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文档介绍
2012 广东各地 高考二模 理数打包二
2012广东各地二模 理数 打包 肇庆 深圳 湛江 韶关 韶关市2012届高三模拟考试数学试题 数学试题（理科） 本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回. 参考公式:锥体的体积公式，其中S为锥体的底面面积，为锥体的高. 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.若复数是纯虚数，则实数的值是（ ） A. B. C. D. 或 2．已知集合R,Z,则（ ） A. (0,2) B. [0,2] C. {0, 2} D. {0,1,2} 3．设，则的大小关系是（C ） A. B. C. D. 4．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为. A. B. C D. 图1 5．设向量，，则下列结论正确的是 ( ) A. B. C. ∥ D. 与垂直 6．执行如图1所示的程序框图后，输出的值为，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 7. 下列四个判断： ①某校高三一班和高三二班的人数分别是 ，某次测试数学平均分分别是，则这两个班的数学平均分为； ②名工人某天生产同一零件，生产的件数是设其平均数为,中位数为,众数为，则有； ③从总体中抽取的样本，则回归直线=必过点（） ④已知服从正态分布,，且，则 其中正确的个数有： （ ） A．个 B． 个 C． 个 D．个 8. 定义符号函数，设 ，，其中=, =, 若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题:本大共7小题,考生作答6小题,每小题5分，满分30分. (一)必做题(9～13题) 9．. 已知是单位圆上的点，且点在第二象限，点是此圆与x轴正半轴的交点，记, 若点的纵坐标为．则_____________; _______________. 10．以抛物线的焦点为圆心，且被轴截得的弦长等于的圆的方程为__________________. 11．从如图所示的长方形区域内任取一个点，则点取自阴影部分的概率为. 12．已知满足约束条件，则的最小值是_________. 13.设，若不等式对任意实数恒成立，则取值集合是_______________________. (二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题) 14．（几何证明选讲选做题） 如图，是圆的直径，，,则 ; 15．(坐标系与参数方程选做题) 已知直线方程是为参数），,以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，则圆上的点到直线的距离最小值是 三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分12分) 已知等比数列的前项和为， ，且，，成等差数列. （1）求数列通项公式； （2）设，求数列前项和． 17．(本小题满分14分) 有一个3×4×5的长方体, 它的六个面上均涂上颜色. 现将这个长方体锯成60个1×1×1的小正方体，从这些小正方体中随机地任取1个，设小正方体涂上颜色的面数为. （１）求的概率； （２）求的分布列和数学期望. 18．(本小题满分14分) O A B D C M N A B D C M N O 如图5(1)中矩形中，已知，, 分别为和的中点，对角线与交于点，沿把矩形折起，使平面与平面所成角为，如图5(2). （1） 求证：； （2） 求与平面所成角的正弦值. 19．(本小题满分12分) 在中，三个内角，，的对边分别为，，，其中， 且 图6 (1)求证：是直角三角形； (2)如图6，设圆过三点，点位于劣弧上，求面积最大值. 20.(本小题满分14分) 在直角坐标系中，动点与定点的距离和它到定直线的距离之比是，设动点的轨迹为，是动圆上一点. （1）求动点的轨迹的方程； （2）设曲线上的三点与点的距离成等差数列，若线段的垂直平分线与轴的交点为，求直线的斜率； （3）若直线与和动圆均只有一个公共点，求、两点的距离的最大值. 21．(本小题满分14分) 已知函数，当时，函数取得极大值. （１）求实数的值； （２）已知结论：若函数在区间内导数都存在，且，则存在，使得.试用这个结论证明：若，函数，则对任意，都有； （３）已知正数，满足，求证：当，时，对任意大于，且互不相等的实数，都有. 2012届高考模拟测试数学试题(理科) 参考答案和评分标准 一．选择题：CACBD ABB 二填空题：9. （2分）（3分） 10. 11. 12. 13. 14. 15. 三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本题满分14分) 解：（1）设数列的公比为，……………1分 若，则，，，故，与已知矛盾，故，………………………………………………2分 从而得，………………………………………………4分 由，，成等差数列，得， 即， 解得……………………………………………5分 所以.………………………………………………6分 （2）由（１）得，，………………………………7分 所以 ………………………………10分 ……………………………12分 17．(本题满分12分) （１）60个1×1×1的小正方体中，没有涂上颜色的有6个， … （3分） （２）由（1）可知 ；；； … （7分） 分布列 0 1 2 3 p … （10分） E=0×+1×+2×+3×= …（12分） A B D C M N O O A B D C M N 18(本题满分14分) 解：（1）由题设，M，N是矩形的边AD和BC的中点，所以AMMN, BCMN, 折叠垂直关系不变，所以∠AMD 是平面与平面的平面角，依题意，所以∠AMD=60o， ………………………………………………………………………………………………………２分 由AM=DM，可知△MAD是正三角形，所以AD=，在矩形ABCD中，AB=2,AD=,所以，BD=，由题可知BO=OD=，由勾股定理可知三角形BOD是直角三角形，所以BO⊥DO ……………………………………………………………………………………… 5分 解（２）设E，F是BD，CD的中点，则EFCD, OFCD, 所以，CD面OEF, 又BO=OD，所以BD, 面ABCD, 面, 平面BOD⊥平面ABCD 过A作AH⊥BD，由面面垂直的性质定理,可得AH⊥平面BOD，连结OH ，…………………… 8分 所以OH是AO在平面BOD的投影，所以∠AOH为所求的角,即AO与平面BOD 所成角。……………………11分 A B D C M N O H AH是RT△ABD斜边上的高，所以AH=，BO=OD=， 所以sin∠AOH=（14分） 方法二：空间向量：取MD，NC中点P，Q，如图建系， … Q（0，0，0），B（，0，0），D（0，，2），O（0，，1） A B D C M N O P Q 所以（，，1），（0，， 所以0，即BO⊥DO（5分） （2）设平面BOD的法向量是，可得+=0 =0，令可得所以 又（，，， 设AO与平面BOD所成角为 =（14分） 19．(本题满分14分) (1)证明：由正弦定理得，…………………………………2分 整理为，即 ………………………3分 又因为 ∴或，即或……………6分 ∵， ∴舍去，故 由可知，∴是直角三角形……………6分 (2)由(1)及，得，， ……………7分 设，则， ……………8分 在中， 所以 ……………10分 ………………………12分 因为所以， 当，即时，最大值等于.…………………………………14分 20．(本题满分14分) 解：（1）由已知，得，…………………………1分. 将两边平方，并化简得， …………………………3分. 故轨迹的方程是。 ………………4分. （2）由已知可得，，， 因为，所以， 即得， ① …………………………5分. 故线段的中点为，其垂直平分线方程为， ② …………………………6分. 因为在椭圆上，故有，，两式相减， 得： ③ 将①代入③，化简得， ④ ………………………7分. 将④代入②，并令得，，即的坐标为。………………………8分. 所以. ………………………9分. 设、，直线的方程为 因为既在椭圆上又在直线上，从而有 将（1）代入（2）得 ………10分. 由于直线与椭圆相切，故 从而可得， （3） 同理，由既在圆上又在直线上，可得 ， （4）……………………12分 由（3）、（4）得， 所以 …………………………13分. 即，当且仅当时取等号， 故、两点的距离的最大值. …………………………14分. 21．(本题满分14分) 解：（１）. 由，得，此时. 当时，，函数在区间上单调递增； 当时，，函数在区间上单调递减. 函数在处取得极大值，故.…………………………3分 （２）令，…………………4分 则. 函数在上可导，存在， 使得. ， 当时，，单调递增，； 当时，，单调递减，； 故对任意，都有.…………………………8分 （３）用数学归纳法证明. ①当时，，且，， ，由（Ⅱ）得，即 ， 当时，结论成立. …………………………9分 ②假设当时结论成立，即当时，. 当时，设正数满足，令，， 则，且. …………………………13分 当时，结论也成立. 综上由①②，对任意，，结论恒成立. …………………………14分 肇庆市中小学教学质量评估 2012届高中毕业班第二次模拟试题 数 学（理科） 注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题 卡的密封线内. 2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 本试卷共4页，21小题，满分150分. 考试用时120分钟. 1．参考公式：锥体的体积公式其中S为锥体的底面积，为锥体的高 球的表面积公式，体积公式其中为球的半径 2．样本数据的样本方差，其中为样本平均数． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设（是虚数单位），则 A． B． C． D． 2．若集合，则集合 A. B. C. D. R 3．已知ABCD中，，，对角线AC与BD交于点O，则 的坐标为 A. B. C. D. 4．给出以下三幅统计图及四个命题： ①从折线统计图能看出世界人口的变化情况；②2050年非洲人口大约将达到15亿；③2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多；④从1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢. 其中命题正确的是 A．①② B．①③ C. ①④ D．②④ 5. “是锐角”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6. 已知某几何体的三视图如图1所示，则该几何体的体积为 A. B. C. D. 7. 已知，，规定：当时, ；当时, ，则 A. 有最小值,最大值1 B. 有最大值1,无最小值 C. 有最小值,无最大值 D. 有最大值,无最小值 8．若对于定义在上的函数，其函数图象是连续的，且存在常数（），使得对任意的实数x成立，则称是“同伴函数”．下列关于“同伴函数”的叙述中正确的是 A．“同伴函数”至少有一个零点 B. 是一个“同伴函数” C. 是一个“同伴函数” D. 是唯一一个常值“同伴函数” 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。 (一）必做题（9-13题） 9．不等式的解集是 ▲ . 10．在数列，，，要计算此数列前30项的和，现已给出了该问题算法的程序框图（如图2所示），请在图中判断框内（1）处和执行框中的（2）处填上合适的语句，使之能完成该题算法功能. （1） ▲ （2） ▲ 11．某车间在三天内，每天生产10件某产品，其中第一天，第二天分别生产出了1件、件次品，而质检部每天要从生产的10件产品中随意抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过. 则第一天通过检查的概率是 ▲ ；若的第三项的二项式系数为5n，则第二天通过检查的概率 ▲ . 12．曲线的切线中，斜率最小的切线方程为_ ▲_. 13．若点P在直线上，过点P的直线与圆只有一个公共点M，且的最小值为4，则 ▲ ． （ ） ▲ 14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线与（）的交点的极坐标为 ▲ 15.（几何证明选讲选做题）如图3，AB的延长线上任取一点C，过C作圆的切线CD，切点为D，的平分线交AD于E,则 ▲ . 三、解答题:本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分） 如图4，某测量人员，为了测量西江北岸不能到达的两点A，B之间的距离，她在西江南岸找到一个点C，从C点可以观察到点A，B；找到一个点D，从D点可以观察到点A，C；找到一个点E，从E 点可以观察到点B，C；并测量得到数据：，，， ，，DC=CE=1（百米）. （1）求DCDE的面积； （2）求A，B之间的距离. 17.（本小题满分12分） “肇实，正名芡实，因肇庆所产之芡实颗粒大、药力强，故名。”某科研所为进一步改良肇实，为此对肇实的两个品种（分别称为品种A和品种B）进行试验．选取两大片水塘，每大片水塘分成n小片水塘，在总共2n小片水塘中，随机选n小片水塘种植品种A，另外n小片水塘种植品种B． （1）假设n=4，在第一大片水塘中，种植品种A的小片水塘的数目记为，求的分布列和数学期望； （2）试验时每大片水塘分成8小片，即n=8，试验结束后得到品种A和品种B在每个小片水塘上的每亩产量（单位：kg/亩）如下表： 号码 1 2 3 4 5 6 7 8 品种A 101 97 92 103 91 100 110 106 品种B 115 107 112 108 111 120 110 113 分别求品种A和品种B的每亩产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？ 18.（本小题满分14分） 如图5，AB是圆柱ABFG的母线，C是点A关于点B对称的点，O是圆柱上底面的圆心，BF过O点，DE是过O点的动直径，且AB=2，BF=2AB. （1）求证：BE⊥平面ACD； （2）当三棱锥D—BCE的体积最大时，求二面角C—DE—A的平面角的余弦值. 19.（本题满分14分） 数列的前n项和记为Sn，，点（Sn，）在直线上，n∈N*． （1）若数列是等比数列，求实数t的值； （2）设，在（1）的条件下，求数列的前n项和； （3）设各项均不为0的数列中，所有满足的整数i的个数称为这个数列的“积异号数”，令（），在（2）的条件下，求数列的“积异号数”. 20.（本小题满分14分） 已知点P是圆F1：上任意一点，点F2与点F1关于原点对称. 线段PF2的中垂线与PF1交于M点． （1）求点M的轨迹C的方程； （2）设轨迹C与x轴的两个左右交点分别为A，B，点K是轨迹C上异于A，B的任意一点，KH⊥x轴，H为垂足，延长HK到点Q使得HK=KQ，连结AQ延长交过B且垂直于x轴的直线l于点D，N为DB的中点．试判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系． 21．（本小题满分14分） 设函数的图象与直线相切于． （1）求在区间上的最大值与最小值； （2）是否存在两个不等正数，当时，函数的值域是，若存在，求出所有这样的正数；若不存在，请说明理由； 2012届高中毕业班第二次模拟试题 数 学（理科）参考答案 一、选择题 1B解析： 2C解析：因为， 3D解析：如图所示，=(－2，3)+(3，7)=(1，10). ∴==(，5).∴=(，－5). 4B解析：①显然正确;从条形统计图中可得到：2050年非洲人口大约将达到近18亿，②错;从扇形统计图中能够明显的得到结论:2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多,③正确;由上述三幅统计图并不能得出从1957年到2050年中哪个洲人口增长速度最慢，故④错误． 5A解析：是锐角则有，但时，不一定是锐角。 6A解析：由三视图可知，几何体是底部是一底面对角线长为的正方形，高为4的长方体，上部为一球，球的直径等于正方形的边长。设正方形的边长为，则，即，所以，长方体的体积为,球的体积为 故几何体的体积为. 7C解析：画出与的图象,它们交于A、B两点.由“规定”，在A、B两侧, 故；在A、B之间, ,故. 综上可知, 的图象是图中的实线部分,因此有最小值-1,无最大值. 8A解析: A正确，令，得．所以．若，显然有实数根；若，．又因为的函数图象是连续不断，所以在上必有实数根．因此任意的“同伴函数”必有根，即任意“同伴函数”至少有一个零点． B错误．用反证法，假设是一个“同伴函数”，则，即对任意实数x成立，所以，而此式无解，所以不是一个“同伴函数”． C错误.因为的定义域不是R. D错误，设是一个“同伴函数”，则，当时，可以取遍实数集，因此不是唯一一个常值“同伴函数”． 二、填空题 9解析： 当时，有得，无解. 当时，有，，∴. 当时，有，即6>3，∴.综上，有. 10．（1）处应填（3分）；（2）处应填（2分） 解析：该算法使用了循环结构，因为是求30个数的和，故循环体应执行30次，其中i是计数变量，因此判断框内的条件就是限制计数变量i的，故应为.算法中的变量p实质是表示参与求和的各个数，由于它也是变化的，且满足第i个数比其前一个数大，,第个数比其前一个数大i，故应有.故(1)处应填；（2）处应填 11解析：（3分），（2分） （1）随意抽取4件产品检查是随机事件，而第一天有9件正品，第一天通过检查的概率为.（2）由第三项的二项式系数为，故第二天通过检查的概率为. 12解析：. . 当时，；当时，. ∴切线方程为，即. 13解析：. 画出图形，由题意l2与圆C只一个交点，说明是圆C的切线，由于，所以要最小，只需最小，即点C到的距离，所以|PM|的最小值为，解得． 14解析1：由或（舍去）得 解析2：由，因为，所以，故交点的极坐标为 15解析：连接，与相交于点，设， ,，， ，，而，45°. 三、解答题 16．（本小题满分12分） 解：（1）连结DE，在DCDE中，， （1分） （平方百米） （4分） （2）依题意知，在RTDACD中， （5分） 在DBCE中， 由正弦定理 （6分） 得 （7分） ∵ （8分） （9分） 在DABC中，由余弦定理 （10分） 可得 （11分） ∴（百米） （12分） 17．（本小题满分12分） 解：（1）可能的取值为0，1，2，3，4. （1分） ，，， ， 即的分布列为 0 1 2 3 4 P （4分） 的数学期望为 （6分） （2）品种A的每亩产量的样本平均数和样本方差分别为： （7分） （8分） 品种B的每亩产量的样本平均数和样本方差分别为： （9分） （10分） 由以上结果可以看出，品种B的样本平均数大于品种A的样本平均数，且品种B的样本方差小于品种A，故应该选择种植品种B. （12分） 18．（本小题满分14分） （1）证明：是圆柱的母线，是点关于点对称的点， ∴垂直圆柱的底面，即平面， （1分） ∵平面，∴ （2分） ∵是圆柱上底面的直径，∴ （3分） ∵平面，平面，且 （4分） ∴BE⊥平面 （5分） （2）解：是圆O的直径，∴是直角， 设,在直角三角形中，，（6分） ， （8分） 当且仅当，即时“”成立， （9分） ∵三棱锥的体积等于三棱锥的体积，而三棱锥的高， ∴三角形的面积最大时，三棱锥的体积也最大， 此时，，即三角形是等腰直角三角形 （10分） ∴ ∵，∴平面 （11分） 连结CO，AO， 从而有，∴是二面角的平面角 （12分） 在三角形中， 又，，∴ 同理可得，∴ （13分） ，即二面角的平面角的余弦值为. （14分） （若考生用其它方法进行解答，可参照上面的评分标准给分） 19．（本小题满分14分） 解：（1）由题意，当时，有， （1分） 两式相减，得， （2分） 所以，当时，是等比数列，要使时是等比数列， 则只需，从而得出． （4分） （2）由（1）得，等比数列的首项为，公比，∴ （5分） ∴ （6分） ∴ ① （7分） 上式两边乘以3得 ② （8分） ①－②得 （9分） ∴ （10分） （3） 由（2）知，∵ ∵，，∴ （11分） ∵， ∴数列递增. （12分） 由，得当时，cn>0. （13分） ∴数列的“积异号数”为1. （14分） 20．（本小题满分14分） 解：（1）由题意得， （1分） 圆的半径为4，且 （2分） 从而 （3分） ∴ 点M的轨迹是以为焦点的椭圆,其中长轴,焦距， 则短半轴， （4分） 椭圆方程为: （5分） （2）设，则． ∵，∴．∴ （6分） ∴点在以为圆心，2为半径的的圆上．即点在以为直径的圆上．(7分) 又，∴直线的方程为． (8分) 令，得． (9分) 又，为的中点，∴． (10分) ∴，． (11分) ∴ ． (13分) ∴．∴直线与圆相切. (14分) 21．（本小题满分14分） 解：（1）， （1分） 依题意则有：，即 解得 （2分） ∴ 令，解得或 （3分） 当变化时，在区间上的变化情况如下表： 1 3 4 + 0 － 0 + 单调递增 4 单调递减 0 单调递增 4 所以函数在区间上的最大值是4，最小值是0. （4分） （2）由函数的定义域是正数知，，故极值点不在区间上； （5分） ①若极值点在区间，此时，在此区间上的最大值是4，不可能等于；故在区间上没有极值点； （7分） ②若在上单调增，即或， 则，即，解得不合要求； （10分） ③若在上单调减，即1查看更多