2014年版高考数学专题目07平面向量的线性运算及其应用考二轮难点解析

2014年版高考数学专题目07平面向量的线性运算及其应用考二轮难点解析

专题07 平面向量的线性运算及其应用-2014年高考数学考纲解读及热点难点试题演练 ‎2014高考对本内容的考查主要有：‎ 平面向量这部分内容在高考中的要求大部分都为B级，只有平面向量的应用为A级要求，平面向量的数量积为C级要求，应特别重视．‎ 试题类型可能是填空题，同时在解答题中经常与三角函数综合考查，构成中档题.‎ ‎ 1．向量的概念 ‎(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0.‎ ‎(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为±.‎ ‎(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．‎ ‎(4)如果直线l的斜率为k，则a＝(1，k)是直线l的一个方向向量．‎ ‎(5)|b|cos〈a，b〉叫做b在向量a方向上的投影．‎ ‎2．两非零向量平行、垂直的充要条件 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，‎ ‎(1)若a∥b⇔a＝λb(λ≠0)；a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.‎ ‎(2)若a⊥b⇔a·b＝0； a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.‎ ‎3．平面向量的性质 ‎(1)若a＝(x，y)，则|a|＝＝.‎ ‎(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ‎|A|＝.‎ ‎(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cos θ＝＝.‎ ‎4．当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易使用错误，向量＝－(其中O为我们所需要的任何一个点)，这个法则就是终点向量减去起点向量．‎ ‎5．根据平行四边形法则，对于非零向量a，b，当|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|a＋b|＝|a－b|等价于向量a，b互相垂直，反之也成立．‎ ‎6．两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线．‎ 考点1、平面向量的线性运算 ‎【例1】 (2013·江苏卷)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．‎ ‎【规律方法】在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作字母，其运算类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比．本例中的第(1)题就是把向量用 ，表示出来，再与题中已知向量关系式进行对比，得出相等关系式，可求相应的系数．‎ ‎【变式探究】 (2013·天津卷)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB的长为________．‎ 考点2、平面向量的数量积 ‎ ‎【例2】已知O，A，B是平面上不共线的三点，设P为线段AB垂直平分线上任意一点，若||＝7，||＝5，则·(－)的值为________．‎ ‎【规律方法】求数量积的最值，一般要先利用向量的线性运算，尽可能将所求向量转化为长度和夹角已知的向量，利用向量的数量积运算建立目标函数，利用函数知识求解最值．‎ ‎【变式探究】 (2013·湖南卷)已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是________．‎ ‎【例1】已知向量m＝(sin x，－1)，n＝(cos x,3)．‎ ‎(1)当m∥n时，求的值；‎ ‎(2)已知在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，c＝2asin(A＋B)，函数f(x)＝(m＋n)·m，求f的取值范围．‎ ‎【规律方法】在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题．在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．‎ ‎【变式探究】 (2013·江苏卷)已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0<β<α<π.‎ ‎(1)若|a－b|＝，求证：a⊥b；‎ ‎(2)设c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值．‎ ‎1．已知向量a＝(2，x)，b＝(x－1,1)，若a∥b，则x的值为________．‎ ‎【解析】由a∥b，得2－x(x－1)＝0，解得x＝2或－1.‎ ‎【答案】2或－1‎ ‎2．已知向量a与b的夹角为120°，|a|＝3，|a＋b|＝则|b| 等于________．‎ ‎【解析】向量a与b的夹角为120°，|a|＝3，|a＋b|＝，‎ 则a·b＝|a||b|·cos 120°＝－|b|，‎ ‎|a＋b|2＝|a|2＋‎2a·b＋|b|2.‎ 所以13＝9－3|b|＋|b|2，则|b|＝－1(舍去)或|b|＝4.‎ ‎【答案】4‎ ‎3．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a与b的夹角为60°，且|a|＝|b|＝1，则向量a与c的夹角为________．‎ ‎4．在△ABC中，已知·＝4，·＝－12，则||＝________.‎ ‎【解析】将·＝4，·＝－12两式相减得·(－)＝2＝16，则||＝4.‎ ‎【答案】4‎ ‎5．(2013·新课标全国Ⅱ卷)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝________.‎ ‎6．(2013·安徽卷改编)在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||＝||＝·＝2，则点集{P|＝λ＋μ，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是________．‎ 因为|λ|＋|μ|≤1，所以＋≤1，当 由可行域可得S0＝×2×＝，所以由对称性可知点P所表示的区域面积S＝4S0＝4.‎ ‎【答案】4 ‎7.如图，在正方形ABCD中，已知AB＝2，M为BC的中点，若N为正方形内(含边界)任意一点，则·的最大值是________．‎ ‎8．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|P＋3P|的最小值为______．‎ ‎9．已知a＝(sin α，sin β)，b＝(cos(α－β)，－1)，c＝(cos(α＋β)，2)，α，β≠kπ＋(k∈Z)．‎ ‎(1)若b∥c，求tan α·tan β的值；‎ ‎(2)求a2＋b·c的值．‎ ‎【解析】解　(1)若b∥c，则2cos(α－β)＋cos(α＋β)＝0，‎ ‎∴3cos αcos β＋sin αsin β＝0，‎ ‎∵α，β≠kπ＋(k∈Z)，∴tan αtan β＝－3.‎ ‎10．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m＝(a，b)，n＝(sin B，sin A)，p＝(b－2，a－2)．‎ ‎(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；‎ ‎(2)若m⊥p，边长c＝2，C＝，求△ABC的面积．‎ ‎11．如图所示，A，B分别是单位圆与x轴、y轴正半轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP＝θ(0<θ<π)，C点坐标为(－2,0)，平行四边形OAQP的面积为S.‎ ‎(1)求O·O＋S的最大值；‎ ‎(2)若CB∥OP，求sin的值．‎ 所以O·O＝1＋cos θ.‎ ‎ ‎