2015数列高考真题总结及答案

2015数列高考真题总结及答案

‎2015《数列》高考真题总结 ‎1．(2015·新课标I卷13)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________.‎ ‎1.【答案】6【解析】∵，∴数列是首项为2，公比为2的等比数列，‎ ‎∴，∴，∴n=6.‎ ‎2．(2015·浙江卷10)已知{an}是等差数列，公差d不为零．若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝__________________，d＝__________________.‎ ‎2.【答案】【解析】由题可得，，故有，又因为，即，所以.‎ ‎3．（2015·安徽卷13）已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于________．‎ ‎3.【答案】27【解析】∵时，‎ ‎∴为首项，为公差的等差数列 ‎∴‎ ‎4．(2015·新课标I卷7)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝(　　)‎ A. B. C．10 D．12‎ 4. ‎【答案】B【解析】∵公差，，∴，解得=‎ ‎，∴，故选B.‎ ‎5．（2015·新课标Ⅱ卷5）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝(　　)‎ A．5 B．7 C．9 D．11‎ ‎5.【答案】A ‎6.（2015·北京卷16）已知等差数列{an}满足a1＋a2＝10，a4－a3＝2.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎ (2)设等比数列{bn}满足b2＝a3，b3＝a7，问：b6与数列{an}的第几项相等？‎ ‎6.【答案】（I）；（II）与数列的第项相等.‎ 试题解析：（Ⅰ）设等差数列的公差为.因为，所以.‎ 又因为，所以，故.所以 .‎ ‎（Ⅱ）设等比数列的公比为.因为，，所以，.‎ 所以.由，得.所以与数列的第项相等.‎ ‎7．(2015四川文科16)设数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差数列．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式.‎ ‎(2)设数列的前n项和为Tn，求Tn. ‎ ‎7.【解析】(Ⅰ) 由已知Sn＝2an－a1，有an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)‎ 即an＝2an－1(n≥2)，从而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1，又因为a1，a2＋1，a3成等差数列 即a1＋a3＝2(a2＋1)，所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2‎ 所以，数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列。故an＝2n.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)得所以Tn＝‎ ‎8.(2015·重庆卷16)已知等差数列{an}满足a3＝2，前3项和S3＝.‎ ‎ (1)求{an}的通项公式；‎ ‎ (2)设等比数列{bn}满足b1＝a1，b4＝a15，求{bn}的前n项和Tn.‎ ‎8.【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）.‎ 试题解析： （1）设的公差为，则由已知条件得 化简得，解得。，故通项公式，即.‎ ‎(2)由（1）得。设的公比为q,则,从而.‎ 故的前n项和 ‎ ‎.‎ ‎9.(2015·浙江卷17)已知数列{an}和{bn}满足a1＝2，b1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，b1＋b2＋b3＋…＋bn＝bn＋1－1(n∈N*)．‎ ‎(1)求an与bn；‎ ‎ (2)记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn.‎ ‎9.【答案】(1)；(2)‎ 试题解析：(1)由，得.‎ 当时，，故.‎ 当时，，整理得，所以.‎ ‎(2)由(1)知，。所以 所以。所以.‎ ‎10．(2015·福建卷17)等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎ (2)设bn＝2an－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值．‎ ‎10.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】（I）设等差数列的公差为．由已知得，‎ 解得．所以．‎ ‎（II）由（I）可得．‎ 所以 ‎．‎ ‎11.（2015·安徽卷18）已知数列{an}是递增的等比数列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎ (2)设Sn为数列{an}的前n项和，bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎11.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） ‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题设可知，又， 可解的或（舍去）‎ 由得公比，故.‎ ‎（Ⅱ），又 所以.‎ ‎12.(2015·天津卷18)已知{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a1＝b1＝1，b2＋b3＝2a3，a5－3b2＝7.‎ ‎(1)求{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎ (2)设cn＝anbn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和．‎ ‎12.【答案】（I）,;（II）‎ 试题解析:（I）设的公比为q,的公差为d,由题意 ,由已知,有 消去d得 解得 ,所以的通项公式为, 的通项公式为.‎ ‎（II）由（I）有 ,设的前n项和为 ,则 ‎ ‎ 两式相减得 所以 .‎ ‎13.(2015·广东卷19)设数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*.已知a1＝1，a2＝，a3＝，且当n≥2时，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1.‎ (1) 求a4的值；‎ ‎ (2)证明：为等比数列；‎ ‎ ‎ ‎（3）求数列{an}的通项公式．‎ ‎13.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）令可得的值；（2）先将（）转化为，再利用等比数列的定义可证是等比数列；（3）先由（2）可得数列的通项公式，再将数列的通项公式转化为数列是等差数列，进而可得数列的通项公式．‎ (2) 试题解析：（1）当时，，即，解得：‎ (3) ‎（2）因为（），所以（），即（），因为，所以，因为，所以数列是以 为首项，公比为的等比数列 (1) ‎（3）由（2）知：数列是以为首项，公比为的等比数列，所以 (2) 即，所以数列是以为首项，公差为的等差数列，所以，即，所以数列的通项公式是 ‎14.(2015·湖北卷19)设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q.已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.‎ ‎(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎ (2)当d>1时，记cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.‎ ‎14. .【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）.‎ ‎15.(2015·湖南卷19)设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝1，a2＝2，且an＋2＝3Sn－Sn＋1＋3，n∈N*.‎ ‎(1)证明：an＋2＝3an；‎ ‎ (2)求Sn.‎ ‎15.【答案】（I）略；(II) ‎ ‎【解析】试题分析：（I）当时，由题可得，，两式子相减可得，即，然后验证当n=1时，命题成立即可； (II)通过求解数列的奇数项与偶数项的和即可得到其对应前n项和的通项公式.‎ 试题解析：（I）由条件，对任意，有，‎ 因而对任意，有，‎ 两式相减，得，即，‎ 又，所以，‎ 故对一切，。‎ ‎（II）由（I）知，，所以，于是数列是首项，公比为3的等比数列，数列是首项，公比为3的等比数列，所以，‎ 于是 ‎ ‎ ‎ 从而，‎ 综上所述，‎ ‎16.（2015·山东卷19）已知数列{an}是首项为正数的等差数列，数列{}的前n项和为.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎ (2)设bn＝(an＋1)·2an，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎16.【答案】（I） (II) ‎ ‎【解析】（I）设数列的公差为，‎ 令得，所以.‎ 令得，所以.‎ 解得，所以 ‎（II）由（I）知所以 所以 两式相减，得 所以 ‎17．（2015·新课标Ⅱ卷9）已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝(　　)‎ A．2 B．1 C. D. ‎17.【答案】C