高考数学总复习系列—高中数学必修四
2011高考数学复习必修4
第一章 基本初等函数II
一、基础知识（理解去记）
定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。
定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角的弧长为L，则其弧度数的绝对值|α|=,其中r是圆的半径。
定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P，设它的坐标为（x,y），到原点的距离为r,则正弦函数sinα=,余弦函数cosα=,正切函数tanα=，余切函数cotα=，正割函数secα=,余割函数cscα=
定理1 同角三角函数的基本关系式：
倒数关系：tanα=,sinα=，cosα=；
商数关系：tanα=；
乘积关系：tanα×cosα=sinα,cotα×sinα=cosα；
平方关系：sin2α+cos2α=1, tan2α+1=sec2α, cot2α+1=csc2α.
定理2 诱导公式（Ⅰ）sin(α+π)=-sinα, cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα, cot(π+α)=cotα;（Ⅱ）sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα, tan(-α)=-tanα, cot(-α)=cotα; （Ⅲ）sin(π-α)=sinα, cos(π-α)=-cosα, tan=(π-α)=-tanα, cot(π-α)=-cotα; （Ⅳ）sin=cosα, cos=sinα, tan=cotα（记法：奇变偶不变，符号看象限）。
定理3（根据图像去记） 正弦函数的性质：根据图象可得y=sinx（x∈R）的性质如下。单调区间：在区间上为增函数，在区间上为减函数，最小正周期为2. 奇偶数. 有界性：当且仅当x=2kx+时，y取最大值1，当且仅当x=3k-时, y取最小值-1。对称性：直线x=k+均为其对称轴，点（k, 0）均为其对称中心，值域为[-1，1]。这里k∈Z.
定理4 （根据图像去记） 余弦函数的性质：根据图象可得y=cosx(x∈R)的性质。单调区间：在区间[2kπ, 2kπ+π]上单调递减，在区间[2kπ-π, 2kπ]上单调递增。最小正周期为2π。奇偶性：偶函数。对称性：直线x=kπ均为其对称轴，点均为其对称中心。有界性：当且仅当x=2kπ时，y取最大值1；当且仅当x=2kπ-π时，y取最小值-1。值域为[-1，1]。这里k∈Z.
定理5 （根据图像去记） 正切函数的性质：由图象知奇函数y=tanx(xkπ+)在开区间(kπ-, kπ+)上为增函数, 最小正周期为π，值域为（-∞，+∞），点（kπ，0），（kπ+，0）均为其对称中心。
定理6 两角和与差的基本关系式：cos(αβ)=cosαcosβsinαsinβ,sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ; tan(αβ)=
定理7 和差化积与积化和差公式:
sinα+sinβ=2sincos,sinα-sinβ=2sincos,
cosα+cosβ=2coscos, cosα-cosβ=-2sinsin,
sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)],cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)],
cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)],sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)].
口诀记忆：
积化和差：前系数：“有余为正，无余为负”“前和后差”“同名皆余，异名皆正”“余后为和，正后为差” 和差化积：正弦之和正余弦、正弦之差余正弦、余弦之和得余弦、余弦之差负正弦
定理8 倍角公式（常考）:sin2α=2sinαcosα, cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,
tan2α=
定理9 半角公式:sin=,cos=,
tan==
定理10 万能公式: , ,
定理11 ****【必考】辅助角公式：如果a, b是实数且a2+b20，则取始边在x轴正半轴，终边经过点(a, b)的一个角为β，则sinβ=,cosβ=，对任意的角α.
asinα+bcosα=sin(α+β).
定理12 正弦定理：在任意△ABC中有，其中a, b, c分别是角A，B，C的对边，R为△ABC外接圆半径。
定理13 余弦定理：在任意△ABC中有a2=b2+c2-2bcosA，其中a,b,c分别是角A，B，C的对边。
定理14 图象之间的关系：y=sinx的图象经上下平移得y=sinx+k的图象；经左右平移得y=sin(x+)的图象（相位变换）；纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到y=sin()的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(x+)(>0)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(x+)(, >0)(|A|叫作振幅)的图象向右平移个单位得到y=Asinx的图象。
定义4 函数y=sinx的反函数叫反正弦函数，记作y=arcsinx(x∈[-1, 1])，函数y=cosx(x∈[0, π]) 的反函数叫反余弦函数，记作y=arccosx(x∈[-1, 1]). 函数y=tanx的反函数叫反正切函数。记作y=arctanx(x∈[-∞, +∞]). y=cosx(x∈[0, π])的反函数称为反余切函数，记作y=arccotx(x∈[-∞, +∞]).
定理15 三角方程的解集，如果a∈(-1,1)，方程sinx=a的解集是{x|x=nπ+(-1)narcsina, n∈Z}。方程cosx=a的解集是{x|x=2kxarccosa, k∈Z}. 如果a∈R，方程tanx=a的解集是{x|x=kπ+arctana, k∈Z}。恒等式：arcsina+arccosa=；arctana+arccota=.
定理16 若，则sinx
-1，所以cos，
所以sin(cosx) ≤0,又00，
所以cos(sinx)>sin(cosx).
若，则因为sinx+cosx=(sinxcos+sincosx)=sin(x+)≤<，
所以0cos(-cosx)=sin(cosx).
综上，当x∈(0,π)时，总有cos(sinx)0，求证：
【证明】 若α+β>，则x>0，由α>-β>0得cosαsin(-β)=cosβ, 所以0<<1，
所以
若α+β<，则x<0，由0<α<-β<得cosα>cos(-β)=sinβ>0,
所以>1。又01，
所以，得证。
注：以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式，值得注意的是角的讨论。
3．最小正周期的确定。
例4 求函数y=sin(2cos|x|)的最小正周期。
【解】 首先，T=2π是函数的周期（事实上，因为cos(-x)=cosx，所以co|x|=cosx）；其次，当且仅当x=kπ+时，y=0（因为|2cosx|≤2<π）,
所以若最小正周期为T0，则T0=mπ, m∈N+，又sin(2cos0)=sin2sin(2cosπ)，所以T0=2π。
4．三角最值问题。
例5 已知函数y=sinx+，求函数的最大值与最小值。
【解法一】 令sinx=,
则有y=
因为，所以，
所以≤1，
所以当，即x=2kπ-(k∈Z)时，ymin=0，
当，即x=2kπ+(k∈Z)时，ymax=2.
例6 设0<<π，求sin的最大值。
【解】因为0<<π，所以，所以sin>0, cos>0.
所以sin（1+cos）=2sin·cos2= ≤=
当且仅当2sin2=cos2, 即tan=, =2arctan时，sin(1+cos)取得最大值。
例7 若A，B，C为△ABC三个内角，试求sinA+sinB+sinC的最大值。
【解】 因为sinA+sinB=2sincos, ①
sinC+sin, ②
又因为，③
由①，②，③得sinA+sinB+sinC+sin≤4sin,
所以sinA+sinB+sinC≤3sin=,
当A=B=C=时，（sinA+sinB+sinC）max=.
注：三角函数的有界性、|sinx|≤1、|cosx|≤1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函数的单调性等是解三角最值的常用手段。
5．换元法的使用。
例8 求的值域。
【解】 设t=sinx+cosx=
因为
所以
又因为t2=1+2sinxcosx,
所以sinxcosx=，所以，
所以
因为t-1，所以，所以y-1.
所以函数值域为
例9 已知a0=1, an=(n∈N+)，求证：an>.
【证明】 由题设an>0，令an=tanan, an∈，则
an=
因为，an∈，所以an=，所以an=
又因为a0=tana1=1，所以a0=，所以·。
又因为当0x，所以
注：换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。
另外当x∈时，有tanx>x>sinx，这是个熟知的结论，暂时不证明，学完导数后，证明是很容易的。
6．图象变换【常考】：y=sinx(x∈R)与y=Asin(x+)(A, , >0).
由y=sinx的图象向左平移个单位，然后保持横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，然后再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到y=Asin(x+)的图象；也可以由y=sinx的图象先保持横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，最后向左平移个单位，得到y=Asin(x+)的图象。
例10 例10 已知f(x)=sin(x+)(>0, 0≤≤π)是R上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求和的值。
【解】 由f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x)，所以sin(+)=sin(-x+)，所以cossinx=0，对任意x∈R成立。
又0≤≤π，解得=，
因为f(x)图象关于对称，所以=0。
取x=0，得=0，所以sin
所以(k∈Z)，即=(2k+1) (k∈Z).
又>0，取k=0时，此时f(x)=sin(2x+)在[0，]上是减函数；
取k=1时，=2，此时f(x)=sin(2x+)在[0，]上是减函数；
取k=2时，≥，此时f(x)=sin(x+)在[0，]上不是单调函数，
综上，=或2。
7．三角公式的应用。
例11 已知sin(α-β)=，sin(α+β)=- ，且α-β∈，α+β∈，求sin2α,cos2β的值。
【解】 因为α-β∈，所以cos(α-β)=-
又因为α+β∈，所以cos(α+β)=
所以sin2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)=,
cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=-1.
例12 已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，且，试求的值。
【解】 因为A=1200-C，所以cos=cos(600-C)，
又由于
=，
所以=0。
解得或。
又>0，所以。
例13 求证：tan20+4cos70.
【解】 tan20+4cos70=+4sin20
三、趋近高考（必懂）
1.（四川省成都市2010届高三第三次诊断理科）计算cot15°－tan15°的结果是( )
(A) (B) (C)3 (D)2
【答案】D
2.（成都2010届高三第三次诊断文科）计算cos45°cos15°－sin45°cos75°的结果是( )
(A) (B) (C) (D)1
【答案】C
【解析】cos45°cos15°－sin45°cos75° ＝cos45°cos15°－sin45°sin15° ＝cos(45°＋15°)
＝cos60° ＝
3. （成都2010届高三第三次诊断文科）先把函数f(x)＝sinx－cosx的图象按向量a＝(，0)平移得到曲线y＝g(x)，再把曲线y＝g(x)上所有点的纵坐标缩短到原来的倍，横坐标保持不变，得到曲线y＝h(x)，则曲线y＝h(x)的函数表达式为( )
(A)h(x)＝sin(x－) (B)h(x)＝sinx (C)h(x)＝4sin (x－) (D)h (x)＝4sinx
【答案】A
【解析】f(x)＝2sin(x－)，
按向量a＝(，0)平移后，得到曲线y＝g(x) ＝2sin(x－)
再把纵坐标缩短到原来的倍，横坐标保持不变，得到曲线y＝h(x)＝sin(x－)
4. （成都2010届高三第三次诊断理科）已知sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝，则cos2β的值为________________.
【答案】
【解析】因为sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα
＝sin[(α＋β)－α] ＝sinβ＝
于是cos2β＝1－2sin22β＝1－
6.(绵阳2010年4月高三三诊理科试题) （本小题满分12分）已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若A、B、C成等差数列，b=1，记角A=x，a+c=f (x)．
（Ⅰ）当x∈[，]时，求f (x)的取值范围；
（Ⅱ）若，求sin2x的值．
解：（I）由已知 A、B、C成等差数列，得2B=A+C，
∵ 在△ABC中， A+B+C=π，于是解得，．
∵ 在△ABC中，，b=1，
∴
，
即 ． …………………………………………………………6分
由≤x≤得≤x+≤，于是≤≤2，
即f (x)的取值范围为[，2] ． ………………………………………………8分
（Ⅱ）∵，即．
∴ ． ……………………………………………………9分
若，此时由知x>，这与矛盾．
∴ x为锐角，故． ……………………………………………………11分
∴ ．……………………………………………………12分
7．（雅安2010届高三第三次诊断性考试理科）
（本题满分12分）
三角形的三内角所对边的长分别为，设向量，
，若。
(1)求角B的大小；
(2)求的取值范围。
8．（自贡2010届高三三诊理科试题）（本小题满分12分）
如图4，已知△ABC中，，∠ABC=120°，∠BAC=，记。
（I）求关于的表达式；
（II）求的值域。
解：（Ⅰ），由正弦定理有： ＝ …………(2分)
∴ , …………(4分)
∴
＝＝
＝ …………(8分)
(Ⅱ) => ,
∴ ∴ ………（12分）
9.（南充2010届高三4月月考理科试题）（本小题满分12分） 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，．
（1）求角C的大小；
（2）求△ABC的面积．
解：（1）由
∴ 4cos2C－4cosC＋１＝０
解得 ∴ C＝60°
（2）由余弦定理得C2＝a2＋b2－2ab cos C 即 7＝a2＋b2－ab ①
又a＋b＝5 ∴a2＋b2＋2ab＝25 ②
由①②得ab＝6
∴ S△ABC＝
10．（资阳2009—2010学年度高三第三次高考模拟理）（本小题满分12分）
在直角坐标系xOy中，若角α的始边为x轴的非负半轴，终边为射线l：．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
解：（Ⅰ）在终边l上取一点，则， 2分
∴ ． 4分
（Ⅱ） 8分
． 12分
11.（四川省攀枝花市2010年4月高三第二次统考文科试题）（12分）在中，
角所对的边分别是，.
(Ⅰ)求的值；
（Ⅱ）若，求面积的最大值.
解：（Ⅰ）由余弦定理：
（Ⅱ）由 ∵，
∴，从而
故（当且仅当时取等号）
12．(成都石室中学2010届高三三诊模拟理科)
（12分）
已知中，
（I）求角A的大小；
（II）若BC=3，求周长的取值范围。
解：（I）
得代入已知条件得
，由此得 …………6分
（II）由上可知：
由正弦定理得：
即得：
，
周长的取值范围为
…………12分5_u.c o*m
第二章 平面向量
一、基础知识（理解去记）
定义1 既有大小又有方向的量，称为向量。画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量，如a. |a|表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量【最近几年常考】。
定义2 方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。
定理1 向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。加法和减法都满足交换律和结合律。
定理2 非零向量a, b共线的充要条件是存在实数0，使得a=f
定理3 平面向量的基本定理，若平面内的向量a, b不共线，则对同一平面内任意向是c，存在唯一一对实数x, y，使得c=xa+yb，其中a, b称为一组基底。
定义3 向量的坐标，在直角坐标系中，取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i, j作为基底，任取一个向量c，由定理3可知存在唯一一组实数x, y，使得c=xi+yi，则（x, y）叫做c坐标。
定义4 向量的数量积，若非零向量a, b的夹角为，则a, b的数量积记作a·b=|a|·|b|cos=|a|·|b|cos，也称内积，其中|b|cos叫做b在a上的投影（注：投影可能为负值）。
定理4 平面向量的坐标运算：若a=(x1, y1), b=(x2, y2)，
1．a+b=(x1+x2, y1+y2), a-b=(x1-x2, y1-y2)，
2．λa=(λx1, λy1), a·(b+c)=a·b+a·c，
3．a·b=x1x2+y1y2, cos(a, b)=(a, b0),
4. a//bx1y2=x2y1, abx1x2+y1y2=0.
定义5 若点P是直线P1P2上异于p1，p2的一点，则存在唯一实数λ，使，λ叫P分所成的比，若O为平面内任意一点，则。由此可得若P1，P，P2的坐标分别为(x1, y1), (x, y), (x2, y2)，则
定义6 设F是坐标平面内的一个图形，将F上所有的点按照向量a=(h, k)的方向，平移|a|=个单位得到图形，这一过程叫做平移。设p(x, y)是F上任意一点，平移到上对应的点为，则称为平移公式。
定理5 对于任意向量a=(x1, y1), b=(x2, y2), |a·b|≤|a|·|b|，并且|a+b|≤|a|+|b|.
【证明】 因为|a|2·|b|2-|a·b|2=-(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)2≥0，又|a·b|≥0, |a|·|b|≥0，
所以|a|·|b|≥|a·b|.
由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.
注：本定理的两个结论均可推广。1）对n维向量，a=(x1, x2,…,xn)，b=(y1, y2, …, yn)，同样有|a·b|≤|a|·|b|，化简即为柯西不等式： (x1y1+x2y2+…+xnyn)2≥0，又|a·b|≥0, |a|·|b|≥0，
所以|a|·|b|≥|a·b|.
由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.
注：本定理的两个结论均可推广。1）对n维向量，a=(x1, x2,…,xn), b=(y1, y2, …, yn)，同样有|a·b|≤|a|·|b|，化简即为柯西不等式：(x1y1+x2y2+…+xnyn)2。
2）对于任意n个向量，a1, a2, …,an，有| a1, a2, …,an|≤| a1|+|a2|+…+|an|。
二、基础例题【必会】
1．向量定义和运算法则的运用
例1 设O是正n边形A1A2…An的中心，求证：
【证明】 记，若，则将正n边形绕中心O旋转后与原正n边形重合，所以不变，这不可能，所以
例2 给定△ABC，求证：G是△ABC重心的充要条件是
【证明】必要性。如图所示，设各边中点分别为D，E，F，延长AD至P，使DP=GD，则
又因为BC与GP互相平分，
所以BPCG为平行四边形，所以BGPC，所以
所以
充分性。若，延长AG交BC于D，使GP=AG，连结CP，则因为，则，所以GBCP，所以AG平分BC。
同理BG平分CA。
所以G为重心。
例3 在凸四边形ABCD中，P和Q分别为对角线BD和AC的中点，求证：AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2。
【证明】 如图所示，结结BQ，QD。
因为，
所以
=·
= ①
又因为
同理 ， ②
， ③
由①，②，③可得
。得证。
2．证利用定理证明共线
例4 △ABC外心为O，垂心为H，重心为G。求证：O，G，H为共线，且OG：GH=1：
【证明】 首先
=
其次设BO交外接圆于另一点E，则连结CE后得CE
又AHBC，所以AH//CE。
又EAAB，CHAB，所以AHCE为平行四边形。
所以
所以，
所以，
所以与共线，所以O，G，H共线。
所以OG：GH=1：2。
3．利用数量积证明垂直
例5 给定非零向量a, b. 求证：|a+b|=|a-b|的充要条件是ab.
【证明】|a+b|=|a-b|(a+b)2=(a-b)2a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2a·b=0ab.
例6 已知△ABC内接于⊙O，AB=AC，D为AB中点，E为△ACD重心。求证：OECD。
【证明】 设，
则，
又，
所以
a·(b-c). （因为|a|2=|b|2=|c|2=|OH|2）
又因为AB=AC，OB=OC，所以OA为BC的中垂线。
所以a·(b-c)=0. 所以OECD。
4．向量的坐标运算
例7 已知四边形ABCD是正方形，BE//AC，AC=CE，EC的延长线交BA的延长线于点F，求证：AF=AE。
【证明】 如图所示，以CD所在的直线为x轴，以C为原点建立直角坐标系，设正方形边长为1，则A，B坐标分别为（-1，1）和（0，1），设E点的坐标为（x, y），则=(x, y-1), ，因为，所以-x-(y-1)=0.
又因为，所以x2+y2=2.
由①，②解得
所以
设，则。由和共线得
所以，即F，
所以=4+，所以AF=AE。
三、趋近高考【必懂】
1.（成都市2010届高三第三次诊断理科）已知向量a＝(－3,2),b＝(2,1),则|a＋2 b|的值为( )
(A)3 (B)7 (C) (D)
【答案】C
【解析】因为a＋2 b＝(1,4)
故|a＋2 b|＝
2. (绵阳市2010年4月高三三诊理科试题)已知向量a、b不共线，若向量a+λb与b+λa的方向相反，则λ=（ C ）
（A）1 （B）0 （C）-1 （D）±1
3．（雅安市2010届高三第三次诊断性考试理科）已知为非零向量，函数，则使的图象为关于轴对称的抛物线的一个必要不充分条件
是( C )
A． B． C． D．
4．（资阳市2009—2010学年度高三第三次高考模拟理）已知平面直角坐标系内的点A(1，1)，B(2，4)，C(－1，3)，则 （ B ）
（A） （B） （C）8 （D）10
5．（泸州市2010届高三第二次教学质量
诊断性考试理科）如图：正六边形中，下列命题错误的是（ C ）
A．
B．
C．
D．
6.（四川省攀枝花市2010年4月高三第二次统考文科试题）已知，则向量与向量的夹角是（ C ）
A. B. C. D.
7． (成都市石室中学2010届高三三诊模拟理科)已知是非零向量且满足
，则的夹角是 （ A ）
A． B． C． D．
二、填空题：
8．（自贡市2010届高三三诊理科试题）有下列命题：
①是的充分不必要条件；
②；
③若函数满足，则是周期函数；
④如果一组数据中，每个数都加上同一个非零常数c，则这组数据的平均数和方差都改变。
其中错误命题的序号为 （要求填写所有错误命题的序号）。①④
9.（眉山市2010年4月高三第二次诊断性考试理科）设是平面内的四个单位向量，其中与的夹角为，对这个平面内的任一个向量，规定经过一次“斜二测变换”得到向量，设向量，则经过一次“斜
二测变换”得到向量的模
是_____________________.[
10．（省泸州市2010届高三第二次教学质量诊断性考试理科）已知向量， ，则 5 .
11．（泸州市2010届高三第二次教学质量诊断性考试文科）已知向量，若与垂直，则 2 .
12.（四川省攀枝花市2010年4月高三第二次统
考文科试题）已知点和向量，若，则点的坐标为 .
13.（攀枝花市2010年4月高三第二次统考文科试题）（12分）已知椭圆的离心率为，且其焦点到相应准线的距离为３，
过焦点的直线与椭圆交于两点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设为椭圆的右顶点，则直线与准线分别交于两点（两点不重合），求证：.
【解析】
∴直线AB的方程为
又设
联立 消y得
∴
∴
又∵A、M、P三点共线，∴
同理
∴，
∴
综上所述：[
