高考数学小题集训——计数原理与概率一

高考数学小题集训——计数原理与概率一

‎2019-2020年高考数学小题集训——计数原理与概率（一）‎ 一、选择题 ‎1.用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是（ ）‎ A．48 B. 60 C. 72 D.120‎ ‎2.6名同学安排到3个社区A、B、C参加志愿者服务，每个社区安排两名同学，其中甲同学必须到A社区，乙和丙同学均不能到C社区，则不同的安排方法种数为（ ）‎ A．5 B．6 C．9 D．12‎ ‎3.郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有（ ）‎ A．168种 B．156种 C．172种 D．180种 ‎ ‎4.将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，清华大学，浙江大学等三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法数为（ ）‎ A．150种 B．180种 C.240种 D．540种 ‎5.某天某校的校园卫生清扫轮到高二(5)班，该班劳动委员把班级同学分为5个劳动小组，该校共有A、B、C、D四个区域要清扫，其中A、B、C三个区域各安排一个小组，D区域安排2个小组，则不同的安排方法共有（ ）‎ A．240种 B.150种 C.120种 D.60种 ‎6.一只小青蛙位于数轴上的原点处，小青蛙每一次具有只向左或只向右跳动一个单位或者两个单位距离的能力，且每次跳动至少一个单位.若小青蛙经过5次跳动后，停在数轴上实数2位于的点处，则小青蛙不同的跳动方式共有( )种.‎ A.105 B.95 C.85 D.75‎ ‎7.展开式中项的系数为 A． B． C． D．‎ ‎8.某班级要从4名男生2名女生中选派4人参加某次社区服务，则所选的4人中至少有一名女生的选法为（ ）‎ A．14 B．8 C．6 D．4‎ ‎9.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（ ）‎ A．24 B．48 C．60 D．72‎ ‎10.已知三棱锥的6条棱代表6种不同的化工产品，有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的。现用编号为1,2,3的三个仓库存放这6种化工产品，每个仓库放2种，那么安全存放的不同方法种数为（ ）‎ A.12 B.24 C.36 D.48‎ ‎11.若对任意实数x，有，则（ ）‎ A．121 B．122 C．242 D．244‎ ‎12.2018年平昌冬奥会期间，5名运动员从左到右排成一排合影留念，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法种数为（ ）‎ A．21 B．36 C．42 D．84‎ ‎13.记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照,要求排成一排, 2位老人相邻但不排在两端,不同的排法共有(   )‎ A.1440种      B.960种       C.720种       D.480种 ‎14.将7个座位连成一排，安排4个人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有（ ）‎ A. 240 B. 480 C. 720 D. 960‎ ‎15.若等式对于一切实数都成立，则 （ ）‎ A． B． C． D．0 ‎ ‎16.的展开式中的常数项为（ ）‎ A．－6 B．6 C．12 D．18‎ ‎17.有4位游客来某地旅游，若每人只能从此处甲、乙、丙三个不同景录点中选择一处游览，则每个景点都有人去游览的概率为( ）‎ A． B． C. D．‎ ‎18.《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 A． B． C． D． ‎ ‎19.已知随机变量服从正态分布,若，则（ ）‎ A．0.6827 B．0.8522 C．0.9544 D．0.9772 ‎ ‎20.三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法.如图是刘徽利用正六边形计算圆周率时所画的示意图，现向圆中随机投掷一个点，则该点落在正六边形内的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎21.若，则（ ）‎ A．且 B．且 C．且 D．且 ‎22.在区间［0,1］上任意取两个实数a,b,则函数在区间[－1,1]‎ 上有且仅有一个零点的概率为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎23.已知复数z = x+yi(x,y∈R)满足|z|≤1，则y≥x+1的概率为 A． B． C． D．‎ ‎24.在区间上随机地取两个数x、y,则事件“”发生的概率为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎25.一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎26.根据以往数据统计,某酒店一商务房间1天有客人入住的概率为，连续2天有客人入住的概率为,在该房间第一天有客人入住的条件下,第二天也有客人入住的概率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎27.从装有形状大小相同的3个黑球和2个白球的盒子中依次不放回地任意抽取3次，若第二次抽得黑球，则第三次抽得白球的概率等于 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎28.甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军.若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为,且各局比赛结果相互独立.则在甲获得冠军的情况下,比赛进行了3局的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎29.下列说法正确的是（ ）‎ A．一枚骰子掷一次得到2点的概率为，这说明一枚骰子掷6次会出现一次2点 ‎ B．某地气象台预报说，明天本地降水的概率为70%，这说明明天本地有70%的区域下雨，30%的区域不下雨 C．某中学高二年级有12个班，要从中选2个班参加活动，由于某种原因，一班必须参加，另外再从二至十二班中选一个班，有人提议用如下方法：掷两枚骰子得到的点数是几，就选几班，这是很公平的方法 D．在一场乒乓球赛前，裁判一般用掷硬币猜正反面来决定谁先打球，这应该说是公平的 30. 设集合，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面 上的一个点，记点落在直线上”为事件，若事件的概率最大，则n的所有可能值为（    ）                 ‎ ‎ A．3                     B．4                     C．2和5              D．3和4‎ 二、填空题 ‎31.已知整数系数多项式，若，则 .‎ ‎32.要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔—人，那么不同的发言顺序共有 种（用数字作答）.‎ 33. 将A，B，C，D，E五个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有 ‎ ‎ 种(结果用数值作答).‎ ‎34.已知，则 的值为 .‎ ‎35.在报名的3名男教师和5名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男女教师都有，则不同的选取方式的种数为 (结果用数值表示).‎ ‎36.若的展开式中所有项系数的绝对值之和为1024，则展开式中常数项是____.‎ ‎37.已知的展开式中含项的系数为－14，则 .‎ ‎38.《中国诗词大会》节目组决定把《将进酒》、《山居秋暝》、《望岳》、《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场，并要求《将进酒》与《望岳》相邻，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻，且均不排在最后，则后六场开场诗词的排法有 种.（用数字作答） ‎ ‎39.要对如图所示的四个部分进行着色，要求相邻的两块不能用同一种颜色，现有五种不同的颜色可供选择，则共有 种不同的着色方法.（用数字作答）‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎④‎ ‎③‎ ‎40.2018年6月份上合峰会在青岛召开,面向高校招募志愿者,中国海洋大学海洋环境学院的8名同学符合招募条件并审核通过,其中大一、大二、大三、大四每个年级各2名.若将这8名同学分成甲乙两个小组,每组4名同学,其中大一的两名同学必须分到同一组,则分到乙组的4名同学中恰有2名同学是来自于同一年级的分组方式共有 种．‎ ‎41.某校有高级教师26人，中级教师104人其他教师若干人.为了了解该校教师的工资收入情况，若按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查，已知从其他教师中共抽取了16人，则该校共有教师 人． ‎ ‎42.从如图所示的由9个单位小方格组成的3×3方格表的16个顶点中任取三个顶点，则这三个点构成直角三角形的概率为 .‎ ‎43.一枚骰子连续投掷四次，从第二次起每次出现的点数都不小于前一次出现的点数的概率为 ．‎ ‎44.甲乙两人打乒乓球,甲每局获胜的概率为,当有一人领先两局的时候比赛终止比赛的总局数为的概率为,这里要求,则 ．‎ ‎45.将1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数随即填入3×3的方格中，每个小方格恰填写一个数，且所填的数各不相同，则使每行、每列所填的数之和都是奇数的概率为__ .‎ ‎46.从1,2,…,10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差的概率= ．‎ ‎47.如果把四个面都是直角三角形的四面体称为“三节棍体”，那么从长方体八个顶点中任取四个顶点，则这四个顶点是“三节棍体”的四个顶点的概率为__________.‎ ‎48.抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次试验成功，则在8次试验中，成功次数ξ的期望是 .‎ ‎49.某班准备到郊外野营，为此向商店定了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则淋雨的概率是 . ‎ ‎50.已知随机变量，且，则 ．‎ ‎51.已知某线路公交车从6：30首发，每5分钟一班，甲、乙两同学都从起点站坐车去学校，若甲每天到起点站的时间是在6：30--7：00任意时刻随机到达，乙每天到起点站的时间是在6：45-7：15任意时刻随机到达，那么甲、乙两人搭乘同一辆公交车的概率是__________．‎ ‎ ‎ 参考答案 ‎1.A 数字出现在第位时，数字中相邻的数字出现在第位或者位，‎ 共有个 数字出现在第位时，同理也有个 数字出现在第位时，数字中相邻的数字出现在第位或者位，‎ 共有个 故满足条件的不同的五位数的个数是个 故选 ‎2.C ‎3.B 分类：（1）小李和小王去甲、乙，共种（2）小王，小李一人去甲、乙，共种，（3）小王，小李均没有去甲、乙，共种，总共N种，选B.‎ ‎4.A 先将个人分成三组, 或,分组方法有中,再将三组全排列有种,故总的方法数有种.‎ ‎5.D 根据题意，分2步分析：‎ ‎①，先在5个劳动小组中任选2个，安排到D区域，有C52=10种选法，‎ ‎②，将剩下的3个小组全排列，安排到A、B、C三个区域，有A33=6种情况，‎ 则有10×6=60种不同的安排方法，‎ ‎6.A 根据题意，分4种情况讨论：‎ ‎①，小青蛙向左跳一次2个单位，向右跳4次，每次1个单位，有C51=5种情况，‎ ‎②，小青蛙向左跳2次，每次2个单位，向右跳3次，每次2个单位，有C52=10种情况，‎ ‎③，小青蛙向左跳2次，一次2个单位，一次1个单位，向右跳3次，2次2个单位，1次1个单位，‎ 有C52A33=60种情况，‎ ‎④，小青蛙向左跳2次，每次1个单位，向右跳3次，1次2个单位，2次1个单位，有C52C32=30种情况，‎ 则一共有5+10+60+30=105种情况，即有105种不同的跳动方式．‎ ‎7.A 8.A 9.D ‎10.D 设种产品分别为，画出图像如下图所示，根据题意，安全的分组方法有，，，，共种，每一种分组方法安排到3个仓库，有种方法，故总的方法种数有种，故选D.‎ ‎11.B ‎ ，‎ 且 ，‎ ‎.‎ 故选：B.‎ ‎12.C 根据题意，最左端只能排甲或乙，则分两种情况讨论：‎ ‎①最左边排甲，则剩下4人进行全排列，有种安排方法；‎ ‎②最左边排乙，则先在剩下的除最右边的3个位置选一个安排甲，有3种情况，‎ 再将剩下的3人全排列，有种情况，此时有种安排方法，‎ 则不同的排法种数为种.‎ 故选：C.‎ ‎13.A 14.B 15.B 16.B 17.D 18.C 19.C ‎20.A 设圆的半径为，则圆的面积，正六边形的面积，所以向圆中随机投掷一个点，该点落在正六边形内的概率，故选A.‎ ‎21.A 根据二项分布的期望与方差的公式，‎ 即可得，故选A．‎ ‎22.D ‎23.C 在单位圆上动，故概率为 ‎24.D ‎25.A 画出正三角形，以其每个顶点为圆心作半径为2的圆弧与正三角形相交，蚂蚁爬行的区域不能在3扇形内，故.‎ ‎26.D ‎27.D .‎ ‎28.B 29.D ‎30.D 事件的总事件数为6。只要求出当n=2,3,4,5时的基本事件个数即可。‎ 当n=2时，落在直线上的点为（1，1）；‎ 当n=3时，落在直线上的点为（1,2）、（2,1）；‎ 当n=4时，落在直线上的点为（1,3）、（2,2）；‎ 当n=5时，落在直线上的点为（2,3）；‎ 显然当n=3,4时，事件的概率最大为。‎ ‎  ‎ ‎31.24 32.120‎ ‎33.80‎ 按的位置分类，当在第三个位置时，共有种排法；‎ 当在第四个位置时，共有种不同的排法；‎ 当在第五高为位置时，共有种不同的排法，‎ 所以当都在的左侧时，共有种不同的排法，‎ 所以都在的同侧时，共有种不同的排法. ‎ ‎34.63‎ 由二项式定理得，‎ 所以，解得，‎ 所以，‎ 所以. ‎ ‎35.120‎ 由题意得，可采用间接法：从男女组成的中，选出人，共有种不同的选法；其中人中全是女教师的有种选法，故共有种选法．‎ ‎36.-90‎ 令，得，展开式常数项为 ‎37. ‎ 根据乘法分配律得 ，，.，，表示圆心在原点，半径为的圆的上半部分.当时，，故.‎ ‎38.36‎ 根据题意，分2步分析：‎ ‎①将《将进酒》与《望岳》捆绑在一起和另外确定的两首诗词进行全排列，共有种排法，‎ ‎②再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在3个空里（最后一个空不排），有种排法，‎ 则后六场的排法有=36（种）.‎ ‎39.180 40. 24 41.182 42. 43. ‎ ‎44. 45. 46.‎ ‎47.‎ 从8个顶点任取4个有种，构成三节棍体的三棱锥有一个面在长方体的面上，所以有种.‎ ‎48. 49. 50.128 51.‎