2010年北京市高考理科数学试题及答案

2010年北京市高考理科数学试题及答案

‎2010年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）‎ 第I卷 选择题（共40分）‎ 一、 本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ 1， 集合，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎2，在等比数列中，，公比.若，则 ‎ （A）9 （B）10 （C）11 （D）12‎ 正（主）视图 侧（左）视图 ‎3，一个长方体去掉一个小长方体，所得集合体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎ ‎ ‎4，8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法总数为 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎5，极坐标方程表示的图形是 ‎ （A）两个圆 （B）两条直线 ‎ （C）一个圆和一条射线 （D）一条直线和一条射线 ‎6，为非零向量，“”是“函数为一次函数”的 ‎ （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 ‎ （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎7，设不等式组表示的平面区域为D，若指数函数 的图象上存在区域D上的点，则的取值范围是 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎ ‎ ‎8，如图，正方体的棱长为2，动点E，F在棱上，动点P，Q分别在棱上，若（大于零），则四面体的体积 （A） 与都有关 （B） 与有关，与无关 （C） 与有关，与无关 （D） 与有关，与无关 第II卷 （共110分）‎ 一、 填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分。‎ ‎9，在复平面内，复数对应的点的坐标为______‎ ‎10，在中，若，则 ‎11，从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图），由图中数据可知.若要从身高在三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在内的学生中选取的人数应为________.‎ ‎12，如图，的弦的延长线交于点A，若，则 ‎13，已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为______；渐近线方程为_______.‎ ‎14，如图放置的边长为1的正方形沿x轴滚动，设顶点的轨迹方程是，则函数的最小正周期为_____；在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为_______.‎ 说明：“正方形沿x轴滚动”包括沿轴正方向和沿轴负方向滚动.沿轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点落在轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续.类似地，正方形沿x轴负方向滚动.‎ 一、 解答题。本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。‎ ‎15，（本小题共13分）‎ 已知函数 （I） 求的值；‎ （II） 求的最大值和最小值.‎ ‎ ‎ ‎16，（本小题共14分）‎ ‎ 如图，正方形和四边形所在的平面互相垂直，，∥，‎ ‎(1) 求证：∥平面；‎ ‎ (2) 求证：平面；‎ ‎ (3) 求二面角的大小.‎ ‎17，（本小题共13分）‎ 某同学参加3门课程的考试.假设该同学第一门课程取得的优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立，记为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P a b ‎(1) 求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；‎ ‎(2) 求的值；‎ ‎(3) 求数学期望.‎ ‎ ‎ ‎18，（本小题共13分）‎ ‎ 已知函数.‎ ‎(1) 当，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎(2) 求的单调区间.‎ ‎ ‎ ‎19，（本小题共14分）‎ ‎ 在平面直角坐标系中，点B与点关于原点O对称，P是动点，且直线与的斜率之积等于.‎ ‎(1) 求动点P的轨迹方程；‎ ‎(2) 设直线和分别与直线交于点，问：是否存在点使得与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.‎ ‎20，（本小题共13分）‎ 已知集合.对于，定义与的差为：‎ A与B之间的距离为.‎ ‎(1) 证明：，有，且；‎ ‎(2) 证明：，三个数中至少有一个是偶数；‎ 设，中有个元素，记中所有两元素间距离的平均值为.证明：‎ 参考答案 一， 选择题 ‎ B C． C． A．C．B．A．D．‎ 二、填空题 ‎9，（-1，1）.‎ ‎10， 1。‎ ‎11，0.030， 3‎ ‎12，5，‎ ‎13，，‎ ‎14， 4，‎ 三、解答题 ‎15（I）‎ ‎ （2）‎ 因为所以当时，取最大值6；当时，取最小值。‎ ‎16‎ 证明：（I）设AC与BD交于点G，因为EF∥AG，且EF=1，AG=AC=1，所以四边形AGEF为平行四边形。所以AF∥EG。因为EGP平面BDE，AF平面BDE，所以AF∥平面BDE。‎ ‎（II）因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，且CE⊥AC，所以CE⊥AC，所以CE⊥平面ABCD。如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C-xyz。则C（0， 0， 0），A（，，0），D（，0， 0），E（0， 0， 1），F（，，1）。所以=（，，1），=（0，－，１），＝（－，0，１）。所以·= 0-1+1=0，·=－１＋０＋１＝０。所以CF⊥BE，CF⊥DE，所以CF⊥平面BDE ‎（III）由（II）知，=（，，1），是平面BDE的一个法向量，设平面ABE的法向量=（x,y,z）,则·=0，·=0。‎ 即 所以x=0，且z=y。令y=1，则z=。所以n=（），从而cos（，）=‎ 因为二面角A-BE-D为锐角，所以二面角A-BE-D为。‎ ‎17解：事件A，表示“该生第i门课程取得优异成绩”，i=1,2,3。由题意可知 ‎（I）由于事件“该生至少有一门课程取得优异成绩”与事件“”是对立的，所以该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率是 ‎（II）由题意可知，‎ 整理得pq=。‎ ‎（III）由题意知，‎ ‎18解：（I）当时， ‎ 由于所以曲线处的切线方程为 ‎。即 ‎（II） 当时，‎ ‎ 因此在区间上，；在区间上，；‎ ‎ 所以的单调递增区间为，单调递减区间为；‎ ‎ 当时，，得;‎ ‎ 因此，在区间和上，；在区间上，；‎ ‎ 即函数 的单调递增区间为和，单调递减区间为；‎ ‎ 当时，.的递增区间为 ‎ 当时，由，得；‎ ‎ 因此，在区间和上，，在区间上，；‎ ‎ 即函数 的单调递增区间为和，单调递减区间为。‎ ‎19，解：（1）因点B与（-1,1）关于原点对称，得B点坐标为（1，-1）。‎ ‎ 设P点坐标为，则，由题意得，‎ ‎ 化简得：。即P点轨迹为：‎ ‎ （2）因，可得，‎ ‎ 又，‎ ‎ 若，则有， 即 设P点坐标为，则有：解得：，又因，解得。‎ ‎ 故存在点P使得与的面积相等，此时P点坐标为或 ‎20,解：（1）设 ‎ 因，故，‎ ‎ 即 ‎ 又 ‎ 当时，有；‎ ‎ 当时，有 ‎ 故 ‎ （2）设 ‎ ‎ 记 ‎ 记，由第一问可知：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 即中1的个数为k，中1的个数为l，‎ ‎ 设t是使成立的i的个数，则有，‎ 由此可知，不可能全为奇数，即三个数中至少有一个是偶数。‎ ‎ （3）显然P中会产生个距离，也就是说，其中表示P中每两个元素距离的总和。‎ ‎ 分别考察第i个位置，不妨设P中第i个位置一共出现了个1， 那么自然有 个0，因此在这个位置上所产生的距离总和为，‎ ‎ 那么n个位置的总和 ‎ 即