数学高考试题模拟新题分类汇编专题N 选修系列文科

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N 选修4系列 N1 选修4-1 几何证明选讲 ‎22．N1[2012·辽宁卷] ‎ 如图1－8，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连结DB并延长交⊙O于点E，证明：‎ ‎(1)AC·BD＝AD·AB；‎ ‎(2)AC＝AE.‎ 图1－8‎ ‎22．证明：(1)由AC与⊙O′相切于A，得 ‎∠CAB＝∠ADB，‎ 同理∠ACB＝∠DAB，‎ 所以△ACB∽△DAB.从而＝，‎ 即AC·BD＝AD·AB.‎ ‎(2)由AD与⊙O相切于A，得 ‎∠AED＝∠BAD，‎ 又∠ADE＝∠BDA，得 ‎△EAD∽△ABD.从而 ＝，‎ 即AE·BD＝AD·AB.‎ 结合(1)的结论，得AC＝AE.‎ ‎22．N1[2012·课标全国卷]如图1－5，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点．若CF∥AB，证明：‎ ‎(1)CD＝BC；‎ ‎(2)△BCD∽△GBD.‎ 图1－5‎ ‎22．证明：(1)因为D，E分别为AB，AC的中点，‎ 所以DE∥BC.‎ 又已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD＝AD.而CF∥AD，连结AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CD＝AF.‎ 因为CF∥AB，所以BC＝AF，故CD＝BC.‎ ‎(2)因为FG∥BC，故GB＝CF.‎ 由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD.‎ 而∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，故△BCD∽△GBD.‎ ‎12．N1[2012·全国卷] 正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝.动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为(　　)‎ A．8 B．‎6 C．4 D．3‎ ‎12．B　[解析] 本小题主要考查反射原理及三角形相似知识的应用，解题的突破口为确定反射后点P的位置．‎ 结合点E、F的位置进行作图推理，利用反射过程中平行直线及相似三角形作图可得点P回到E点时与正方形的边碰撞次数为6次，故选B.‎ ‎15．N1[2012·广东卷] (几何证明选讲选做题)如图1－3所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA＝∠DBA.若AD＝m，AC＝n，则AB＝________.‎ 图1－3‎ ‎15.　[解析] 本题考查弦切角定理以及三角形相似知识，解决本题的突破口是利用弦切角定理得到∠PBA＝∠ACB，再利用三角形相似求出．因为PB是圆的切线，所以∠PBA＝∠ACB.又因为∠PBA＝∠DBA，所以∠DBA＝∠ACB.又因为∠A＝∠A，所以△ABD∽△ACB，所以＝，所以AB2＝AD×AC＝mn，所以AB＝.‎ ‎21 A‎．N1 [2012·江苏卷]如图1－7，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，使BD＝DC，连结AC，AE，DE.‎ 求证：∠E＝∠C.‎ 图1－7‎ ‎21A‎.证明：如图，连结OD，因为BD＝DC，O为AB的中点，‎ 所以OD∥AC，于是∠ODB＝∠C.‎ 因为OB＝OD，所以∠ODB＝∠B.于是∠B＝∠C.‎ 因为点A，E，B，D都在圆O上，且D，E为圆O上位于AB异侧的两点，所以∠E和∠B为同弧所对的圆周角，‎ 故∠E＝∠B.所以∠E＝∠C.‎ ‎15 B. N1[2012·陕西卷]如图1－6，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB＝6，AE＝1，则DF·DB＝________.‎ 图1－6‎ ‎15B：5　[解析] 本题考查了射影定理的知识，解题的突破口是找出直角三角形内的射影定理．连接AD，在Rt△ABD中，DE⊥AB，所以DE2＝AE×EB＝5，在Rt△EBD中，EF⊥DB，所以DE2＝DF×DB＝5.‎ ‎13．N1[2012·天津卷] 如图1－3所示，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF＝3，FB＝1，EF＝，则线段CD的长为________．‎ 图1－3‎ ‎13.　[解析] 由相交弦的性质可得AF×FB＝EF×FC，‎ ‎∴FC＝＝＝2，‎ 又∵FC∥BD，∴＝＝＝，即BD＝，‎ 由切割线定理得BD2＝DA×DC＝4DC2，解之得DC＝.‎ N2 选修4-2 矩阵 ‎21 B．N2 [2012·江苏卷]已知矩阵A的逆矩阵A－1＝，求矩阵A的特征值．‎ ‎21 B．解：因为A－‎1A＝E，所以A＝(A－1)－1.‎ 因为A－1＝，所以A＝(A－1)－1＝，‎ 于是矩阵A的特征多项式为f(λ)＝＝λ2－3λ－4.‎ 令f(λ)＝0，解得A的特征值λ1＝－1，λ2＝4.‎ ‎3．C3、N2[2012·上海卷] 函数f(x)＝的最小正周期是________．‎ ‎3．π　[解析] 考查二阶矩阵和三角函数的值域，以矩阵为载体，实为考查三角函数的性质，易错点是三角函数的化简．‎ f(x)＝sinxcosx＋2＝sin2x＋2，由三角函数周期公式得，T＝＝π.‎ N3 选修4-4 参数与参数方程 ‎23．N3[2012·辽宁卷]在直角坐标系xOy中，圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：(x－2)2＋y2＝4.‎ ‎(1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标(用极坐标表示)；‎ ‎(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程．‎ ‎23．解：(1)圆C1的极坐标方程为ρ＝2，‎ 圆C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ.‎ 解得ρ＝2，θ＝±，‎ 故圆C1与圆C2交点的坐标为，.‎ 注：极坐标系下点的表示不唯一．‎ ‎(2)(解法一)‎ 由得圆C1与C2交点的直角坐标分别为(1，)，(1，－)．‎ 故圆C1与C2的公共弦的参数方程为－≤t≤.‎ ‎(或参数方程写成　－≤y≤)‎ ‎(解法二)‎ 在直角坐标系下求得弦C‎1C2的方程为 x＝1(－≤y≤)．‎ 将x＝1代入得ρcosθ＝1，‎ 从而ρ＝.‎ 于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为 ‎－≤θ≤.‎ ‎23．N3[2012·课标全国卷]已知曲线C1的参数方程是(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为.‎ ‎(1)求点A，B，C，D的直角坐标；‎ ‎(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围．‎ ‎23．解：(1)由已知可得 A，‎ B，‎ C，‎ D，‎ 即A(1，)，B(－，1)，C(－1，－)，D(，－1)．‎ ‎(2)设P(2cosφ，3sinφ)，令S＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2，则 S＝16cos2φ＋36sin2φ＋16‎ ‎＝32＋20sin2φ.‎ 因为0≤sin2φ≤1，所以S的取值范围是[32,52]．‎ ‎21 C‎．N3[2012·江苏卷]在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．‎ ‎21C‎．解：在ρsin＝－中令θ＝0，得ρ＝1，‎ 所以圆C的圆心坐标为(1,0)．‎ 因为圆C经过点P，‎ 所以圆C的半径PC＝＝1，‎ 于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.‎ ‎10．N3[2012·湖南卷] 在极坐标系中，曲线C1：ρ(cosθ＋sinθ)＝1与曲线C2：ρ＝a(a＞0)的一个交点在极轴上，则a＝________.‎ ‎10.　[解析] 本题考查直线与圆的极坐标方程，具体的解题思路和过程：把直线与圆的极坐标方程转化为普通方程，求出直线与坐标轴的交点代入圆方程求解．‎ 直线方程为x＋y－1＝0，与x轴的交点为，圆的方程为x2＋y2＝a2，把交点代入得2＋02＝a2，又a>0，所以a＝.‎ ‎[易错点] 本题易错一：不会转化，无法把极坐标方程转化为普通方程；易错二：直线与圆的交点实为直线与x轴的交点，如果不会转化，导致计算加大，多走弯路．‎ ‎14．N3[2012·广东卷] (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为和(t为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为________．‎ ‎14．(2,1)　[解析] 利用方程思想解决，C1化为一般方程为：x2＋y2＝5，C2化为直角坐标方程为：y＝x－1，联立方程组得：即x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2.又由C1中θ的取值范围可知，交点在第一象限，所以交点为(2,1)．‎ ‎15 C‎. N3 [2012·陕西卷]直线2ρcosθ＝1与圆ρ＝2cosθ相交的弦长为________．‎ ‎15C‎：　[解析] 本题考查了极坐标的相关知识，解题的突破口为把极坐标化为直角坐标．由2ρcosθ＝1得2x＝1①，由ρ＝2cosθ得ρ2＝2ρcosθ，即x2＋y2＝2x②，联立①②得y＝±，所以弦长为.‎ N4 选修4-5 不等式选讲 ‎15 A‎．N4 [2012·陕西卷]若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．‎ ‎15．A：－2≤a≤4　[解析] 本题考查了不等式解法的相关知识，解题的突破口是理解不等式的几何意义.＋≤3表示的几何意义是在数轴上一点x到1的距离与到a的距离之和小于或等于3个单位长度，此时我们可以以1为原点找离此点小于或等于3个单位长度的点即为a的取值范围，不难发现－2≤a≤4.‎ ‎24．N4[2012·辽宁卷]已知f(x)＝|ax＋1|(a∈R)，不等式f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}．‎ ‎(1)求a的值；‎ ‎(2)若≤k恒成立，求k的取值范围．‎ ‎24．解：(1)由|ax＋1|≤3得－4≤ax≤2.又f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}，所以当a≤0时，不合题意．‎ 当a>0时，－≤x≤，得 a＝2.‎ ‎(2)记h(x)＝f(x)－‎2f，则h(x)＝ 所以|h(x)|≤1，因此k≥1.‎ ‎21 D．N4 [2012·江苏卷]已知实数x，y满足：|x＋y|＜，|2x－y|＜，求证：|y|＜.‎ ‎21D．证明：因为3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)|≤2|x＋y|＋|2x－y|，‎ 由题设知|x＋y|<，|2x－y|<，从而3|y|<＋＝，‎ 所以|y|<.‎ ‎24．N4[2012·课标全国卷]已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.‎ ‎(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；‎ ‎(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．‎ ‎24．解：(1)当a＝－3时，f(x)＝ 当x≤2时，由f(x)≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；‎ 当21时，不等式的解集为；‎ ‎②当a＝1时，不等式的解集为{x|x＝1}；‎ ‎③当a<1时，不等式的解集为.‎