高考数学总复习系列—高中数学必修四

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高考数学总复习系列—高中数学必修四

‎2011高考数学复习必修4‎ 第一章 基本初等函数II 一、基础知识(理解去记)‎ 定义1 角,一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向,则角为正角,若旋转方向为顺时针方向,则角为负角,若不旋转则为零角。角的大小是任意的。‎ 定义2 角度制,把一周角360等分,每一等价为一度,弧度制:把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角的弧长为L,则其弧度数的绝对值|α|=,其中r是圆的半径。‎ 定义3 三角函数,在直角坐标平面内,把角α的顶点放在原点,始边与x轴的正半轴重合,在角的终边上任意取一个不同于原点的点P,设它的坐标为(x,y),到原点的距离为r,则正弦函数sinα=,余弦函数cosα=,正切函数tanα=,余切函数cotα=,正割函数secα=,余割函数cscα=‎ 定理1 同角三角函数的基本关系式:‎ 倒数关系:tanα=,sinα=,cosα=;‎ 商数关系:tanα=;‎ 乘积关系:tanα×cosα=sinα,cotα×sinα=cosα;‎ 平方关系:sin2α+cos2α=1, tan2α+1=sec2α, cot2α+1=csc2α.‎ 定理2 诱导公式(Ⅰ)sin(α+π)=-sinα, cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα, cot(π+α)=cotα;(Ⅱ)sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα, tan(-α)=-tanα, cot(-α)=cotα; (Ⅲ)sin(π-α)=sinα, cos(π-α)=-cosα, tan=(π-α)=-tanα, cot(π-α)=-cotα; (Ⅳ)sin=cosα, cos=sinα, tan=cotα(记法:奇变偶不变,符号看象限)。‎ 定理3(根据图像去记) 正弦函数的性质:根据图象可得y=sinx(x∈R)的性质如下。单调区间:在区间上为增函数,在区间上为减函数,最小正周期为2. 奇偶数. 有界性:当且仅当x=2kx+时,y取最大值1,当且仅当x=3k-时, y取最小值-1。对称性:直线x=k+均为其对称轴,点(k, 0)均为其对称中心,值域为[-1,1]。这里k∈Z.‎ 定理4 (根据图像去记) 余弦函数的性质:根据图象可得y=cosx(x∈R)的性质。单调区间:在区间[2kπ, 2kπ+π]上单调递减,在区间[2kπ-π, 2kπ]上单调递增。最小正周期为2π。奇偶性:偶函数。对称性:直线x=kπ均为其对称轴,点均为其对称中心。有界性:当且仅当x=2kπ时,y取最大值1;当且仅当x=2kπ-π时,y取最小值-1。值域为[-1,1]。这里k∈Z.‎ 定理5 (根据图像去记) 正切函数的性质:由图象知奇函数y=tanx(xkπ+)在开区间(kπ-, kπ+)上为增函数, 最小正周期为π,值域为(-∞,+∞),点(kπ,0),(kπ+,0)均为其对称中心。‎ 定理6 两角和与差的基本关系式:cos(αβ)=cosαcosβsinαsinβ,sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ; tan(αβ)=‎ 定理7 和差化积与积化和差公式:‎ sinα+sinβ=2sincos,sinα-sinβ=2sincos,‎ cosα+cosβ=2coscos, cosα-cosβ=-2sinsin,‎ sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)],cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)],‎ cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)],sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)].‎ 口诀记忆:‎ 积化和差:前系数:“有余为正,无余为负”“前和后差”“同名皆余,异名皆正”“余后为和,正后为差” 和差化积:正弦之和正余弦、正弦之差余正弦、余弦之和得余弦、余弦之差负正弦 定理8 倍角公式(常考):sin2α=2sinαcosα, cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α, ‎ tan2α=‎ 定理9 半角公式:sin=,cos=,‎ tan==‎ 定理10 万能公式: , ,‎ 定理11 ****【必考】辅助角公式:如果a, b是实数且a2+b20,则取始边在x轴正半轴,终边经过点(a, b)的一个角为β,则sinβ=,cosβ=,对任意的角α.‎ asinα+bcosα=sin(α+β).‎ 定理12 正弦定理:在任意△ABC中有,其中a, b, c分别是角A,B,C的对边,R为△ABC外接圆半径。‎ 定理13 余弦定理:在任意△ABC中有a2=b2+c2-2bcosA,其中a,b,c分别是角A,B,C的对边。‎ 定理14 图象之间的关系:y=sinx的图象经上下平移得y=sinx+k的图象;经左右平移得y=sin(x+)的图象(相位变换);纵坐标不变,横坐标变为原来的,得到y=sin()的图象(周期变换);横坐标不变,纵坐标变为原来的A倍,得到y=Asinx的图象(振幅变换);y=Asin(x+)(>0)的图象(周期变换);横坐标不变,纵坐标变为原来的A倍,得到y=Asinx的图象(振幅变换);y=Asin(x+)(, >0)(|A|叫作振幅)的图象向右平移个单位得到y=Asinx的图象。‎ 定义4 函数y=sinx的反函数叫反正弦函数,记作y=arcsinx(x∈[-1, 1]),函数y=cosx(x∈[0, π]) 的反函数叫反余弦函数,记作y=arccosx(x∈[-1, 1]). 函数y=tanx的反函数叫反正切函数。记作y=arctanx(x∈[-∞, +∞]). y=cosx(x∈[0, π])的反函数称为反余切函数,记作y=arccotx(x∈[-∞, +∞]).‎ 定理15 三角方程的解集,如果a∈(-1,1),方程sinx=a的解集是{x|x=nπ+(-1)narcsina, n∈Z}。方程cosx=a的解集是{x|x=2kxarccosa, k∈Z}. 如果a∈R,方程tanx=a的解集是{x|x=kπ+arctana, k∈Z}。恒等式:arcsina+arccosa=;arctana+arccota=.‎ 定理16 若,则sinx-1,所以cos,‎ 所以sin(cosx) ≤0,又00,‎ 所以cos(sinx)>sin(cosx).‎ 若,则因为sinx+cosx=(sinxcos+sincosx)=sin(x+)≤<,‎ 所以0cos(-cosx)=sin(cosx).‎ 综上,当x∈(0,π)时,总有cos(sinx)0,求证:‎ ‎【证明】 若α+β>,则x>0,由α>-β>0得cosαsin(-β)=cosβ, 所以0<<1,‎ 所以 ‎ 若α+β<,则x<0,由0<α<-β<得cosα>cos(-β)=sinβ>0,‎ 所以>1。又01,‎ 所以,得证。‎ 注:以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式,值得注意的是角的讨论。‎ ‎3.最小正周期的确定。‎ 例4 求函数y=sin(2cos|x|)的最小正周期。‎ ‎【解】 首先,T=2π是函数的周期(事实上,因为cos(-x)=cosx,所以co|x|=cosx);其次,当且仅当x=kπ+时,y=0(因为|2cosx|≤2<π),‎ 所以若最小正周期为T0,则T0=mπ, m∈N+,又sin(2cos0)=sin2sin(2cosπ),所以T0=2π。‎ ‎4.三角最值问题。‎ 例5 已知函数y=sinx+,求函数的最大值与最小值。‎ ‎【解法一】 令sinx=,‎ 则有y=‎ 因为,所以,‎ 所以≤1,‎ 所以当,即x=2kπ-(k∈Z)时,ymin=0,‎ 当,即x=2kπ+(k∈Z)时,ymax=2.‎ 例6 设0<<π,求sin的最大值。‎ ‎【解】因为0<<π,所以,所以sin>0, cos>0.‎ 所以sin(1+cos)=2sin·cos2= ≤=‎ 当且仅当2sin2=cos2, 即tan=, =2arctan时,sin(1+cos)取得最大值。‎ 例7 若A,B,C为△ABC三个内角,试求sinA+sinB+sinC的最大值。‎ ‎【解】 因为sinA+sinB=2sincos, ①‎ sinC+sin, ②‎ 又因为,③‎ 由①,②,③得sinA+sinB+sinC+sin≤4sin,‎ 所以sinA+sinB+sinC≤3sin=,‎ 当A=B=C=时,(sinA+sinB+sinC)max=.‎ 注:三角函数的有界性、|sinx|≤1、|cosx|≤1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函数的单调性等是解三角最值的常用手段。‎ ‎5.换元法的使用。‎ 例8 求的值域。‎ ‎【解】 设t=sinx+cosx=‎ 因为 所以 又因为t2=1+2sinxcosx,‎ 所以sinxcosx=,所以,‎ 所以 因为t-1,所以,所以y-1.‎ 所以函数值域为 例9 已知a0=1, an=(n∈N+),求证:an>.‎ ‎【证明】 由题设an>0,令an=tanan, an∈,则 an=‎ 因为,an∈,所以an=,所以an=‎ 又因为a0=tana1=1,所以a0=,所以·。‎ 又因为当0x,所以 注:换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。‎ 另外当x∈时,有tanx>x>sinx,这是个熟知的结论,暂时不证明,学完导数后,证明是很容易的。‎ ‎6.图象变换【常考】:y=sinx(x∈R)与y=Asin(x+)(A, , >0).‎ 由y=sinx的图象向左平移个单位,然后保持横坐标不变,纵坐标变为原来的A倍,然后再保持纵坐标不变,横坐标变为原来的,得到y=Asin(x+)的图象;也可以由y=sinx的图象先保持横坐标不变,纵坐标变为原来的A倍,再保持纵坐标不变,横坐标变为原来的,最后向左平移个单位,得到y=Asin(x+)的图象。‎ 例10 例10 已知f(x)=sin(x+)(>0, 0≤≤π)是R上的偶函数,其图象关于点对称,且在区间上是单调函数,求和的值。‎ ‎【解】 由f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x),所以sin(+)=sin(-x+),所以cossinx=0,对任意x∈R成立。‎ 又0≤≤π,解得=,‎ 因为f(x)图象关于对称,所以=0。‎ 取x=0,得=0,所以sin 所以(k∈Z),即=(2k+1) (k∈Z).‎ 又>0,取k=0时,此时f(x)=sin(2x+)在[0,]上是减函数;‎ 取k=1时,=2,此时f(x)=sin(2x+)在[0,]上是减函数;‎ 取k=2时,≥,此时f(x)=sin(x+)在[0,]上不是单调函数,‎ 综上,=或2。‎ ‎7.三角公式的应用。‎ 例11 已知sin(α-β)=,sin(α+β)=- ,且α-β∈,α+β∈,求sin2α,cos2β的值。‎ ‎【解】 因为α-β∈,所以cos(α-β)=-‎ 又因为α+β∈,所以cos(α+β)=‎ 所以sin2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)=,‎ cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=-1.‎ 例12 已知△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,且,试求的值。‎ ‎【解】 因为A=1200-C,所以cos=cos(600-C),‎ 又由于 ‎=,‎ 所以=0。‎ 解得或。‎ 又>0,所以。‎ 例13 求证:tan20+4cos70.‎ ‎【解】 tan20+4cos70=+4sin20‎ 三、趋近高考(必懂)‎ ‎1.(四川省成都市2010届高三第三次诊断理科)计算cot15°-tan15°的结果是( ) (A) (B) (C)3 (D)2  【答案】D ‎2.(成都2010届高三第三次诊断文科)计算cos45°cos15°-sin45°cos75°的结果是( ) (A) (B) (C) (D)1 【答案】C ‎【解析】cos45°cos15°-sin45°cos75° =cos45°cos15°-sin45°sin15° =cos(45°+15°) =cos60° = 3. (成都2010届高三第三次诊断文科)先把函数f(x)=sinx-cosx的图象按向量a=(,0)平移得到曲线y=g(x),再把曲线y=g(x)上所有点的纵坐标缩短到原来的倍,横坐标保持不变,得到曲线y=h(x),则曲线y=h(x)的函数表达式为( ) ‎ ‎ (A)h(x)=sin(x-) (B)h(x)=sinx (C)h(x)=4sin (x-) (D)h (x)=4sinx 【答案】A ‎【解析】f(x)=2sin(x-), 按向量a=(,0)平移后,得到曲线y=g(x) =2sin(x-) 再把纵坐标缩短到原来的倍,横坐标保持不变,得到曲线y=h(x)=sin(x-) 4. (成都2010届高三第三次诊断理科)已知sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=,则cos2β的值为________________. 【答案】‎ ‎【解析】因为sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα ‎ =sin[(α+β)-α] =sinβ= 于是cos2β=1-2sin22β=1-‎ ‎6.(绵阳2010年4月高三三诊理科试题) (本小题满分12分)已知△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,若A、B、C成等差数列,b=1,记角A=x,a+c=f (x).‎ ‎(Ⅰ)当x∈[,]时,求f (x)的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)若,求sin2x的值.‎ 解:(I)由已知 A、B、C成等差数列,得2B=A+C,‎ ‎∵ 在△ABC中, A+B+C=π,于是解得,.‎ ‎∵ 在△ABC中,,b=1,‎ ‎∴ ‎ ‎,‎ 即 . …………………………………………………………6分 由≤x≤得≤x+≤,于是≤≤2,‎ 即f (x)的取值范围为[,2] . ………………………………………………8分 ‎(Ⅱ)∵,即.‎ ‎∴ . ……………………………………………………9分 若,此时由知x>,这与矛盾.‎ ‎∴ x为锐角,故. ……………………………………………………11分 ‎∴ .……………………………………………………12分 ‎7.(雅安2010届高三第三次诊断性考试理科)‎ ‎(本题满分12分)‎ ‎ 三角形的三内角所对边的长分别为,设向量,‎ ‎,若。‎ ‎(1)求角B的大小;‎ ‎(2)求的取值范围。‎ ‎8.(自贡2010届高三三诊理科试题)(本小题满分12分)‎ ‎ 如图4,已知△ABC中,,∠ABC=120°,∠BAC=,记。‎ ‎ (I)求关于的表达式;‎ ‎ (II)求的值域。‎ 解:(Ⅰ),由正弦定理有: = …………(2分)‎ ‎ ∴ , …………(4分)‎ ‎∴   ‎ ‎  ‎ ‎==  ‎ ‎=      …………(8分)‎ ‎    (Ⅱ)  => ,‎ ‎∴ ∴   ………(12分)‎ ‎9.(南充2010届高三4月月考理科试题)(本小题满分12分) 在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,.‎ ‎(1)求角C的大小;‎ ‎(2)求△ABC的面积.‎ 解:(1)由 ‎ ∴ 4cos2C-4cosC+1=0‎ 解得  ∴ C=60°‎ ‎(2)由余弦定理得C2=a2+b2-2ab cos C 即 7=a2+b2-ab ①‎ 又a+b=5 ∴a2+b2+2ab=25 ②‎ 由①②得ab=6‎ ‎∴ S△ABC=‎ ‎10.(资阳2009—2010学年度高三第三次高考模拟理)(本小题满分12分)‎ 在直角坐标系xOy中,若角α的始边为x轴的非负半轴,终边为射线l:.‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)求的值.‎ 解:(Ⅰ)在终边l上取一点,则, 2分 ‎∴ . 4分 ‎(Ⅱ) 8分 ‎. 12分 ‎11.(四川省攀枝花市2010年4月高三第二次统考文科试题)(12分)在中,‎ 角所对的边分别是,.‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)若,求面积的最大值.‎ 解:(Ⅰ)由余弦定理:‎ ‎(Ⅱ)由 ∵, ‎ ‎∴,从而 故(当且仅当时取等号)‎ ‎12.(成都石室中学2010届高三三诊模拟理科)‎ ‎(12分)‎ 已知中,‎ ‎ (I)求角A的大小;‎ ‎ (II)若BC=3,求周长的取值范围。‎ 解:(I)‎ 得代入已知条件得 ‎,由此得 …………6分 ‎ (II)由上可知:‎ 由正弦定理得:‎ 即得:‎ ‎,‎ 周长的取值范围为 ‎ …………12分5_u.c o*m 第二章 平面向量 一、基础知识(理解去记)‎ 定义1 既有大小又有方向的量,称为向量。画图时用有向线段来表示,线段的长度表示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头,或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量,如a. |a|表示向量的模,模为零的向量称为零向量,规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同,模为1的向量称为单位向量【最近几年常考】。‎ 定义2 方向相同或相反的向量称为平行向量(或共线向量),规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。‎ 定理1 向量的运算,加法满足平行四边形法规,减法满足三角形法则。加法和减法都满足交换律和结合律。‎ 定理2 非零向量a, b共线的充要条件是存在实数0,使得a=f 定理3 平面向量的基本定理,若平面内的向量a, b不共线,则对同一平面内任意向是c,存在唯一一对实数x, y,使得c=xa+yb,其中a, b称为一组基底。‎ 定义3 向量的坐标,在直角坐标系中,取与x轴,y轴方向相同的两个单位向量i, j作为基底,任取一个向量c,由定理3可知存在唯一一组实数x, y,使得c=xi+yi,则(x, y)叫做c坐标。‎ 定义4 向量的数量积,若非零向量a, b的夹角为,则a, b的数量积记作a·b=|a|·|b|cos=|a|·|b|cos,也称内积,其中|b|cos叫做b在a上的投影(注:投影可能为负值)。‎ 定理4 平面向量的坐标运算:若a=(x1, y1), b=(x2, y2),‎ ‎1.a+b=(x1+x2, y1+y2), a-b=(x1-x2, y1-y2),‎ ‎2.λa=(λx1, λy1), a·(b+c)=a·b+a·c,‎ ‎3.a·b=x1x2+y1y2, cos(a, b)=(a, b0),‎ ‎4. a//bx1y2=x2y1, abx1x2+y1y2=0.‎ 定义5 若点P是直线P1P2上异于p1,p2的一点,则存在唯一实数λ,使,λ叫P分所成的比,若O为平面内任意一点,则。由此可得若P1,P,P2的坐标分别为(x1, y1), (x, y), (x2, y2),则 定义6 设F是坐标平面内的一个图形,将F上所有的点按照向量a=(h, k)的方向,平移|a|=个单位得到图形,这一过程叫做平移。设p(x, y)是F上任意一点,平移到上对应的点为,则称为平移公式。‎ 定理5 对于任意向量a=(x1, y1), b=(x2, y2), |a·b|≤|a|·|b|,并且|a+b|≤|a|+|b|.‎ ‎【证明】 因为|a|2·|b|2-|a·b|2=-(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)2≥0,又|a·b|≥0, |a|·|b|≥0,‎ 所以|a|·|b|≥|a·b|.‎ 由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.‎ 注:本定理的两个结论均可推广。1)对n维向量,a=(x1, x2,…,xn),b=(y1, y2, …, yn),同样有|a·b|≤|a|·|b|,化简即为柯西不等式: (x1y1+x2y2+…+xnyn)2≥0,又|a·b|≥0, |a|·|b|≥0,‎ 所以|a|·|b|≥|a·b|.‎ 由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.‎ 注:本定理的两个结论均可推广。1)对n维向量,a=(x1, x2,…,xn), b=(y1, y2, …, yn),同样有|a·b|≤|a|·|b|,化简即为柯西不等式:(x1y1+x2y2+…+xnyn)2。‎ ‎2)对于任意n个向量,a1, a2, …,an,有| a1, a2, …,an|≤| a1|+|a2|+…+|an|。‎ 二、基础例题【必会】‎ ‎1.向量定义和运算法则的运用 例1 设O是正n边形A1A2…An的中心,求证:‎ ‎【证明】 记,若,则将正n边形绕中心O旋转后与原正n边形重合,所以不变,这不可能,所以 例2 给定△ABC,求证:G是△ABC重心的充要条件是 ‎【证明】必要性。如图所示,设各边中点分别为D,E,F,延长AD至P,使DP=GD,则 又因为BC与GP互相平分,‎ 所以BPCG为平行四边形,所以BGPC,所以 所以 充分性。若,延长AG交BC于D,使GP=AG,连结CP,则因为,则,所以GBCP,所以AG平分BC。‎ 同理BG平分CA。‎ 所以G为重心。‎ 例3 在凸四边形ABCD中,P和Q分别为对角线BD和AC的中点,求证:AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2。‎ ‎【证明】 如图所示,结结BQ,QD。‎ 因为,‎ 所以 ‎=·‎ ‎= ①‎ 又因为 同理 , ②‎ ‎, ③‎ 由①,②,③可得 ‎。得证。 ‎ ‎2.证利用定理证明共线 例4 △ABC外心为O,垂心为H,重心为G。求证:O,G,H为共线,且OG:GH=1:‎ ‎【证明】 首先 ‎=‎ 其次设BO交外接圆于另一点E,则连结CE后得CE 又AHBC,所以AH//CE。‎ 又EAAB,CHAB,所以AHCE为平行四边形。‎ 所以 所以,‎ 所以,‎ 所以与共线,所以O,G,H共线。‎ 所以OG:GH=1:2。‎ ‎3.利用数量积证明垂直 例5 给定非零向量a, b. 求证:|a+b|=|a-b|的充要条件是ab.‎ ‎【证明】|a+b|=|a-b|(a+b)2=(a-b)2a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2a·b=0ab.‎ 例6 已知△ABC内接于⊙O,AB=AC,D为AB中点,E为△ACD重心。求证:OECD。‎ ‎【证明】 设,‎ 则,‎ 又,‎ 所以 a·(b-c). (因为|a|2=|b|2=|c|2=|OH|2)‎ 又因为AB=AC,OB=OC,所以OA为BC的中垂线。‎ 所以a·(b-c)=0. 所以OECD。‎ ‎4.向量的坐标运算 例7 已知四边形ABCD是正方形,BE//AC,AC=CE,EC的延长线交BA的延长线于点F,求证:AF=AE。‎ ‎【证明】 如图所示,以CD所在的直线为x轴,以C为原点建立直角坐标系,设正方形边长为1,则A,B坐标分别为(-1,1)和(0,1),设E点的坐标为(x, y),则=(x, y-1), ,因为,所以-x-(y-1)=0.‎ 又因为,所以x2+y2=2.‎ 由①,②解得 所以 设,则。由和共线得 所以,即F,‎ 所以=4+,所以AF=AE。‎ 三、趋近高考【必懂】‎ ‎1.(成都市2010届高三第三次诊断理科)已知向量a=(-3,2),b=(2,1),则|a+2 b|的值为( ) (A)3 (B)7 (C) (D) 【答案】C ‎【解析】因为a+2 b=(1,4) 故|a+2 b|= 2. (绵阳市2010年4月高三三诊理科试题)已知向量a、b不共线,若向量a+λb与b+λa的方向相反,则λ=( C )‎ ‎(A)1 (B)0 (C)-1 (D)±1 ‎ ‎3.(雅安市2010届高三第三次诊断性考试理科)已知为非零向量,函数,则使的图象为关于轴对称的抛物线的一个必要不充分条件 是( C ) ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎4.(资阳市2009—2010学年度高三第三次高考模拟理)已知平面直角坐标系内的点A(1,1),B(2,4),C(-1,3),则 ( B )‎ ‎(A) (B) (C)8 (D)10 ‎ ‎5.(泸州市2010届高三第二次教学质量 诊断性考试理科)如图:正六边形中,下列命题错误的是( C )‎ A. ‎ ‎ B. ‎ C. ‎ D.‎ ‎6.(四川省攀枝花市2010年4月高三第二次统考文科试题)已知,则向量与向量的夹角是( C )‎ A.   B.       C.    D. ‎ ‎7. (成都市石室中学2010届高三三诊模拟理科)已知是非零向量且满足 ‎,则的夹角是 ( A )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题:‎ ‎8.(自贡市2010届高三三诊理科试题)有下列命题:‎ ‎ ①是的充分不必要条件;‎ ‎ ②;‎ ‎ ③若函数满足,则是周期函数;‎ ‎ ④如果一组数据中,每个数都加上同一个非零常数c,则这组数据的平均数和方差都改变。‎ ‎ 其中错误命题的序号为 (要求填写所有错误命题的序号)。①④‎ ‎9.(眉山市2010年4月高三第二次诊断性考试理科)设是平面内的四个单位向量,其中与的夹角为,对这个平面内的任一个向量,规定经过一次“斜二测变换”得到向量,设向量,则经过一次“斜 二测变换”得到向量的模 是_____________________.[‎ ‎10.(省泸州市2010届高三第二次教学质量诊断性考试理科)已知向量, ,则 5 .‎ ‎11.(泸州市2010届高三第二次教学质量诊断性考试文科)已知向量,若与垂直,则 2 .‎ ‎12.(四川省攀枝花市2010年4月高三第二次统 考文科试题)已知点和向量,若,则点的坐标为   . ‎ ‎13.(攀枝花市2010年4月高三第二次统考文科试题)(12分)已知椭圆的离心率为,且其焦点到相应准线的距离为3,‎ 过焦点的直线与椭圆交于两点. ‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的标准方程;‎ ‎(Ⅱ)设为椭圆的右顶点,则直线与准线分别交于两点(两点不重合),求证:.‎ ‎【解析】‎ ‎∴直线AB的方程为 又设 联立 消y得 ‎ ‎∴ ‎ ‎∴‎ 又∵A、M、P三点共线,∴ ‎ 同理 ‎∴,‎ ‎∴ ‎ 综上所述:[‎
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