2010年北京市高考理科数学试题及答案

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2010年北京市高考理科数学试题及答案

‎2010年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理)‎ 第I卷 选择题(共40分)‎ 一、 本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的4个选项中,选出符合题目要求的一项。‎ 1, 集合,则 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎2,在等比数列中,,公比.若,则 ‎ (A)9 (B)10 (C)11 (D)12‎ 正(主)视图 侧(左)视图 ‎3,一个长方体去掉一个小长方体,所得集合体的正(主)视图与侧(左)视图分别如右图所示,则该几何体的俯视图为 ‎(A)‎ ‎(B)‎ ‎(C)‎ ‎(D)‎ ‎ ‎ ‎4,8名学生和2位老师站成一排合影,2位老师不相邻的排法总数为 ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎5,极坐标方程表示的图形是 ‎ (A)两个圆 (B)两条直线 ‎ (C)一个圆和一条射线 (D)一条直线和一条射线 ‎6,为非零向量,“”是“函数为一次函数”的 ‎ (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 ‎ (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 ‎7,设不等式组表示的平面区域为D,若指数函数 的图象上存在区域D上的点,则的取值范围是 ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎ ‎ ‎8,如图,正方体的棱长为2,动点E,F在棱上,动点P,Q分别在棱上,若(大于零),则四面体的体积 (A) 与都有关 (B) 与有关,与无关 (C) 与有关,与无关 (D) 与有关,与无关 第II卷 (共110分)‎ 一、 填空题:本大题共6小题,每题5分,共30分。‎ ‎9,在复平面内,复数对应的点的坐标为______‎ ‎10,在中,若,则 ‎11,从某小学随机抽取100名同学,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图),由图中数据可知.若要从身高在三组内的学生中,用分层抽样的方法选取18人参加一项活动,则从身高在内的学生中选取的人数应为________.‎ ‎12,如图,的弦的延长线交于点A,若,则 ‎13,已知双曲线的离心率为2,焦点与椭圆的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标为______;渐近线方程为_______.‎ ‎14,如图放置的边长为1的正方形沿x轴滚动,设顶点的轨迹方程是,则函数的最小正周期为_____;在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为_______.‎ 说明:“正方形沿x轴滚动”包括沿轴正方向和沿轴负方向滚动.沿轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转,当顶点落在轴上时,再以顶点B为中心顺时针旋转,如此继续.类似地,正方形沿x轴负方向滚动.‎ 一、 解答题。本大题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。‎ ‎15,(本小题共13分)‎ 已知函数 (I) 求的值;‎ (II) 求的最大值和最小值.‎ ‎ ‎ ‎16,(本小题共14分)‎ ‎ 如图,正方形和四边形所在的平面互相垂直,,∥,‎ ‎(1) 求证:∥平面;‎ ‎ (2) 求证:平面;‎ ‎ (3) 求二面角的大小.‎ ‎17,(本小题共13分)‎ 某同学参加3门课程的考试.假设该同学第一门课程取得的优秀成绩的概率为,第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为,且不同课程是否取得优秀成绩相互独立,记为该生取得优秀成绩的课程数,其分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P a b ‎(1) 求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率;‎ ‎(2) 求的值;‎ ‎(3) 求数学期望.‎ ‎ ‎ ‎18,(本小题共13分)‎ ‎ 已知函数.‎ ‎(1) 当,求曲线在点处的切线方程;‎ ‎(2) 求的单调区间.‎ ‎ ‎ ‎19,(本小题共14分)‎ ‎ 在平面直角坐标系中,点B与点关于原点O对称,P是动点,且直线与的斜率之积等于.‎ ‎(1) 求动点P的轨迹方程;‎ ‎(2) 设直线和分别与直线交于点,问:是否存在点使得与的面积相等?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.‎ ‎20,(本小题共13分)‎ 已知集合.对于,定义与的差为:‎ A与B之间的距离为.‎ ‎(1) 证明:,有,且;‎ ‎(2) 证明:,三个数中至少有一个是偶数;‎ 设,中有个元素,记中所有两元素间距离的平均值为.证明:‎ 参考答案 一, 选择题 ‎ B C. C. A.C.B.A.D.‎ 二、填空题 ‎9,(-1,1).‎ ‎10, 1。‎ ‎11,0.030, 3‎ ‎12,5,‎ ‎13,,‎ ‎14, 4,‎ 三、解答题 ‎15(I)‎ ‎ (2)‎ 因为所以当时,取最大值6;当时,取最小值。‎ ‎16‎ 证明:(I)设AC与BD交于点G,因为EF∥AG,且EF=1,AG=AC=1,所以四边形AGEF为平行四边形。所以AF∥EG。因为EGP平面BDE,AF平面BDE,所以AF∥平面BDE。‎ ‎(II)因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,且CE⊥AC,所以CE⊥AC,所以CE⊥平面ABCD。如图,以C为原点,建立空间直角坐标系C-xyz。则C(0, 0, 0),A(,,0),D(,0, 0),E(0, 0, 1),F(,,1)。所以=(,,1),=(0,-,1),=(-,0,1)。所以·= 0-1+1=0,·=-1+0+1=0。所以CF⊥BE,CF⊥DE,所以CF⊥平面BDE ‎(III)由(II)知,=(,,1),是平面BDE的一个法向量,设平面ABE的法向量=(x,y,z),则·=0,·=0。‎ 即 所以x=0,且z=y。令y=1,则z=。所以n=(),从而cos(,)=‎ 因为二面角A-BE-D为锐角,所以二面角A-BE-D为。‎ ‎17解:事件A,表示“该生第i门课程取得优异成绩”,i=1,2,3。由题意可知 ‎(I)由于事件“该生至少有一门课程取得优异成绩”与事件“”是对立的,所以该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率是 ‎(II)由题意可知,‎ 整理得pq=。‎ ‎(III)由题意知,‎ ‎18解:(I)当时, ‎ 由于所以曲线处的切线方程为 ‎。即 ‎(II) 当时,‎ ‎ 因此在区间上,;在区间上,;‎ ‎ 所以的单调递增区间为,单调递减区间为;‎ ‎ 当时,,得;‎ ‎ 因此,在区间和上,;在区间上,;‎ ‎ 即函数 的单调递增区间为和,单调递减区间为;‎ ‎ 当时,.的递增区间为 ‎ 当时,由,得;‎ ‎ 因此,在区间和上,,在区间上,;‎ ‎ 即函数 的单调递增区间为和,单调递减区间为。‎ ‎19,解:(1)因点B与(-1,1)关于原点对称,得B点坐标为(1,-1)。‎ ‎ 设P点坐标为,则,由题意得,‎ ‎ 化简得:。即P点轨迹为:‎ ‎ (2)因,可得,‎ ‎ 又,‎ ‎ 若,则有, 即 设P点坐标为,则有:解得:,又因,解得。‎ ‎ 故存在点P使得与的面积相等,此时P点坐标为或 ‎20,解:(1)设 ‎ 因,故,‎ ‎ 即 ‎ 又 ‎ 当时,有;‎ ‎ 当时,有 ‎ 故 ‎ (2)设 ‎ ‎ 记 ‎ 记,由第一问可知:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 即中1的个数为k,中1的个数为l,‎ ‎ 设t是使成立的i的个数,则有,‎ 由此可知,不可能全为奇数,即三个数中至少有一个是偶数。‎ ‎ (3)显然P中会产生个距离,也就是说,其中表示P中每两个元素距离的总和。‎ ‎ 分别考察第i个位置,不妨设P中第i个位置一共出现了个1, 那么自然有 个0,因此在这个位置上所产生的距离总和为,‎ ‎ 那么n个位置的总和 ‎ 即
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