2015高考高职单招数学模拟试题带答案

2015高考高职单招数学模拟试题带答案

2015 年高考高职单招数学模拟试题 时间 120 分钟 满分 100 分 一、选择题（每题 3 分，共 60 分） 1．已知集合 ， ，那么集合 等于（ ） （A） （B） （C） （D） 2．在等比数列 中，已知 ，那么 等于 (A)6 (B)8 (C)10 (D)16 3．已知向量 ，那么 等于（ ） A.（－1,11） B. （4,7） C.（1,6） D（5,－4） 4．函数 的定义域是（ ） (A) (B) (C) (D) 5．如果直线 与直线 平行，那么 的值为（ ） (A) (B) (C) (D) 6．函数 的图象可以看做是把函数 的图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐 标缩短到原来的 倍而得到，那么 的值为（ ） (A) 4 (B) 2 (C) (D) 7．在函数 ， ， ， 中，奇函数的是（ ） (A) (B) (C) (D) 8． 的值为（ ） (A) (B) (C) (D) 9．不等式 的解集是（ ） A. B. C. D. 10．实数 的值为（ ） (A) 2 (B) 5 (C) 10 (D) 20 11．某城市有大型、中型与小型超市共 1500 个，它们的个数之比为 1：5：9．为调查超市每 日的零售额情况，需通过分层抽样抽取 30 个超市进行调查，那么抽取的小型超市个数为（ ） { }0,1,2M = { }1,4B = A B { }1 { }4 { }2,3 { }1,2,3,4 { }na 1 22, 4a a= = 5a (3,1), ( 2,5)= = −a b 2 +a b 2log ( +1)y x= ( )0,+∞ ( 1,+ )− ∞ 1,+∞（ ） [ )1,− +∞ 3 0x y− = 1 0mx y+ − = m 3− 1 3 − 1 3 3 =siny xω =siny x 1 2 ω 1 2 3 3y x= 2xy = 2logy x= y x= 3y x= 2xy = 2logy x= y x= 11sin 6 π 2 2 − 1 2 − 1 2 2 2 2 3 +2 0x x− < { }2x x > { }>1x x { }1 2x x< < { }1, 2x x x< >或 lg 4+2lg5 (A) 5 (B) 9 (C) 18 (D) 20 12．已知平面 ∥平面 ，直线 平面 ，那么直线 与平面 的关系是( ) A.直线 在平面 内 B.直线 与平面 相交但不垂直 C.直线 与平面 垂直 D.直线 与平面 平行 13．在 中， ， ， ，那么 的值是（ ） A． B． C． D． 14．一个几何体的三视图如右图所示，该几何体的表面积是（ ） A． B． C． D． 15．当 时， 的最小值是（ ） A． 1 B． 2 C． D． 4 16．从数字 1,2,3,4,5 中随机抽取两个数字（不允许重复），那么这两个数字的和是奇数的概率 为（ ） A． B． C． D． 17．当 满足条件 时，目标函数 的最小值是（ ） (A) 2 (B) (C) (D)4 18．已知函数 如果 ，那么实数 的值为（ ） (A) 4 (B) 0 (C) 1 或 4 (D) 1 或－2 19．为改善环境，某城市对污水处理系统进行改造。三年后，城市污水排放量由原来每年排 放 125 万吨降到 27 万吨，那么污水排放量平均每年降低的百分率是（ ） (A) 50% (B) 40% (C) 30% (D) 20% 20.在△ 中， ，那么△ABC 的形状一定是（ ） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 二、填空题（每题 3 分，共 12 分） 21．已知向量 ，且 ，那么实数 的值为 ． 22．右图是甲、乙两名同学在五场篮球比赛中得分情况的茎叶图．那么 ABC α β m ⊂ α m β m β m β m β m β ABC∆ 3a = 2b = 1c = A 2 π 3 π 4 π 6 π 3π 8π 12π 14π >0x 12 2x x + 2 2 4 5 3 5 2 5 1 5 ,x y 1 0 2 6 0 y x y x y ≥  − ≤  + − ≤ z x y= + 2.5 3.5 2 , 0,( ) , 0. x xf x x x = − < ≥ 0( ) 2f x = 0x )BC BA AC AC+ ⋅ = 2| |   （ (2,3), (1, )m= =a b ⊥a b m 甲、乙两人得分的标准差 （填<,>,=） 23 ． 某 程 序 框 图 如 下 图 所 示 ， 该 程 序 运 行 后 输 出 的 的 最 大 值 为 ． 24．数学选修课中，同学们进行节能住房设计， 在分析气候和民俗后，设计出房屋的剖面图（如 图所示）．屋顶所在直线的方程分别是 和 ，为保证采光，竖直窗户的高度设计 为 1m 那么点 A 的横坐标是 ． 三、解答题 25．(7 分)在三棱锥 P-ABC 中，侧棱 PA⊥底面 ABC,AB⊥BC,E,F 分别是 BC,PC 的中点． (I)证明：EF∥平面 PAB; (II)证明：EF⊥BC． 26 ． (7 分 ) 已 知 向 量 ， ， 函 数 ． S甲 S乙 a 1= +32y x 1= +56y x− =(2sin ,2sin )x xa =(cos , sin )x x−b ( )= +1f x ⋅a b 是 否 开始 n=1 =15a 输出 a n=n+1 n>3 结束 A x(m)O y(m) 屋顶 竖直窗户 (I)如果 ，求 的值； (II)如果 ，求 的取值范围． 27．(7 分)已知图 1 是一个边长为 1 的正三角形，三边中点的连线将它分成四个小三角形，去 掉中间的一个小三角形，得到图 2，再对图 2 中剩下的三个小三角形重复前述操作，得到图 3，重复这种操作可以得到一系列图形．记第 个图形中所有剩下的小三角形的面积之和为 ，所以去掉的三角形的周长之和为 ． (I) 试求 ， ； (II) 试求 ， ． 28．(7 分)已知圆 C 的方程是 ． (I) 如果圆 C 与直线 没有公共点，求实数 的取值范围； (II) 如果圆 C 过坐标原点，直线 过点 P(0，) (0≤ ≤2)，且与圆 C 交于 A,B 两点，对于每一 个确定的 ，当△ABC 的面积最大时，记直线 的斜率的平方为 ，试用含 的代数式表示 ， 试求 的最大值． 参考答案 1、B 2、C 3、B 4、B 5、A 6、B 7、A 8、B 9、C 10、A 11、C 12、D 13、B 14、B 15、B 16、B 17、A 18、D 19、B 20、C 21、 ； 22、＞ ；23、45；24、 ； 25、(I)证明：∵E,F 分别是 BC,PC 的中点，∴EF∥PB． ∵EF 平面 PAB, PB 平面 PAB,∴EF∥平面 PAB; (II)证明：在三棱锥 P-ABC 中，∵侧棱 PA⊥底面 ABC,PA⊥BC．∵AB⊥BC, 且 PA∩AB=A,∴BC⊥ 平面 PAB． ∵PB 平面 PAB, ∴BC⊥PB． 由（I）知 EF∥PB,∴EF⊥BC． 26、（I）解：∵ ， ， ∴ ． 1( )= 2f x sin 4x (0, )2x π∈ ( )f x n na nb 4a 4b na nb 2 2+ 2 + =0x y y m− =0y m l a a l u a u u 2 3 − 4.5 ⊄ ⊂ ⊂ =(2sin ,2sin )x xa =(cos , sin )x x−b ( )= +1f x ⋅a b 2=2sin cos 2sin +1x x x− =sin 2 cos2x x+ ∵ ，∴ ，∴ ．∴ ． (II)解：由（I）知 ． ∵ ∴ ∴ ． ∴ 的取值范围为 ． 27、（I）解： ． (II)解：由图易知，后一个图形中剩下的三角形个数是前一个的 3 倍， ∴第 个图形中剩下的三角形个数为 ． 又∵后一个图形中剩下的三角形边长是前一个的 倍， ∴第 个图形中每个剩下的三角形边长是 ，面积是 ． ∴ ． 设第 个图形中所有剩下的小三角形周长为 ，由图可知， ． 因为后一个图形中剩下的三角形边长是前一个的 倍， ∴第 个图形中每个剩下的三角形边长是 ，周长是 ． ∴ ，从而 ． 28、（I）解：由 可得： ．∵ 表示圆， ∴ ，即 ．又∵圆 C 与直线 没有公共点，∴ ，即 ． 综上，实数 的取值范围是 ． (II)解：∵圆 C 过坐标原点， ∴ ．∴圆 C 的方程为 ，圆心 C（0,1），半径为 1． 当 时，直线 经过圆心 C，△ABC 不存在，故 ． 1( )= 2f x 1in 2 cos2 = 2x x+ 11+2sin 2 cos2 = 4x x 1sin 4 = 4x ( )=sin 2 cos2f x x x+ 2 2= 2( sin 2 + cos2 )2 2x x = 2(sin 2 cos +cos2 sin )4 4x x π π = 2 sin (2 + )4x π (0, )2x π∈ 5<2 + <4 4 4x π π π 2 0m− <1m =0y 1 <1m− >0m m 0< <1m =0m 2 2+ 1 =1x y −（ ） =1a l [0,1) (1,2]a∈  由题意可设直线 的方程为 ，△ABC 的面积为 S． 则 S= |CA|·|CB|·sin∠ACB= sin∠ACB．∴当 sin∠ACB 最大时，S 取得最大值． 要使 sin∠ACB= ，只需点 C 到直线 的距离等于 ．即 ． 整理得 ．解得 或 ． ① 当 时 ， sin ∠ ACB 最 大 值 是 1 ． 此 时 ， 即 ． ② 当 时，∠ACB ． ∵ 是 上的减函数，∴当∠ACB 最小时，sin∠ACB 最大． 过 C 作 CD⊥AB 于 D，则∠ACD= ∠ACB．∴当∠ACD 最大时，∠ACB 最小． ∵sin∠CAD= =|CD|,且∠CAD ， ∴当|CD |最大时，sin∠ACD 取得最大值，即∠CAD 最大． ∵|CD|≤|CP|,∴当 CP⊥ 时，|CD|取得最大值|CP|． ∴当△ABC 的面积最大时，直线 的斜率 ．∴ ． 综上所述， ． i） ， ,当 或 时， 取得最大值 1． ii） ， ． 由 i），ii）得 的最大值是 1． l = +y kx a 1 2 1 2 2 π l 2 2 2 | 1| 2= 2+1 a k − 2 2=2( 1) 1 0k a − − ≥ 21 2a ≤ − 21+ 2a ≥ 2 2[0,1 ] [1+ ,2]2 2a∈ −  2 2=2 4 +1k a a− 2=2 4 +1u a a− 2 2(1 ,1) (1,1+ )2 2a∈ −  ( , )2 π π∈ =siny x ( , )2 π π 1 2 |CD| | |CA (0, )2 π∈ l l =0k =0u 2 2 22 4 +1, [0,1 ] [1+ ,2]2 2= 2 20, (1 ,1) (1,1+ )2 2 a a a u a  − ∈ −  ∈ −   2 2[0,1 ] [1+ ,2]2 2a∈ −  2=2 4 +1u a a− 2=2( 1) 1a − − =2a =0a u 2 2(1 ,1) (1,1+ )2 2a∈ −  =0u u