高考理科数学全国II卷含详解

高考理科数学全国II卷含详解

‎2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）‎ 参考答案与试题解析　‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）（2017•新课标Ⅱ）=（　　）‎ A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i ‎【解答】解：===2﹣i，‎ 故选 D．　‎ ‎2．（5分）（2017•新课标Ⅱ）设集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．若A∩B={1}，则B=（　　）‎ A．{1，﹣3} B．{1，0} C．{1，3} D．{1，5}‎ ‎【解答】解：集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．‎ 若A∩B={1}，则1∈A且1∈B，‎ 可得1﹣4+m=0，解得m=3，‎ 即有B={x|x2﹣4x+3=0}={1，3}．‎ 故选：C．　‎ ‎3．（5分）（2017•新课标Ⅱ）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（　　）‎ A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 ‎【解答】解：设这个塔顶层有a盏灯，‎ ‎∵宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，‎ ‎∴从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、a为首项的等比数列，‎ 又总共有灯381盏，‎ ‎∴381==127a，解得a=3，‎ 则这个塔顶层有3盏灯，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2017•新课标Ⅱ）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（　　）‎ A．90π B．63π C．42π D．36π ‎【解答】解：由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，‎ V=π•32×10﹣•π•32×6=63π，‎ 故选：B．‎ ‎5．（5分）（2017•新课标Ⅱ）设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是（　　）‎ A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．9‎ ‎【解答】解：x、y满足约束条件的可行域如图：‎ z=2x+y 经过可行域的A时，目标函数取得最小值，‎ 由解得A（﹣6，﹣3），‎ 则z=2x+y 的最小值是：﹣15．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2017•新课标Ⅱ）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（　　）‎ A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 ‎【解答】解：4项工作分成3组，可得：=6，‎ 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，‎ 可得：6×=36种．‎ 故选：D．　‎ ‎7．（5分）（2017•新课标Ⅱ）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（　　）‎ A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 ‎【解答】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，‎ 甲不知自己的成绩 ‎→乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩）‎ ‎→乙看到了丙的成绩，知自己的成绩 ‎→丁看到甲、丁中也为一优一良，丁知自己的成绩，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2017•新课标Ⅱ）执行如图的程序框图，如果输入的a=﹣1，则输出的S=（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【解答】解：执行程序框图，有S=0，k=1，a=﹣1，代入循环，‎ 第一次满足循环，S=﹣1，a=1，k=2；‎ 满足条件，第二次满足循环，S=1，a=﹣1，k=3；‎ 满足条件，第三次满足循环，S=﹣2，a=1，k=4；‎ 满足条件，第四次满足循环，S=2，a=﹣1，k=5；‎ 满足条件，第五次满足循环，S=﹣3，a=1，k=6；‎ 满足条件，第六次满足循环，S=3，a=﹣1，k=7；‎ ‎7≤6不成立，退出循环输出，S=3；‎ 故选：B．　‎ ‎9．（5分）（2017•新课标Ⅱ）若双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为2，则C的离心率为（　　）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线不妨为：bx+ay=0，‎ 圆（x﹣2）2+y2=4的圆心（2，0），半径为：2，‎ 双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为2，‎ 可得圆心到直线的距离为：=，‎ 解得：，可得e2=4，即e=2．‎ 故选：A．　‎ ‎10．（5分）（2017•新课标Ⅱ）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：如图所示，设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，‎ 则AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角 ‎（因异面直线所成角为（0，]），‎ 可知MN=AB1=，‎ NP=BC1=；‎ 作BC中点Q，则△PQM为直角三角形；‎ ‎∵PQ=1，MQ=AC，‎ ‎△ABC中，由余弦定理得 AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC ‎=4+1﹣2×2×1×（﹣）‎ ‎=7，‎ ‎∴AC=，‎ ‎∴MQ=；‎ 在△MQP中，MP==；‎ 在△PMN中，由余弦定理得 cos∠MNP===﹣；‎ 又异面直线所成角的范围是（0，]，‎ ‎∴AB1与BC1所成角的余弦值为．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）（2017•新课标Ⅱ）若x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1的极值点，则f（x）的极小值为（　　）‎ A．﹣1 B．﹣2e﹣3 C．5e﹣3 D．1‎ ‎【解答】解：函数f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1，‎ 可得f′（x）=（2x+a）ex﹣1+（x2+ax﹣1）ex﹣1，‎ x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1的极值点，‎ 可得：﹣4+a+（3﹣2a）=0．‎ 解得a=﹣1．‎ 可得f′（x）=（2x﹣1）ex﹣1+（x2﹣x﹣1）ex﹣1，‎ ‎=（x2+x﹣2）ex﹣1，函数的极值点为：x=﹣2，x=1，‎ 当x＜﹣2或x＞1时，f′（x）＞0函数是增函数，x∈（﹣2，1）时，函数是减函数，‎ x=1时，函数取得极小值：f（1）=（12﹣1﹣1）e1﹣1=﹣1．‎ 故选：A．　‎ ‎12．（5分）（2017•新课标Ⅱ）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（+）的最小值是（　　）‎ A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣1‎ ‎【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，‎ 则A（0，），B（﹣1，0），C（1，0），‎ 设P（x，y），则=（﹣x，﹣y），=（﹣1﹣x，﹣y），=（1﹣x，﹣y），‎ 则•（+）=2x2﹣2y+2y2=2[x2+（y﹣）2﹣]‎ ‎∴当x=0，y=时，取得最小值2×（﹣）=﹣，‎ 故选：B ‎　‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．（5分）（2017•新课标Ⅱ）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则DX=　1.96　．‎ ‎【解答】解：由题意可知，该事件满足独立重复试验，是一个二项分布模型，其中，p=0.02，n=100，‎ 则DX=npq=np（1﹣p）=100×0.02×0.98=1.96．‎ 故答案为：1.96．　‎ ‎14．（5分）（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）=sin2x+cosx﹣（x∈[0，]）的最大值是　1　．‎ ‎【解答】解：f（x）=sin2x+cosx﹣=1﹣cos2x+cosx﹣，‎ 令cosx=t且t∈[0，1]，‎ 则f（t）=﹣t2+t+=﹣（t﹣）2+1，‎ 当t=时，f（t）max=1，‎ 即f（x）的最大值为1，‎ 故答案为：1　‎ ‎15．（5分）（2017•新课标Ⅱ）等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=3，S4=10，则 =　　．‎ ‎【解答】解：等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=3，S4=10，S4=2（a2+a3）=10，‎ 可得a2=2，数列的首项为1，公差为1，‎ Sn=，=，‎ 则 =2[1﹣++…+]=2（1﹣）=．‎ 故答案为：．　‎ ‎16．（5分）（2017•新课标Ⅱ）已知F是抛物线C：y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则|FN|=　6　．‎ ‎【解答】解：抛物线C：y2‎ ‎=8x的焦点F（2，0），M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，‎ 可知M的横坐标为：1，则M的纵坐标为：，‎ ‎|FN|=2|FM|=2=6．‎ 故答案为：6．　‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．第17～21题为必做题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．‎ ‎17．（12分）（2017•新课标Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2．‎ ‎（1）求cosB；‎ ‎（2）若a+c=6，△ABC面积为2，求b．‎ ‎【解答】解：（1）sin（A+C）=8sin2，‎ ‎∴sinB=4（1﹣cosB），‎ ‎∵sin2B+cos2B=1，‎ ‎∴16（1﹣cosB）2+cos2B=1，‎ ‎∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）=0，‎ ‎∴cosB=；‎ ‎（2）由（1）可知sinB=，‎ ‎∵S△ABC=ac•sinB=2，‎ ‎∴ac=，‎ ‎∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣2××‎ ‎=a2+c2﹣15=（a+c）2﹣2ac﹣15=36﹣17﹣15=4，‎ ‎∴b=2．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2017•新课标Ⅱ）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图：‎ ‎（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；‎ ‎（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：‎ ‎ ‎ 箱产量＜50kg ‎ ‎ 箱产量≥50kg ‎ 旧养殖法 ‎ ‎ ‎ ‎ 新养殖法 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）．‎ 附：‎ P（K2≥k） ‎ ‎0.050‎ ‎0.010 ‎ ‎0.001 ‎ K ‎3.841 ‎ ‎6.635 ‎ ‎10.828 ‎ K2=．‎ ‎【解答】解：（1）记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”，‎ 由P（A）=P（BC）=P（B）P（C），‎ 则旧养殖法的箱产量低于50kg：（0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）×5=0.62，‎ 故P（B）的估计值0.62，‎ 新养殖法的箱产量不低于50kg：（0.068+0.046+0.010+0.008）×5=0.66，‎ 故P（C）的估计值为，‎ 则事件A的概率估计值为P（A）=P（B）P（C）=0.62×0.66=0.4092；‎ ‎∴A发生的概率为0.4092；‎ ‎（2）2×2列联表：‎ ‎ ‎ ‎ 箱产量＜50kg ‎ 箱产量≥50kg ‎ ‎ 总计 ‎ 旧养殖法 ‎ ‎ 62‎ ‎ 38‎ ‎ 100‎ ‎ 新养殖法 ‎ ‎ 34‎ ‎ 66‎ ‎ 100‎ ‎ 总计 ‎ 96‎ ‎ 104‎ ‎ 200‎ 则K2=≈15.705，‎ 由15.705＞6.635，‎ ‎∴有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；‎ ‎（3）由题意可知：方法一：=5×（37.5×0.004+42.5×0.020+47.5×0.044+52.5×0.068+57.5×0.046+62.5×0.010+67.5×0.008），‎ ‎=5×10.47，‎ ‎=52.35（kg）．‎ 新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35（kg）‎ 方法二：由新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图的面积：‎ ‎（0.004+0.020+0.044）×5=0.034，‎ 箱产量低于55kg的直方图面积为：‎ ‎（0.004+0.020+0.044+0.068）×5=0.68＞0.5，‎ 故新养殖法产量的中位数的估计值为：50+≈52.35（kg），‎ 新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35（kg）．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2017•新课标Ⅱ）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．‎ ‎（1）证明：直线CE∥平面PAB；‎ ‎（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．‎ ‎【解答】（1）证明：取PA的中点F，连接EF，BF，因为E是PD的中点，‎ 所以EFAD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，∴BC∥AD，‎ ‎∴BCEF是平行四边形，可得CE∥BF，BF⊂平面PAB，CF⊄平面PAB，‎ ‎∴直线CE∥平面PAB；‎ ‎（2）解：四棱锥P﹣ABCD中，‎ 侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，‎ ‎∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．‎ 取AD的中点O，M在底面ABCD上的射影N在OC上，设AD=2，则AB=BC=1，OP=，‎ ‎∴∠PCO=60°，直线BM与底面ABCD所成角为45°，‎ 可得：BN=MN，CN=MN，BC=1，‎ 可得：1+BN2=BN2，BN=，MN=，‎ 作NQ⊥AB于Q，连接MQ，‎ 所以∠MQN就是二面角M﹣AB﹣D的平面角，MQ=‎ ‎=，‎ 二面角M﹣AB﹣D的余弦值为：=．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2017•新课标Ⅱ）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：+y2=1上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足=．‎ ‎（1）求点P的轨迹方程；‎ ‎（2）设点Q在直线x=﹣3上，且•=1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．‎ ‎【解答】解：（1）设M（x0，y0），由题意可得N（x0，0），‎ 设P（x，y），由点P满足=．‎ 可得（x﹣x0，y）=（0，y0），‎ 可得x﹣x0=0，y=y0，‎ 即有x0=x，y0=，‎ 代入椭圆方程+y2=1，可得+=1，‎ 即有点P的轨迹方程为圆x2+y2=2；‎ ‎（2）证明：设Q（﹣3，m），P（cosα，sinα），（0≤α＜2π），‎ ‎•=1，可得（cosα，sinα）•（﹣3﹣cosα，m﹣sinα）=1，‎ 即为﹣3cosα﹣2cos2α+msinα﹣2sin2α=1，‎ 解得m=，‎ 即有Q（﹣3，），‎ 椭圆+y2=1的左焦点F（﹣1，0），‎ 由kOQ=﹣，‎ kPF=，‎ 由kOQ•kPF=﹣1，‎ 可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2017•新课标Ⅱ）已知函数f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0．‎ ‎（1）求a；‎ ‎（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．‎ ‎【解答】（1）解：因为f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx=x（ax﹣a﹣lnx）（x＞0），‎ 则f（x）≥0等价于h（x）=ax﹣a﹣lnx≥0，‎ 因为h′（x）=a﹣，且当0＜x＜时h′（x）＜0、当x＞时h′（x）＞0，‎ 所以h（x）min=h（），‎ 又因为h（1）=a﹣a﹣ln1=0，‎ 所以=1，解得a=1；‎ ‎（2）证明：由（1）可知f（x）=x2﹣x﹣xlnx，f′（x）=2x﹣2﹣lnx，‎ 令f′（x）=0，可得2x﹣2﹣lnx=0，记t（x）=2x﹣2﹣lnx，则t′（x）=2﹣，‎ 令t′（x）=0，解得：x=，‎ 所以t（x）在区间（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，‎ 所以t（x）min=t（）=ln2﹣1＜0，从而t（x）=0有解，即f′（x）=0存在两根x0，x2，‎ 且不妨设f′（x）在（0，x0）上为正、在（x0，x2）上为负、在（x2，+∞）上为正，‎ 所以f（x）必存在唯一极大值点x0，且2x0﹣2﹣lnx0=0，‎ 所以f（x0）=﹣x0﹣x0lnx0=﹣x0+2x0﹣2=x0﹣，‎ 由x0＜可知f（x0）＜（x0﹣）max=﹣+=；‎ 由f′（）＜0可知x0＜＜，‎ 所以f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，）上单调递减，‎ 所以f（x0）＞f（）=；‎ 综上所述，f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．‎ ‎　‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（‎ ‎22．（10分）（2017•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4．‎ ‎（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|•|OP|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点A的极坐标为（2，），点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．‎ ‎【解答】解：（1）曲线C1的直角坐标方程为：x=4，‎ 设P（x，y），M（4，y0），则，∴y0=，‎ ‎∵|OM||OP|=16，‎ ‎∴=16，‎ 即（x2+y2）（1+）=16，‎ ‎∴x4+2x2y2+y4=16x2，即（x2+y2）2=16x2，‎ 两边开方得：x2+y2=4x，‎ 整理得：（x﹣2）2+y2=4（x≠0），‎ ‎∴点P的轨迹C2的直角坐标方程：（x﹣2）2+y2=4（x≠0）．‎ ‎（2）点A的直角坐标为A（1，），显然点A在曲线C2上，|OA|=2，‎ ‎∴曲线C2的圆心（2，0）到弦OA的距离d==，‎ ‎∴△AOB的最大面积S=|OA|•（2+）=2+．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．（2017•新课标Ⅱ）已知a＞0，b＞0，a3+b3=2，证明：‎ ‎（1）（a+b）（a5+b5）≥4；‎ ‎（2）a+b≤2．‎ ‎【解答】证明：（1）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）≥（+）2=（a3+b3）2≥4，‎ 当且仅当=，即a=b=1时取等号，‎ ‎（2）∵a3+b3=2，‎ ‎∴（a+b）（a2﹣ab+b2）=2，‎ ‎∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]=2，‎ ‎∴（a+b）3﹣3ab（a+b）=2，‎ ‎∴=ab，‎ 由均值不等式可得：=ab≤（）2，‎ ‎∴（a+b）3﹣2≤，‎ ‎∴（a+b）3≤2，‎ ‎∴a+b≤2，当且仅当a=b=1时等号成立．‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：caoqz；双曲线；海燕；whgcn；qiss；742048；maths；sxs123；cst；zhczcb（排名不分先后）‎ 菁优网 ‎2017年6月12日