高考数学理二轮专题练习解答题的八个答题模板含答案

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高考数学理二轮专题练习解答题的八个答题模板含答案

解答题的八个答题模板 【模板特征概述】 数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型,通常是高考的把关题和压轴题,具有较好的 区分层次和选拔功能.目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力 的综合型解答题.在高考考场上,能否做好解答题,是高考成败的关键,因此,在高考备考 中学会怎样解题,是一项重要的内容.本节以著名数学家波利亚的《怎样解题》为理论依据, 结合具体的题目类型,来谈一谈解答数学解答题的一般思维过程、解题程序和答题格式,即 所谓的“答题模板”. “答题模板”就是首先把高考试题纳入某一类型,把数学解题的思维过程划分为一个个小题, 按照一定的解题程序和答题格式分步解答,即化整为零.强调解题程序化,答题格式化,在 最短的时间内拟定解决问题的最佳方案,实现答题效率的最优化. 模板 1 三角变换与三角函数的性质问题  已知函数 f(x)=2cos x·sin(x+π 3 )- 3sin2x+sin xcos x+1. (1)求函数 f(x)的最小正周期;(2)求函数 f(x)的最大值及最小值;(3)写出函数 f(x)的单调递增区 间. 审题路线图 不同角化同角→降幂扩角→化 f(x)=Asin(ωx+φ)+h→结合性质求解. 规 范 解 答 示 例 构 建 答 题 模 板 解 f(x)=2cos x( 1 2sin x+ 3 2 cos x)- 3sin2x+sin xcos x+1 =2sin xcos x+ 3(cos2x-sin2x)+1=sin 2x+ 3cos 2x+1 =2sin(2x+π 3)+1. (1)函数 f(x)的最小正周期为2π 2 =π. (2)∵-1≤sin(2x+π 3)≤1,∴-1≤2sin(2x+π 3)+1≤3. ∴当 2x+π 3=π 2+2kπ,k∈Z,即 x= π 12+kπ,k∈Z 时,f(x)取 得最大值 3; 当 2x+π 3=-π 2+2kπ,k∈Z,即 x=-5π 12+kπ,k∈Z 时,f(x) 取得最小值-1. (3)由-π 2+2kπ≤2x+π 3≤π 2+2kπ,k∈Z,得-5π 12+kπ≤x≤ π 12+ 第一步 化简:三角函数式的化简,一 般化成 y=Asin(ωx+φ)+h 的形式,即化 为“一角、一次、一函数”的形式. 第二步 整体代换:将 ωx+φ 看作一个 整体,利用 y=sin x,y=cos x 的性质确 定条件. 第三步 求解:利用 ωx+φ 的范围求条 件解得函数 y=Asin(ωx+φ)+h 的性质, 写出结果. 第四步 反思:反思回顾,查看关键点, 易错点,对结果进行估算,检查规范性. kπ,k∈Z. ∴函数 f(x)的单调递增区间为[-5π 12+kπ, π 12+kπ] (k∈Z). (2014·福建)已知函数 f(x)=cos x(sin x+cos x)-1 2. (1)若 0<α<π 2,且 sin α= 2 2 ,求 f(α)的值; (2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间. 解 方法一 (1)因为 0<α<π 2,sin α= 2 2 , 所以 cos α= 2 2 . 所以 f(α)= 2 2 ×( 2 2 + 2 2 )-1 2=1 2. (2)因为 f(x)=sin xcos x+cos2x-1 2 =1 2sin 2x+1+cos 2x 2 -1 2 =1 2sin 2x+1 2cos 2x = 2 2 sin(2x+π 4), 所以 T=2π 2 =π. 由 2kπ-π 2≤2x+π 4≤2kπ+π 2,k∈Z,得 kπ-3π 8 ≤x≤kπ+π 8,k∈Z. 所以 f(x)的单调递增区间为[kπ-3π 8 ,kπ+π 8],k∈Z. 方法二 f(x)=sin xcos x+cos2x-1 2 =1 2sin 2x+1+cos 2x 2 -1 2 =1 2sin 2x+1 2cos 2x = 2 2 sin(2x+π 4). (1)因为 0<α<π 2,sin α= 2 2 ,所以 α=π 4, 从而 f(α)= 2 2 sin(2α+π 4)= 2 2 sin3π 4 =1 2. (2)T=2π 2 =π. 由 2kπ-π 2≤2x+π 4≤2kπ+π 2,k∈Z,得 kπ-3π 8 ≤x≤kπ+π 8,k∈Z. 所以 f(x)的单调递增区间为[kπ-3π 8 ,kπ+π 8],k∈Z. 模板 2 解三角形问题  在△ABC 中,若 acos2C 2+ccos2A 2=3 2b. (1)求证:a,b,c 成等差数列; (2)求角 B 的取值范围. 审题路线图 (1)化简变形―→用余弦定理转化为边的关系―→变形证明 (2)用余弦定理表示角―→用基本不等式求范围―→确定角的取值范围 规 范 解 答 示 例 构 建 答 题 模 板 (1)证明 因为 acos2C 2+ccos2A 2=a·1+cos C 2 +c·1+cos A 2 =3 2b, 所以 a+c+(acos C+ccos A)=3b, 故 a+c+(a·a2+b2-c2 2ab +c·b2+c2-a2 2bc )=3b, 整理,得 a+c=2b,故 a,b,c 成等差数 列. (2)解 cos B=a2+c2-b2 2ac = a2+c2-( a+c 2 )2 2ac =3(a2+c2)-2ac 8ac ≥6ac-2ac 8ac =1 2, 因为 0c,已知 BA → ·BC → =2,cos B=1 3,b=3.求: (1)a 和 c 的值; (2)cos(B-C)的值. 解 (1)由BA → ·BC → =2 得 c·acos B=2. 又 cos B=1 3,所以 ac=6. 由余弦定理,得 a2+c2=b2+2accos B. 又 b=3,所以 a2+c2=9+2×6×1 3=13. 解Error!得Error!或Error! 因为 a>c,所以 a=3,c=2. (2)在△ABC 中, sin B= 1-cos2B= 1-(1 3 )2=2 2 3 , 由正弦定理, 得 sin C=c bsin B=2 3×2 2 3 =4 2 9 . 因为 a=b>c, 所以 C 为锐角, 因此 cos C= 1-sin2C= 1-(4 2 9 )2=7 9. 于是 cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C =1 3×7 9+2 2 3 ×4 2 9 =23 27. 模板 3 数列的通项、求和问题  (2014·江西)已知首项都是 1 的两个数列{an},{bn}(bn≠0,n∈N*)满足 anbn+1-an+1bn +2bn+1bn=0. (1)令 cn=an bn,求数列{an}的通项公式; (2)若 bn=3n-1,求数列{an}的前 n 项和 Sn. 审题路线图 (1)anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0→an+1 bn+1-an bn=2→cn+1-cn=2→cn=2n-1 (2)cn=2n-1→an=(2n-1)·3n-1 ― ― →错位相减法 得Sn 规 范 解 答 示 例 构 建 答 题 模 板 解 (1)因为 anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0(bn≠0, n∈N*), 所以an+1 bn+1-an bn=2,即 cn+1-cn=2, 第一步 找递推:根据已知条件确定数列相 邻两项之间的关系,即找数列的递推公式. 第二步 求通项:根据数列递推公式转化为 所以数列{cn}是以首项 c1=1,公差 d=2 的等差数 列,故 cn=2n-1. (2)由 bn=3n-1 知 an=cnbn=(2n-1)3n-1, 于是数列{an}的前 n 项和 Sn=1·30+3·31+5·32+… +(2n-1)·3n-1, 3Sn=1·31+3·32+…+(2n-3)·3n-1+(2n-1)·3n, 相减得-2Sn=1+2·(31+32+…+3n-1)-(2n- 1)·3n=-2-(2n-2)3n, 所以 Sn=(n-1)3n+1. 等差或等比数列求通项公式,或利用累加法 或累乘法求通项公式. 第三步 定方法:根据数列表达式的结构特 征确定求和方法(如公式法、裂项相消法、错 位相减法、分组法等). 第四步 写步骤:规范写出求和步骤. 第五步 再反思:反思回顾,查看关键点、 易错点及解题规范. 已知点(1,1 3 )是函数 f(x)=ax (a>0,且 a≠1)的图象上的一点.等比数列{an}的前 n 项和为 f(n)-c.数列{b n} (bn>0)的首项为 c,且前 n 项和 S n 满足 Sn -S n - 1 = Sn+ Sn-1 (n≥2). (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)若数列{ 1 bnbn+1}的前 n 项和为 Tn,问满足 Tn>1 001 2 012的最小正整数 n 是多少? 解 (1)∵f(1)=a=1 3,∴f(x)=( 1 3 )x. 由题意知,a1=f(1)-c=1 3-c, a2=[f(2)-c]-[f(1)-c]=-2 9, a3=[f(3)-c]-[f(2)-c]=- 2 27. 又数列{an}是等比数列, ∴a1=a22 a3= 4 81 - 2 27 =-2 3=1 3-c, ∴c=1.又公比 q=a2 a1=1 3, ∴an=-2 3·( 1 3 )n-1=-2·( 1 3 )n (n∈N*). ∵Sn-Sn-1=( Sn- Sn-1)( Sn+ Sn-1) = Sn+ Sn-1 (n≥2). 又 bn>0, Sn>0,∴ Sn- Sn-1=1. ∴数列{ Sn}构成一个首项为 1、公差为 1 的等差数列, Sn=1+(n-1)×1=n,即 Sn=n2. 当 n≥2 时,bn=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1, 当 n=1 时,b1=1 也适合此通项公式. ∴bn=2n-1 (n∈N*). (2)Tn= 1 b1b2+ 1 b2b3+ 1 b3b4+…+ 1 bnbn+1 = 1 1 × 3+ 1 3 × 5+ 1 5 × 7+…+ 1 (2n-1) × (2n+1) =1 2×(1-1 3 )+1 2×( 1 3-1 5 )+1 2×( 1 5-1 7 )+…+1 2×( 1 2n-1- 1 2n+1)=1 2×(1- 1 2n+1)= n 2n+1. 由 Tn= n 2n+1>1 001 2 012,得 n>1 001 10 , ∴满足 Tn>1 001 2 012的最小正整数 n 的值为 101. 模板 4 利用空间向量求角问题  (2014·山东)如图,在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是等腰梯形,∠DAB=60°,AB=2CD=2,M 是线段 AB 的中点. (1)求证:C1M∥平面 A1ADD1; (2)若 CD1 垂直于平面 ABCD 且 CD1= 3,求平面 C1D1M 和平面 ABCD 所成的角(锐角)的余弦值. 审题路线图 (1)M是AB中点,四边形ABCD是等腰梯形 ― ― →AB=2CD CD ∥ AM CD=AM⇒ ▱AMC1D1→C1M ∥ 平面A1ADD1 (2)CA,CB,CD1两两垂直→建立空间直角坐标系,写各点坐标 →求平面ABCD的法向量→将所求两个平面所成的角转化为两个向量的夹角 规 范 解 答 示 例 构 建 答 题 模 板 (1)证明 因为四边形 ABCD 是等腰梯形, 且 AB=2CD,所以 AB∥DC. 又由 M 是 AB 的中点,因此 CD∥MA 且 CD =MA. 连接 AD1,如图(1). 在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中, 因为 CD∥C1D1,CD=C1D1,可得 C1D1∥MA,C1D1=MA,所以四 边形 AMC1D1 为平行四边形,因为 C1M∥D1A. 又 C1M⊄平面 A1ADD1,D1A⊂平面 A1ADD1,所以 C1M∥平面 A1ADD1. 第一步 找垂直:找出(或作出)具 有公共交点的三条两两垂直的直 线. 第二步 写坐标:建立空间直角坐 标系,写出特征点坐标. 第三步 求向量:求直线的方向向 量或平面的法向量. 第四步 求夹角:计算向量的夹角. 第五步 得结论:得到所求两个平 面所成的角或直线和平面所成的 (2)解 方法一 如图(2),连接 AC,MC. 由(1)知 CD∥AM 且 CD=AM, 所以四边形 AMCD 为平行四边形, 可得 BC=AD=MC, 由题意得∠ABC=∠DAB=60°,所以△MBC 为正三角形, 因此 AB=2BC=2,CA= 3, 因此 CA⊥CB. 以 C 为坐标原点,建立如图(2)所示的空间直角坐标系 C-xyz,所以 A( 3,0,0),B(0,1,0),D1(0,0, 3), 因此 M( 3 2 ,1 2,0),所以MD1→ =(- 3 2 ,-1 2, 3),D1C1→ =MB → = (- 3 2 ,1 2,0). 设平面 C1D1M 的一个法向量为 n=(x,y,z), 由Error!得Error!可得平面 C1D1M 的一个法向量 n=(1, 3,1).又 CD1→ =(0,0, 3)为平面 ABCD 的一个法向量,因此 cos〈CD1→ ,n〉= CD1→ ·n |CD1→ ||n| = 5 5 .所以平面 C1D1M 和平面 ABCD 所成的角(锐角)的余弦 值为 5 5 . 方法二 由(1)知平面 D1C1M∩平面 ABCD= AB, 过点 C 向 AB 引垂线交 AB 于点 N, 连接 D1N,如图(3).由 CD1⊥平面 ABCD, 可得 D1N⊥AB, 因此∠D1NC 为二面角 C1-AB-C 的平面角. 在 Rt△BNC 中,BC=1, ∠NBC=60°,可得 CN= 3 2 .所以 ND1= CD21+CN2= 15 2 . 所以 Rt△D1CN 中,cos∠D1NC= CN D1N= 3 2 15 2 = 5 5 , 角. 所以平面 C1D1M 和平面 ABCD 所成的角(锐角)的余弦值为 5 5 . 如图所示,在直三棱柱 A1B1C1-ABC 中,AB⊥AC,AB=AC=2,A1A=4,点 D 是 BC 的中点. (1)求异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值; (2)求平面 ADC1 与平面 ABA1 所成二面角的正弦值. 解 (1)以 A 为坐标原点,分别以AB → ,AC → ,AA1→ 为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标 系 A-xyz, 则 A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0,4),D(1,1,0),C1(0,2,4). 所以A1B → =(2,0,-4),C1D → =(1,-1,-4). 所以 cos〈A1B → ,C1D → 〉= A1B → ·C1D → |A1B → | × |C1D → | = 18 20 × 18 =3 10 10 . 所以异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值为3 10 10 . (2)由题意,知AC → =(0,2,0)是平面 ABA1 的一个法向量. 设平面 ADC1 的法向量为 m=(x,y,z), 因为AD → =(1,1,0),AC1→ =(0,2,4), 由 m⊥AD → ,m⊥AC1→ ,得Error! 取 z=1,得 y=-2,x=2,所以平面 ADC1 的一个法向量为 m=(2,-2,1). 设平面 ADC1 与平面 ABA1 所成二面角为 θ, 所以|cos θ|=|cos〈AC → ,m〉|=| AC → ·m |AC → | × |m| |=| -4 2 × 3|=2 3,得 sin θ= 5 3 . 所以平面 ADC1 与平面 ABA1 所成二面角的正弦值为 5 3 . 模板 5 圆锥曲线中的范围问题  椭圆 C 的中心为坐标原点 O,焦点在 y 轴上,短轴长为 2,离心率为 2 2 ,直线 l 与 y 轴交于点 P(0,m),与椭圆 C 交于相异两点 A,B,且AP → =3PB → . (1)求椭圆 C 的方程; (2)求 m 的取值范围. 审题路线图 (1)设方程→解系数→得结论 (2)设l:y=kx+m→l,c相交Δ > 0得m,k的不等式→AP → =3PB → →得m,k关系式→ 代入m,k的不等式消k→得m范围 规 范 解 答 示 例 构 建 答 题 模 板 解 (1)设椭圆 C 的方程为y2 a2+x2 b2=1(a>b>0), 设 c>0,c2=a2-b2,由题意,知 2b= 2,c a= 2 2 , 所以 a=1,b=c= 2 2 .故椭圆 C 的方程为 y2+x2 1 2 =1,即 y2+2x2=1. (2)设直线 l 的方程为 y=kx+m(k≠0),l 与椭圆 C 的交点坐标为 A(x1, y1), B(x2,y2),由Error!得(k2+2)x2+2kmx+(m2-1)=0, Δ=(2km)2-4(k2+2)(m2-1)=4(k2-2m2+2)>0,(*) x1+x2= -2km k2+2 ,x1x2=m2-1 k2+2.因为AP → =3PB → ,所以-x1=3x2, 所以Error!所以 3(x1+x2)2+4x1x2=0. 所以 3·( -2km k2+2 )2+4·m2-1 k2+2=0. 整理得 4k2m2+2m2-k2-2=0,即 k2(4m2-1)+(2m2-2)=0. 当 m2=1 4时,上式不成立; 当 m2≠1 4时,k2=2-2m2 4m2-1, 由(*)式,得 k2>2m2-2, 又 k≠0,所以 k2=2-2m2 4m2-1>0. 解得-11,b>0)的焦距为 2c,直线 l 过点(a,0)和(0,b),且点(1,0) 到直线 l 的距离与点(-1,0)到直线 l 的距离之和 s≥4 5c,求双曲线的离心率 e 的取值范围. 解 设直线 l 的方程为x a+y b=1,即 bx+ay-ab=0. 由点到直线的距离公式,且 a>1,得到点(1,0)到直线 l 的距离 d1=b(a-1) a2+b2, 同理可得点(-1,0)到直线 l 的距离为 d2=b(a+1) a2+b2, 于是 s=d1+d2= 2ab a2+b2=2ab c . 由 s≥4 5c,得2ab c ≥4 5c,即 5a c2-a2≥2c2, 可得 5 e2-1≥2e2,即 4e4-25e2+25≤0, 解得5 4≤e2≤5. 由于 e>1,故所求 e 的取值范围是[ 5 2 , 5]. 模板 6 解析几何中的探索性问题  已知定点 C(-1,0)及椭圆 x2+3y2=5,过点 C 的动直线与椭圆相交于 A,B 两点. (1)若线段 AB 中点的横坐标是-1 2,求直线 AB 的方程; (2)在 x 轴上是否存在点 M,使MA → ·MB → 为常数?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明 理由. 审题路线图 设 AB 的方程 y=k(x+1)→待定系数法求 k→写出方程;设 M 存在即为(m,0)→求 MA → ·MB → →在MA → ·MB → 为常数的条件下求 m. 规 范 解 答 示 例 构 建 答 题 模 板 解 (1)依题意,直线 AB 的斜率存在,设直线 AB 的方程为 y= k(x+1), 将 y=k(x+1)代入 x2+3y2=5,消去 y 整理得(3k2+1)x2+6k2x+ 3k2-5=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则Error! 由线段 AB 中点的横坐标是-1 2,得x1+x2 2 =- 3k2 3k2+1=-1 2,解 得 k=± 3 3 ,适合①. 所以直线 AB 的方程为 x- 3y+1=0 或 x+ 3y+1=0. (2)假设在 x 轴上存在点 M(m,0),使MA → ·MB → 为常数. (ⅰ)当直线 AB 与 x 轴不垂直时,由(1)知 x1+x2=- 6k2 3k2+1,x1x2 =3k2-5 3k2+1. ③ 第一步 先假定:假设结论成 立. 第二步 再推理:以假设结论 成立为条件,进行推理求解. 第三步 下结论:若推出合理 结果,经验证成立则肯定假设; 若推出矛盾则否定假设. 第四步 再回顾:查看关键点, 易错点(特殊情况、隐含条件 等),审视解题规范性. 所以MA → ·MB → =(x1-m)(x2-m)+y1y2=(x1-m)(x2-m)+k2(x1+ 1)(x2+1) =(k2+1)x1x2+(k2-m)(x1+x2)+k2+m2. 将③代入,整理得MA → ·MB → = (6m-1)k2-5 3k2+1 +m2=(2m-1 3)(3k2+1)-2m-14 3 3k2+1 +m2=m2+2m -1 3- 6m+14 3(3k2+1). 注意到MA → ·MB → 是与 k 无关的常数,从而有 6m+14=0,m=-7 3, 此时MA → ·MB → =4 9. (ⅱ)当直线 AB 与 x 轴垂直时,此时点 A、B 的坐标分别为 (-1, 2 3)、(-1,- 2 3), 当 m=-7 3时,也有MA → ·MB → =4 9. 综上,在 x 轴上存在定点 M(-7 3,0),使MA → ·MB → 为常数. (2014·福建)已知双曲线 E: x2 a2-y2 b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线 分别为 l1:y=2x,l2:y=-2x. (1)求双曲线 E 的离心率. (2)如图,O 为坐标原点,动直线 l 分别交直线 l1,l2 于 A,B 两点(A,B 分别 在第一、四象限),且△OAB 的面积恒为 8.试探究:是否存在总与直线 l 有且 只有一个公共点的双曲线 E?若存在,求出双曲线 E 的方程;若不存在,说明理由. 解 (1)因为双曲线 E 的渐近线分别为 y=2x,y=-2x,所以b a=2, 所以 c2-a2 a =2,故 c= 5a, 从而双曲线 E 的离心率 e=c a= 5. (2)方法一 由(1)知,双曲线 E 的方程为x2 a2- y2 4a2=1. 设直线 l 与 x 轴相交于点 C. 当 l⊥x 轴时,若直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点, 则|OC|=a,|AB|=4a. 又因为△OAB 的面积为 8, 所以1 2|OC|·|AB|=8, 因此 1 2a·4a=8,解得 a=2, 此时双曲线 E 的方程为x2 4-y2 16=1. 若存在满足条件的双曲线 E, 则 E 的方程只能为x2 4-y2 16=1. 以下证明:当直线 l 不与 x 轴垂直时, 双曲线 E:x2 4-y2 16=1 也满足条件. 设直线 l 的方程为 y=kx+m,依题意, 得 k>2 或 k<-2,则 C(-m k,0). 记 A(x1,y1),B(x2,y2). 由Error!得 y1= 2m 2-k,同理,得 y2= 2m 2+k. 由 S△OAB=1 2|OC|·|y1-y2|,得 1 2|-m k|·| 2m 2-k- 2m 2+k|=8, 即 m2=4|4-k2|=4(k2-4). 由Error! 得(4-k2)x2-2kmx-m2-16=0. 因为 4-k2<0, 所以 Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+16) =-16(4k2-m2-16). 又因为 m2=4(k2-4), 所以 Δ=0,即 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点. 因此,存在总与 l 有且只有一个公共点的双曲线 E,且 E 的方程为x2 4-y2 16=1. 方法二 由(1)知,双曲线 E 的方程为x2 a2- y2 4a2=1. 设直线 l 的方程为 x=my+t,A(x1,y1),B(x2,y2). 依题意得-1 22 或 k<-2. 由Error! 得(4-k2)x2-2kmx-m2=0. 因为 4-k2<0,Δ>0,所以 x1x2= -m2 4-k2. 又因为△OAB 的面积为 8, 所以1 2|OA|·|OB|·sin∠AOB=8, 又易知 sin∠AOB=4 5, 所以2 5 x21+y21· x22+y22=8, 化简,得 x1x2=4. 所以 -m2 4-k2=4,得 m2=4(k2-4). 由(1)得双曲线 E 的方程为x2 a2- y2 4a2=1, 由Error! 得(4-k2)x2-2kmx-m2-4a2=0. 因为 4-k2<0,直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点当且仅当 Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+4a2) =0, 即(k2-4)(a2-4)=0,所以 a2=4, 所以双曲线 E 的方程为x2 4-y2 16=1. 当 l⊥x 轴时,由△OAB 的面积等于 8 可得 l:x=2, 又易知 l:x=2 与双曲线 E:x2 4-y2 16=1 有且只有一个公共点. 综上所述,存在总与 l 有且只有一个公共点的双曲线 E,且 E 的方程为x2 4-y2 16=1. 模板 7 离散型随机变量的均值与方差  甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏,按照规则,甲先从 6 道备选题中一 次性抽取 3 道题独立作答,然后由乙回答剩余 3 题,每人答对其中 2 题就停止答题,即闯关 成功.已知在 6 道备选题中,甲能答对其中的 4 道题,乙答对每道题的概率都是2 3. (1)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率; (2)设甲答对题目的个数为 ξ,求 ξ 的分布列及均值. 审题路线图 (1)标记事件→对事件分解→计算概率 (2)确定ξ取值→计算概率→得分布列→求数学期望 规 范 解 答 示 例 构 建 答 题 模 板 解 (1)设甲、乙闯关成功分别为事件 A、B,则 P(A)= C14·C22 C36 = 4 20=1 5, P(B)=(1-2 3)3+C13·2 3(1-2 3)2= 1 27+2 9= 7 27, 则甲、乙至少有一人闯关成功的概率是 1-P(A·B)=1-P(A)·P(B)=1-1 5× 7 27=128 135. (2)由题意知 ξ 的可能取值是 1,2. P(ξ=1)=C14C22 C36 =1 5,P(ξ=2)=C24C12+C34 C36 =4 5,则 ξ 的分 布列为 ξ 1 2 P 1 5 4 5 ∴E(ξ)=1×1 5+2×4 5=9 5. 第一步 定元:根据已知条件确定离散 型随机变量的取值. 第二步 定性:明确每个随机变量取值 所对应的事件. 第三步 定型:确定事件的概率模型和 计算公式. 第四步 计算:计算随机变量取每一个 值的概率. 第五步 列表:列出分布列. 第六步 求解:根据均值、方差公式求 解其值. (2014·江西)随机将 1,2,…,2n(n∈N*,n≥2)这 2n 个连续正整数分成 A,B 两组, 每组 n 个数,A 组最小数为 a1,最大数为 a2,B 组最小数为 b1,最大数为 b2,记 ξ=a2-a1,η =b2-b1. (1)当 n=3 时,求 ξ 的分布列和数学期望; (2)令 C 表示事件“ξ 与 η 的取值恰好相等”,求事件 C 发生的概率 P(C); (3)对(2)中的事件 C,C表示 C 的对立事件,判断 P(C)和 P(C)的大小关系,并说明理由. 解 (1)当 n=3 时,ξ 的所有可能取值为 2,3,4,5. 将 6 个正整数平均分成 A,B 两组,不同的分组方法共有 C36=20(种),所以 ξ 的分布列为 ξ 2 3 4 5 P 1 5 3 10 3 10 1 5 E(ξ)=2×1 5+3× 3 10+4× 3 10+5×1 5=7 2. (2)ξ 和 η 恰好相等的所有可能取值为 n-1,n,n+1,…,2n-2. 又 ξ 和 η 恰好相等且等于 n-1 时,不同的分组方法有 2 种; ξ 和 η 恰好相等且等于 n 时,不同的分组方法有 2 种; ξ 和 η 恰好相等且等于 n+k(k=1,2,…,n-2)(n≥3)时,不同的分组方法有 2C k2k种; 所以当 n=2 时,P(C)=4 6=2 3; 当 n≥3 时,P(C)= 2(2+ ∑n-2 k=1 C k2k) C n2n . (3)由(2),当 n=2 时,P(C)=1 3,因此 P(C)>P(C). 而当 n≥3 时,P(C)0, 故 f(x)在 R 上为增函数. (3)由(1)知 f′(x)=2e2x+2e-2x-c,而 2e2x+2e-2x≥2 2e2x·2e-2x=4,当 x=0 时等号成立. 下面分三种情况进行讨论. 当 c<4 时,对任意 x∈R,f′(x)=2e2x+2e-2x-c>0,此时 f(x)无极值; 当 c=4 时,对任意 x≠0,f′(x)=2e2x+2e-2x-4>0,此时 f(x)无极值; 当 c>4 时,令 e2x=t,注意到方程 2t+2 t-c=0 有两根 t1,2=c ± c2-16 4 >0,即 f′(0)=0 有两 个根 x1=1 2ln t1,x2=1 2ln t2.当 x1x2 时,f′(x)>0,从而 f(x)在 x=x2 处取得极小值.综上,若 f(x)有极值,则 c 的取值范 围为(4,+∞).
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