‎√‎ 两条直线的交点　　‎ ‎√‎ 两点间的距离、点到直线的距离　　‎ ‎√‎ 圆的标准方程与一般方程　　‎ ‎√‎ 直线与圆、圆与圆的位置关系　　‎ ‎√‎ ‎17．圆锥曲线 与方程　　‎ 中心在坐标原点的椭圆的标准方程与几何性质　　‎ ‎√‎ 中心在坐标原点的双曲线的标准方程与几何性质　‎ ‎√‎ 顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质　‎ ‎√‎ ‎　 ‎ ‎2．附加题部分　　‎ 内 容 要 求 A B C ‎　 　选修系列：不含选修系列中的内容 ‎1．圆锥曲线 与方程　　‎ 曲线与方程　　‎ ‎√‎ 顶点在坐标原点的抛物线的标准 方程与几何性质 ‎√‎ ‎2．空间向量 与立体几何　　‎ 空间向量的概念　　‎ ‎√‎ 空间向量共线、共面的充分必要条件　　‎ ‎√‎ 空间向量的加法、减法及数乘运算　　‎ ‎√‎ 空间向量的坐标表示　　‎ ‎√‎ 空间向量的数量积　　‎ ‎√‎ 空间向量的共线与垂直　　‎ ‎√‎ 直线的方向向量与平面的法向量　　‎ ‎√‎ 空间向量的应用　　‎ ‎√‎ ‎3．导数及其应用　　‎ 简单的复合函数的导数 ‎√‎ ‎4．推理与证明　　‎ 数学归纳法的原理　　‎ ‎√‎ 数学归纳法的简单应用　　‎ ‎√‎ ‎5．计数原理 加法原理与乘法原理 ‎√‎ 排列与组合　　‎ ‎√‎ 二项式定理　　‎ ‎√‎ ‎6．概率、统计　　‎ 离散型随机变量及其分布列　　‎ ‎√‎ 超几何分布　　‎ ‎√‎ 条件概率及相互独立事件 ‎√‎ 次独立重复试验的模型及二项分布　　‎ ‎√‎ 离散型随机变量的均值与方差 ‎√‎ ‎ 选修系列中个专题 ‎ ‎7．几何证明 选讲　　‎ 相似三角形的判定与性质定理 ‎√‎ 射影定理　　‎ ‎√‎ 圆的切线的判定与性质定理　　‎ ‎√‎ 圆周角定理，弦切角定理　　‎ ‎√‎ 相交弦定理、割线定理、切割线定理　　‎ ‎√‎ 圆内接四边形的判定与性质定理　　‎ ‎√‎ ‎8．矩阵与变换　　‎ 矩阵的概念　　‎ ‎√‎ 二阶矩阵与平面向量　　‎ ‎√‎ 常见的平面变换　　‎ ‎√‎ 矩阵的复合与矩阵的乘法　　‎ ‎√‎ 二阶逆矩阵　　‎ ‎√‎ 二阶矩阵的特征值与特征向量　　‎ ‎√‎ 二阶矩阵的简单应用　　‎ ‎√‎ ‎9．坐标系与 参数方程　　‎ 坐标系的有关概念　　‎ ‎√‎ 简单图形的极坐标方程　　‎ ‎√‎ 极坐标方程与直角坐标方程的互化　　‎ ‎√‎ 参数方程　　‎ ‎√‎ 直线、圆及椭圆的参数方程　　‎ ‎√‎ 参数方程与普通方程的互化　　‎ ‎√‎ 参数方程的简单应用　　‎ ‎√‎ ‎10．不等式选讲　　‎ 不等式的基本性质　　‎ ‎√‎ 含有绝对值的不等式的求解　　‎ ‎√‎ 不等式的证明（比较法、综合法、分析法）‎ ‎√‎ 算术-几何平均不等式与柯西不等式 ‎√‎ 利用不等式求最大（小）值 ‎√‎ 运用数学归纳法证明不等式 ‎√‎ ‎三、考试形式及试卷结构 ‎（一）考试形式　　‎ 闭卷、笔试，试题分必做题和附加题两部分．必做题部分满分为160分，考试时间120分钟；选考物理科目的考生要做附加题，满分为40分，考试时间30分钟．　　‎ ‎（二）考试题型　　‎ ‎1．必做题 必做题部分由填空题和解答题两种题型组成．其中填空题14小题，约占70分；解答题6小题，约占90分．　　‎ ‎2．附加题 附加题部分由解答题组成，共6题．其中，必做题2小题，考查选修系列2中的内容；选做题共4题，依次考查选修系列4中4-1、4-2、4-4、4-5这4个专题的内容，考生从中选2个题作答．　　‎ 填空题着重考查基础知识、基本技能和基本方法，只要求直接写出结果，不必写出计算和推理过程；解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．　　‎ ‎（三）试题难易比例　　‎ 必做题部分由容易题、中等难度题和难题组成．容易题、中等难度题和难题在试卷中所占分值的比例约为4：4：2．　　‎ 附加题部分由容易题、中等难度题和难题组成．容易题、中等难度题和难题在试卷中所占分值的比例约为5：4：1．‎ 四、典型题示例 A．必做题部分 ‎（一）填空题 ‎1．设复数满足（i是虚数单位），则的虚部为_____．‎ ‎【解析】本题主要考查复数的基本概念和运算，基本运算．本题属容易题．‎ ‎【答案】．‎ ‎2．设集合，则实数的值为 ．‎ 结束 k←k +1‎ 开始 k←1‎ k2－5k+4>0‎ N 输出k ‎ Y ‎【解析】本题主要考查集合的概念、交集运算等基础知识．本题属容易题．‎ ‎【答案】1．‎ ‎3．右图是一个算法流程图，则输出的k的值是 ．‎ ‎【解析】本题主要考查算法流程图的基础知识，‎ 本题属容易题．‎ ‎【答案】5．‎ ‎4．函数的定义域为　 ．‎ ‎【解析】本题主要考查对数函数的定义域等基础知识．本题属容易题．‎ ‎【答案】‎ ‎5．某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽取了根棉花 纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数 据均在区间中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测 的根中，有_ _根棉花纤维的长度小于．‎ ‎【解析】本题主要考查统计中的抽样方法与总体分布的估计．本题属容易题．‎ ‎【答案】由频率分布直方图观察得棉花纤维长度小于的频率为 ‎，故频数为．‎ ‎6．将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数和小于10的概率是______．‎ ‎【解析】本题主要考察古典概型、互斥事件及其发生的概率等基础知识．本题属容易题．‎ ‎【答案】．‎ ‎7．已知函数，它们的图像有一个横坐标 为的交点，则的值是________．‎ ‎【解析】本题主要考察特殊角的三角函数值，正弦函数、余弦函数的图像与性质等基础知识，考察数形结合的思想，考察分析问题、解决问题的能力．本题属容易题．‎ ‎【答案】．‎ ‎8．在各项均为正数的等比数列中，若，则的值是______．‎ D A B C ‎【解析】本题主要考察等比数列的通项公式等基础知识，考察运算求解能力．本题属容易题．‎ ‎【答案】4．‎ ‎9．如图，在长方体中，，‎ ‎，则四棱锥的体积为 cm3．‎ ‎【解析】本题主要考查四棱锥的体积，考查空间想象能力 和运算能力．本题属容易题．‎ ‎【答案】6．‎ ‎10．设直线是曲线的一条切线，则实数的值是 ．‎ ‎【解析】本题主要考查导数的几何意义等基础知识，考查运算求解能力．本题属中等难度题．‎ ‎【答案】．‎ ‎11．设是定义在R上且周期为2的函数，在区间[—1，1）上，其中，则值是 ．‎ ‎【解析】本题主要考查函数的概念、函数的性质等基础知识，考查运算求解能力．本题属中等难度题．‎ ‎【答案】‎ ‎12．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则K的最大值是_________．‎ ‎【解析】本题主要考察圆的方程、圆与圆的位置关系、点到直线的距离等基础知识，考查灵活运用相关知识解决问题的能力．本题属中等难度题．‎ ‎【答案】．‎ ‎（第13题）‎ ‎13．如图，在△中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，，则的值是_________．‎ ‎【解析】本题主要考察平面向量的概念、平面向量的运算以及 平面向量数量积等基础知识，考查数形结合和造价转化思想，‎ 考查运算求解能力．本题属难题．‎ ‎【答案】．‎ ‎14．已知正数满足：则的取值范围是 ．‎ ‎【解析】本题主要考查不等式、函数的导数等基础知识，考查代数式的变形和转化能力，考查灵活运用有关知识解决问题的能力．本题属难题．‎ ‎【答案】．‎ 二、解答题 ‎15．在中，角．已知 ‎（1）求值；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎【解析】本题主要考查三角恒等变换、正弦定理等基础知识，考查运算求解能力．本题属容易题．‎ ‎【参考答案】‎ ‎（1）在中，因为，‎ 故由正弦定理得，于是．所以．‎ ‎（2）由（1）知．所以．又因为，所以 ‎．从而．‎ 在，所以．‎ 因此由正弦定理得．‎ 第16题 ‎16．如图，在直三棱柱中，分别是的中点，点在侧棱上，且，．‎ 求证：（1）直线平面；（2）平面平面．‎ ‎【解析】本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，‎ 考查空间想象能力和推理论证能力．本题属容易题．‎ ‎【参考答案】‎ ‎（1）在直三棱柱中，．‎ 在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DE//AC，于是DE//．‎ 又因为平面，平面，所以直线平面．‎ ‎（2）在直三棱柱中，．因为平面，所以．‎ 又因为，平面，平面，=，‎ 所以平面．因为平面，所以．‎ 又因为，平面，平面，=，‎ 所以平面．因为直线平面，所以平面平面．‎ ‎17． 如图，在平面直角坐标系中，过坐标原点的直线交椭圆 ‎ 于两点，其中点在第一象限．过作轴的垂线，垂足为，连结，‎ 并延长交椭圆于点．设直线的斜率为．‎ ‎（1）当时，求点到直线的距离；（2）对任意，求证：．‎ ‎【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力．本题属中等难度题．‎ ‎【参考答案】‎ ‎（1）直线的方程为，代入椭圆方程得，解得，因此，‎ 于是，直线的斜率为，故直线的方程为．‎ 因此，点到直线的距离为．‎ ‎（2）解法一：将直线的方程代人，解得，记，‎ 则，于是，从而直线的斜率为，其方程为．‎ 代入椭圆方程得，解得或．‎ 因此，于是直线的斜率，‎ 因此，所以．‎ 解法二：设，则且．‎ 设直线PB，AB的斜率分别为因为C在直线AB上，所以．‎ 从而 ‎．因此所以．‎ ‎18． 如图：为保护河上古桥，规划建一座新桥，同时设立一个圆形保护区，规划要求，新桥与河岸垂直；保护区的边界为圆心在线段上并与相切的圆，且古桥两端和到该圆上任一点的距离均不少于‎80m，经测量，点位于点正北方向‎60m处，点位于点正东方向‎170m处，（为河岸），．‎ ‎（1）求新桥的长；‎ ‎（2）当多长时，圆形保护区的面积最大？‎ ‎【解析】本小题主要考查直线、圆、解三角形等基础知识，考查抽象概括能力和运算求解能力，考查 学生的数学应用意识．本题是中等难度题．‎ ‎【参考答案】‎ 解法一：‎ (1) 如图，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy．由条件知A(0，60)，C(170，0)，‎ 直线BC的斜率k BC=－tan∠BCO=－．又因为AB⊥BC，所以直线AB的斜率k AB=．‎ 设点B的坐标为(a，b)，则k BC=，k AB=．‎ 解得a=80，b=120． 所以BC=．‎ 因此新桥BC的长是‎150 m．‎ ‎(2)设保护区的边界圆M的半径为r m，OM=d m，(0≤d≤60)．‎ 由条件知，直线BC的方程为，即．‎ 由于圆M与直线BC相切，故点M(0，d)到直线BC的距离是r，即．‎ 因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于‎80 m，‎ 所以即解得．‎ 故当d=10时，最大，即圆面积最大．‎ 所以当OM = ‎10 m时，圆形保护区的面积最大．‎ 解法二:‎ ‎（1）如图，延长OA， CB交于点F．‎ 因为tan∠FCO=．所以sin∠FCO=，cos∠FCO=．因为OA=60，OC=170，‎ 所以OF=OC tan∠FCO=，CF=，从而．‎ 因为OA⊥OC，所以cos∠AFB=sin∠FCO=．‎ 又因为AB⊥BC，所以BF=AF cos∠AFB=，从而BC=CF－BF=150．‎ 因此新桥BC的长是‎150 m．‎ ‎（2）设保护区的边界圆M与BC的切点为D，连接MD，则MD⊥BC，且MD是圆M的半径，并设MD=r m，OM=d m(0≤d≤60)．‎ 因为OA⊥OC，所以sin∠AFB =cos∠FCO，‎ 故由(1)知，sin∠CFO =，所以．‎ 因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于‎80 m，‎ 所以即解得．‎ 故当d=10时，最大，即圆面积最大．所以当OM = ‎10 m时，圆形保护区的面积最大．‎ ‎19． 设函数，，其中a为实数．‎ ‎（1）若在（1，）上是单调减函数，且在（1，）上有最小值，求a的取值范围；‎ ‎（2）若在（—1，）上是单调增函数，试求零点的个数，并证明你的结论．‎ ‎【解析】本题主要考查函数的单调性、最值、零点等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论等数学思想方法进行探索、分析与解决问题的能力．本题属于难题．‎ ‎【参考答案】‎ ‎(1)令，考虑到的定义域为(0， )，故a>0，进而解得x>，即在(， )上是单调减函数．同理，在(0， )上是单调增函数．由于在(1，)上是单调增函数，故(1，+∞)(， )，从而1，即a1． ‎ 令，得．当时，；当时，．又在（1，）上有最小值，所以lna>1，即a>e．‎ 综上，a的取值范围是（e，）．‎ ‎(2)当时，必为单调增函数；当a>0时，令，解得，即，因为在（—1，）上是单调增函数，类似(1)有，即．结合上述两种情况，有．‎ ‎(i)当时，由及，得存在唯一零点；‎ ‎(ii)当时，由于，，且函数在[]上的图象不间断，所以函数在（）上存在零点．另外，当时，，故在（0，）上是单调减函数，所以只有一个零点．‎ ‎(iii) 当时，令，解得．当时，；当时，且，所以是的最大值点，且大最大值为．‎ ‎①当，即时，有一个零点．‎ ‎②当即时，有两个零点．‎ 实际上，对于，由于，，且函数在上的图象不间断，所以在存在零点．另外当时，故在上是单调增函数，所以在上只有一个零点．‎ 下面考虑在上的情况．先证．为些，我们要证明：当时，．设，则，再设=，则．当时，，所以=在上是单调增函数．故当时，，从而在上单调增函数，进而当时，．即当时，．当，即时，，又，且函数在上图象不间断，所以在上存在零点．又当时，，故在上是单调减函数，所以在上只有一个零点．‎ 综合(i)， (ii)， (iii)，当或时，的零点个数为1；当时，的零点个数为2．‎ ‎20． 设数列的前n项和为．若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得，则称是“H数列”．‎ ‎（1）若数列的前n项和为，证明：是“H数列”；‎ ‎（2）设是等差数列，其首项，公差．若是“H数列”，求的值；‎ ‎（3）证明：对任意的等差数列，总存在两个“H数列”和，使得成立．‎ ‎【解析】本题主要考查数列的概念、等差数列等基础知识，考查探究能力和推理谁能力．本题属难题．‎ ‎【参考答案】‎ ‎（1）由已知，当≥1时，．于是对任意的正整数，总存在正整数，使得．所以是“H数列”．‎ ‎（2）由已知，得．因为是“H数列”，所以存在正整数m，使得，即 ‎，于是．‎ 因为，所以，故．从而，当时，=，=是小于2的整数，．于是对任意正整数n，总存在正整数，使得=2-m=，所以是“H数列”．因此d的值为-1．‎ ‎（3）设等差数列的公差为d，则=+（n-1）d=n+(n-1)(d-)( )．‎ 令=n，=(n-1)(d-)，则=+．‎ 下证｛｝是“H数列”．‎ 设｛｝的前n项和为，则=（）．‎ 于是对任意的正整数n，总存在正整数m=，使得=．所以｛｝是“H数列”．‎ 同理可证｛｝是“H数列”．‎ 所以，对任意的等差数列，总存在两个“H数列”和，使得成立．‎ B．附加题部分 ‎1．选修 几何证明选讲 如图，是圆的直径，为圆上一点，过点作圆的切线交的延长线于点，若，求证:‎ ‎【解析】本题主要考查三角形与圆的一些基础知识，如三角形的外接圆、圆的切线性质等，考查推理论证能力．本题属容易题．‎ ‎【参考答案】连结．‎ 因为是圆的直径，所以．因为是圆 的切线，所以．又因为所以．于是 ‎≌从而即得故 ‎2．选修矩阵与变换 已知矩阵，，求．‎ ‎【解析】本题主要考查逆矩阵、矩阵的乘法，考查运算求解能力．本题属容易题．‎ ‎【参考答案】‎ 设的逆矩阵为，则，即，故，，‎ ‎，，从而的逆矩阵为，所以，．‎ ‎3．选修坐标系与参数方程 在极坐标中，已知圆经过点，圆心为直线与极轴的交点，求圆的极坐标方程．‎ ‎【解析】本题主要考查直线和圆的极坐标方程等基础知识，考查转化问题的能力．本题属容易题．‎ ‎【参考答案】‎ 在中令，得．‎ 所以圆的圆心坐标为（1，0）．‎ 因为圆经过点，∴圆的半径为．‎ ‎∴圆经过极点．∴圆的极坐标方程为．‎ ‎4．选修不等式选讲 已知是非负实数，求证：．‎ ‎【解析】本题主要考查证明不等式的基本方法． 考查推理论证能力，本题属容易题．‎ ‎【参考答案】‎ 由是非负实数，作差得 ‎．‎ 当时，从而得； ‎ 当时，，从而得．‎ 所以．‎ ‎5．如图，在平面直角坐标xOy中，已—经直线l:x—y—2=0，抛物线C:=2px(p>0)．‎ ‎（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；‎ ‎（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q．‎ ‎①求证：线段PQ的中点坐标为（2-p，-p）；‎ ‎②求p的取值范围．‎ ‎【解析】本题主要考查直线和抛物线的方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力及推理认证能力．本题属中等难度题．‎ ‎【参考答案】‎ ‎（1）抛物线C:=2px(p>0)的焦点为，由点在直线l:x-y-2=0上，得，即p=4．‎ 所以抛物线C的方程显=8x．‎ ‎（2）①设，，PQ的中点为．‎ 因为点P和Q关于直线l对称，所以l垂直平分线段PQ，于是PQ的斜率为—1，则可设其方程为y=—x+b．‎ 由消去x得．（*）‎ 因为P和Q是抛物线C上的相异两点，所以，从而，化简得．‎ 方程（*）的两根为，从而==—p．因为M在直线l上，所以=2-p．‎ 因此，线段PQ的中点坐标为（2-p，-p）．‎ ‎②因为M（2—p，—p）在直线y=—x+b上，所以—p=—(2—p)+b，即b=2—2p．‎ 由①知p+2b>0，于是p+2(2—2p)>0，所以p<．因此，p的取值范围是．‎ ‎6．（1）求的值；‎ ‎（2）设m，n，n≥m，求证：‎ ‎．‎ ‎【解析】本题主要考查组合数及其性质等基础知识，考查运算求解能力和推理认证能力．本题属难题．‎ ‎【参考答案】‎ ‎（1）=．‎ ‎（2）当n=m时，=m+1==，结论成立．‎ 当n>m时，===，k=m+1，m+2，---，n．‎ 又因为+=，所以==（—），k=m+1，m+2，---，n．‎ 因此，‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=．‎