2018版高考数学（理）（苏教版，江苏专用）大一轮教师文档讲义：第十四章14-4第1课时绝对值不等式

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2018版高考数学（理）（苏教版，江苏专用）大一轮教师文档讲义：第十四章14-4第1课时绝对值不等式

第1课时　绝对值不等式 ‎1．绝对值不等式的解法 ‎(1)含绝对值的不等式|x|a的解集：‎ 不等式 a>0‎ a＝0‎ a<0‎ ‎|x|a ‎(－∞，－a)∪‎ ‎(a，＋∞)‎ ‎(－∞，0)∪‎ ‎(0，＋∞)‎ R ‎(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：‎ ‎①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；‎ ‎②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c；‎ ‎(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法：‎ ‎①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；‎ ‎②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；‎ ‎③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．‎ ‎2．含有绝对值的不等式的性质 ‎(1)如果a，b是实数，则|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．‎ ‎(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．‎ ‎1．(2015·山东改编)解不等式|x－1|－|x－5|<2的解集．‎ 解　①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2，‎ ‎∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1.‎ ‎②当15；‎ 当－2≤x<时，5≥y＝－x＋3>；‎ 当x≥时，y＝3x＋1≥，故函数y＝|2x－1|＋|x＋2|的最小值为.因为不等式|2x－1|＋|x＋2|≥‎ a2＋a＋2对任意实数x恒成立，所以≥a2＋a＋2.‎ 解不等式≥a2＋a＋2，得－1≤a≤，故a的取值范围为[－1，].‎ 题型一　绝对值不等式的解法 例1　(2015·课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.‎ ‎(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；‎ ‎(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．‎ 解　(1)当a＝1时，‎ f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.‎ 当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；‎ 当－10，解得0，解得1≤x<2.‎ 所以f(x)>1的解集为.‎ ‎(2)由题设可得，f(x)＝ 所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)，‎ ‎△ABC的面积为(a＋1)2.‎ 由题设得(a＋1)2>6，故a>2.‎ 所以a的取值范围为(2，＋∞)．‎ 思维升华　解绝对值不等式的基本方法有 ‎(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；‎ ‎(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；‎ ‎(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解．‎ ‎　(1)(2016·全国乙卷)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.‎ ‎(1)在图中画出y＝f(x)的图象；‎ ‎(2)求不等式|f(x)|>1的解集．‎ 解　(1)f(x)＝ y＝f(x)的图象如图所示．‎ ‎(2)由f(x)的表达式及图象，当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；‎ 当f(x)＝－1时，可得x＝或x＝5，‎ 故f(x)>1的解集为{x|11的解集为.‎ 题型二　利用绝对值不等式求最值 例2　(1)对任意x，y∈R，求|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值．‎ ‎(2)对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，求|x－2y＋1|的最大值．‎ 解　(1)∵x，y∈R，‎ ‎∴|x－1|＋|x|≥|(x－1)－x|＝1，‎ ‎|y－1|＋|y＋1|≥|(y－1)－(y＋1)|＝2，‎ ‎∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥1＋2＝3.‎ ‎∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为3.‎ ‎(2)|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|≤|x－1|＋|2(y－2)＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.‎ 思维升华　求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种 ‎(1)利用绝对值的几何意义．‎ ‎(2)利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥|a|－|b|.‎ ‎(3)利用零点分区间法．‎ ‎　(1)若关于x的不等式|2 014－x|＋|2 015－x|≤d有解，求d的取值范围．‎ ‎(2)(2016·苏州二模)不等式|x＋|≥|a－2|＋sin y对一切非零实数x，y均成立，求实数a的取值范围．‎ 解　(1)∵|2 014－x|＋|2 015－x|≥|2 014－x－2 015＋x|＝1，‎ ‎∴关于x的不等式|2 014－x|＋|2 015－x|≤d有解时，d≥1.‎ ‎(2)∵x＋∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，‎ ‎∴|x＋|∈[2，＋∞)，其最小值为2.‎ 又∵sin y的最大值为1，‎ 故不等式|x＋|≥|a－2|＋sin y恒成立时，‎ 有|a－2|≤1，解得a∈[1,3]．‎ 题型三　绝对值不等式的综合应用 例3　(2016·全国甲卷)已知函数f(x)＝＋，‎ M为不等式f(x)<2的解集．‎ ‎(1)求M；‎ ‎(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|<|1＋ab|.‎ ‎(1)解　f(x)＝ 当x≤－时，由f(x)<2得－2x<2，‎ 解得x>－1，所以－1a对于一切x∈R恒成立，求实数a的取值范围．‎ 解　由绝对值的几何意义知：|x－4|＋|x＋5|≥9，则log3(|x－4|＋|x＋5|)≥2，所以要使不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)>a对于一切x∈R恒成立，则需a<2.‎ ‎3．(2016·无锡模拟)对于任意实数a，b，已知|a－b|≤1，|2a－1|≤1，且恒有|4a－3b＋2|≤m，求实数m的取值范围．‎ 解　因为|a－b|≤1，|2a－1|≤1，‎ 所以|3a－3b|≤3，|a－|≤，‎ 所以|4a－3b＋2|＝|(3a－3b)＋(a－)＋|‎ ‎≤|3a－3b|＋|a－|＋≤3＋＋＝6，‎ 即|4a－3b＋2|的最大值为6，‎ 所以m≥|4a－3b＋2|max＝6.‎ ‎4．已知f(x)＝|x－3|，g(x)＝－|x－7|＋m，若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，求m的取值范围．‎ 解　由题意，可得不等式|x－3|＋|x－7|－m>0恒成立，即(|x－3|＋|x－7|)min>m，由于x轴上的点到点(3,0)和点(7,0)的距离之和的最小值为4，所以要使不等式恒成立，则m<4.‎ ‎5．(2016·常州模拟)求不等式|x＋3|－|2x－1|<＋1的解集．‎ 解　①当x<－3时，原不等式化为－(x＋3)－(1－2x)<＋1，解得x<10，∴x<－3.‎ ‎②当－3≤x<时，原不等式化为(x＋3)－(1－2x)<＋1，解得x<－，∴－3≤x<－.‎ ‎③当x≥时，原不等式化为(x＋3)－(2x－1)<＋1，‎ 解得x>2，∴x>2.‎ 综上可知，原不等式的解集为.‎ ‎6．(2016·盐城模拟)已知关于x的不等式|2x－m|≤1的整数解有且仅有一个值为2，求关于x的不等式|x－1|＋|x－3|≥m的解集．‎ 解　由不等式|2x－m|≤1，可得≤x≤，‎ ‎∵不等式的整数解为2，‎ ‎∴≤2≤，解得3≤m≤5.‎ 再由不等式仅有一个整数解2，∴m＝4.‎ 本题即解不等式|x－1|＋|x－3|≥4，‎ 当x<1时，不等式等价于1－x＋3－x≥4，‎ 解得x≤0，不等式解集为{x|x≤0}．‎ 当1≤x≤3时，不等式等价于x－1＋3－x≥4，‎ 解得x∈∅，不等式解集为∅.‎ 当x>3时，不等式等价于x－1＋x－3≥4，‎ 解得x≥4，不等式解集为{x|x≥4}．‎ 综上，原不等式解集为(－∞，0]∪[4，＋∞)．‎ ‎7．设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|.‎ ‎(1)解不等式f(x)＞2；‎ ‎(2)求函数y＝f(x)的最小值．‎ 解　(1)方法一　令2x＋1＝0，x－4＝0分别得x＝－，x＝4.原不等式可化为：‎ 或或 ‎∴原不等式的解集为.‎ 方法二　f(x)＝|2x＋1|－|x－4|‎ ‎＝ 画出f(x)的图象，如图所示．‎ 求得y＝2与f(x)图象的交点为(－7,2)，.‎ 由图象知f(x)＞2的解集为.‎ ‎(2)由(1)的方法二知：f(x)min＝－.‎ ‎8．(2016·苏州模拟)已知函数f(x)＝|x＋3|－|x－2|.‎ ‎(1)求不等式f(x)≥3的解集；‎ ‎(2)若f(x)≥|a－4|有解，求a的取值范围．‎ 解　(1)f(x)＝|x＋3|－|x－2|≥3，‎ 当x≥2时，有x＋3－(x－2)≥3，解得x≥2；‎ 当x≤－3时，－x－3＋(x－2)≥3，解得x∈∅；‎ 当－3－1，且当x∈时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．‎ 解　(1)当a＝－2时，不等式f(x)－1，则－<，‎ ‎∴f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|‎ ‎＝ 当x∈时，f(x)＝a＋1，‎ 即a＋1≤x＋3在x∈上恒成立．‎ ‎∴a＋1≤－＋3，即a≤，‎ ‎∴a的取值范围为.‎
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