高考数学一轮汇总训练平面向量的数量积及平面向量的应用理新人教A版

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第三节　平面向量的数量积及平面向量的应用 ‎ [备考方向要明了]‎ 考 什 么 怎 么 考 ‎1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．‎ ‎2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．‎ ‎3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．‎ ‎4.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.‎ 近年来的新课标高考对平面向量的数量积的考查，主要以选择题、填空题的形式出现：‎ ‎(1)直接利用数量积进行平面向量的运算，如2012年北京T13，上海T12等．‎ ‎(2)利用平面向量的数量积计算及两个向量的夹角问题，如2012年新课标全国T13，江西T7等.‎ ‎(3)利用平面向量的数量积解决垂直问题．如2012年安徽T11等.‎ ‎[归纳·知识整合]‎ ‎1．平面向量的数量积 平面向量数量积的定义 已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos θ叫做a和b的数量积(或内积)，记作a·b.即a·b＝|a||b|cosθ，规定0·a＝0.‎ ‎2．向量数量积的运算律 ‎(1)a·b＝b·a ‎(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)‎ ‎(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c ‎[探究]　根据数量积的运算律，判断下列结论是否成立．‎ ‎(1)a·b＝a·c，则b＝c吗？‎ ‎(2)(a·b)c＝a(b·c)吗？‎ 提示：(1)不一定，a＝0时不成立，‎ 另外a≠0时，a·b＝a·c.由数量积概念可知b与c不能确定；‎ ‎(2)(a·b)c＝a(b·c)不一定相等．‎ ‎(a·b)c是c方向上的向量，而a(b·c)是a方向上的向量，当a与c不共线时它们必不相等．‎ ‎3．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)‎ 结论 几何表示 坐标表示 模 ‎|a|＝ ‎|a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0‎ x1x2＋y1y2＝0‎ ‎|a·b|与|a||b|的关系 ‎|a·b|≤|a||b|‎ ‎|x1x2＋y1y2|≤ ‎[自测·牛刀小试]‎ ‎1．(教材习题改编)已知|a|＝5，|b|＝4，a·b＝－10，则a与b的夹角为(　　)‎ A.B.π C.D.π 解析：选B　设a与b的夹角为θ，‎ 则a·b＝|a||b|cos θ＝5×4cos θ＝－10，即cos θ＝－.‎ 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝π.‎ ‎2．(教材习题改编)等边三角形ABC的边长为1，＝a，＝b，＝c，那么a·b＋b·c＋c·a等于(　　)‎ A．3 B．－3‎ C.D．－ 解析：选D　由题意知|a|＝|b|＝|c|＝1，且a与b的夹角为120°，b与c的夹角为120°，c与a的夹角也为120°.‎ 故a·b＋b·c＋c·a＝－.‎ ‎3．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则|a＋2b|＝‎ ‎(　　)‎ A.B. C.D. 解析：选B　|a＋2b|＝＝ ‎＝＝.‎ ‎4．(教材习题改编)已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b不共线，若向量a＋kb与a－kb垂直，则k＝________.‎ 解析：∵(a＋kb)⊥(a－kb)，‎ ‎∴(a＋kb)·(a－kb)＝0，‎ 即|a|2－k2|b|2＝0.‎ 又∵|a|＝3，|b|＝4，∴k2＝，即k＝±.‎ 答案：± ‎5．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)满足条件(‎8a－b)·c＝30，则x＝________.‎ 解析：由题意可得‎8a－b＝(6,3)，又(‎8a－b)·c＝30，c＝(3，x)，则18＋3x＝30，解得x＝4.‎ 答案：4‎ 平面向量数量积的运算 ‎[例1]　(1)(2012·天津高考)已知△ABC为等边三角形，AB＝2.设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ) ，λ∈R，若·＝－，则λ＝(　　)‎ A.B. C.D. ‎(2)(2012·上海高考)在平行四边形ABCD中，∠A＝，边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足＝，则·的取值范围是________．‎ ‎[自主解答]　(1)以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则B(2,0)，C(1，)，由＝λ，得P(2λ，0)，由＝(1－λ) ，得Q(1－λ，(1－λ))，所以·＝(－λ－1，(1－λ))·(2λ－1，－)＝－(λ＋1)·(2λ－1)－×(1－λ)＝－，解得λ＝.‎ ‎(2)建立平面直角坐标系，如图．‎ 则B(2,0)，C，D.‎ 令＝＝λ，则M，N.‎ ‎∴·＝·＋λ＝－λ2－2λ＋5＝－(λ＋1)2＋6.‎ ‎∵0≤λ≤1，∴·∈[2,5]．‎ ‎[答案]　(1)A　(2)[2,5]‎ ‎———————————————————‎ 平面向量数量积的类型及求法 ‎(1)向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式a·b＝|a||b|cos θ；二是坐标公式a·b＝x1x2＋y1y2.‎ ‎(2)求较复杂的向量数量积的运算时，可先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简．‎ 注意以下两个重要结论的应用：‎ ‎①(a＋b)2＝a2＋‎2a·b＋b2；‎ ‎②(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.‎ ‎1.(2012·江苏高考)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是________．‎ 解析：以A为坐标原点，AB，AD所在的直线分别为x，y轴建立直角坐标系，则B(，0)，E(，1)，D(0,2)，C(，2)．设F(x,2)(0≤x≤)，由·＝⇒x＝⇒x＝1，所以F(1,2)，·＝(，1)·(1－，2)＝.‎ 答案： 平面向量的夹角与模的问题 ‎[例2]　已知|a|＝4，|b|＝3，(‎2a－3b)·(‎2a＋b)＝61.‎ ‎(1)求a与b的夹角θ；‎ ‎(2)求|a＋b|和|a－b|.‎ ‎[自主解答]　(1)∵(‎2a－3b)·(‎2a＋b)＝61，解得 a·b＝－6.∴cos θ＝＝＝－，‎ 又0≤θ≤π，∴θ＝.‎ ‎(2)|a＋b|2＝a2＋‎2a·b＋b2＝13，∴|a＋b|＝.‎ ‎|a－b|2＝a2－‎2a·b＋b2＝37.‎ ‎∴|a－b|＝.‎ 本例条件不变，若＝a，＝b，试求△ABC的面积．‎ 解：∵与的夹角θ＝π，‎ ‎∴∠ABC＝π－π＝π.‎ 又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，‎ ‎∴S△ABC＝||||sin ∠ABC＝×4×3×＝3.　　　　 ‎ ‎———————————————————‎ ‎1．利用数量积求解长度问题的处理方法 ‎(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝.‎ ‎(2)|a±b|＝＝.‎ ‎(3)若a＝(x，y)，则|a|＝.‎ ‎2．求向量夹角的方法 ‎(1)利用向量数量积的定义知，cos θ＝，其中两向量夹角的范围为0°≤θ≤180°，求解时应求出三个量：a·b，|a|，|b|或者找出这三个量之间的关系．‎ ‎(2)利用坐标公式，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 cos θ＝.‎ ‎(3)三角函数法，可以把这两个向量的夹角放在三角形中；利用正余弦定理、三角形的面积公式等求解．‎ ‎2．(1)已知平面向量α，β，|α|＝1，β＝(2,0)，α⊥(α－2β)，求|2α＋β|的值；‎ ‎(2)已知三个向量a、b、c两两所夹的角都为120°，|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，求向量a＋b＋c与向量a的夹角．‎ 解：(1)∵β＝(2,0)，‎ ‎∴|β|＝2，又α⊥(α－2β)，‎ ‎∴α·(α－2β)＝α2－2α·β＝1－2α·β＝0.‎ ‎∴α·β＝.‎ ‎∴(2α＋β)2＝4α2＋β2＋4α·β＝4＋4＋2＝10.‎ ‎∴|2α＋β|＝.‎ ‎(2)由已知得(a＋b＋c)·a＝a2＋a·b＋a·c ‎＝1＋2cos 120°＋3cos 120°＝－，‎ ‎|a＋b＋c|＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝ .‎ 设向量a＋b＋c与向量a的夹角为θ，‎ 则cos θ＝＝＝－，‎ 即θ＝150°，‎ 故向量a＋b＋c与向量a的夹角为150°.‎ 平面向量的垂直问题 ‎[例3]　已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.‎ ‎(1)计算|a＋b|；‎ ‎(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)．‎ ‎[自主解答]　(1)|a＋b|2＝|a|2＋‎2a·b＋|b|2＝16＋2×4×8×＋64＝48，‎ 故|a＋b|＝4.‎ ‎(2)若(a＋2b)⊥(ka－b)，则(a＋2b)·(ka－b)＝0，‎ 即ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝16k－16(2k－1)－2×64＝0，解得k＝－7.‎ 即k＝－7时，两向量垂直．‎ ‎———————————————————‎ 两向量垂直的判断方法及应用 ‎(1)若a，b为非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0；若非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.‎ ‎(2)一对向量垂直与向量所在的直线垂直是一致的，向量的线性运算与向量的坐标运算是求解向量问题的两大途径．‎ ‎3．在直角三角形ABC中，已知＝(2,3)，＝(1，k)，求k的值．‎ 解：(1)当A＝90°时，‎ ‎∵⊥，∴·＝0.‎ ‎∴2×1＋3k＝0，解得k＝－.‎ ‎(2)当B＝90°时，∵⊥，‎ 又＝－＝(1，k)－(2,3)＝(－1，k－3)，‎ ‎∴·＝2×(－1)＋3×(k－3)＝0，‎ 解得k＝.‎ ‎(3)当C＝90°时，‎ ‎∵⊥，∴1×(－1)＋k(k－3)＝0，‎ 即k2－3k－1＝0.∴k＝.‎ 综上可得k的值为－或或.‎ 平面向量数量积的应用 ‎[例4]　设向量a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)，c＝(cos β，－4sin β)．‎ ‎(1)若a与b－‎2c垂直，求tan(α＋β)的值；‎ ‎(2)求|b＋c|的最大值；‎ ‎(3)若tan αtan β＝16，求证：a∥b.‎ ‎[自主解答]　(1)由a与b－‎2c垂直，‎ a·(b－‎2c)＝a·b－‎2a·c＝0，‎ 即4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，tan(α＋β)＝2.‎ ‎(2)b＋c＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)‎ ‎|b＋c|2＝sin2β＋2sin βcos β＋cos2β＋16cos2β－32cos βsin β＋16sin2β ‎＝17－30sin βcos β＝17－15sin 2β，最大值为32，‎ 所以|b＋c|的最大值为4.‎ ‎(3)由tan αtan β＝16得sin αsin β＝16cos αcos β，即 ‎4cos α·4cos β－sin αsin β＝0，‎ 所以a∥b.‎ ‎———————————————————‎ 平面向量与三角函数的综合问题的命题形式与解题思路 ‎(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．‎ ‎(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．‎ ‎4．在△ABC中，已知2·＝||·||＝3||2，求角A，B，C的大小．‎ 解：设BC＝a，AC＝b，AB＝c，‎ ‎∵由2·＝||·||得2bccos A＝bc，‎ ‎∴cos A＝，‎ 又∵A∈(0，π)，∴A＝.‎ 由||·||＝3||2得bc＝a2，‎ 由正弦定理得sin C·sin B＝sin‎2A＝，‎ ‎∴sin C·sin＝，‎ 即sin C·＝，‎ ‎∴2sin C·cos C＋2sin‎2C＝，‎ ‎∴sin ‎2C－cos ‎2C＝0，‎ ‎∴sin＝0，‎ 由A＝知00，则a与b的夹角为锐角或0°；‎ ‎(2)若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或180°；‎ ‎(3)在求△ABC的三边所对应向量的夹角时，要注意是三角形的内角还是外角．如等边△ABC中，与的夹角应为120°而不是60°.‎ 4个区别——向量运算与实数运算的区别 ‎(1)在实数运算中，若ab＝0，则a与b中至少有一个为0.而在向量数量积的运算中，不能从a·b＝0推出a＝0或b＝0成立．实际上由a·b＝0可推出以下四种结论：①a＝0，b＝0；②a＝0，b≠0；③a≠0，b＝0；④a≠0，b≠0，但a⊥b.‎ ‎(2)在实数运算中，若a，b∈R，则|ab|＝|a|·|b|，但对于向量a，b却有|a·b|≤|a|·|b|，当且仅当a∥b时等号成立．这是因为|a·b|＝|a|·|b|·|cos θ|，而|cos θ|≤1.‎ ‎(3)实数运算满足消去律：若bc＝ca，c≠0，则有b＝a.在向量数量积的运算中，若a·b＝a·c(a≠0)，则不一定得到b＝c.‎ ‎(4)实数运算满足乘法结合律，但向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线. ‎ 创新交汇——平面向量与其他知识的交汇 ‎1．平面向量的数量积是每年高考的重点和热点内容，且常与三角函数、数列、三角形、解析几何等交汇命题，且常考常新．‎ ‎2．此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．‎ ‎[典例]　(2012·广东高考)对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝.若两个非零的平面向量a，b满足a与b的夹角θ∈，且a∘b和b∘a都在集合中，则a∘b＝(　　)‎ A.B. C．1 D. ‎[解析]　a∘b＝＝cos θ＝cos θ，b∘a＝·cos θ，因为|a|>0，|b|>0,00，‎ 即(1,2)·(1＋λ，2＋λ)>0.‎ ‎∴(1＋λ)＋2(2＋λ)>0.‎ ‎∴λ>－.‎ 当a与a＋λb共线时，存在实数m，使a＋λb＝ma，‎ 即(1＋λ，2＋λ)＝m(1,2)，‎ ‎∴解得λ＝0.‎ 即当λ＝0时，a与a＋λb共线，‎ 综上可知，λ>－且λ≠0.‎ ‎11．已知△ABC为锐角三角形，向量m＝(3cos‎2A，sin A)，n＝(1，－sin A)，且m⊥n.‎ ‎(1)求A的大小；‎ ‎(2)当＝pm，＝qn(p>0，q>0)，且满足p＋q＝6时，求△ABC面积的最大值．‎ 解：(1)∵m⊥n，∴3cos‎2A－sin‎2A＝0.‎ ‎∴3cos‎2A－1＋cos‎2A＝0，‎ ‎∴cos‎2A＝.‎ 又∵△ABC为锐角三角形，‎ ‎∴cos A＝，‎ ‎∴A＝.‎ ‎(2)由(1)可得m＝，‎ n＝.‎ ‎∴||＝p，||＝q.‎ ‎∴S△ABC＝||·||·sin A＝pq.‎ 又∵p＋q＝6，且p>0，q>0，‎ ‎∴·≤，‎ ‎∴·≤3.‎ ‎∴p·q≤9.‎ ‎∴△ABC面积的最大值为×9＝.‎ ‎12．已知向量a＝(1,2)，b＝(cos α，sin α)．设m＝a＋tb(t为实数)．‎ ‎(1)若α＝，求当|m|取最小值时实数t的值；‎ ‎(2)若a⊥b，问：是否存在实数t，使得向量a－b和向量m的夹角为，若存在，请求出t；若不存在，请说明理由．‎ 解：(1)因为α＝，‎ 所以b＝，a·b＝，‎ 则|m|＝＝ ‎＝ ＝ ，‎ 所以当t＝－时，|m|取到最小值，最小值为.‎ ‎(2)存在满足题意的实数t，‎ 由条件得cos＝，‎ 又因为|a－b|＝＝，‎ ‎|a＋t b|＝＝，‎ ‎(a－b)·(a＋t b)＝5－t，‎ 则有＝，且t<5，‎ 整理得t2＋5t－5＝0，所以存在t＝满足条件．‎ ‎1．下列判断：‎ ‎①若a2＋b2＝0，则a＝b＝0；‎ ‎②已知a，b，c是三个非零向量，若a＋b＝0，则|a·c|＝|b·c|；‎ ‎③a，b共线⇔a·b＝|a||b|；‎ ‎④|a||b|0，则a与b的夹角为锐角；‎ ‎⑧若a，b的夹角为θ，则|b|cos θ表示向量b在向量a方向上的射影的数量．‎ 其中正确的是________．‎ 解析：由于a2≥0，b2≥0，所以，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，故①正确；‎ 若a＋b＝0，则a＝－b，又a，b，c是三个非零向量，所以a·c＝－b·c，所以|a·c|＝|b·c|，②正确；‎ a，b共线⇔a·b＝±|a||b|，所以③错；‎ 对于④，应有|a||b|≥a·b，所以④错；‎ 对于⑤，应该是a·a·a＝|a|‎2a，所以⑤错；‎ a2＋b2≥2|a||b|≥‎2a·b，故⑥正确；‎ 当a与b的夹角为0°时，也有a·b>0，因此⑦错；‎ ‎|b|cos θ表示向量b在向量a方向上的射影的数量，可取全体实数，而非射影长，故⑧错．‎ 综上可知①②⑥正确．‎ 答案：①②⑥‎ ‎2．平面上有四个互异点A、B、C、D，已知(＋－2)·(－)＝0，则△ABC的形状是(　　)‎ A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．无法确定 解析：选B　由(＋－2)·(－)＝0，‎ 得[(－)＋(－)]·(－)＝0，‎ 所以(＋)·(－)＝0.‎ 所以||2－||2＝0，故||＝||，‎ 故△ABC是等腰三角形．‎ ‎3．已知A，B，C的坐标分别为A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)，α∈.‎ ‎(1)若||＝||，求角α的值；‎ ‎(2)若·＝－1，求的值．‎ 解：(1)∵＝(cos α－3，sin α)，‎ ＝(cos α，sin α－3)，‎ ‎∴2＝(cos α－3)2＋sin2α＝10－6cos α，‎ 2＝cos2α＋(sin α－3)2＝10－6sin α.‎ 由||＝||，可得2＝2，‎ 即10－6cos α＝10－6sin α，得sin α＝cos α.‎ 又∵α∈，∴α＝.‎ ‎(2)由·＝－1，‎ 得(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1，‎ ‎∴sin α＋cos α＝.①‎ 又＝＝2sin αcos α，‎ 由①式两边分别平方，得1＋2sin αcos α＝，‎ ‎∴2sin αcos α＝－.‎ ‎∴＝－.‎ ‎4．已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且·＝0.‎ ‎(1)求动点P的轨迹方程；‎ ‎(2)若EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任一条直径，求·的最值．‎ 解：(1)设P(x，y)，则Q(8，y)．‎ 由·＝0，得||2－||2＝0，即(x－2)2＋y2－(x－8)2＝0，化简得＋＝1.‎ 所以点P在椭圆上，其方程为＋＝1.‎ ‎(2)·的最大值为19；‎ ·的最小值为12－4.‎