2004—2012江苏高考数学试卷含答案
2004年普通高等学校招生全国统一考试
数学（江苏卷）
一、选择题(5分×12=60分)
1.设集合P={1，2，3，4}，Q={}，则P∩Q等于 ( )
(A){1，2} (B) {3，4} (C) {1} (D) {-2，-1，0，1，2}
2.函数y=2cos2x+1(x∈R)的最小正周期为 ( )
(A) (B) (C) (D)
3.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 ( )
(A)140种 (B)120种 (C)35种 (D)34种
4.一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体积是 ( )
(A) (B) (C) (D)
5.若双曲线的一条准线与抛物线的准线重合，则双曲线离心率为 ( )
(A) (B) (C) 4 (D)
0.5
人数(人)
时间(小时)
20
10
5
0
1.0
1.5
2.0
15
6.某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用右侧的条形图表示. 根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为 ( )
(A)0.6小时 (B)0.9小时 (C)1.0小时 (D)1.5小时
7.的展开式中x3的系数是 ( )
(A)6 (B)12 (C)24 (D)48
8.若函数的图象过两点(-1，0)和(0，1)，则 ( )
(A)a=2,b=2 (B)a=,b=2 (C)a=2,b=1 (D)a=,b=
9.将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上和概率是 ( )
(A) (B) (C) (D)
10.函数在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 ( )
(A)1，-1 (B)1，-17 (C)3，-17 (D)9，-19
11.设k>1，f(x)=k(x-1)(x∈R) . 在平面直角坐标系xOy中，函数y=f(x)的图象与x轴交于A点，它的反函数y=f -1(x)的图象与y轴交于B点，并且这两个函数的图象交于P点. 已知四边形OAPB的面积是3，则k等于 ( )
(A)3 (B) (C) (D)
12.设函数，区间M=[a，b](a
0的解集是_______________________.
14.以点(1，2)为圆心，与直线4x+3y-35=0相切的圆的方程是________________.
15.设数列{an}的前n项和为Sn，Sn=(对于所有n≥1)，且a4=54，则a1的数值是_______________________.
16.平面向量中，已知=(4，-3)，=1，且=5，则向量=__________.
三、解答题(12分×5+14分=74分)
17.已知0<α<，tan+cot=，求sin()的值.
18.在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC1=4CP.
(Ⅰ)求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；
(Ⅱ)设O点在平面D1AP上的射影是H，求证：D1H⊥AP；
·
B1
P
A
C
D
A1
C1
D1
B
O
H
·
(Ⅲ)求点P到平面ABD1的距离.
19.制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.
某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100﹪和50﹪，可能的最大亏损分别为30﹪和10﹪. 投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
20.设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn.
(Ⅰ)若首项，公差，求满足的正整数k；
(Ⅱ)求所有的无穷等差数列{an}，使得对于一切正整数k都有成立.
21.已知椭圆的中心在原点，离心率为，一个焦点是F（-m,0）(m是大于0的常数).
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)设Q是椭圆上的一点，且过点F、Q的直线与y轴交于点M. 若，求直线的斜率.
22.已知函数满足下列条件：对任意的实数x1，x2都有
和，其中是大于0的常数.设实数a0，a，b满足 和
(Ⅰ)证明，并且不存在，使得；
(Ⅱ)证明；
(Ⅲ)证明.
2004年普通高等学校招生全国统一考试
数学（江苏卷）参考答案
一、 选择题
ABDCA BCADC BA
二、填空题
13、或
14、
15、2
16、
三、解答题
17、解：由题意可知，
18、解（1）
（2）略
（3）
19、解：，设
当时，取最大值7万元
20、解：（1）
（2）或或
21、解：（1）
（2）或0
22、解：（1）不妨设，由
可知，
是R上的增函数
不存在，使得
又
（2）要证：
即证：
不妨设，
由
得，
即，
则 （1）
由得
即，
则 （2）
由（1）（2）可得
（3）,
又由（2）中结论
2005年高考数学江苏卷试题及答案
一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的
1.设集合，，，则=（ ）
A． B． C． D．
2.函数的反函数的解析表达式为 （ ）
A． B． C． D．
3.在各项都为正数的等比数列中，首项，前三项和为21，则=（ ）
A．33 B．72 C．84 D．189
4.在正三棱柱中，若AB=2，则点A到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
5.中，，BC=3，则的周长为 （ ）
A． B．
C． D．
6.抛物线上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（ ）
A． B． C． D．0
7.在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为 （ ）
A． B． C． D．
8.设为两两不重合的平面，为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若，，则；②若，，，，则；
③若，，则；④若，，，，则其中真命题的个数是 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9.设，则的展开式中的系数不可能是 （ ）
A．10 B．40 C．50 D．80
10.若，则= （ ）
A． B． C． D．
11.点在椭圆的左准线上，过点P且方向为的光线经直线反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12.四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①.②.③.④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（ ）
A．96 B．48 C．24 D．0
二.填写题：本大题共6小题，每小题4分，共24分把答案填在答题卡相应位置
13.命题“若，则”的否命题为__________
14.曲线在点处的切线方程是__________
15.函数的定义域为__________
16.若，,则=__________
17.已知为常数，若，，则=__________
18.在中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则的最小值是__________
三.解答题：本大题共5小题，共66分解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤
19.（本小题满分12分）如图，圆与圆的半径都是1，，过动点P分别作圆.圆
的切线PM、PN（M.N分别为切点），使得试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程
20.（本小题满分12分，每小问满分4分）甲.乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响
⑴求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；
⑵求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；
⑶假设某人连续2次未击中目标，则停止射击问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？
21.（本小题满分14分，第一小问满分6分，第二.第三小问满分各4分）
如图，在五棱锥S—ABCDE中，SA⊥底面ABCDE，SA=AB=AE=2，，
⑴求异面直线CD与SB所成的角（用反三角函数值表示）；
⑵证明：BC⊥平面SAB；
⑶用反三角函数值表示二面角B—SC—D的大小（本小问不必写出解答过程）
22.（本小题满分14分，第一小问满分4分，第二小问满分10分）已知，函数
⑴当时，求使成立的的集合；
⑵求函数在区间上的最小值
23.（本小题满分14分，第一小问满分2分，第二.第三小问满分各6分）
设数列的前项和为，已知，且
，其中A.B为常数
⑴求A与B的值；
⑵证明：数列为等差数列；
⑶证明：不等式对任何正整数都成立
2005年高考数学江苏卷试题及答案
参考答案
(1)D (2)A (3)C (4)B (5)D (6)B (7)D (8)B (9)C (10)A (11)A (12)B
（13）若，则 （14）
（15） （16）-1 （17）2 （18）-2
（19）以的中点O为原点，所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则（-2，0），（2，0），
由已知，得
因为两圆的半径均为1，所以
设，则，
即，
所以所求轨迹方程为（或）
（20）（Ⅰ）记“甲连续射击4次，至少1次未击中目标”为事件A1，由题意，射击4次，相当于4次独立重复试验，故P（A1）=1- P（）=1-=
答：甲射击4次，至少1次未击中目标的概率为；
(Ⅱ) 记“甲射击4次，恰好击中目标2次”为事件A2，“乙射击4次，恰好击中目标3次”为事件B2，则
，，
由于甲、乙设计相互独立，故
答：两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率为；
（Ⅲ）记“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件A3，“乙第i次射击为击中” 为事件Di，（i=1，2，3，4，5），则A3=D5D4，且P（Di）=，由于各事件相互独立，
故P（A3）= P（D5）P（D4）P（）=×××（1-×）=，
答：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是
（21）（Ⅰ）连结BE，延长BC、ED交于点F，则∠DCF=∠CDF=600，
∴△CDF为正三角形，∴CF=DF
又BC=DE，∴BF=EF因此，△BFE为正三角形，
∴∠FBE=∠FCD=600，∴BE//CD
所以∠SBE（或其补角）就是异面直线CD与SB所成的角
∵SA⊥底面ABCDE，SA=AB=AE=2，
∴SB=，同理SE=，
又∠BAE=1200，所以BE=，从而，cos∠SBE=，
∴∠SBE=arccos
所以异面直线CD与SB所成的角是arccos
(Ⅱ) 由题意，△ABE为等腰三角形，∠BAE=1200，
∴∠ABE=300，又∠FBE =600，
∴∠ABC=900，∴BC⊥BA
∵SA⊥底面ABCDE，BC底面ABCDE，
∴SA⊥BC，又SABA=A，
∴BC⊥平面SAB
（Ⅲ）二面角B-SC-D的大小
（22）（Ⅰ）由题意，
当时，由，解得或；
当时，由，解得
综上，所求解集为
(Ⅱ)设此最小值为
①当时，在区间[1，2]上，，
因为，，
则是区间[1，2]上的增函数，所以
②当时，在区间[1，2]上，，由知
③当时，在区间[1，2]上，
若，在区间（1，2）上，，则是区间[1，2]上的增函数，
所以
若，则
当时，，则是区间[1，]上的增函数，
当时，，则是区间[，2]上的减函数，
因此当时，或
当时，，故，
当时，，故
总上所述，所求函数的最小值
（23）（Ⅰ）由已知，得，，
由，知
，即
解得.
(Ⅱ) 由（Ⅰ）得 ①
所以 ②
②-①得 ③
所以 ④
④-③得
因为
所以
因为
所以
所以 ，
又
所以数列为等差数列
（Ⅲ）由(Ⅱ) 可知，，
要证
只要证 ，
因为 ，
，
故只要证 ，
即只要证 ，
因为
所以命题得证
2006年普通高等学校招生全国统一考试数学试题
江苏卷
参考公式：
一组数据的方差
其中为这组数据的平均数
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
（1）已知，函数为奇函数，则a＝
（A）0 （B）1 （C）－1 （D）±1
（2）圆的切线方程中有一个是
（A）x－y＝0 （B）x＋y＝0 （C）x＝0 （D）y＝0
（3）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x－y｜的值为
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
（4）为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点
（A）向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
（B）向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
（C）向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
（D）向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
（5）的展开式中含x的正整数指数幂的项数是
（A）0 （B）2 （C）4 （D）6
（6）已知两点M（－2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足 ＝0，则动点P（x，y）的轨迹方程为
（A） （B） （C） （D）
（7）若A、B、C为三个集合，，则一定有
（A） （B） （C） （D）
（8）设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是
（A） （B）
（C） （D）
（9）两相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有
（A）1个 （B）2个
（C）3个 （D）无穷多个
（10）右图中有一个信号源和五个接收器 接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号 若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是
（A） （B）
（C） （D）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上
（11）在△ABC中，已知BC＝12，A＝60°，B＝45°，则AC＝
（12）设变量x、y满足约束条件，则的最大值为
（13）今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有 种不同的方法（用数字作答）
（14）＝
（15）对正整数n，设曲线在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是
（16）不等式的解集为
三、解答题：本大题共5小题，共70分 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤
（17）（本小题满分12分，第一小问满分5分，第二小问满分7分）
已知三点P（5，2）、（－6，0）、（6，0）.
（Ⅰ）求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点P、、关于直线y＝x的对称点分别为、、，求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程
（18）（本小题满分14分）
请您设计一个帐篷 它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示） 试问当帐篷的顶点O
到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？
（19）（本小题满分14分，第一小问满分4分，第二小问满分5分，第三小问满分5分）
在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如图（1）） 将△AEF沿EF折起到的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，连结A1B、A1P（如图（2））
（Ⅰ）求证：A1E⊥平面BEP；
（Ⅱ）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；
（Ⅲ）求二面角B－A1P－F的大小（用反三角函数表示）
（20）（本小题满分16分，第一小问4分，第二小问满分6分，第三小问满分6分）
设a为实数，设函数的最大值为g(a)
（Ⅰ）设t＝，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)
（Ⅱ）求g(a)
（Ⅲ）试求满足的所有实数a
（21）（本小题满分14分）
设数列、、满足：，（n=1,2,3,…），
证明为等差数列的充分必要条件是为等差数列且（n=1,2,3,…）
2006年普通高等学校招生全国统一考试数学试题
江苏卷
1【思路点拨】本题考查函数的奇偶性，三角函数sinx的奇偶性的判断，本题是一道送分的概念题
【正确解答】解法1由题意可知，得a=0
解法2：函数的定义域为R,又f(x)为奇函数,故其图象必过原点即f(0)=0,所以得a=0,
解法3由f(x)是奇函数图象法函数画出的图象选A
【解后反思】对数学概念及定理公式的深刻理解是解数学问题的关健,讨论函数的奇偶性,其前提条件是函数的定义域必须关于原点对称.
若函数f(x)为奇函数的图象关于原点对称.
若函数f(x)为偶函数的图象关于y轴对称.
2【思路点拨】本题主要考查圆的切线的求法，直线与圆相切的充要条件是圆心到直线的距离等于半径.
【正确解答】直线ax+by=0，则，由排除法，
选C,本题也可数形结合，画出他们的图象自然会选C,用图象法解最省事
【解后反思】直线与圆相切可以有两种方式转化(1)几何条件:圆心到直线的距离等于半径(2)代数条件:直线与圆的方程组成方程组有唯一解,从而转化成判别式等于零来解.
3【思路点拨】本题考查统计的基本知识，样本平均数与样本方差的概念以及求解方程组的方法
【正确解答】由题意可得：x+y=20,(x-10)2+(y-10)2=8,解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出，设x=10+t, y=10-t, ，选D
【解后反思】
4【思路点拨】本题主要考三角函数的图象变换，这是一道平时训练的比较多的一种类型
【正确解答】先将的图象向左平移个单位长度，
得到函数的图象，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）得到函数的图像
【解后反思】由函数的图象经过变换得到函数
（1）．y=Asinx，xÎR(A>0且A¹1)的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(00且ω¹1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的倍（纵坐标不变）
（3）函数y＝sin(x＋)，x∈R(其中≠0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当＞0时)或向右(当＜0时＝平行移动｜｜个单位长度而得到 (用平移法注意讲清方向：“加左”“减右”)
可以先平移变换后伸缩变换，也可以先伸缩变换后平移变换，但注意：先伸缩时，平移的单位把x前面的系数提取出来
5【思路点拨】本题主要考查二项式展开通项公式的有关知识.
【正确解答】的展开式通项为，因此含x的正整数次幂的项共有2项.选B
【解后反思】多项式乘法的进位规则.在求系数过程中,尽量先化简,降底数的运算级别,尽量化成加减运算,在运算过程可以适当注意令值法的运用,例如求常数项,可令.在二项式的展开式中，要注意项的系数和二项式系数的区别.
6【思路点拨】本题主要考查平面向量的数量积运算，抛物线的定义.
【正确解答】设，，，
则
由，则，
化简整理得 所以选B
【解后反思】向量的坐标表示和数量积的性质在平面向量中的应用是学习的重点和难点.也是高考常常考查的重要内容之一.在平时请多多注意用坐标如何来表示向量平行和向量垂直,既要注意它们联系,也要注意它们的区别.
7【思路点拨】本题主要考查.集合的并集与交集运算，集合之间关系的理解
【正确解答】因为由题意得所以选A
【解后反思】对集合的子、交、并、补运算，以及集合之间的关系要牢固掌握 本题考查三个抽象集合之间的关系，可以考虑借助与文氏图
8【思路点拨】本题主要考查.不等式恒成立的条件，由于给出的是不完全提干，必须结合选择支，才能得出正确的结论
【正确解答】运用排除法，C选项，当a-b<0时不成立
【解后反思】运用公式一定要注意公式成立的条件
如果
如果a,b是正数，那么
9【思路点拨】本题主要考查空间想象能力，以及正四棱锥的体积
【正确解答】由于两个正四棱锥相同，所以所求几何体的中心在正四棱锥底面正方形ABCD中心，有对称性知正四棱锥的高为正方体棱长的一半，影响几何体体积的只能是正四棱锥底面正方形ABCD的面积，问题转化为边长为1的正方形的内接正方形有多少种，所以选D.
【解后反思】正方体是大家熟悉的几何体，它的一些内接或外接图形需要一定的空间想象能力，要学会将空间问题向平面问题转化
10【思路点拨】本题主要考查平均分组问题及概率问题.
【正确解答】将六个接线点随机地平均分成三组，共有种结果，五个接收器能同时接收到信号必须全部在同一个串联线路中，有种结果，这五个接收器能同时接收到信号的概率是，选D
【解后反思】概率问题的难点在于分析某事件所有可能出现的结果及其表示方法，而运用概率部分的性质、公式求某事件概率只是解决问题的工具而已
11【思路点拨】本题主要考查解三角形的基本知识
【正确解答】由正弦定理得，解得
【解后反思】解三角形：已知两角及任一边运用正弦定理，已知两边及其夹角运用余弦定理
12【思路点拨】本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可行域,然后求出目标函数的最大值.
【正确解答】画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点
A(3,4)处，目标函数z最大值为18
【解后反思】本题只是直接考查线性规划问题，是一道较为简单的送分题
近年来高考线性规划问题高考数学考试的热点，数形结合是数学思想的重要手段之一,是连接代数和几何的重要方法 随着要求数学知识从书本到实际生活的呼声不断升高,线性规划这一类新型数学应用问题要引起重视
13【思路点拨】本题考查排列组合的基本知识.
【正确解答】由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有
【解后反思】分步计数原理与分类计数原理是排列组合中解决问题的重要手段,也是基础方法,在高中数学中,只有这两个原理,尤其是分类计数原理与分类讨论有很多相通之处,当遇到比较复杂的问题时,用分类的方法可以有效的将之化简,达到求解的目的.
14【思路点拨】本题考查三角公式的记忆及熟练运用三角公式计算求值
【正确解答】
【解后反思】方法不拘泥,要注意灵活运用,在求三角的问题中,要注意这样的口决“三看”即(1)看角,把角尽量向特殊角或可计算角转化，(2)看名称,把一道等式尽量化成同一名称或相近的名称，例如把所有的切都转化为相应的弦，或把所有的弦转化为相应的切，(3)看式子,看式子是否满足三角函数的公式.如果满足直接使用,如果不满足转化一下角或转换一下名称,就可以使用.
15【思路点拨】本题考查应用导数求曲线切线的斜率，数列通项公式以及等比数列的前n项和的公式
【正确解答】，曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线的斜率为k=n2n-1-(n+1)2n
切点为（2，-2n）,所以切线方程为y+2n=k(x-2),令x=0得 an=(n+1)2n,令bn=.数列的前n项和为2+22+23+…+2n=2n+1-2
【解后反思】应用导数求曲线切线的斜率时，要首先判定所经过的点为切点 否则容易出错
16【思路点拨】本题考查对数函数单调性和不等式的解法
【正确解答】，0〈，.
解得
【解后反思】在数的比较大小过程中,要遵循这样的规律,异中求同即先将这些数的部分因式化成相同的部分,再去比较它们剩余部分,就会很轻易啦.一般在数的比较大小中有如下几种方法：(1)作差比较法和作商比较法,前者和零比较,后者和1比较大小；(2)找中间量,往往是1,在这些数中,有的比1大,有的比1小；,(3)计算所有数的值；(4)选用数形结合的方法,画出相应的图形；(5)利用函数的单调性等等.
17本小题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本运算能力
解：（1）由题意可设所求椭圆的标准方程为(a>b>0),其半焦距c=6
∴,b2=a2-c2=9.
所以所求椭圆的标准方程为
（2）点P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0)关于直线y=x的对称点分别为点P，(2，5)、F1，(0，-6)、F2，(0，6).
设所求双曲线的标准方程为由题意知，半焦距c1=6
,b12=c12-a12=36-20=16. 所以所求双曲线的标准方程为
18.本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力
解：设OO1为x m,
则由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：m）
于是底面正六边形的面积为（单位：m2）
帐篷的体积为（单位：m3）
求导数，得
令解得x=-2(不合题意，舍去),x=2.
当10时，函数y=m(t), 的图象是开口向上的抛物线的一段，
由<0知m(t)在上单调递增，∴g(a)=m(2)=a+2
(2)当a=0时，m(t)=t, ,∴g(a)=2.
(3)当a<0时,函数y=m(t), 的图象是开口向下的抛物线的一段，
若，即则
若，即则
若，即则
综上有
(3)解法一：
情形1：当时，此时，
由，与a<-2矛盾
情形2：当时，此时，
解得， 与矛盾
情形3：当时，此时
所以
情形4：当时，，此时，
矛盾
情形5：当时，，此时g(a)=a+2,
由解得矛盾
情形6：当a>0时，，此时g(a)=a+2,
由，由a>0得a=1.
综上知，满足的所有实数a为或a=1
21本小题主要考查等差数列、充要条件等基础知识，考查综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力
证明：必要性，设是{an}公差为d1的等差数列，则
bn+1–bn=(an+1–an+3) – (an–an+2)= (an+1–an) – (an+3–an+2)= d1– d1=0
所以bnbn+1 ( n=1,2,3,…)成立
又cn+1–cn=(an+1–an)+2 (an+2–an+1)+3 (an+3–an+2)= d1+2 d1 +3d1 =6d1(常数) ( n=1,2,3,…)
所以数列{cn}为等差数列
充分性： 设数列{cn}是公差为d2的等差数列，且bnbn+1 ( n=1,2,3,…)
∵cn=an+2an+1+3an+2 ①
∴cn+2=an+2+2an+3+3an+4 ②
①-②得cn–cn+2=（an–an+2）+2 (an+1–an+3)+3 (an+2–an+4)=bn+2bn+1+3bn+2
∵cn–cn+2=( cn–cn+1)+( cn+1–cn+2)= –2 d2
∴bn+2bn+1+3bn+2=–2 d2 ③
从而有bn+1+2bn+2+3bn+3=–2 d2 ④
④-③得（bn+1–bn）+2 (bn+2–bn+1)+3 (bn+3–bn+2)=0 ⑤
∵bn+1–bn≥0, bn+2–bn+1≥0 , bn+3–bn+2≥0,
∴由⑤得bn+1–bn=0 ( n=1,2,3,…)，
由此不妨设bn=d3 ( n=1,2,3,…)则an–an+2= d3(常数).
由此cn=an+2an+1+3an+2= cn=4an+2an+1–3d3
从而cn+1=4an+1+2an+2–5d3 ，
两式相减得cn+1–cn=2( an+1–an) –2d3
因此(常数) ( n=1,2,3,…)
所以数列{an}公差等差数列
【解后反思】理解公差d的涵义，能把文字叙述转化为符号关系式.利用递推关系是解决数列的重要方法,要求考生熟练掌握等差数列的定义、通项公式及其由来.
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注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共4页，包含选择题（第1题～第10题，共10题）、填空题（第11题～第16题，共6题）、解答题（第17题～第21题，共5题）三部分。本次考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在试卷及答题卡上。
3．请认真核对监考员所粘贴的条形码上的姓名、考试证号是否与您本人的相符。
4．作答非选择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。作答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
5．如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。
参考公式：
次独立重复试验恰有次发生的概率为：
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的。
1．下列函数中，周期为的是
A． B．y=sin2x C． D．y=cos4x
2．已知全集U=Z，A=｛-1，0，1，2｝，B=｛x︱x2=x｝，则A∩CUB为
A．｛-1，2｝ B．｛-1，0｝ C．｛0，1｝ D．｛1，2｝
3．在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x－2y=0，则它的离心率为
A． B． C． D．2
4已知两条直线，两个平面α，β，给出下面四个命题：
① ②
③ ④
其中正确命题的序号是
A．①、③ B．②、④ C．①、④ D．②、③
5．函数的单调递增区间是
A． B． C． D．
6．设函数f（x）定义在实数集上，它的图像关于直线x=1对称，且当x≥1时，f（x）=3x－1，则有
A． B．
C． D．
7．若对于任意实数x，有x3=a0+a1（x－2）+a2（x－2）2+a3（x－2）3，则a2的值为
A．3 B．6 C．9 D．12
8．设是奇函数，则使f（x）<0的x的取值范围是
A．（-1，0） B．（0，1） C．（-∞，0） D．（-∞，0）∪（1，+∞）
9．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x），f′（0）>0，对于任意实数x都有f（x）≥0，则的最小值为
A． 3 B． C．2 D．
10．在平面直角坐标系xOy，已知平面区域A=｛（x，y）︱x+y≤1且x≥0，y≥0｝，则平面区域的面积为
A．2 B．1 C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。
11．若，.则tana·tanβ= ▲ .
12．某校开设9门课程供学生选修，其中A，B，C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修4门，共有 ▲ 种不同选修方案。（用数值作答）
13．已知函数f（x）=x3－12x+8在区间[-3，3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m= ▲ .
14．正三棱锥P－ABC高为2，侧棱与底面所成角为45°，则点A到侧面PBC的距离是▲ .
15．在平面直角坐标系xOY中，已知△ABC顶点A（-4，0）和C（4，0），顶点B在椭圆上，则 ▲ 。
16．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t=0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B两点的距离d（cm）表示成t（s）的函数，则d= ▲ ，其中t∈[0，60]。
三、解答题：本大题共5小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留到小数点后面第2位）
（1）5次预报中恰有2次准确的概率；（4分）
（2）5次预报中至少有2次准确的概率；（4分）
（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率；（4分）
18．（本小题满分12分）如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE=FC1=1，
（1）求证：E，B，F，D1四点共面；（4分）
（2）若点G在BC上，，点M在BB1上，，垂足为H，求证：面BCC1B1；（4分）
（3）用表示截面EBFD1和面BCC1B1所成锐二面角大小，求。（4分）
19．（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点C（0，c）任作一直线，与抛物线y=x2相交于AB两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线交于P，Q。
（1）若，求c的值；（5分）
（2）若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线；（5分）
（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。（4分）
20．（本小题满分16分）
已知｛an｝是等差数列，｛bn｝是公比为q的等比数列，a1=b1，a2=b2≠a1，记Sn为数列｛bn｝的前n项和。
（1）若bk=am（m，k是大于2的正整数），求证：Sk-1=（m－1）a1；（4分）
（2）若b3=ai（i是某个正整数），求证：q是整数，且数列｛bn｝中每一项都是数列｛an｝中的项；（8分）
（3）是否存在这样的正数q，使等比数列｛bn｝中有三项成等差数列？若存在，写出一个q的值，并加以说明；若不存在，请说明理由；（4分）
21．（本小题满分16分）
已知a，b，c，d是不全为零的实数，函数，
，方程f（x）=0有实根，且f（x）=0的实数根都是g（f（x））=0的根，反之，g（f（x））=0的实数根都是f（x）=0的根。
（1）求的值；（3分）
（2）若a=0，求的取值范围；（6分）
（3）若a=1，f（1）=0，求的取值范围。（7分）
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参考答案
一、选择题：本题考查基本概念和基本运算。每小题5分，共计50分。
1．D 2．A 3．A 4．C 5．D 6．B 7．B 8．A 9．C 10．B
二、填空题：本题考查基础知识和基本运算。每小题5分，共计30分。
11． 12．75 13．32 14． 15． 16．
三、解答题
17．本小题主要考查概率的基本概念、互斥事件有一个发生及相互独立事件同时发生概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力。满分12分。
解：（1）5次预报中恰有2次准确的概率为
（2）5次预报中至少有2次准确的概率为
（3）“5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确”的概率为
18．本小题主要考查平面的基本性质、或以平行、线面垂直、二面角等基础知识和基本运算，考查空间想象力、逻辑推理能力和运算能力，满分12分。
解法一：
（1）如图：在DD1上取点N，使DN=1，连结EN，则AE=DN=1，CF=ND1=2
因为AE∥DN，ND1∥CF，所以四边形ADNE、CFD1N都为平行四边形。
从而ENAD，FD1∥CN。
又因为ADBC，所以ENBC，故四边形BCNE是平行四边形，由此推知CN∥BE，从而FD1∥BE。
（2）如图，GM⊥BF，又BM⊥BC，所以∠BCM=∠CFB，BM=BC·tan∠CFB=BG·∠CFB=BC·
因为AEBM，所以ABME为平行四边形，从而AB∥EM
又AB⊥平面BCC1B1，所以EM⊥平面BCC1B1
（3）如图，连结EH
因为MH⊥BF，EM⊥BF，所以BF⊥平面EMH，得EH⊥BF
于是∠EHM是所求的二面角的平面角，即∠EHM=0
因为∠MBH=∠CFB，所以
MH=BM·sin∠MBH=BM·sin∠CFB
解法二：
（1）建立如图所示的坐标系，则
所以
故共面
又它们有公共点B，
所以E、B、F、D1四点共面。
（2）如图，设M（0，0，z）则
而，由题设得
，得z=1
因为M（0，0，1），E（3，0，1），有=（3，0，0）
又，，所以，从而ME⊥BB1，ME⊥BC
故ME⊥BB1，平面BCC1B1
（3）设向量⊥截面EBFD1，于是
而，得，解得x=-1，y=-2，所以
又⊥平面BCC1B1，所以和的夹角等于θ或л-θ（θ为锐角）
于是
故
19．本小题主要考查抛物线的基本性质、直线与抛物线位置关系、向量的数量积、导数的应用、简易逻辑等基础知识和基本运算，考查分析问题、探索问题的能力，满分14分。
解：
（1）设直线AB的方程为y=kx+c，将该方程代入y=x2得x2－kx－c=0
令A（a，a2），B（b，b2），则ab=﹣c
因为，解得c=2，
或c=﹣1（舍去）
故c=2
（2）由题意知，直线AQ的斜率为
又r=x2的导数为r′=2x，所以点A处切线的斜率为2a
因此，AQ为该抛物线的切线
（3）（2）的逆命题成立，证明如下：
设Q（x0，﹣c）
若AQ为该抛物线的切线，则kAQ=2a
又直线AQ的斜率为，所以
得2ax0=a2+ab，因a≠0，有
20．
解：设的公差为，由，知，（）
（1）因为，所以，
，
所以
（2），由，
所以解得，或，但，所以，因为是正整数，所以是整数，即是整数，设数列中任意一项为
，
设数列中的某一项=
现在只要证明存在正整数，使得，即在方程 中有正整数解即可，，
所以：
，若，则，那么，当时，因为，只要考虑的情况，因为，所以，因此是正整数，所以是正整数，因此数列中任意一项为
与数列的第项相等，从而结论成立。
（3）设数列中有三项成等差数列，则有
2设，所以2，令，则，因为，所以，所以，即存在使得中有三项成等差数列。
21．解
（1）设是的根，那么，则是的根，则即，所以。
（2）因为，所以，则
==0的根也是的根。
（a）若，则，此时的根为0，而的根也是0，所以，
（b）若，当时，的根为0，而的根也是0，当时，
的根为0和，而的根不可能为0和，所以必无实数根，所以所以，从而
所以当时，；当时，。
（3），所以，即的根为0和1，
所以=0必无实数根，
（a）当时，==，即函数在，恒成立，又，所以，即所以；
（b）当时，==，即函数在，恒成立，又，所以，
，而，所以，所以不可能小于0，
（c）则这时的根为一切实数，而，所以符合要求。
所以
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一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分．
1.的最小正周期为，其中，则= ▲ ．
2．一个骰子连续投2 次，点数和为4 的概率 ▲ ．
3.表示为，则= ▲ ．
4.A=，则A Z 的元素的个数 ▲ ．
5.，的夹角为，， 则 ▲ ．
6.在平面直角坐标系中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域， E是到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率 ▲ ．
7.算法与统计的题目
8.直线是曲线的一条切线，则实数b＝ ▲ ．
9在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C (c,0) ，点P（0，p）在线段AO 上（异于端点），设a,b,c, p 均为非零实数，直线BP,CP 分别交AC , AB 于点E ,F ，一同学已正确算的OE的方程：，请你求OF的方程：
（ ▲ ）.
10．将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
． ． ． ． ． ． ．
按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为 ▲ ．
11.已知，，则的最小值 ▲ ．
12.在平面直角坐标系中，椭圆1( 0)的焦距为2，以O为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率= ▲ ．
13．若AB=2, AC=BC ，则的最大值 ▲ ．
14.对于总有≥0 成立，则= ▲ ．
二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角,，它们的终边分别与单位圆相交于A,B 两点，已知A,B 的横坐标分别为．
（Ⅰ）求tan()的值；
（Ⅱ）求的值．
16．在四面体ABCD 中，CB= CD, AD⊥BD，且E ,F分别是AB,BD 的中点，
求证：（Ⅰ）直线EF ∥面ACD ；
（Ⅱ）面EFC⊥面BCD ．
17．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD的中点P 处，已知AB=20km,
CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A,B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为km．
（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：
①设∠BAO=(rad)，将表示成的函数关系式；
②设OP(km) ，将表示成x的函数关系式．
（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．
18．设平面直角坐标系中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．求：
（Ⅰ）求实数b 的取值范围；
（Ⅱ）求圆C 的方程；
（Ⅲ）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论．
19.（Ⅰ）设是各项均不为零的等差数列（），且公差，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：
①当n =4时，求的数值；②求的所有可能值；
（Ⅱ）求证：对于一个给定的正整数n(n≥4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列．
20.若，，为常数，
且
（Ⅰ）求对所有实数成立的充要条件（用表示）；
（Ⅱ）设为两实数，且,若
求证：在区间上的单调增区间的长度和为（闭区间的长度定义为）．
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数学参考答案
一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分．
1. 【答案】10
【解析】本小题考查三角函数的周期公式.
2．【答案】
【解析】本小题考查古典概型．基本事件共6×6 个，点数和为4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3 个，故
3. 【答案】1
【解析】本小题考查复数的除法运算．∵ ，∴＝0，＝1，因此
4. 【答案】0
【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式．由得,∵Δ＜0，∴集合A 为 ，因此A Z 的元素不存在．
5. 【答案】7
【解析】本小题考查向量的线性运算．
=，7
6. 【答案】
【解析】本小题考查古典概型．如图：区域D 表示边长为4 的正方形的内部（含边界），区域E 表示单位圆及其内部，因此．
7.算法与统计的题目
8. 【答案】ln2－1
【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法． ，令得，故切点（2，ln2），代入直线方程，得，所以b＝ln2－1．
9【答案】
【解析】本小题考查直线方程的求法．画草图，由对称性可猜想填．事实上，由截距式可得直线AB：，直线CP： ，两式相减得，显然直线AB与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程．
10．【答案】
【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前n－1 行共有正整数1＋2＋…＋（n－1）个，即个，因此第n 行第3 个数是全体正整数中第＋3个，即为．
11. 【答案】3
【解析】本小题考查二元基本不等式的运用．由得，代入得
，当且仅当＝3 时取“＝”．
12. 【答案】
【解析】设切线PA、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于PA，所以△OAP 是等腰直角三角形，故，解得．
13．【答案】
【解析】本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想．设BC＝，则AC＝ ，
根据面积公式得=，根据余弦定理得
，代入上式得
=
由三角形三边关系有解得，
故当时取得最大值
14. 【答案】4
【解析】本小题考查函数单调性的综合运用．若x＝0，则不论取何值，≥0显然成立；当x＞0 即时，≥0可化为，
设，则， 所以 在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此，从而≥4；
当x＜0 即时，≥0可化为，
在区间上单调递增，因此，从而≤4，综上＝4
二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．【解析】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式．
解：由条件的，因为,为锐角，所以=
因此
（Ⅰ）tan()=
（Ⅱ） ，所以
∵为锐角，∴，∴=
16．【解析】本小题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系的判定．
解：（Ⅰ）∵ E,F 分别是AB,BD 的中点，
∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF∥AD，
∵EF面ACD ，AD 面ACD ，∴直线EF∥面ACD ．
（Ⅱ）∵ AD⊥BD ，EF∥AD，∴ EF⊥BD.
∵CB=CD, F 是BD的中点，∴CF⊥BD.
又EFCF=F，∴BD⊥面EFC．∵BD面BCD，∴面EFC⊥面BCD ．
17．【解析】本小题主要考查函数最值的应用．
解：（Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO=(rad) ，则, 故
，又OP＝10－10ta，
所以，
所求函数关系式为
②若OP=(km) ，则OQ＝10－，所以OA =OB=
所求函数关系式为
（Ⅱ）选择函数模型①，
令0 得sin ，因为，所以=，
当时， ，是的减函数；当时， ，是的增函数，所以当=时，。这时点P 位于线段AB 的中垂线上，且距离AB 边
km处。
18．【解析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法．
解：（Ⅰ）令＝0，得抛物线与轴交点是（0，b）；
令，由题意b≠0 且Δ＞0，解得b＜1 且b≠0．
（Ⅱ）设所求圆的一般方程为
令＝0 得这与＝0 是同一个方程，故D＝2，F＝．
令＝0 得＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝―b―1．
所以圆C 的方程为.
（Ⅲ）圆C 必过定点（0，1）和（－2，1）．
证明如下：将（0，1）代入圆C 的方程，得左边＝0＋1＋2×0－（b＋1）＋b＝0，右边＝0，
所以圆C 必过定点（0，1）．
同理可证圆C 必过定点（－2，1）．
19.【解析】本小题主要考查等差数列与等比数列的综合运用．
（Ⅰ）①当n＝4 时，中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d＝0．
若删去，则有即
化简得＝0，因为≠0，所以=4 ；
若删去，则有，即，故得=1．
综上=1或－4．
②当n＝5 时， 中同样不可能删去首项或末项．
若删去，则有＝，即．故得=6 ；
若删去，则＝，即．
化简得3＝0，因为d≠0，所以也不能删去；
若删去，则有＝，即．故得= 2 ．
当n≥6 时，不存在这样的等差数列．事实上，在数列，，，…，，， 中，
由于不能删去首项或末项，若删去，则必有＝，这与d≠0 矛盾；同样若删
去也有＝，这与d≠0 矛盾；若删去，…， 中任意一个，则必有
＝，这与d≠0 矛盾．
综上所述，n∈{4，5}．
（Ⅱ）略
20.【解析】本小题考查充要条件、指数函数与绝对值函数、不等式的综合运用．
（Ⅰ）恒成立
（*）
因为
所以，故只需（*）恒成立
综上所述，对所有实数成立的充要条件是：
（Ⅱ）1°如果，则的图象关于直线对称．因为，所以区间关于直线 对称．
因为减区间为，增区间为，所以单调增区间的长度和为
2°如果.
（1）当时.，
当，因为，所以，
故=
当，因为，所以
故=
因为，所以，所以即
当时，令，则，所以，
当时，，所以=
时，，所以=
在区间上的单调增区间的长度和
=
（2）当时.，
当，因为，所以，
故=
当，因为，所以
故=
因为，所以，所以
当时，令，则，所以，
当时， ，所以=
时，，所以=
在区间上的单调增区间的长度和
=
综上得在区间上的单调增区间的长度和为
绝密★启用前
2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学Ⅰ
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本试卷共4页，包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）。本卷满分160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。
2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整，笔迹清楚。
5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
6.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。
参考公式：
样本数据的方差
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位置上.
1.若复数，其中是虚数单位，则复数的实部为★.
。
2.已知向量和向量的夹角为，，则向量和向量的数量积 ★ .
。
3.函数的单调减区间为 ★ .
，由得单调减区间为。
1
1
O
x
y
4.函数为常数，在闭区间上的图象如图所示，则 ★ .
，，所以，
5.现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为 ★ .
0.2。
6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：
学生
1号
2号
3号
4号
5号
甲班
6
7
7
8
7
乙班
6
7
6
7
9
开始
输出
结束
Y
N
则以上两组数据的方差中较小的一个为 ★ .
。
7.右图是一个算法的流程图，最后输出的 ★ .
228.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 ★ .
1：8。
9.在平面直角坐标系中，点P在曲线上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为 ★ .
。
10.已知，函数，若实数满足，则的大小关系为 ★ .
。11.已知集合，，若则实数的取值范围是，其中 ★ .
4．由得，；由知，所以4。
12.设和为不重合的两个平面，给出下列命题：
（1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；
（2）若外一条直线与内的一条直线平行，则和平行；
（3）设和相交于直线，若内有一条直线垂直于，则和垂直；
（4）直线与垂直的充分必要条件是与内的两条直线垂直.
上面命题中，真命题的序号 ★ （写出所有真命题的序号）.
（1）（2）。13．如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为 ★ .
x
y
A1
B2
A2
O
T
M
。
14．设是公比为的等比数列，，令若数列有连续四项在集合中，则 ★ .
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.
15．（本小题满分14分）
设向量
（1）若与垂直，求的值；
（2）求的最大值;
（3）若，求证：∥.
所以∥.
16．（本小题满分14分）
如图，在直三棱柱中，分别是的中点，点在上，
A
B
C
A1
B1
C1
E
F
D
求证：（1）∥
（2）
17．（本小题满分14分）
设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足
（1）求数列的通项公式及前项和；
（2）试求所有的正整数，使得为数列中的项.
（1）设公差为，则，由性质得，因为，所以，即，又由得，解得，
18．（本小题满分16分）
在平面直角坐标系中，已知圆和圆
x
y
O
1
1
.
.
（1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；
（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂的直线，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标. 或，
点P坐标为或。
19.(本小题满分16分)
按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为元，如果他卖出该产品的单价为元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为元，则他的满意度为.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为和，则他对这两种交易的综合满意度为.
现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为元和元，甲买进A与卖出B的综合满意度为，乙卖出A与买进B的综合满意度为
(1) 求和关于、的表达式；当时，求证：=；
(2) 设，当、分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？
(3) 记(2)中最大的综合满意度为，试问能否适当选取、的值，使得和同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。
(4) 求和关于、的表达式；当时，求证：=；
(5) 设，当、分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？
(6) 记(2)中最大的综合满意度为，试问能否适当选取、的值，使得和同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。
(2)当时，
由，故当即时，甲乙两人同时取到最大的综合满意度为
20．(本小题满分16分)
设为实数，函数.
(1) 若，求的取值范围；
(2) 求的最小值；
(3) 设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集.
(4) 若，则
(5) 当时，
当时，
综上
(3) 时，得，
当时，；
参考公式：
锥体的体积公式：，其中是锥体的底面面积，是高.
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应的位置上.
1. 设集合，，，则实数的值为 ▲ .
2. 设复数满足（其中为虚数单位），则的模为 ▲ .
3. 盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是 ▲ .
4. 某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有 ▲ 根在棉花纤维的长度小于20mm.
5. 设函数是偶函数，则实数a= ▲ .
6. 平面直角坐标系中，双曲线上一点M，点M的横坐标
是3，则M到双曲线右焦点的距离是 ▲ .
（第4题图）
（第16题图）
7. 右图是一个算法的流程图，则输出S的值是 ▲ .
8. 函数的图像在点(ak,ak2)处的切线与轴交点的横坐标为ak+1,k为正
整数，a1=16，则a1+a3+a5= ▲ .
9. 在平面直角坐标系中，已知圆上有且仅有四个点到直线
的距离为1，则实数的取值范围是 ▲ .
10. 定义在区间上的函数的图像与的图像的交点为P，
过点P作PP1⊥轴于点P1，直线PP1与的图像交于点P2,则线段P1P2的
（第7题图）
长为 ▲ .
11. 已知函数,则满足不等式的的范围是 ▲ .
12. 设实数满足，则的最大值是 ▲ .
13. 在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，，则= ▲ .
14. 将边长为正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记,则S的最小值是 ▲ .
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.
15.（本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1).
（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
（2）设实数t满足()·=0，求t的值.
16. （本小题满分14分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=900.
（1）求证：PC⊥BC；
（2）求点A到平面PBC的距离.
17. （本小题满分14分）
某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度，仰角 ∠ABE=，∠ADE=.
（1）该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值；
（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离（单位：），使与之差较大，可以提高测量精确度.若电视塔的实际高度为125，试问为多少时，-最大？
（第17题图）
18. （本小题满分16分）
在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左右顶点为A,B，右焦点为F，设过点（）的直线与椭圆分别交于点，，其中,.
（1）设动点P满足,求点P的轨迹；
（2）设，求点的坐标；
（3）设,求证：直线必过轴上的一定点.（其坐标与无关）
（第18题图）
19.（本小题满分16分）
设各项均为正数的数列的前n项和为，已知，数列是公差为的等差数列.
（1）求数列的通项公式（用表示）
（2）设为实数，对满足的任意正整数，不等式都成立，求证： 的最大值为.
20.（本小题满分16分）
设是定义在区间上的函数，其导函数为.如果存在实数和函数，其中对任意的都有>0，使得，则称函数具有性质.
（1）设函数，其中为实数
（ⅰ）求证：函数具有性质；
（ⅱ）求函数的单调区间；
（2）已知函数具有性质，给定，，且，若||<||,求的取值范围.
2011江苏高考数学试卷
注意事项：
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1. 本试卷共4页，均为非选择题（第1题-第20题，共20题）。本卷满分为160分。考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2. 答题前请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3. 请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4. 作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5. 如需作图，须用2B铅笔绘，写清楚，线条，符号等须加黑加粗。
参考公式：
（1） 样本数据x1 ,x2 ，…，xn的方差s2=（xi -）2,其中.
（2） (2)直棱柱的侧面积S=ch ,其中c为底面积，h 为高.
（3）棱柱的体积V= Sh ，其中S为底面积，h 为高.
一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位置上。
1、已知集合 则
2、函数的单调增区间是__________
3、设复数i满足（i是虚数单位），则的实部是_________
4、根据如图所示的伪代码，当输入分别为2，3时，最后输出的m的值是________
Read a，b
If a>b Then
ma
Else
mb
End If
Print m
5、从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______
6、某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差
7、已知 则的值为__________
8、在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是________
9、函数是常数，的部分图象如图所示，则
10、已知是夹角为的两个单位向量， 若，则k的值为
11、已知实数，函数，若，则a的值为________
12、在平面直角坐标系中，已知点P是函数的图象上的动点，该图象在P处的切线交y轴于点M，过点P作的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_____________
13、设，其中成公比为q的等比数列，成公差为1的等差数列，则q的最小值是________
14、设集合,
, 若 则实数m的取值范围是______________
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程活盐酸步骤。
15、在△ABC中，角A、B、C所对应的边为
（1）若 求A的值；
（2）若，求的值.
16、如图，在四棱锥中，平面PAD⊥平面ABCD，
AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点
求证：（1）直线EF‖平面PCD；
（2） 平面BEF⊥平面PAD
17、请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm
（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问x应取何值？
（2）若广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。
P
18、如图，在平面直角坐标系中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k
N
M
P
A
x
y
B
C
（1）当直线PA平分线段MN，求k的值；
（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；
（3）对任意k>0，求证：PA⊥PB
19、已知a，b是实数，函数 和是的导函数，若在区间I上恒成立，则称和在区间I上单调性一致
（1）设，若函数和在区间上单调性一致,求实数b的取值范围；
（2）设且，若函数和在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a-b|的最大值
20、设M为部分正整数组成的集合，数列的首项，前n项和为，已知对任意整数k属于M，当n>k时，都成立
（1）设M=｛1｝，，求的值；（2）设M=｛3，4｝，求数列的通项公式
★此卷上交考点保存★ 姓名 准考证号
绝密★启用前
2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学Ⅰ
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：
1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。本卷满分为160分。考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4．作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
参考公式：
棱锥的体积，其中为底面积，为高．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．已知集合，，则 ▲ ．
2．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 ▲ 名学生．
开始
k←1
3．设，（i为虚数单位），则的值
为 ▲ ．
4．右图是一个算法流程图，则输出的k的值是 ▲ ．
k←k +1
N
k2－5k+4>0
5．函数的定义域为 ▲ ．
Y
6．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的
输出k
等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8
的概率是 ▲ ．
结束
（第4题）
D
A
B
C
7．如图，在长方体中，，，
则四棱锥的体积为 ▲ cm3．
8．在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率
（第7题）
A
B
C
E
F
D
为，则m的值为 ▲ ．
9．如图，在矩形ABCD中，点E为BC的中点，
点F在边CD上，若，则的值是 ▲ ．
10．设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，
（第9题）
其中．若，
则的值为 ▲ ．
11．设为锐角，若，则的值为 ▲ ．
12．在平面直角坐标系中，圆C的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是 ▲ ．
13．已知函数的值域为，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为 ▲ ．
14．已知正数满足：则的取值范围是 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
在中，已知．
（1）求证：；
（2）若求A的值．
16．（本小题满分14分）
F
如图，在直三棱柱中，，分别是棱上的点（点D 不同于点C），且为的中点．
E
求证：（1）平面平面；
（2）直线平面ADE．
A
C
D
B
（第16题）
17．（本小题满分14分）
如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
（1）求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
x（千米）
y（千米）
O
（第17题）
18．（本小题满分16分）
若函数在x=x0取得极大值或者极小值则x=x0是的极值点
已知a，b是实数，1和是函数的两个极值点．
（1）求a和b的值；
（2）设函数的导函数，求的极值点；
（3）设，其中，求函数的零点个数．
19．（本小题满分16分）
A
B
P
O
x
y
（第19题）
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别为，．已知和都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线
与直线平行，与交于点P．
（i）若，求直线的斜率；
（ii）求证：是定值．
20．（本小题满分16分）
已知各项均为正数的两个数列和满足：．
（1）设，求证：数列是等差数列；
（2）设，且是等比数列，求和的值．
★此卷上交考点保存★ 姓名 准考证号
绝密★启用前
2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学Ⅱ(附加题)
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：
1．本试卷共2页，均为非选择题（第21题～第23题）。本卷满分为40分。考试时间为30分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4．作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作
答．若多做，则按作答的前两题评分．
解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．[选修4 - 1：几何证明选讲]（本小题满分10分）
A
E
B
D
C
O
如图，AB是圆O的直径，D，E为圆上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，使BD = DC，连结AC，AE，DE．
求证：．
（第21-A题）
B．[选修4 - 2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
已知矩阵A的逆矩阵，求矩阵A的特征值．
C．[选修4 - 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在极坐标中，已知圆C经过点，圆心为直线与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．
D．[选修4 - 5：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知实数x，y满足：求证：．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
设为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，．
（1）求概率；
（2）求的分布列，并求其数学期望．
23．（本小题满分10分）
设集合，．记为同时满足下列条件的集合A的个数：
①；②若，则；③若，则．
（1）求；
（2）求的解析式（用n表示）．
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