备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题60 特殊值法解决二项式展开式系数问题

备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题60 特殊值法解决二项式展开式系数问题

专题60 特殊值法解决二项式展开式系数问题 ‎【热点聚焦与扩展】‎ 纵观近几年的高考试题，本节内容考题比较灵活，热点是通项公式的应用，利用通项公式求特定项或特定的项的系数，或已知某项，求指数n，求参数的值等，难度控制在中等或中等以下．‎ 对于二项式系数问题，往往利用“赋值法”.本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，举例说明.‎ ‎1、含变量的恒等式：是指无论变量在已知范围内取何值，均可使等式成立.所以通常可对变量赋予特殊值得到一些特殊的等式或性质 ‎ ‎2、二项式展开式与原二项式呈恒等关系，所以可通过对变量赋特殊值得到有关系数（或二项式系数）的等式 ‎3、常用赋值举例：‎ ‎（1）设，‎ ‎①令，可得： ‎ ‎②令，可得： ，即：‎ ‎（假设为偶数），再结合①可得：‎ ‎（2）设 ‎ ‎① 令，则有：，即展开式系数和 ‎② 令，则有：，即常数项 ‎③ 令，设为偶数，则有：‎ ‎ ，即偶次项系数和与奇次项系数和的差 ‎ 由①③即可求出和的值.‎ ‎【经典例题】‎ 例1.【山东省2019年普通高校招生（春季）考试】在的展开式中，所有项的系数之和等于（ ）‎ A. 32 B. -32 C. 1 D. -1‎ ‎【答案】D 10‎ ‎【解析】分析：令x=y=1，则得所有项的系数之和.‎ 详解：令x=y=1，则得所有项的系数之和为，‎ 选D.‎ 点睛：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法， 只需令即可；对形如的式子求其展开式各项系数之和，只需令即可.‎ 例2.【2019年【衡水金卷】（四）】在二项式的展开式中，所有项的系数之和记为，第项的系数记为，若，则的值为（ ）‎ A. 2 B. C. 2或 D. 2或 ‎【答案】D 例3.已知，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】：本题虽然恒等式左侧复杂，但仍然可通过对赋予特殊值得到系数的关系式，观察所求式子特点可令，得到，只需再求出即可.令可得，所以 答案：B 例4.设，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A 10‎ ‎【解析】思路：所求，在恒等式中令可得：，令时，所以 答案：A 例5. 【2019届河南省郑州市一模】在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为3：2，则的系数为（ ）‎ A. 50 B. 70 C. 90 D. 120‎ ‎【答案】C 令得．‎ 所以的系数为．选C．‎ 例6.在的展开式中，所有奇数项二项式系数之和等于1024，则中间项的二项式系数是（ ）‎ A. 462 B. 330 C. 682 D. 792‎ ‎【答案】A ‎【解析】的展开式中，所有奇数项二项式系数之和等于，则中间项的二项式系数是.‎ 故选A 例7.【2019届百校联盟TOP20四月联考】已知 10‎ 的展开式中所有偶数项系数之和为496，则展开式中第3项的系数为_______.‎ ‎【答案】270‎ ‎【解析】分析：利用赋值法得到两式相减即 故答案为：270‎ 例8.【2019届浙江省诸暨市高三上期末】已知，则______；则__________．‎ ‎【答案】 1 60‎ ‎【解析】令 得：1=‎ 因为 ，‎ 所以 ‎ 例9.【2019届衡水金卷全国大联考】已知的展开式中所有项的二项式系数之和、系数之和分别为，，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】16‎ ‎【解析】显然.令，得.‎ 所以.‎ 10‎ 当且仅当.即时，取等号，此时的最小值为16.‎ 例10.若，则的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 令可得：‎ 而在中，令可得：‎ ‎ ‎ 答案：D ‎【精选精练】‎ ‎1．【2019届福建省莆田市第二次检测】若（）展开式的二项式系数和为32，则其展开式的常数项为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：首先根据二项式定理中所涉及的二项式系数和为，结合题中条件，求得，将代入二项式，将其展开式的通项写出，令幂指数为零，求得，再回代，求得结果，得到正确选项.‎ 详解：根据二项式系数和的性质，可知，解得，所以的展开式的通项为，令，解得，所以其展开式的常数项为，故选B.‎ 10‎ ‎2．【2019届安徽省合肥市三模】已知展开式中的系数为，则展开式中所有项的二项式系数之和为 A. 64 B. 32 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎，解得，‎ 二项式系数之和为，故选B.‎ 点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.‎ ‎3．【2019届四川省雅安市三诊】已知展开式的各个二项式系数的和为，则的展开式中的系数（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A 10‎ 故选A.‎ ‎4．【2019届河北衡水金卷模拟一】的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】令，得，而常数项为，所以展开式中剔除常数项的各项系数和为，故选A.‎ ‎5．在的展开式中，各项系数的和是__________．‎ ‎【答案】1. ‎ ‎【解析】分析：令，即可得到二项展开式的各项系数的和．‎ 详解：由题意，令，即可得到二项展开式的各项系数的和为．‎ 点睛：本题主要考查了二项展开式各项系数的和求解，其中正确合理赋值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．‎ ‎6．【2019届贵州省凯里市第一中学四模】二项式的展开式中奇数项的二项式系数之和为32，则展开式中的第4项为__________．‎ 10‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：先由奇数项的二项式系数之和为32确定n值，然后根据二项展开式通项公式求出第4项即可.‎ 详解：∵二项式的展开式中奇数项的二项式系数之和为32，‎ ‎∴，即 展开式中的第项为 故答案为：‎ ‎7．【2019届安徽省安庆市二模】如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是______.‎ ‎【答案】-189‎ ‎8．若的展开式中所有项的系数的绝对值之和为64，则__________；该展开式中的常数项是__________．‎ ‎【答案】 3 -27‎ ‎【解析】（1）因为系数的绝对值之和为64，则当时，有，所以；‎ ‎（2），‎ 所以，常数项为.‎ ‎9.【2019届北京市海淀区高三上期末】已知展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为，则__________．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】令二项式中的x=1得到展开式中的各项系数的和4n 10‎ 又各项二项式系数的和为2n 据题意得 解得n=6‎ 故答案为：6‎ ‎10．【2019届浙江省杭州市学军中学5月模拟】设，则__________，__________．‎ ‎【答案】 . 80.‎ 点睛：（1）本题主要考查二项式定理求值，意在考查学生对该基础知识的掌握能力和观察分析能力.(2)本题解题的关键是 .‎ ‎.‎ ‎11．【腾远2019年浙江红卷】已知的展开式中的系数为，则__________，此多项式的展开式中含的奇数次幂项的系数之和为__________．‎ ‎【答案】 -2 -32‎ ‎【解析】分析：由题意的，展开式中含的系数为，解得，‎ 令，分别令和，则两式相减，即可求解.‎ 详解：由题意的，展开式中含的系数为，解得，‎ 令，‎ 令，则；令，则，‎ 10‎ 两式相减，则展开式中含奇次幂的系数之和为.‎ ‎12．【2019年天津市河西区三模】设，则 __________．‎ ‎【答案】211‎ 10‎