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文档介绍
高考数学5月复习资料理科高中数学知识梳理归类课本习题回归易错题典型例题阅读
高中数学知识梳理归类 一.集合与简易逻辑 1.注意区分集合中元素的形式.如：{ | lg }x y x —函数的定义域；{ | lg }y y x —函数的值域； {( , ) | lg }x y y x —函数图象上的点集. 2.集合的性质：任何一个集合 A是它本身的子集,记为 A A . 在讨论的时候不要遗忘了 A 的情况 如： }012|{ 2 xaxxA ,如果 A R ,求 a的取值.(答： 0a ) A B 元素的个数： ( ) ( )card A B cardA cardB card A B 含 n个元素的集合的子集个数为 2n ；真子集(非空子集)个数为 2 1n ；非空真子集个数为 2 2n 3.补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题. 如：已知函数 12)2(24)( 22 ppxpxxf 在区间 ]1,1[ 上至少存在一个实数 c ,使 0)( cf ,求实数 p的取值范围.(答： 3 2 ( 3, ) ) 4.原命题: p q ；逆命题: q p ；否命题: p q ；逆否命题: q p ；互 为逆否的两个命题是等价的.如：“ sinsin ”是“ ”的 条件.(答：充分非 必要条件) 5.若 p q 且 q p ,则 p是 q的充分非必要条件(或 q是 p的必要非充分条件). 6.注意命题 p q 的否定与它的否命题的区别: 命题 p q 的否定是 p q ；否命题是 p q . 命题“ p或 q”的否定是“ p 且 q ”；“ p且 q”的否定是“ p 或 q ”. 如：“若 a和b都是偶数，则 ba 是偶数”的否命题是“若 a和b不都是偶数,则 ba 是 奇数” ；否定是“若 a和b都是偶数,则 ba 是奇数”. 二.函数 7.①映射 f : A B 是：⑴ “一对一或多对一”的对应；⑵集合 A中的元素必有象且 A中 不同元素在 B中可以有相同的象；集合 B中的元素不一定有原象(即象集 B ). ②一一映射 f : A B ： ⑴“一对一”的对应；⑵ A中不同元素的象必不同, B中元素 都有原象. 8. 研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则. 9.求值域常用方法: ①配方法(二次函数类)；②逆求法(反函数法)；③换元法(特别注意新 元的范围).④三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域；⑤ 不等式法⑥单调性法；⑦数形结合：根据函数的几何意义,利用数形结合的方法来求值域；⑧ 判别式法（慎用）：⑨导数法(一般适用于高次多项式函数). 10.函数的奇偶性和单调性 ⑴函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的,确定奇偶性方法有定义法、图 像法等； ⑵若 ( )f x 是偶函数,那么 ( ) ( ) (| |)f x f x f x ；定义域含零的奇函数必过原点 ( (0) 0f )； ⑶判断函数奇偶性可用定义的等价形式： ( ) ( ) 0f x f x 或 ( ) ( ) 1( ( ) 0)f x f x f x ； ⑷复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”. 如：函数 1 2 2log ( 2 )y x x 的单调递增区间是 _____________ .(答： (1,2) ) 11.函数图象的几种常见变换 ⑴平移变换：左右平移---------“左加右减”（注意是针对 x而言）；上下平移----“上加 下减”(注意是针对 ( )f x 而言). ⑵翻折变换： ( ) | ( ) |f x f x ； ( ) (| |)f x f x . ⑶对称变换：①证明函数图像的对称性,即证图像上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在 图像上； ②证明图像 1C 与 2C 的对称性,即证 1C 上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在 2C 上, 反之亦然； ③函数 ( )y f x 与 ( )y f x 的图像关于直线 0x ( y轴)对称；函数 ( )y f x 与函数 ( )y f x 的图像关于直线 0y ( x轴)对称； ④若函数 ( )y f x 对 x R 时， ( ) ( )f a x f a x 或 ( ) (2 )f x f a x 恒成立,则 ( )y f x 图像关于直线 x a 对称； ⑤若 ( )y f x 对 x R 时, ( ) ( )f a x f b x 恒成立,则 ( )y f x 图像关于直线 2 a bx 对称； ⑥函数 ( )y f a x , ( )y f b x 的图像关于直线 2 b ax 对称(由 a x b x 确定)； ⑦函数 ( )y f x a 与 ( )y f b x 的图像关于直线 2 a bx 对称； ⑧函数 ( )y f x , ( )y A f x 的图像关于直线 2 Ay 对称(由 ( ) ( ) 2 f x A f xy 确定)； ⑨ 函 数 ( )y f x 与 ( )y f x 的 图 像 关 于 原 点 成 中 心 对 称 ； 函 数 ( )y f x , ( )y n f m x 的图像关于点 2 2 ( , )m n 对称； ⑩函数 ( )y f x 与函数 1( )y f x 的图像关于直线 y x 对称；曲线 1C ： ( , ) 0f x y , 关 于 y x a , y x a 的 对 称 曲 线 2C 的 方 程 为 ( , ) 0f y a x a ( 或 ( , ) 0f y a x a ；曲线 1C ： ( , ) 0f x y 关于点 ( , )a b 的对称曲线 2C 方程为： (2 ,2 ) 0f a x b y . 12.函数的周期性：⑴若 ( )y f x 对x R 时 ( ) ( )f x a f x a 恒成立,则 ( )f x 的周期为 2 | |a ； ⑵若 ( )y f x 是偶函数,其图像又关于直线 x a 对称,则 ( )f x 的周期为 2 | |a ； ⑶若 ( )y f x 奇函数,其图像又关于直线 x a 对称,则 ( )f x 的周期为 4 | |a ； ⑷若 ( )y f x 关于点 ( ,0)a , ( ,0)b 对称,则 ( )f x 的周期为 2 | |a b ； ⑸ ( )y f x 的图象关于直线 x a , ( )x b a b 对称,则函数 ( )y f x 的周期为 2 | |a b ； ⑹ ( )y f x 对 x R 时, ( ) ( )f x a f x 或 1 ( ) ( ) f x f x a ,则 ( )y f x 的周期为 2 | |a ； 13.方程 ( )k f x 有解 k D ( D为 ( )f x 的值域)； ( )a f x 恒成立 [ ( )]a f x 最大值 ； ( )a f x 恒成立 [ ( )]a f x 最小值 . 14.恒成立问题的处理方法：⑴分离参数法(最值法)；⑵转化为一元二次方程根的分布问题； 15.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两 看法”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系； 16.对于反函数,应掌握以下一些结论：⑴定义域上的单调函数必有反函数；⑵奇函数的反函 数也是奇函数；⑶定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数；⑷周期函数不存在反函数； ⑸互为反函数的两个函数在各自的定义域具有相同的单调性；⑹ ( )y f x 与 1( )y f x 互为 反函数,设 ( )f x 的定义域为 A ,值域为 B ,则有 1[ ( )] ( )f f x x x B , 1[ ( )] ( )f f x x x A . 17.依据单调性,利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题： 18.熟悉 ( 0, 0)b x y ax a b 的图像和性质 三.数列 19.由 nS 求 na , 1 * 1 ( 1) ( 2, )n n n S n a S S n n N 注意验证 1a 是否包含在后面 na 的公式中,若不 符合要单独列出.如：数列{ }na 满足 1 1 1 5 3 4, n n na S S a ，求 na (答： 1 4( 1) 3 4 ( 2)nn na n ).； 20.等差数列的性质： ① ( )n ma a n m d , m na a m n d ； ② m n l km n l k a a a a (反之不一定成立)；特别地,当 2m n p 时,有 2m n pa a a ； ③等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”即 2 3 2, , ,m m m m mS S S S S 仍是等 差数列； ④首项为正(或为负)的递减(或递增)的等差数列前 n 项和的最大(或最小)问题,转化为解 不等式 1 0 0 n n a a (或 1 0 0 n n a a ).也可用 2 nS An Bn 的二次函数关系来分析. 21.等比数列的性质 ① n m n ma a q ② m n l km n l k a a a a (反之不一定成 立)； m n m n m n n mS S q S S q S . ③等比数列中 2 3 2, , ,m m m m mS S S S S (注：各项 均不为 0)仍是等比数列. 22.数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式. ⑶已知 1 2 ( )na a a f n 求 na 用作商法： ( ) ( 1) (1),( 1) ,( 2)n f n f n f n a n . ⑷ 已 知 数 列 递 推 式 求 na , 用 构 造 法 ( 构 造 等 差 、 等 比 数 列 ) ： ① 形 如 1n na ka b , 1 n n na ka b , 1n na ka a n b ( ,k b为常数)的递推数列都可以用待定系 数法转化为公比为 k 的等比数列后,再求 na .②形如 1 1 n n n a ka b a 的递推数列都可以用 “取 倒数法”求通项. 23.数列求和的方法：①公式法：等差数列,等比数列求和公式；②分组求和法；③倒序相加； ④错位相减；⑤分裂通项法常见裂项公式 1 1 1 ( 1) 1n n n n ； 1 1 1 1 ( ) ( ) n n k k n n k ； 1 1 1 1 ( 1)( 1) 2 ( 1) ( 1)( 2) [ ] n n n n n n n ； 1 1 ( 1)! ! ( 1)! n n n n . ⑥常见自然数数列列公式： 1 2 1 2 3 ( 1)n n n ； 2 2 2 2 1 6 1 2 3 ( 1)(2 1)n n n n ； 3 3 3 3 2( 1) 2 1 2 3 [ ]n nn ； 21 3 5 n n ； ⑦常见放缩公式： 2 1 2 1 1 1 1 2( ) 2( )n n n n n n n n n . 24. 复利问题：按揭贷款的分期等额还款(复利)模型：若贷款(向银行借款) p元,采用分期 等额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还款日,如此下去,分 n期还清.如果 每期利率为 r（按复利），那么每期等额还款 x元应满足： 1 2(1 ) (1 ) (1 ) (1 )n n np r x r x r x r x (等比数列问题). 四.三角函数 25.弧长公式： | |l r ；扇形面积公式： 21 1 2 2 | |S lr r 扇形 ；1弧度(1rad )≈57.3 . 26.对于诱导公式,可用“奇变偶不变，符号看象限”概括；(注意：公式中始终视．．．．为锐角．．．)． 27.角的变换：已知角与特殊角、已知角与目标角、已知角与其倍角或半角、两角与其和差 角等变换. 如： ( ) ； 2 ( ) ( ) ； 2 ( ) ( ) ； 2 2 ； 2 2 2 ( ) ( ) 等；“1”的变换： 2 21 sin cos tan cot 2sin30 tan 45x x x x ； 28.重要结论： 2 2sin cos sin( )a ba x b x x 其中 tan b a ）；重要公式： 2 2cos1sin2 ； 2 1 cos 2 2 cos ； 1 cos sin 1 cos 2 1 cos 1 cos sin tan ； 21 sin 2 2 2 2 (cos sin ) | cos sin | . 万能公式： 2 2 tan 1 tan sin 2 ； 2 2 1 tan 1 tan cos 2 ； 2 2 tan 1 tan tan 2 . 29.熟知正、余弦定理 正弦平方差公式： 2 2sin sin sin( )sin( )A B A B A B ； 三角形的内切圆半径 2 ABCS a b c r ； 面积公式： 1 2 4 sin abc R S ab C ；射影定理： cos cosa b C c B . 30. ABC 中, sin sina b A B A B ④锐角 ABC 中, 2 A B , sin cos ,cos cosA B A B , 2 2 2a b c ,类比得钝角 ABC 结论. ⑤ tan tan tan tan tan tanA B C A B C . 31. 会求三角形中线长和内角平分线长 32.角的范围：异面直线所成角 2 (0, ] ；直线与平面所成角 2 [0, ] ；二面角和两向量的夹角 [0, ] ；直线的倾斜角[0, ) ； 1l 到 2l 的角[0, ) ； 1l 与 2l 的夹角 2 (0, ] .注意术语:坡度、仰角、 俯角、方位角等. 五.平面向量 33.设 1 1( , )a x y , 2 2( , )b x y . (1) 1 2 2 1// 0a b x y x y ；(2) 1 2 1 20 0a b a b x x y y . 34.平面向量基本定理：如果 1e 和 2e 是同一平面内的两个不共线的向量,那么对该平面内的 任一向量 a ,有且只有一对实数 1 、 2 ,使 1 1 2 2a e e . 35.注意: ,a b 为 锐 角 0a b , ,a b 不 同 向 ； ,a b 为 直 角 0a b ； ,a b 为 钝 角 0a b , ,a b 不反向. 36.平面向量数量积的坐标表示：⑴若 1 1( , )a x y , 2 2( , )b x y ,则 1 2 1 2a b x x y y ； 1P , P , 2P 三点共线存在实数、 使得 1 2OP OP OP 且 1 . 37.三角形中向量性质：① AB AC 过 BC边的中点： | | | | | | | | ( ) ( )AB AC AB AC AB AC AB AC ； ② 1 3 ( ) 0PG PA PB PC GA GB GC G 为 ABC 的重心； ③ PA PB PB PC PA PC P 为 ABC 的垂心； ④ | | | | | | 0BC PA CA PB AB PC P 为 ABC 的内心； | | | | ( )( 0)AB AC AB AC 所在直 线过 ABC 内心. ⑤设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y , 1 2AOB A B B AS x y x y . 2 2 21 2 1 | || | sin | | | | ( ) 2ABCS AB AC A AB AC AB AC . ⑥O为 ABC 内一点,则 0BOC AOC AOBS OA S OB S OC . 38. ( , )( , ) ( , )a h kP x y P x y 按 平移 , 有 x x h y y k ( PP a ) ； ( , )( ) ( )a h ky f x y k f x h 按 平移 . 六.不等式 39.掌握几类不等式(一元一次、二次、绝对值不等式、简单的指数、对数不等式)的解法, 尤其注意用分类讨论的思想解含参数的不等式；勿忘数轴标根法,零点分区间法. 40.掌握重要不等式,(1)均值不等式：若 0, ba ,则 2 2 2 2 2 1 1 a b a b ab a b (当且仅当 ba 时取等号)使用条件：“一正二定三相等 ” 常用的方法为：拆、凑、平方等； (2) , ,a b c R ， 2 2 2a b c ab bc ca (当且仅当 a b c 时,取等号)； 41.绝对值不等式： 42.证明不等式常用方法：⑴比较法：作差比较：；⑵综合法：由因导果；⑶分析法：执果索 因.基本步骤：要证… 需证…,只需证…； ⑷反证法：正难则反；⑸放缩法：将不等式一侧 适当的放大或缩小以达证题目的. 放缩法的方法有：①添加或舍去一些项,如： 2 1 | |a a ； ( 1)n n n .②将分子或分母放 大(或缩小) ③利用基本不等式,如： ( 1) ( 1) 2 n n n n .④利用常用结论： 01 1 1 1 21 k k kk k ； 02 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) ( 1) 1k k k k k k k k k (程度大)； 03 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 ( ) k k k k (程度小)； ⑹换元法：换元的目的就是减少不等式中变量,以使问题化难为易,化繁为简,常用的换元有 三角换元，代数换元.如：知 2 2 2x y a ,可设 cos , sinx a y a ；知 2 2 1x y ,可设 cosx r , siny r ( 0 1r ) ； 知 2 2 2 2 1x y a b , 可 设 cos , sinx a y b ； 已 知 2 2 2 2 1x y a b ,可设 sec , tanx a y b . ⑺最值法,如： ( )a f x 最大值 ,则 ( )a f x 恒成立. ( )a f x 最小值 ,则 ( )a f x 恒成立. 七.直线和圆的方程 43.直线方程五种形式：. 提醒：截距不是距离,截距相等时不要忘了过原点的特殊情形. 44.到角和夹角公式： 45.有关对称的一些结论 曲线 ( , ) 0f x y 关于下列点和直线对称的曲线方程为：①点 ( , )a b ： (2 ,2 ) 0f a x b y ； ② x轴： ( , ) 0f x y ；③ y轴： ( , ) 0f x y ；④原点： ( , ) 0f x y ；⑤直线 y x ： ( , ) 0f y x ；⑥直线 y x ： ( , ) 0f y x ；⑦直线 x a ： (2 , ) 0f a x y . 46.圆的参数方程： cos sin x a r y b r ( 为参数),其中圆心为 ( , )a b ,半径为 r . 三角换元： 2 2 2 cos , sinx y r x r y r ； 2 2 2 cos , sin (0 )x y t x r y r r t . 以 1 1( , )A x y 、 2 2( , )B x y 为直径的圆的方程 1 2 1 2( )( ) ( )( ) 0x x x x y y y y ； 47.圆上一点的切线方程： 点 0 0( , )P x y 在圆 2 2 2x y r 上,则过点 P的切线方程为： 2 0 0x x y y r ； 过圆 2 2 2( ) ( )x a y b r 上一点 0 0( , )P x y 切线方程为 2 0 0( )( ) ( )( )x a x a y b y b r . 48.过圆外一点作圆的切线,一定有两条,如果只求出了一条,那么另外一条就是与 x轴垂直 的直线. 49.直线与圆的位置关系,通常转化为圆心距与半径的关系,或者利用垂径定理,构造直角三 角形解 50.解决直线与圆的关系问题时,要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦 心距构成直角三角形,切线长定理、割线定理、弦切角定理等等). 八.圆锥曲线方程 牢记圆锥曲线的定义，尽量结合平面几何知识解题 51.椭圆焦半径公式：则 1 0 2 0,PF a ex PF a ex (“左加右减”)； 52.双曲线焦半径： ⑴当 P点在右支上时, 1 0 2 0| | ,| |PF a ex PF a ex ；⑵当 P点在左支上时, 1 0| |PF a ex , 2 0| |PF a ex ；( e为离心率). 5 3.抛物线焦半径公式：设 0 0( , )P x y 为抛物线 2 2 ( 0)y px p 上任意一点, F 为焦点,则 0 2 | | pPF x ； 2 2 ( 0)y px p 上任意一点, F 为焦点，则 0 2 | | pPF x . 54.共渐近线 b a y x 的双曲线标准方程为 2 2 2 2 x y a b (为参数, 0 ). 55.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 56.中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆,双曲线方程可设为 2 2 1Ax By (对于椭圆 0, 0A B )； 57.抛物线 2 2 ( 0)y px p 的焦点弦（过焦点的弦）为 AB , 1 1( , )A x y 、 2 2( , )B x y ,则有如 下结论： ⑴ 1 2| |AB x x p ；⑵ 2 1 2 4 px x , 2 1 2y y p ； ⑶ 1 1 2 | | | | pAF BF . 58.对于 2 2 ( 0)y px p 抛物线上的点的坐标可设为 2 0 0( , ) 2 y y p ,以简化计算. 59.圆锥曲线中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.但要注意 回头检验. 60.解析几何与向量综合的有关结论： ⑴给出直线的方向向量 (1, )u k 或 ( , )u m n .等于已知直线的斜率 k或 n m ； ⑵给出以下情形之一： ① ACAB // ； ②存在实数 ,使 AB AC ； ③若存在实数 , , 且 1 ；使OC OA OB ,等于已知 CBA ,, 三点共线. ⑶给出 1 OA OBOP ,等于已知 P是 AB的定比分点,为定比,即 PBAP ⑷给出 0MBMA ,等于已知 MBMA ,即 AMB 是直角,给出 0 mMBMA , 等于已知 AMB 是钝角或反向共线,给出 0 mMBMA ,等于已知 AMB 是锐角或同 向共线. ⑸给出 | | | | ( )MA MB MA MB MP ,等于已知MP是 AMB 的平分线. ⑹在 ABC 中,给出 0 OCOBOA ，等于已知O是 ABC 的重心(三角形的重心是 三角形三条中线的交点). ⑺在 ABC 中,给出 OAOCOCOBOBOA ，等于已知O是 ABC 的垂心(三角 形的垂心是三角形三条高的交点). ⑻在 ABC 中,给出 OAOP | | | | ( )AB AC AB AC )( R 等于已知 AP通过 ABC 的内 心. ⑼在 ABC 中,给出 ,0 OCcOBbOAa 等于已知O是 ABC 的内心(三角形内 切圆的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点). ⑽在 ABC 中,给出 1 2 ( )AD AB AC ,等于已知 AD是 ABC 中BC边的中线. ⑾在 ABC 中,给出 222 OCOBOA ，等于已知O是 ABC 的外心(三角形的 外心是外接圆的圆心,是三角形三边垂直平分线的交点). 九.直线、平面、简单几何体 61.空间距离的求法：注意转化到相关点或利用体积法求解 62.用向量方法求空间角和距离：略 63.正棱锥的各侧面与底面所成的角相等,记为 ,则 cosS S 侧 底 . 64.正四面体(设棱长为 a )的性质： ①全面积 23S a ；②体积 32 12 V a ；③对棱间的距离 2 2 d a ；④相邻面所成二面角 1 3 arccos ；⑤外接球半径 6 4 R a ；⑥内切球半径 6 12 r a ；⑦正四面体内任一点到各面 距离之和为定值 6 3 h a . 65.已知长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为 , , 因此有 2 2cos cos 2cos 1 或 2 2 2sin sin sin 2 ；若长方体的体对角线与过同一 顶 点 的 三 侧 面 所 成 的 角 分 别 为 , , , 则 有 2 2 2sin sin sin 1 或 2 2 2cos cos cos 2 . 十.排列组合和概率 66.组合数性质： m n m n nC C ； 1 1 r r r n n nC C C . 67.排列组合主要解题方法：①优先法：特殊元素优先或特殊位置优先；②捆绑法(相邻问题)； ③插空法（不相邻问题）；④间接扣除法；(对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符 合条件的所有情况去掉）⑤多排问题单排法;⑥相同元素分组可采用隔板法（适用与指标分 配，每部分至少有一个）；⑦先选后排,先分再排(注意等分分组问题)；⑧涂色问题(先分步 考虑至某一步时再分类).⑨分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组,平均分成 n 组问题别忘除以 !n . 68.二项式定理： ⑴掌握二项展开式的通项： 1 ( 0,1,2,..., )r n r r r nT C a b r n ； ⑵注意第 r＋1 项二项式系数与第 r＋1 项系数的区别. 69.二项式定理应用：近似计算、整除问题、结合放缩法证明 70.等可能事件的概率公式：⑴ ( ) n m P A ； ⑵互斥事件有一个发生的概率公式为： ( )P A B ( ) ( )P A P B ；⑶相互独立事件同时发生的概率公式为 ( ) ( ) ( )P AB P A P B ；⑷ 独立重复试验概率公式 ( ) (1 )k k n k n nP k C p p ；⑸如果事件 A与 B互斥，那么事件 A与 B、 A与 B及事件 A与 B 也都是互斥事件；⑹如果事件 A、B相互独立，那么事件 A、B至少 有一个不发生的概率是1 ( ) 1 ( ) ( )P AB P A P B ；（6）如果事件 A与 B相互独立，那么事 件 A与 B至少有一个发生的概率是1 ( ) 1 ( ) ( )P A B P A P B . 十一.概率与统计 71.二项分布记作 ~ ( , )B n p ( ,n p为参数), ( ) k k n k nP k C p q ,. 72.记住以下重要公式和结论： ⑴期望值 1 1 2 2 n nE x p x p x p . ⑵方差 2 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( )n nD x E p x E p x E p . ⑶标准差 D ； 2( ) ; ( )E a b aE b D a b a D . ⑷若 ~ ( , )B n p (二项分布),则E np , ( 1 )D npq q p . ⑸若 ~ ( , )g k p (几何分布),则 1 p E , 2 q p D . 73.总体分布的估计： 要求能画出频率分布表和频率分布直方图； 74.正态总体的概率密度函数： 2 2 ( ) 21 2 ( ) , x f x e x R ,式中 , 是参数,分别表示总体 的平均数与标准差； 75.正态曲线的性质：⑴曲线在 x 时处于最高点,由这一点向左、向右两边延伸时,曲线 逐渐降低；⑵曲线的对称轴位置由确定；曲线的形状由确定, 越大,曲线越矮胖；反过来 曲线越高瘦.⑶曲线在 x轴上方，并且关于直线 x 对称； 76.利用标准正态分布的分布函数数值表计算一般正态分布 2( , )N 的概率 1 2( )P x x , 可由变换 x t 而得 ( ) ( )xF x ,于是有 2 1 1 2( ) ( ) ( )x xP x x . 77.假设检验的基本思想：⑴提出统计假设，确定随机变量服从正态分布 2( , )N ；⑵确定 一次试验中的取值 a是否落入范围 ( 3 , 3 ) ；⑶作出推断：如果 ( 3 , 3 )a , 接受统计假设；如果 ( 3 , 3 )a ,由于这是小概率事件,就拒绝假设. 十二.极限 无穷递缩等比数列各项和公式 1 1 lim nn a q S S ( 0 | | 1q ). 78.函数的极限： ⑴当 x趋向于无穷大时，函数的极限为 a lim ( ) lim ( ) n n f x f x a . ⑵当 0xx 时函数的极限为 0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x a f x f x a .⑶掌握函数极限的四则运算 法则. 79.函数的连续性：如果对函数 ( )f x 在点 0x x 处及其附近有定义,且有 0 0lim ( ) ( ) x x f x f x , 就说函数 ( )f x 在点 0x 处连续； 十三.导数 80.导数的定义： ( )f x 在点 0x 处的导数记作 0 0 0 0 0 ( ) ( )( ) limx x x f x x f x x y f x . 81.可导与连续的关系：如果函数 ( )y f x 在点 0x 处可导,那么函数 ( )y f x 在点 0x 处连续, 但是 ( )y f x 在点 0x 处连续却不一定可导. 82.函数 ( )f x 在点 0x 处有导数,则 ( )f x 的曲线在该点处必有切线,且导数值是该切线的斜率. 但函数 ( )f x 的曲线在点 0x 处有切线,则 ( )f x 在该点处不一定可导.如 ( ) xf x 在 0x 有 切线,但不可导. 83.函数 ( )y f x 在点 0x 处的导数的几何意义是指：曲线 ( )y f x 在点 0 0( , ( ))P x f x 处切线 的斜率,即曲线 ( )y f x 在点 0 0( , ( ))P x f x 处的切线的斜率是 0( )f x ,切线方程为 0 0 0( ) ( )( )y f x f x x x . 84.导数公式: 导数的四则运算法则： ( )u v u v ； ( )uv u v uv ； 2( )u u v uv v v . 复合函数的导数： x u xy y u . 0C (C为常数)； 1( ) ( )n nx nx n Q . (sin ) cosx x ； (cos ) sinx x ； ( ) lnx xa a a ； 1(log ) loga ax x e ； ( )x xe e ； 1(ln ) x x 85.导数的应用： (1)求可导函数极值的步骤：①求导数 )(xf ；②求方程 0)( xf 的根；③检验 )(xf 在方 程 0)( xf 根的左右的符号，如果左正右负,那么函数 ( )y f x 在这个根处取得最大值； 如果左负右正,那么函数 ( )y f x 在这个根处取得最小值； (2)求可导函数最大值与最小值的步骤：①求 ( )y f x 在 ( , )a b 内的极值；②将 ( )y f x 在各 极值点的极值与 ( )f a 、 ( )f b 比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值. 十四.复数 86.⑴复数问题实数化； ⑵ 2 2zz z z ； 1| | 1 1 z z zz z ⑶ 2(1 ) 2i i ； 1 1 i i i , 1 1 i i i ； 1 2 3 0( )n n n ni i i i n N ⑷ 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2| | | | 2(| | | | )z z z z z z ；⑸ 2 2| | | |z z z z ；⑹若 z为虚数,则 2 2| | zz . ⑺ ⑴ m n m nz z z ； ⑵ ( )m n mnz z ；⑶ 1 2 1 2( ) ( , )m m mz z z z m n N . 课本重点例习题回归 高一（上）第一章 P14－例 8 P14－练习 4 P15－习题 7、8 P21－例 2、例 3、例 4 P24－习题 8 P25－阅读材料 P28－例 1 “P28”、“非 P－30“真值表” P33－例 1 P34－例 2 P35－例 3、例 4 P36－习题 2、3 P38－例 2 P44－例 2（2） P46－A 组 10、11、12、13，B 组：1－7 高一（上）第二章 P54－“映射” P54－例 3 P56－习题 6 P59－例 2、例 3 P62－习题 6 P65－例 3 P66－习题 5、6、 P69－例 3 P71－1、2、5、6、7 P75－例 2、3、4、5 P77－习题 5、6、7 P81－例 3 P82－3 、5 P86－例 3 P88－3、6 P94－1、2、3、4、5 P96－例 3 P110－例 2 P113－B 组 3、5、6 高一（上）第三章 P123 －习题 3（2） P126－例 4 P127－练习 3 P128－9、10、11 P129－“Sn的公式推导” P130－例 3、例 4 P131－练习 5、6 P132－习题 9、10 P133－阅读材料 P137－例 3 P137－习题 5、9、10、11 P139“Sn的推导” P141－例 3 P142－例 4 P143－练习 3、4，习题 4、6、7 P144“数列在分期付款中的应用” P150－A 组：5、9、12；B 组：1、3、4、5、6、7、8 高一（下）第四章 P15－三角函数线 P30－习题 6 P41－例 3 P44－习题 4 P46－习题 9、10、11、12、15、16 、17 P48－例 3 P49－例 4 、例 5 P51 练习 1、2、3 P70－例 4 P90－公式 P98－A 15、16、18 P100－B 3、4、9、10 高一（下）第五章 P117－例 5 P124－“定比分点公式” P128－“投影” P141－利用“正弦定理”解三角形时解的个数判别 P163－B 2、4、5、6、8 高二（上）第六章 P10－例 1 P12－习题 3 P12－例 2 P13－例 4 P17－习题 5、7、9 P21－定理 P23－例 3 P24－习题 4 P25－阅读材料 P29－例 1 P31－例 2 P32－A：3、4、8、9 P33－B：2、3、5、6、7 高二（上）第七章 P37－直线的方向向量 P48－10、12 P52－到角、夹角公式 P52－例 6、例 7 P58－习题 3、7、15 P60－阅读材料 P68－例 4 P74－曲线的方程 P79－8、10 P83－例 2 P86－例 5 P88－例 6 P90－3、11 P95－例 2 P98－A：15、19、21 B:3、4 、9、10、11 高二（上）第八章 P106－练习 4 P107－例 7 P111－例 4 P112－例 5 P119－例 3 P120－习题 1 P127－习题 7 P133－习题 7 P137－习题 6 P138－阅读材料 P143－例 1 P148－B 组：2、3、4、5、6 高二（下）第九章 P11－等角定理 P15－例 3 P19－直线与平面平行的判定性质定理 P20－例 2 P22－习题 6、7 P24－直线与平面垂直的判定定理 P29－最小角定理 P31－例 3 P34－习题 11 P38－习题 5、9 P46－5、6、8、9、10、11、13 P50－斜二测画法 P52－习题 4 P59－习题 8、10 P77－习题 4、6、8 P83－例 2 P86－A 9、14 P87－B3、7、8 高二（下）第十章 P103－10 P106－例 2 P107－练习 6 P108－例 4 P113阅读材料 P118杨辉三角 P122－习题 6、7、10 P126－ A 2、3、5 B 1、7、8 高二（下）第十一章 P137－例 3 P139－例 5 P140－练习 1（4） P141－习题 3、8、9、11 P142－互斥事件、对立事件 P146－习题 2 P149－例 2 P150－练习 1、4 P153－习题 2、5、11 P155－阅读材料 P159－例 2 P160－A 组：2、3、4、8、9、 B 组：1、2、3、4、5 高三第三册（选修 II）第一章 P7 二项分布、几何分布 P9－习题 7、8、9 P11－公式 P13－例 4 P14－例 5，公式 P21抽样步骤 P24－表格 P27－条形图 P29－直方图 P34－正态分布 P36－正态总体转化为标准正态总体 P37－表格、小概率事件 P38－41“线性回归” P54－例 1、例 2 P59 －10 高三第三册（选修 II）第二章 P73－例 2 P74－例 5 P76 －习题 6、7 P79杨辉三角 P99－2、3、4 、5 P100－阅读材料 P102－“连续” P103－性质 P110－例 2 P113－A 10、12 P115－B 2、4、5 高三第三册（选修 II）第三章 P118－切线 P121－导数 P122 例 1 P128－阅读材料 P137－习题 2、3 P138－阅读材料 P141－判断极值 例 1 P143－求最值 P144例 1、例 2、例 3 P157－A：11、12、13 B：4、5 高三第三册（选修 II）第四章 P162 例 P167例 3 P175 A 组 1、2、3、4 B 组 易做易错题 1.集合与简易逻辑 1. 若 ,a b R , 则使 | | | | 1a b 成立的一个充分不必要条件是( ) A. | | 1a b B. 2 2 1a b C. 1a 或 1b D. 1a 或 1b 2. “ 1 8 a ”是“对任意的正数 x , 2 1ax x ”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 已知 { | (1,0) (0,1), }, { | (1,1) ( 1,1), }P a a m m R Q b b n n R 是两个向量 集合, 则 P Q ＝( ) A. {(1,1)} B. {( 1,1)} C. {(1,0)} D. {(0,1)} 4. “ 4ab ”是“直线 2 1 0x ay 与直线 2 2 0bx y 平行”的( ) A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知命题 p：函数 log ( 2 )ay ax a (a>0, 且 a≠1)的图象必过定点 ( 1,1) , 命题 q：函数 ( 1)y f x 的图象关于原点对称, 则 ( )y f x 的图象关于点 ( 1,0) 对称, 则( ) A. “p 且 q”为真 B. “p 或 q”为假 C. p 假 q 真 D. p 真 q 假 6. 已知直线 a和平面 , 则 a// 的一个充分条件是( ) A. 存在一条直线, a//b, b B. 存在一条直线 b, a⊥b, b⊥ C. 存在一个平面 , a , // D. 存在一个平面 , a⊥ , ⊥ 7. 命题 P：若函数 ( )f x 有反函数, 则 ( )f x 单调, 命题 Q： 1 1 1 2 2 2 a b c a b c 是 2 1 1 1 0a x b x c 和 2 2 2 2 0a x b x c 同解的充要条件, 则以下是真命题的为( ) A. P或 Q B. P且 Q C. 7P且 Q D. 7P或 Q 8. 已知双曲线 2 2 1 2 2 x y 的准线过椭圆 2 2 2 1 4 x y b 的焦点, 则直线 2y kx 与椭圆至 多有一个交点的充要条件是( ) A. 1 1[ , ] 2 2 k B. 1 1, ] [ , ) 2 2 k （ C. 2 2[ , ] 2 2 k D. 2 2( , ] [ , ) 2 2 k 9. 设全集为实数集 R , 若集合 2{ | 2 }, { | 2 , 0}xM x y x x N y y x , 则集合 ( )RM N ð ＝ . 10. 若 { | | 3, }, { | 2 1, }xA x x x R B x x R , 则 A B ＝ 11. 命题 p：函数 ( ) sin(2 ) 1 6 f x x 满足 ( ) ( ) 3 3 f x f x . 命题 q：函数 ( ) sin(2 ) 1g x x 可能是奇函数( 为常数), 则复合命题“p 或 q”“p 且 q”“非 q”中真命题的个数为 . 12. 对于两个非空集合 M、P, 定义运算： { | , , }M P x x M x P x M P 且 , 已知 集合 2 2{ | 3 2 0}, { | 2 3, }A x x x B y y x x x A , 则 A B ＝ 参考答案：BAAC DCDA 9、[0, 1] 10、(0, 3) 11、2 12、{1,3} 2．集合与函数、复数 1. 设全集 U R ,集合 { || | (1 2 ) 0}, { | 2 1, }xA x x x B y y x R , 则 UA Bð 等 于( ) A. 1{ | } 2 x x B. 1{ | 0} 2 x x x 且 C. 1{ | } 2 x x D. 1{ | 1 0 } 2 x x x 或0 2. 已知映射 :f R B , 对应法则 | |: 0.5 xf x y , 若实数 ( )k k B 在 R 中不存在原象, 则 k的取值范围是( ) A. k≤1 B. k<1 C. k≥1 D. k>1 3. 函数 2 1 2 log ( 5 6)y x x 的单调递增区间为( ) A. 5( , ) 2 B. (3, ) C. 5( , ) 2 D. ( , 2) 4. 若 2log 1 m i i 是纯虚数, 则实数m的值为( ) A. 2 B. 2 C. 1 D. 2 2 5. 若 实 数 , ,a b c 满 足 2 2a a bi ci ( 其 中 i2 ＝ － 1) 集 合 { | }, { | }A x x a B x x b c , 则 RA Bð 等于( ) A. B. {0} C. { | 2 1}x x D. { | 2 0 0 1}x x x 或 6. 设集合 2 2 2{ | 4 0, }, { | 2( 1) 1 0, , }A x x x x R B x x a x a a R x R , 若 B A , 则实数 a的取值范围是 . 7. 已 知 集 合 2 2{( , ) | 1}, {( , ) | 2 0}A x y x y B x y kx y , 其 中 ,x y R , 若 A B , 则实数 k的取值范围是 . 8. 设 ( )f x 是定义在实数集上的函数且满足 ( 2) [1 ( )] 1 ( ), (1) 1997f x f x f x f , 则 (2009)f ＝ 9. 若 z c , 且 | | 1z , 则 | |z i 的最大值为 . 10. 若函数 ( 1)f x 的定义域是 1[ ,9] 4 , 求 ( )f x 的定义域 . 11. 判断下列函数的奇偶性：(1) 2 1( ) log 1 xf x x ；(2) 1 1( ) ( ) 2 1 2xg x x . 参考答案：BBDAD 6、 1a 或 1a 7、[ 3, 3] 8、1997 9、2 10、 1[ ,2] 2 11、(1)奇函数 (2)偶函数 3.数列 1. 已知正项等比数列前三项之积为 8, 则其前三项之和的最小值为( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 2. 已知三角形的三边构成等比数列, 它们的公比为 q, 则 q 的取值范围是( ) A. 1 5(0, ) 2 B. 5 1( ,1] 2 C. 1 5[1, ] 2 D. 5 1 1 5( , ) 2 2 3. 已知数列{ }na 前 n项和 2nnS k ( k为常数, *n N ), 那么( ) A. k=0 时{ }na 是等比数列 B. k=1 时{ }na 是等比数列 C. k=－1 时{ }na 是等比数列 D. k＝－2 时{ }na 是等比数列 4. 若 4 7 3 10 *( ) 2 2 2 2 ( )nf n n N , 则 ( )f n 等于( ) A. 2 (8 1) 7 n B. 12 (8 1) 7 n C. 32 (8 1) 7 n D. 42 (8 1) 7 n 5. 已知数列{ }na 的通项公式为 2 *( )na n n n N , 若{ }na 是单调递增数列, 则实数 的取值范围为( ) A. [ 2, ) B. ( 2, ) C. [ 3,+ )－ D. ( 3, ) 6. 等比数列{ }na 前 n项和 Sn满足 3 6 92S S S , 则公比 q 等于( ) A. 1 或 3 4 2 B. 3 4 2 C. －1 或 3 4 2 D. 3 4 2 7. 等比数列{ }na 是递减数列, 其前 n项积为 Tn, 若 10 616T T , 则 5 12a a ＝( ) A. 2 B. 4 C. ±2 D. ±4 8. 已知 { }na 为等 差数 列 , { }nb 为等 比数 列且 公比 1, 0( 1,2, , )iq b i n , 若 1 1 11 11,a b a b , 则( ) A. 6 6a b B. 6 6a b C. 6 6a b D. 以上均有可能 9.已知数列{ }na 满足： * 1 1 11, ( ) 3n na a S n N , 则通项 an＝ . 10. 已知数列{ }na 、{ }nb 都是等差数列, ,n nA B 分别为{ },{ }n na b 的前 n项和且 7 1 3 n n A n B n , 则 2 5 17 22 8 10 12 16 a a a a b b b b ＝ . 11. 设数列{ }na 满足 * 1 1 11 , ( ) 2 1 n n n aa a n N a , 则 2010a ＝ . 12. 将全体正整数排成一个三角形数阵 根据以上排列规律, 数阵中第 ( 3)n n 行的从左至右的第 3 个数是 . 13. 若数列{ }na 满足 1 1 22 , 3 1 n n n aa a a , 则 na ＝ . 参考答案：CDCD DBBB 9、 2 1 ( 1) 1 4( ) ( 2) 3 3 n n n 10、 31 5 11、3 12、 2 6 2 n n 13、 2 2 1 n n 4.三角 1. 已知 π 4cos sin 3 6 5 , 则 7πsin 6 的值是( ) A． 2 3 5 B． 2 3 5 C． 4 5 D． 4 5 2. 将函数 sin(2 ) 3 y x 的图象按向量 平移后所得的图象关于点 ( ,0) 12 中心对称, 则向量 的坐标可能为( ) A． ( ,0) 12 B． ( ,0) 6 C． ( ,0) 12 D． ( ,0) 6 3. 是第二象限角, 且满足 2cos sin (sin cos ) 2 2 2 2 , 那么 2 ( ) A . 是第一象限角 B . 是第二象限角 C . 是第三象限角 D . 可能是第一象限角, 也可能是第三象限角 4.函数 )2 3 sin(2 xy 的单调递增区间是( ) A . 2 ,2 ( ) 2 2 K K K Z B . )( 2 32, 2 2 ZKKK C . )( 12 11, 12 5 ZKKK D . )( 12 52, 12 ZKKK 5. 已知奇函数 ( )f x 在 0,1 上为单调减函数, 又 , 为锐角三角形内角, 则( ) A. )(cos)(cos ff B. )(sin)(sin ff C. )(cos)(sin ff D. )(cos)(sin ff 6.是正实数, 函数 ( ) 2sin xf x 在 ] 4 , 3 [ 上是增函数, 那么( ) A． 2 30 B. 20 C. 7 240 D. 2 7.在 ABC 中, 32cosAsinB2,cosBsinA2 , 则 c 的大小应该为( ) A. 6 B. 3 C. 6 5 6 或 D. 3 2 3 或 8. 右图为 y=Asin(x+)的图象的一段, 其解析式为 9. 方程 sin 100 xx 实数解的个数是 10. 设0 ， sin 2 sin cosP , P的最大值是 11．设函数 )0)(cos(3)sin()( wwxwxxf 为奇函数, ]1,1[},0)(|{ AxfxA 中有 2009 个元素, 则正数 w取值范围为 12. 若 4 2 x , 则函数 3tan 2 tany x x 的最大值为 13. 设函数 2( ) sin( ) 2cos 1 4 6 8 x xf x , 则 ( )f x 的最小正周期为 14.已知函数 )cos(sinlog)( 2 1 xxxf , (1)求它的定义域和值域；(2)求它的单调区间；(3) 判断它的奇偶性；(4)判断它的周期性, 如果是周期函数, 求出它的最小正周期. 参考答案：CCCC CAA 8、 23 sin(2 ) 3 y x 9、199 10、 5 . 4 11、 )1005,1004[ 12、 8 13、8 14、解析 (1)由题意得 sinx-cosx＞0 即 0) 4 sin(2 x , 从而得 kxk 2 4 2 , 函数的定义域为 ），（ 4 52 4 2 kk Zk , 1) 4 sin(0 x , 故 0＜sinx-cosx≤ 2 , 所有函数 f(x)的值域是 ), 2 1[ . (2)单调递增区间是 ）， 4 52 4 32[ kk Zk 单调递减区间是 ），（ 4 32 4 2 kk Zk , (3)因为 f(x)定义域在数轴上对应的点不关于原点对称, 故 f(x)是非奇非偶函数. (4) )()]2cos()2[sin(log)2( 2 1 xfxxxf 函数 f(x)的最小正周期 T=2π. 5.平面向量 1. 已知△ABC, 如果对一切实数 t, 都有 | | | |BA tBC AC , 则△ABC一定为( ) A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 与 t 的值有关 2. 已 知 O 为 平面 内一 点 , A、 B、 C 是 平面 上不 共线 的三 点 , 若 动点 P 满 足 1( ), (0, ) 2 OP OA AB BC , 则动点 P 轨迹一定通过△ABC的( ) A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心 O A CB 3. 已知 O 是平面上的一定点 , A、B、C 是平面上不共线的三个点 , 动点 P 满足 ( ), (0, ) 2 | | cos | | cos OB OC AB ACOP AB B AC C , 则动点 P 的轨迹一定通过三 角形 ABC的( ) A. 垂心 B. 内心 C. 重心 D. 外心 4. 曲线 2 sin 2 1 0y x y 先向左平移 个单位, 再向下平移 1个单位, 得到的曲线方程是 ( ) A. 2( 1) sin 2 3 0y x y B. 2( 1) sin 2 3 0y x y C. 2( 1) sin 2 1 0y x y D. 2( 1) sin 2 1 0y x y 5. 已知向量 a (1,1)＝ , b＝ (1, )a , 其中 a为实数, O为原点, 当两向量夹角在 (0, ) 12 变动时, a 的取值范围是( ) A. (0,1) B. 3( , 3) 3 C. 3( ,1) (1, 3) 3 D. (1, 3) 6．设两个向量 2 2( 2, cos ) ( , sin ) 2 ma b m 和 , 其中 , ,m 为实数 , 若 2a b , 则 m 的取值范围为( ) A．[－6, 1] B．[4, 8] C．(－∞, 1] D．[－1, 6] 7．如图, 设 P, Q是△ABC内两点且 2 1 2 1, 5 5 3 4 AP AB AC AQ AB AC , 则△ABP 的 面积与△ABQ的面积之比为( ) A． 1 5 B． 4 5 C． 1 4 D． 1 3 8．在△ABO中, ,OA a OB b , OD为 AB边上的高, 若 AD AB , 则实数为( ) A． 2 ( ) | | a b a a b B． 2 ( ) | | a a b a b C． ( ) | | a b a a b D． ( ) | | a a b a b 9．如图, 在△ABC中, AB＝3, 7BC , AC＝2, 若 O 为△ABC 的外心, 则 AO AC , AO BC , 10. 设点 P 是△ABC内一点, 且 ( 2 ) ( 1) ( , )AP x y AB y AC x y R , 则 x的取值范围 是 ,y的取值范围是 11．连掷两次骰子分别得到点数是 m, n, 则向量(m, n)与向量(－1, 1)的夹角 90 的概率 是 12．如下图, 平面内有三个向量 , ,OA OB OC , 其中OA OB 与 的夹角 为 120°, OA OC 与 的夹角为 30°, 且 | | | | 1,| | 2 3OA OB OC , 若 ( , )OC OA OB R , 则 的值为 . 参考答案：CADD CABB 9、2， 5 2 10、 2 4,x 1 2y 11、 5 12 12、6 6.不等式 1． 设命题甲 2 4 0 3 x y xy , 命题乙 0 1 2 3 x y , 则甲是乙成立的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 2．若 ,a b R , 且 1a b , 则下列不等式中正确的是( ) A. 4ab B. 1 4 ab C. 5 4 a b ab D. 2 2 1 2 a b 3. 命题 2:| 4 3 | 1; : (2 1) ( 1) 0p x q x a x a a , 若 p是 q的充分非必要条件, 则实 数a的取值范围是( ) A． 1[0, ] 2 B. 1(0, ) 2 C. D. 1( , ) [1, ) 2 4．不等式 2x x a 的解集为{ | }x x m , 则 a的最大值为( ) A. 1 2 B. 1 4 C. 0 D. 1 5．设奇函数 ( )f x 在 (0, ) 上为增函数, 且 (1) 0f , 则不等式 ( ) ( ) 0f x f x x 的解集 为( ) A. ( 1,0) (1, ) B. ( , 1) (0,1) C. ( , 1) (1, ) D. ( 1,0) (0,1) 6．设 1 1 1( 1)( 1)( 1)M a b c , 且 1( , , )a b c a b c R , 则M 的取值范围是( ) A. 1[0, ] 8 B. 1( ,1) 8 C. 1[ ,1] 8 D. [8, ) 7. 不等式 | 2 | | 2 |x x a 有解, 则实数 a的取值范围是( ) A. 4a B. 4a C. 4a D. 4a 8．不等式 | | 1 | | | | a b a b 成立的一个充要条件是( ) A. 0ab B. 2 2 0a b C. , (0, )a b D. , ( ,0)a b 9．已知函数 4( ) lg(5 ) 5 x xf x M 的值域为 R , 则M 的取值范围是( ) A. ( 4, ) B. [ 4, ) C. ( , 4) D. ( , 4] 10．不等式 2 2 3( 1)( 2) ( 1)( 1) 0x x x x x 的解集是 11．若 2 2 1x xy y , 且 ,x y R , 则 2 2n x y 的取值范围是 12．不等式 1 1| |x x x x 的解集是 13．使 2log ( ) 1x x 成立的 x的取值范围是 14．设 a b c , 且 1 1 M a b b c a c 恒成立, 则 M的取值范围是 参考答案： BDACD DCBD 10 、 { | 1 0 1 2}x x x x 或 且 11 、 2[ ,2] 3 12 、 ( ,0) (1, ) 13、 1 0x 14、 4m 7.直线与圆 1．下列说法中正确的是( ) A．直线的倾斜角为 , 则其斜率为 tan B．直线的斜率为 tan , 则其倾斜角为 C．任何一条直线都有倾斜角, 但斜率不一定存在 D．斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等 2．方程 2 2( 3) 0x x y 与 2 2 2 2( 3) 0x x y 所表示的曲线是( ) A．表示一条直线和一个圆 B．都表示两个点 C．前者是两个点, 后者是一条直线和一个圆 D．前者是一条直线和一个圆, 后者是两个点 3．过点 A(11, 2)作圆 2 2 2 4 164 0x y x y 的弦, 其中弦长为整数的共有( ) A．16 条 B．17 条 C．32 条 D．34 条 4．已知圆 2 2 6 3 0x y x y 上的两点 P、Q关于直线 4 0kx y 对称, 且 OP⊥OQ, 则直线 PQ的方程为( ) A． 1 3 2 2 y x B． 1 1 2 4 y x C． 1 3 2 2 y x 或 1 5 2 4 y x D． 1 1 2 2 y x 或 1 5 2 4 y x 5．如果直线 0x y m 与圆 2 2 2x y 相交于相异两点 A、 B, O 是坐标原点 | | | |OA OB OA OB , 则实数m的范围是( ) A． ( 2, 2) B． ( 2, 2) C． ( 2, 2) ( 2,2) D． ( 2, 2) 6．等腰三角形两腰所在直线方程分别为 2 0x y 与 7 4 0x y , 原点在等腰三角形 的底边上, 则底边所在直线的斜率为( ) A．3 B．2 C． 1 3 D． 1 2 7．已知集合 2 2{ , | 1}, {( , ) | 2}A x y x y B x y kx y , 其中 ,x y R , 若 A B , 则 实数 k 的范围是( ) A．[0, 3] B．[ 3,0] C．[ 3, 3] D．[ 3, ) 、 8．已知点 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y , 满足 1 1 2 2(2 3 )(2 3 ) 0x y x y 且 1 1 2 2| 2 3 | | 2 3 |x y x y , 则( ) A．直线 2 3 0x y 与线段 PQ相交 B．直线 2 3 0x y 与线段 PQ的延长线相交 C．直线 2 3 0x y 与线段 QP的延长线相交 D．直线 2 3 0x y 与直线 PQ不相交 9．若⊙O1方程为： 2 2( 1) ( 1) 4 0x y , ⊙O2 方程为： 2 2( 3) ( 2) 1 0x y , 则 方程 2 2 2 2( 1) ( 1) 4 ( 3) ( 2) 1x y x y 表示的轨迹方程是( ) A．线段 O1O2 的中垂线 B．过两圆内公切线交点且垂直线 O1O2的直线 C．两圆公共弦所在的直线 D．一条直线且该直线上的点到两圆的切线长相交 10．直线 3 2 0( 0)ax my a m 过点(1, －1), 则斜率 k 等于( ) A．－3 B．3 C． 1 3 D． 1 3 11．过点(1, 2)总可作直线与圆 2 2 22 15 0x y kx y k 相切, 则实数 k 的范围是 12．以点 A(－3, 1)与点 B(2, 0)为直径的圆的方程是 2 21 1 13( ) ( ) 2 2 2 x y , 过点(－3, 1) 的圆的切线方程是5 16 0x y ；过点 P(4, 0)引圆的两条切线 PM, PN, 则直线 MN 的方程是 13．已知 A、B分别是半圆 2 2 1( 0)x y y 与 x轴的左、右两个交点, 直线 l过 B且与 x轴 垂直, S 为 l上异于 B的点, 直线 AS 交线 C于 T, 若 T 为AB的三等分点, 则 S 点的坐标 为 14．已知实数 ,x y满足 2 2 4 1 0x y x , 则 y x 的最大值为 ； y x 的最小值为 2 2( 1) ( 1)x y 的最值为 15．已知△ABC的顶点为(0, 5), AB边上的中线所在直线方程为 , ∠B的平分线所 在直线方程为 , 则 BC边所在直线的方程为 参考答案：CDCBCACBDD 11、 8 3 8 3[2, ) ( , 3] 3 3 12、9 8 0x y 13、 2 3(1, ) 3 或 (1,2 3) 14、 3 ; 6 2 ; 13 2 30 , 3 2 30 15、 4 11 27 0x y 2 5 0x y 1y 8．圆锥曲线 1、双曲线 2 2 1 9 4 x y 被点 (2,1)P 平分的弦所在直线方程为( ). A、8 9 7x y B、 4 9 6x y C、不存在 D、8 9 25x y 2、椭圆以 y轴为准线, 离心率为 1 3 且过点 (3, 2)M , 则其长轴长的取值范围为( ). A、 3[ ,3] 2 B、 3 3[ , ] 4 2 C、 5[1, ] 4 D、 5[2, ] 2 3、已知曲线 2y ax 与其关于点 (1,1) 对称的曲线有两个不同的交点. 如果过这两个交点的 直线的倾斜角为 4 , 则实数 a的取值范围为( ). A、2 B、4 C、 1 2 D、 1 4 4、 , ,x y m R , 集合 2 2{( , ) | 1}, {( , ) | 2 2 2}M x y y x N x y y x m m , 则在集 合M N 中含有的元素个数为( ). A、0 或 1 或 2 B、0 或 1 C、0 D、1 或 2 5、直线 1 4 3 x y 与椭圆 2 2 1 16 9 x y 相交于 ,A B两点, 若椭圆上有点 P使得 PAB 的面积 为 3, 则这样的点 P有( ). A、1 B、2 C、3 D、4 6、过抛物线的焦点任作一直线交抛物线于 ,A B两点, 其顶点为O , 则 AOB 的最大值为 ( ). A、 2 B、 4arctan 3 C、 3arctan 4 D、视抛物线的 具体情况而定 7 、已知 P 为抛物线 2 4y x 上一点 , 记 P 到抛物线准线的距离为 1d , 到直线 2 12 0x y 的距离为 2d , 则 1 2d d 的最小值为( ). A、 11 5 5 B、 12 5 1 5 C、 2 5 D、不存在 8、抛物线 2 2x y 上离点 (0, )A a 最近的点恰好是顶点, 则实数 a的取值范围为( ). A、 ( ,0] B、 1( , ] 2 C、 ( ,1] D ( , 2] 9、已知双曲线 2 2 1 2 2 x y 的准线过椭圆 2 2 2 1 4 x y b 的焦点, 则直线 2y kx 与椭圆至多 有一个交点的充要条件是( ). A. 1 1, 2 2 K B. 1 1, , 2 2 K C. 2 2, 2 2 K D. 2 2, , 2 2 K 10、已知双曲线 2 2 2 2 1 0, 0x yC a b a b ： 的右焦点为 F ,过 F 且斜率为 3 的直线交C 于 A B、 两点, 若 4AF FB ,则C的离心率为( ). m A． 6 5 B. 7 5 C. 5 8 D. 9 5 11、设 2 2 2{( , ) | }, {( , ) | ( ) 1}A x y y x B x y x y m , 若 A B , 则实数m的取 值范围为 12、抛物线 24y x 的焦点坐标为 13、若直线 l过定点 (1, 2)M , 且与抛物线 22y x 有且仅有一个公共点, 则直线 l的方程为 14、双曲线 2 2 1x y 的左焦点为F , 点 ( , )P x y 在左支上且 0y , 则PF 的倾斜角的取值 范围为 15、定长为 22( )bm m a 的线段 AB的两个端点 ,A B在双曲线 2 2 2 2 1( , 0)x y a b a b 的右支 上移动, 则线段 AB的中点M 的横坐标的最小值为 (用 , ,a b m表示). 参考答案：CAADB BACAA 11、 5[ 1, ] 4 12、 1(0, ) 16 13、 1x 或 4 2 0x y 14、{0} ( , ) 4 15、 2 2 a ma c c 9.立体几何易错题 1. 一凸多边形的面积为 S, 则该凸多边形的直观图的面积为 . D 1 C 1 B 1 A 1 D C BA A B C D A 1 B 1 C 1D 1 B 1 A 1 C 1 A C B 2. 地球半径为 R, A、B两点在北纬 45°, A、B的球面距离为 3 R , A在东经 20°, 则 B点在 3. 长方体 A C1中, 体对角线 AC1与 AD、AB、AA1 所成角为 , , , 则 2 2 2sin sin sin ＝ 已知 ) 2 ,0(, 且 4 3coscos 22 , 则 tantan 的取值范围是 第 3 题图 第 4 题图 第 5 题图 4. 长方体 AC1 中, ①A在平面 A1BD上的射影为△A1BD的 ；②AC1 与平面 A1BD 交公共点为△A1BD的 5. 斜三棱柱 ABC－A1B1C1中, 底面是为边长 4 的正△, 且∠A1AB＝∠A1AC=60°, AA1＝8, 求 它的全面积. 6. 空间四边形 ABCD中, E、F分别为 AB、CD中点, AC=10, BD=8, AC、BD成 60°角, 则 EF ＝ 7. 给出四个命题：①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；②对角面是全等矩 形的六面体一定是长方体；③有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；④长方 体一定是正四棱柱, 其中正确命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 8. 已知二面角 a l 的大小为50°, P为空间中任意一点, 则过点P且与平面 和 平面 所成的角都是 25°的直线的条数为( ) A．2 B．3 C．4 D．5 9. 二面角 l 为 60°, P 到 , 的距离分别为 2, 3, 求 P 到 l的距离 10. 已知平面 平面 , l , 点 ,A A l , 直线 AB//l, 直线 AC⊥l, 直线 // , //m m , 则下列四种位置关系中, 不一定成立的是( ) A. //AB m B. AC m C. //AB D. AC 11. 不共面的四个定点到平面 的距离相等, 这样的平面 共有( ) A. 3 个 B. 4 个 C. 6 个 D. 7 个 12. 如图, O 是半径为 1 的球心, 点 A、B、C在球面上, OA、OB、OC两两垂直, E、F分别 是大圆弧 AB与 AC的中点, 则点 E、F在该球面上的球面距离是( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 2 4 13. 若 P 是两条异面直线 l, m外的任意一点, 则( ) A. 过点 P 有且仅有一条直线与 l,m都平行 B. 过点 P 有且仅有一条直线与 l,m都垂直 C. 过点 P 有且仅有一条直线与 l,m都相交 D. 过点 P 有且仅有一条直线与 l,m异面 14. 在正方体上任意选择 4 个顶点, 它们可能是如下各种几何形体的 4 个顶点, 这些几何形 体是①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形, 有一个面为等边三 角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体. (写出所有正确结论的编号) 15. 四位好朋友在一次聚会上, 他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口 半径相等的圆口酒杯, 如图所示, 盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半, 设剩余酒的 高度从左到右依次为 h1,h2,h3,h4, 则它们的大小关系正确的是( ) A. 2 1 4h h h B. 1 2 3h h h C. 3 2 4h h h D. 2 4 1h h h 参考答案：1、 2 4 S 2、北纬 45°东经 110°或北纬 45°西经 70° 3、 2 ), 3 62[ 4 、 垂 心 , 重 心 5 、 S 全 ＝ 12 ( 4 4sin 60 ) 2 (8 4sin 60 ) 4 8 32 40 3 2 直 截 面 周 长 ＝ 4 4sin 60 4 sin 60 4 4 3 S 全＝ 1(4 4 3) 8 ( 4 4sin 60 ) 2 2 ＝ 34032 6、 61或 21 7、A 8、B 9、 2 57 3 10、D 11、D 12、B 13、B 14、①③ ④⑤ 15、A 10.排列组合与二项式定理 1．用 1, 2, 3 这三个数字组成四位数, 规定这三个数字必须都使用, 但相同的数字不能相邻, 则这样的方式组成的四位数有( )个. A．9 B．18 C．12 D．36 2．从集合{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}中任取三个元素作为直线 ax+by+c=0 中 a, b, c的值, 且 a>c>b, 那么不同的直线条线是( ) A．109 B．110 C．111 D．120 3．在 8 张卡片分别标有数字 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 从中取出 6 张卡片排成 3 行 2 列, 要求只有 中间行的两张卡片上的数字之和为 5, 则不同的排法共有( )种. A．1344 B．1248 C．1056 D．960 4．在∠AOB的 OA边上取 m个点, 在 OB边上取 n个点(均除 O 点外), 连 O 点共 m+n+1 个 点, 现任取其中三个点为顶点作三角形, 可作的三角形有( )个. A． 1 2 1 2 1 1m n n mC C C C B． 1 2 1 2 m n n mC C C C C． 1 2 1 2 1 1 m n n m m nC C C C C C D． 1 2 2 1 1 1m n m nC C C C 5．方程 a+b+c+d=7, ( , , , )a N b c d N 的解共有几组( ) A．48 B．84 C．96 D．72 6．设 2 3 10 11 2 11 0 1 2 111 x x x x x a a y a y a y , 其中 y=x+1, 则 a2 为 ( ) A．－66 B．66 C．165 D．220 7．将正方体 ABCD－A1B1C1D1的各面涂色, 任何相邻两面不同色, 现在有 4 种不同的颜色, 可供选择要求相邻的两个面不能染同一颜色，则不同的染色方法有（ ）种. A．256 B．144 C．120 D．96 8．在 3 4 2(1 ) (1 ) (1 ) nx x x 的展开式中, 含 x2 项的系数 9．有 4 个相同的红球和 4 个相同的蓝球, 将 8 个球排成一排, 并依次标注序号, 1, 2, …8, 则 红球的序号之和小于蓝球的序号之和的排法种数 . 10．已知 2 3 1(1 )( )nx x x x 的展开式中没有常数项, n N , 且 2≤n≤8, 则 n= . 11．已知 33( )na a 的展开式中各项系数之和等于 53 1(4 ) 5 b b 的展开式中的常数项, 则 33( )na a 展开式中含 a－1 的项的二项式系数 . 12．用正五棱柱的 10 个顶点中的 5 个顶点做四棱锥的 5 个顶点, 求可得到四棱锥的个 数 . 13．设 ,m n N , 函数 ( ) ( 1) ( 1)m nf x x x 中 x的一次项系数为 10, f(x)中的 x的二次 项系数的最小值是 . 14．已知 y=f(x)是定义域为 A{x|1≤x≤7, x∈N*}, 值域为 B＝{0, 1}的函数, 问：这样的函数 f(x)共有 个. 15．按下列要求分配 6 本不同的书, 各有多少种不同的分配方式？ (1)分成三份, 1 份 1 本, 1 份 2 本, 1 份 3 本； (2)甲、乙、丙三人中, 一人得 1 本, 一人得 2 本, 一人得 3 本； (3)平均分成三份, 每份 2 本； (4)平均分配给甲、乙、丙三人, 每人 2 本； (5)分成三份, 1 份 4 本, 另外两份每份 1 本； (6)甲、乙、丙三人中, 一人得 4 本, 另外两人每人得 1 本； (7)甲得 1 本, 乙得 1 本, 丙得 4 本. 参考答案：BABC BDD 8、 3 2 1nC 9、31 10、5 11、35 12、170 13、 20 14、126 15、（1）60 （2）360 （3）15 （4）90 （5）15 （6）90 （7） 30 11.概率与统计 1. 对总数为 N的一批零件抽取一个容量为 30 的样本,若每个零件被抽取的概率为 1 4 ,则 N的 值为( ) A. 120 B. 200 C. 150 D. 100 2. 某学校有老教师 28 名,中年教师 54 名,青年教师 81 名,为了调查他们的身体状况,学校决定 从他们中抽取容量为 36 的样本进行健康调查,最合适的抽取样本的方法是( ) A. 简单随机抽样 B. 系统抽样 C. 分层抽样 D. 先从老教师中剔除一人,然后进行分层抽样 3. 某次市教学质量检测,甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多,成绩分布 的直方图可视为正态分布),则由图中曲线可得下列说法中正确的一个是( ) A. 甲科总体的标准差最小 C. 丙科总体的平均数最小 B. 乙科总体的标准差及平均数都居中 D. 甲、乙、丙的总体的平均数不相同 4. 某人射击 5 枪,命中 3 枪,3 枪中恰有 2 枪连中的概率为( ) A. 3 5 B. 3 10 C. 1 10 D. 1 20 5．随机变量 服从二项分布 1(6, ) 2 B , 则使 ( )P k 取得最大值的 k为( ) A．3 B．4 C．5 D．6 6．下面表中列出的是某随机变量的分布列的有( ) ① 1 3 5 P 0.5 0.3 0.2 ② 1 2 3 4 5 P 0.7 0.1 0.1 0.2 —0.1 ③ 0 1 2 … n … P 1 2 1 1( ) 2 3 21 1( ) 2 3 … 1 1( ) 2 3 n … ④ 1 2 3 … n P 1 2 21( ) 2 31( ) 2 … 1( ) 2 n A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 7．一批零件有 5 个合格品和 2 个次品, 安装机器时, 从这批零件中任意取出一个, 若每次取 出的次品不再放回, 且取得合格品之前取出的次品数为 , 则 E 等于( ) A． 2 21 B． 5 7 C． 5 21 D． 1 3 8．2008 年北京奥运会的第一批志愿者将在 7 月初正式上岗, 现随机安排该批志愿者到三个 比赛场地服务, 则其中来自四川的 3 名志愿者恰好被安排在两个不同场地服务的概率是 ( ) A． 2 3 B． 4 9 C． 8 27 D． 2 9 9．从 20 名男同学, 10 名女同学中任选 3 名参加体能测试, 则选到的 3 名同学中既有男同学 又有女同学的概率为( ) A． 9 29 B． 10 29 C． 19 29 D． 20 29 10．口袋中放有大小相等的两个红球和一个白球, 有放回地每次摸取一个球, 数列{an}满足： 1, 1, ,na 第n次摸到红球 第n次摸到白球 , 如果 Sn为数列{an}的前 n项和, 那么 S7＝3 的概率为( ) A． 3 2 5 7 1 2( ) ( ) 3 3 C B． 2 2 5 7 2 1( ) ( ) 3 3 C C． 5 2 5 7 1 1( ) ( ) 3 3 C D． 5 2 5 7 1 2( ) ( ) 3 3 C 11．一个口袋中装有大小相同的 4 个白球, 2 个黑球, 每次从口袋中取 1 个球. (1)不放回地取 3 次球, 取出 2 个白球 1 个黑球的概率是 ； (2)不放回地取 3 次球, 恰好在第 2 次取出白球的概率是 ； (3)有放回地取 3 次球, 取出 2 个白球 1 个黑球的概率是 ； (4)有放回地取 3 次球, 恰好在第 2 次取出白球的概率是 . 12．10 件产品中有 3 件次品, 一件一件地不放回地任意取出 4 件, 则恰好在第 4 次将次品完 全取出的概率是 . 13. 某射手射击 1次,击中目标的概率是 0.9,他连续射击 4次,且各次射击是否击中目标相互之 间没有影响,有下列结论：①他第 3 次击中目标的概率是 0.9；②他恰好击中目标 3 次的概率 是 0.93×0.1；③他至少击中目标 1 次的概率是 1－0.14.其中正确结论的序号是 .(写出 所有正确结论的序号) 14. 已知盒中装有 3 只螺口与 7 只卡口灯泡,这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着, 现需要一只卡口灯泡使用,电工师傅每次从中任取一只并不放回,则他直到第 3 次才取得卡口 灯泡的概率是 . 15. 某幢楼从二楼到三楼的楼梯共 11 级,上楼可以一步上一级,也可以一步上两级,若规定从 二楼到三楼用 7 步走完 ,则上楼梯的方法有 35 种；其中恰有连着两步走两级的概率 是 . 参考答案：ADAAA ADADB 11.(1) 3 5 (2) 2 3 (3) 4 9 (4) 2 3 12． 1 40 13 ①、③ 14. 7 120 15. 18 35 12.极限与数学归纳法 1． (1)求极限 2 4 2 1 1 1 1lim (1 )(1 )(1 ) (1 ) 2 2 2 2 n n . (2)求极限 0 1 1lim 4 2x x x . 2．下列极限存在吗？ (1) 2 2lim( 1 1) x x x x 的值是 (2) 2 ( 2)lim 2x x x x 的 值 ； 3．若 [0, ] 2 , 则 cos sinlim cos sin n n n nn 4．已知数列{an}的前 n项和 Sn=n2+2n, 则 2 2 1 1 1 lim( ) n n k kn k k a a 5．已知 1sinlim 0 x x x .则 x x x 3 )2 2 cos( lim 0 6．已知数列 nx 满足 1 2 2 xx , 1 2 1 2n n nx x x , 3, 4,n ….若 lim 2nn x ,则 1x ( ). A. 3 2 B.3 Ｃ.４ D.５ 7．若 r 为实常数, 则 n lim n n r r ||1 || ( ) A． 有唯一确定的值 B．有两个不同的值 C． 有三个不同的值 D．有无数个不同的值 8．记首项为 1, 公比为 q (|q|<1)的无穷等比数列{an}的各项和为 S, Sn是{an}的前 n项和, lim( )nn S aS q , 则常数 a的取值范围为 9．设 f(x)＝ , 若 1 lim x f (x)存在, 则常数 a＝ 10．若 1 1 ( ) 1lim 1, lim 1 (2 2 )n n f x x x f x 则 ( ) A. 1 B. 11 C. 1 2 D. 1 2 11. 已知 '(3) 2, (3) 2,f f 则 3 2 3 ( )lim 3n x f x x 的值是( ) A. －4 B. 0 C. 8 D. 不存在 12. 设函数 ( ) 1f x x 在 处连续, 且 1 ( )lim 2 1n f x x , 则 (1)f ( ) A.－1 B. 0 C. 1 D. 2 13．曲线 C： 2 (0 2)xy x 两端分别为 M、N, 且 NA x 轴于点 A. 把线段 OA分成 n 等份, 以每一段为边作矩形, 使与 x轴平行的边一个端点在 C上, 另一端点在 C的下方 (如右图), 设这 n个矩形的面积之和为 nS , 则 lim 2 3 16 1n nn n S 14．用数学归纳法证明： 2 2 1 11 ( 1) 1 n n aa a a a a , 在验证 n＝1 时, 左端计算所得项为( ) A．1 B．1+a C．1+a+a2 D．1+a2 15．用数学归纳法证明： ( 1)( 2) ( ) 2 1 3 (2 1), *nn n n n n n N …… , 从“k到 k+1”左端需增乘的代数 式为( ) A．2k+1 B．2(2k+1) C． 2 1 1 k k D． 2 3 1 k k 参考答案：1、（1）2 （2）2 2、（1）不存在 （2）不存在 3、 1, (0 ) 4 0, ( ) 4 1, ( ) 4 2 4、 2 2 5、 6、B 7、C 8、 3{ | 3 1} 4 a a a 且 9、 2 10、A 11、 C 12、B 13、24 14、C 15、B 13. 导数 1. 函数 ( )f x 是定义在 (0, ) 上的非负可导函数，且满足 '( ) ( ) 0xf x f x ，对任意正数 ,a b，若 a b ，则必有（ ） A. ( ) ( )af b bf a B. ( ) ( )bf a af b C. ( ) ( )af a f b D. ( ) ( )bf b f a 2. 若函数 ( )y f x 满足 '( ) ( )f x f x ，则当 0a 时， ( )f a 与 (0)ae f 之间的大小关系为 （ ） A. ( ) (0)af a e f B. ( ) (0)af a e f C. ( ) (0)af a e f D. 与 ( )f x 或 a 有 关，不能确定 3. 若对可导函数 ( ), ( )f x g x ，当 [0,1]x 时，恒有 '( ) ( ) ( ) '( )f x g x f x g x ，若已知 , 是一个锐角三角形的两个内角，且 ，记 ( )( ) ( ( ) 0) ( ) f xF x g x g x ，则下列不等式正确 的是（ ） A. (sin ) (cos )F F B. (sin ) (sin )F F C. (cos ) (cos )F F D. (cos ) (cos )F F 4. 若函数 3 21( ) '(1) 5 3 f x x f x x ，则 '(1)f 的值为（ ） A. －2 B. 2 3 C. 2 D. 2 3 5. 若函数 3 22( ) 2 10 3 f x x x ax 在区间 [ 1, 4] 上具有单调性，则 a的取值范围是 （ ） A. ( , 16] [0, ) B. [2, ) C. ( 16,2) D. ( , 16] [2, ) 6. 函数 2 3( ) ( 1) 2f x x 的极值点是（ ） A. 1x B. 1x C. 1x 或 1x 或 0 D. 0x 7. 已知 ( )f x 在 0x x 处可导，则 0 2 2 0 0 [ ( )] [ ( )]lim x x f x f x x x ＝（ ） A. 0'( )f x B. 0( )f x C. 0 0( ) '( )f x f x D. 0 02 ( ) '( )f x f x 8. 已知函数 ( ), ( )y f x y g x 的导函数的图象如图，那么 ( ), ( )y f x y g x 的图象可能 是（ ） 9. 若不等式 4 34 2x x a 对任意实数 x都成立，那么 a的取值范围是（ ） A. 2a B. 29a C. a为一切实数 D. 这样 的a不存在 10 ． 已 知 ( )f x 、 ( )g x 都 是 定 义 在 R 上 的 函 数 ， 且 满 足 以 下 条 件 ： ① ( ) ( )( 0, 1)xf x a g x a a ； ② ( ) 0g x ； ③ ( ) '( ) '( ) ( )f x g x f x g x . 若 (1) ( 1) 5 (1) ( 1) 2 f f g g ，则 a等于（ ） A. 5 4 B. 1 2 C. 2 D. 2 或 1 2 11. 已知函数 ( ) 3 cos 2 sin 2f x x x x ，且 '( ), '( ) 4 a f f x 是 ( )f x 的导函数，则过曲 线 3y x 上一点 ( , )P a b 的切线方程为 12. 已知 2( ) 2 (4 ) 4 , ( )f x x m x m g x mx ，若存在一个实数 x，使 ( )f x 与 ( )g x 均 不是正数，则实数m的取值范围是 13. 已知函数 ( )f x 在 R 上满足 2( ) 2 (2 ) 8 8f x f x x x ，则曲线 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处的切线方程为 14. 已知函数 ( )f x 满足 (3) 4, '(3)f f a ，若 3 4 3 ( )lim 1 3x x f x x ，则 a＝ 15. 若函数 4 3 2( ) 2f x x ax x ，有且仅有一个极值点，则实数 a 的取值范围是 16. 函数 3 21 1( ) 2 2 1 3 2 f x ax ax ax a 的图象经过四个象限的充要条件是 参考答案：ABADD DDDBB 11、 3 2 0x y 或 3 4 1 0x y 12、m≥4 13、 2 1y x 14、1 15、 4 2 4 2[ , ] 3 3 16、 6 3 5 16 a 典型例题阅读 1. 函数, 导数, 不等式 1、设函数 3 21( ) ( ) 3 f x ax bx cx a b c , 其图象在点 (1, (1)), ( , ( ))A f B m f m 处的切 线的斜率分别为0, a ． (Ⅰ)求证：0 1b a ≤ ； (Ⅱ)若函数 ( )f x 的递增区间为[ , ]s t , 求 | |s t 的取值范围； (Ⅲ)若当 x k≥ 时( k是与 , ,a b c 无关的常数), 恒有 ( ) 0f x a , 试 求 k的最小值． 解：(Ⅰ) 2( ) 2f x ax bx c , 由题意及导数的几何意义得 (1) 2 0f a b c (1) 2( ) 2f m am bm c a (2) 又 a b c , 可 得 4 2 4a a b c c , 即 4 0 4a c , 故 0, 0,a c 由 (1) 得 2c a b , 代入 a b c , 再由 0a , 得 1 1 3 b a (3) 将 2c a b 代入(2)得 2 2 2 0am bm b , 即方程 2 2 2 0ax bx b 有实根．故其判 别式 24 8 0b ab ≥ 得 2b a ≤ 或 b a ≥0 (4) 由(3), (4)得 0 1b a ≤ (Ⅱ)由 2( ) 2 0f x ax bx c 的判别式 24 4 0b ac , 知方程 2( ) 2 0 ( )f x ax bx c 有两个不等实根, 设为 1 2,x x , 又由 (1) 2 0f a b c 知, 1 1x 为方程( )的一个实根, 则由根与系数的关系得 1 2 2 1 2 2, 1 0b bx x x x a a , 当 2x x 或 1x x 时, ( ) 0f x , 当 2 1x x x 时, ( ) 0f x , 故函数 ( )f x 的递增区间为 2 1[ , ]x x , 由题设知 2 1[ , ] [ , ]x x s t , 因此 1 2 2| | | | 2 bs t x x a , 由(Ⅰ)知 0 1b a ≤ 得 | |s t 的取值范围为 [2, 4) ； (Ⅲ)由 ( ) 0f x a , 即 2 2 0ax bx a c , 即 2 2 2 0ax bx b , 因为 0a , 则 2 2 2 0b bx x a a , 整理得 2(2 2) 0bx x a , 设 2( ) (2 2)b bg x x a a , 可以看作是关于 b a 的一次函数 , 由题意知 ( ) 0bg a 对于 0 1b a ≤ 恒成立, 故 ( 1) 0, (0) 0, g g ≥ 即 2 2 2 2 0, 0, x x x ≥+ 得 3 1x ≤ 或 3 1x ≥ , 由题意, [ , ) ( , 3 1] [ 3 1, )k , 故 3 1k ≥ , 因此 k 的最小值为 3 1 2、已知函数 a ax xxxf 其中,1ln)( 为大于零的常数. (1)若函数 ),1[)( 在区间xf 内调 递增, 求 a的取值范围； (2)求函数 )(xf 在区间[1, 2]上的最小值. (3)求证：对于任意的 * 1 1 1, 1 , ln 2 3 n N n n n 且 时 都有 成立. 解： ).0(1)( 2 x ax axxf (1)由已知 , 得 ),1[0)( 在xf 上恒成立 , 即 ),1[1 在 x a 上恒成立 又当 ,11,),1[ x x 时 ),1[.1 的取值范围为即aa (2)当 1a 时 0)( xf 在(1, 2)上恒成立, 这时 )(xf 在[1, 2]上为增函数 0)1()( min fxf 当 , 2 10 a 0)( xf 在(1, 2)上恒成立,这时 )(xf 在[1, 2]上为减函数 . 2 12ln)2()( min a fxf 当 1 2 1 a 时,令 ).2,1(1,0)( a xxf 得 又 1[1, )x a 当 时有 ( ) 0f x ， 1( , 2] ( ) 0,x f x a 当 时有 .111ln)1()( min aaa fxf 综上, )(xf 在[1, 2]上的最小值①当 ; 2 12ln)(, 2 10 a xfa mim 时 ②当 1 2 1 a 时, .111ln)( min aa xf ③当 0)(,1 min xfa 时 (3)由(1)知函数 ),1[ln11)( 在x x xf 上为增函数, 当 .1 1 ,1 n nn 时 ),1() 1 ( f n nf 即 *1ln ln( 1) , 1n n n N n n 对于 且 恒成立 ]1ln2[ln]2ln3[ln)]2ln()1[ln()]1ln([lnln nnnnn 1 1 1 1 1 3 2n n ,1,* 时且对于 nNn n n 1 3 1 2 1ln 恒成立 3、已知函数 bxaxgaxxxf ln3)(,2 2 1)( 22 , (1)设两曲线 )(xfy 与 )(xgy 有 公共点, 且在公共点处的切线相同, 若 0a , 试建立b关于 a的函数关系式, 并求b的最 大值； (2)若 xaxgxfxhb )62()()()(,0 在(0, 4)上为单调函数, 求 a的取值范围. 解：(1)设 )(xfy 与 ( ) ( 0)y g x x 在公共点 ),( 00 yx 处的切线相同. x axgaxxf 23)(',2)(' . 由题意知 0 0 0 0( ) ( ), '( ) '( )f x g x f x g x 即 0 2 0 0 2 0 2 0 32 ln32 2 1 x aax bxaaxx 解得 ax 0 或 ax 30 (舍去, ) b ).0(ln3 2 5 22 aaaa ).ln31(23ln65)(' aaaaaaab 1 1 3 3 0 0 '( ) 0 0 ; '( ) 0 0 1 3ln 0 1 3ln 0 a a b a a e b a a e a a 可见 2 3 3 1 max 2 3)()}({ eebab (2) 2 2 21 3( ) 3 ln 6 , '( ) 6 2 ah x x a x x h x x x 要使 )(xh 在(0, 4)上单调, 要 063)(',063)(' 22 x axxh x axxh 或 在(0, 4)上恒成立 063)(' 2 x axxh 在(0, 4)上恒成立 xxa 63 22 在(0, 4)上恒成立. 而 ,062 xx 且 xx 62 可为足够小的正数, 必有 0a 063)(' 2 x axxh 在(0, 4)上恒成立 2 2 max3 ( 6 ) 9 3 3a x x a a 或 综上, 所求 a的取值范围为 3a , 或 3a , 或 0a 4、已知函数 1 ln( 1)( ) ( 0)xf x x x . (1)试判断函数 ( ) (0, )f x 在 上单调性并证明你 的 结 论 ； (2) 若 ( ) 1 kf x x 恒 成 立 , 求 整 数 k 的 最 大 值 ； (3) 求 证 ： 2 3(1 1 2)(1 2 3) [1 ( 1)] nn n e . 解：(1) 2 2 1 1 1( ) [ 1 ln( 1)] [ ln( 1)] 1 1 xf x x x x x x x 2 10, 0, 0, ln( 1) 0, ( ) 0 1 x x x f x x ( ) (0, )f x 在 上是减函数. (2) ( 1)[1 ln( 1)]( ) , ( ) 1 k x xf x h x k x x 恒成立 即 恒成立 即 h(x)的最小值大于 k. 1 ln( 1)( ) , ( ) 1 ln( 1) ( 0)x xh x g x x x x x 设 则 ( ) 0, ( ) (0, ) 1 xg x g x x 在 上单调递增, 又 (2) 1 ln 3 0, (3) 2 2ln 2 0g g ( ) 0g x 存在唯一实根 a, 且满足 (2,3), 1 ln( 1)a a a 当 ( ) 0, ( ) 0 0 ( ) 0, ( ) 0x a g x h x x a g x h x 时， ，当 时， ∴ min ( 1)[1 ln( 1)]( ) ( ) 1 (3,4)a ah x h a a a 故正整数 k的最大值是 3 (3)由(Ⅱ)知 1 ln( 1) 3 ( 0) 1 x x x x ∴ 3 3 3ln( 1) 1 2 2 1 1 xx x x x 令 ( 1) ( *)x n n n N , 则 3ln[1 ( 1)] 2 ( 1) n n n n ∴ln(1＋1×2)＋ln(1＋2×3)＋…＋ln[1＋n(n＋1)] 3 3 3 1 3 1(2 ) (2 ) [2 ] 2 3[ ] 1 2 1 3 ( 1) 1 2 2 3 ( 1) 1 32 3(1 ) 2 3 2 3 1 1 n n n n n n n n n n ∴ 2 3(1 1 2)(1 2 3) [1 ( 1)] nn n e 5、已知函数 ( ) ln( )f x x x a 在 1x 处取得极值.(1)求实数a的值；(2)若关于 x的方程 2( ) 2f x x x b 在 1[ , 2] 2 上恰有两个不相等的实数根, 求实数b的取值范围；(3)证明： ∑ n k＝2 1 k－f(k) ＞ 3n2－n－2 n(n＋1) (n∈N, n≥2).参考数据：ln2≈0.6931. 解：(1)f '(x)＝1＋ 1 x＋a , 由题意, 得 f '(1)＝0 a＝0 (2)由(1)知 f(x)＝x－lnx∴f(x)＋2x＝x2＋b x－lnx＋2x＝x2＋b x2－3x＋lnx＋b＝0 设 g(x)＝x2－3x＋lnx＋b(x＞0) 则 g'(x)＝2x－3＋1 x ＝ 2x2－3x＋1 x ＝ (2x－1)(x－1) x 当 x变化时, g'(x), g(x)的变化情况如下表 x (0, 1 2 ) 1 2 (1 2 , 1) 1 (1, 2) 2 g'(x) ＋ 0 － 0 ＋ G(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ b－2＋ ln2 当 x＝1 时, g(x)最小值＝g(1)＝b－2, g(1 2 )＝b－5 4 －ln2, g(2)＝b－2＋ln2 ∵方程 2( ) 2f x x x b 在 1[ , 2] 2 上恰有两个不相等的实数根 由 g(1 2 )≥0 g(1)＜0 g(2)≥0 b－5 4 －ln2≥0 b－2＜0 b－2＋ln2≥0 5 4 ＋ln2≤b≤2 (3)∵k－f(k)＝lnk∴ ∑ n k＝2 1 k－f(k) ＞ 3n2－n－2 n(n＋1) 1 ln2 ＋ 1 ln3 ＋ 1 ln4 ＋…＋ 1 lnn ＞ 3n2－n－2 n(n＋1) (n∈N, n≥2) 设Φ(x)＝lnx－1 4 (x2－1)则Φ'(x)＝1 x － x 2 ＝ 2－x2 2x ＝－ (x＋ 2)(x－ 2) 2x 当 x≥2 时, Φ'(x)＜0 函数Φ(x)在[2, ＋∞)上是减函数, ∴Φ(x)≤Φ(2)＝ln2－3 4 ＜0 lnx＜1 4 (x2－1) ∴当 x≥2 时, 1 lnx ＞ 4 x2－1 ＝ 4 (x＋1)(x－1) ＝2( 1 x－1 － 1 x＋1 ) ∴ 1 ln2 ＋ 1 ln3 ＋ 1 ln4 ＋…＋ 1 lnn ＞2[(1－1 3 )＋(1 2 － 1 4 )＋(1 3 － 1 5 )＋(1 4 － 1 6 )＋…+( 1 n－1 － 1 n＋1 )] ＝2(1＋1 2 － 1 n － 1 n＋1 )＝3n2－n－2 n(n＋1) .∴原不等式成立. 2. 数列、数学归纳法、不等式 1、 已知函数 ( ) sinf x x x , 数列 na 满足： 1 10 1, ( ), 1, 2,3,n na a f a n 证明：(1) 10 1n na a ；(2) 3 1 1 6n na a . 解： (1)先用数学法归纳法证明0 1, 1,2,3,na n ①当 1n 时, 由已知条件可知结论成立.②假设当 n k 时结论成立, 即 10 1a .因为当 0 1x 时, ( ) 1 cos 0f x x ,所以 ( )f x 在 (0,1) 上是增函数.又 ( )f x 在[0,1] 上连续.从 而 (0) ( ) (1)nf f a f , 即 10 1 sin1 1na .故当 1n k 时, 结论成立.由①、②可 知, 0 1na 对一切正整数都成立. 又因为当0 1na 时, 1 sin sin 0n n n n n na a a a a a , 所以 1n na a .综上所述 10 1n na a . (2)设函数 31 0 1 6 g( x ) sin x x x , x .由 (1)知 , 当 0 1x 时 , sin x x .从而 2 2 2 2 21 2 2 0 2 2 2 2 2 x x x x xg ( x ) cos x sin ( ) ,所以 ( )g x 在 (0,1) 上是增函数. 又 ( )g x 在[0,1] 上连续, 且 (0) 0g .所以当 0 1x 时, ( ) 0g x 成立, ∴ ( ) 0ng a , 即 31 0 6n n nsin a a a , 故 3 1 1 6n na a 2、 等差数列 na 中, 1 1a , nS 为其前 n项和, 等比数列 nb 的公比 q满足 1q , nT 为 其前 n项和, 若 2 1 6 24 , 2 33S b S T 又 1 2(1 )b q (1)求 na 、 nb 的通项公式；(2)若 ,,, 654332211 aaacaacac , 求 nc 的表达式； (3)若 3 3 3 1 2 1 1 1( ) n f n c c c , 求证 2( ) 1( 2) 2n nf n b . 解：(1)设 na 的公差为 d , nb 的公比为 q ,则 0591204 )1(2 33)(2156 42 2 1 11 1 qq qb qbbd bd 1-n nn1 ) 2 1(b1,-2na2,1, 2 11 故dbqq (2) nc 的前 1n 项中共有 na 中的 ( 1)1 2 ( 1) 2 n nn 个项 且 na 的第 1 2 )1( nn 项为 12 nn , 故 nc 是首项为 12 nn , 公差为 2, 项数为 n 的等差数列的和 32 2 2 )1()1( nnnnnnCn (3) n nf 1 3 1 2 11)( 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) 1 ( ) ( ) ( ) 2 3 4 5 6 7 8 2 1 2 2 2n n n n f b )2( 2 1 2 12 8 14 4 12 2 11 1 nn n n 本题第(3)问还可用数学归纳法做. 3、已知数列 na 中, 1 1 3 a , 当 2n 时, 其前 n项和 nS 满足 22 2 1 n n n Sa S , （ 1 ）求 nS 的表达式及 2lim n n n a S 的值；（ 2 ）求数列 na 的通项公式；（ 3 ）设 3 3 1 1 (2 1) (2 1) nb n n , 求证：当 n N 且 2n 时, n na b . 解：(1) 2 1 1 1 1 2 1 12 2( 2) 2 1 n n n n n n n n n n n Sa S S S S S S n S S S 所以 1 nS 是等差数列.则 1 2 1nS n . 2 2 2lim lim 2 2 1 2 lim 1 n n n n n nn a S S S . (2)当 2n 时, 1 2 1 1 2 2 1 2 1 4 1n n na S S n n n , 综上, 2 1 1 3 2 2 1 4 n n a n n . (3)令 1 1, 2 1 2 1 a b n n ,当 2n 时, 有 10 3 b a (1) 法 1：等价于求证 3 3 1 1 1 1 2 1 2 12 1 2 1n nn n . 当 2n 时, 1 10 , 2 1 3n 令 2 3 1,0 , 3 f x x x x 2 3 3 1 32 3 2 (1 ) 2 (1 ) 2 (1 ) 0 2 2 23 f x x x x x x x , 则 f x 在 1(0, ] 3 递增. 又 1 1 10 2 1 2 1 3n n , 所以 3 3 1 1( ) ( ), 2 1 2 1 g g n n 即 n na b . 法(2) 2 2 3 3 3 3 1 1 1 1( ) ( ) 2 1 2 1 (2 1) (2 1) n na b b a b a n n n n 2 2( )( )a b a b ab a b (2) 2 2( )[( ) ( )] 2 2 ab aba b a a b b ( )[ ( 1) ( 1)] 2 2 b aa b a a b b (3) 因 3 3 31 1 1 1 1 0 2 2 2 22 3 a b ab a , 所以 ( 1) ( 1) 0 2 2 b aa a b b 由(1)(3)(4)知 n na b . 法 3：令 2 2g b a b ab a b , 则 12 1 0 2 ag b b a b 所以 2 20 , ,3 2g b max g g a max a a a a 因 10 , 3 a 则 2 1 0a a a a , 2 2 1 43 2 3 ( ) 3 ( ) 0 3 3 9 a a a a a 所以 2 2 0g b a b ab a b (5) 由(1)(2)(5)知 n na b 4、已知 * 1 1 1 11, , ( 1) ,nn n n na b a b n b a n N .⑴求 3 5,a a 的值；⑵求通项公式 na ；⑶求证： 1 2 3 1 1 1 1 13 4na a a a .解：⑴ 3 52, 5a a ； ⑵由题意， 3 1 5 3 2 1 2 31, 3, , (2 3)n na a a a a a n ， 2 2 1 1 (1 2 3)( 1) 2 2 2n n na a n n ；同理， 2 2na n n ， 2 2 2 5 4 4 2 n n n n a n n n 为奇数 为偶数 ； ⑶当 3n 时， 2 2 1 1 1 1 1 1 1( ) 2 2 ( 2) 2 2na n n n n n n ， 而 * 2 1 1 1 1 , ( ) ( 1) 1n n N a n n n n ， 1 2 3 2 1 3 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) n n na a a a a a a a a a 1 3 1 1 1 1 1 1 1(1 ) (1 ) 2 2 1 1a a n n n 1 3 131 1 2 4 4 5、已知数列 na 中， 1 2a ， 2 3a ，其前 n项和 nS 满足 1 1 2 1n n nS S S 其中 （ 2n ， *nN ）．（1）求数列 na 的通项公式；（2）设 14 ( 1) 2 (nan n nb 为非零 整数， *nN ），试确定的值，使得对任意 *nN ，都有 nn bb 1 成立． 解：（1）由已知， 1 1 1n n n nS S S S （ 2n ， *nN ）， 即 1 1n na a （ 2n ， *nN ），且 2 1 1a a ． ∴数列 na 是以 1 2a 为首项，公差为 1 的等差数． ∴ 1na n ． （ 2 ） ∵ 1na n ， ∴ 1 14 ( 1) 2n n n nb ， 要 使 nn bb 1 恒 成 立 ， ∴ 11 2 1 1 4 4 1 2 1 2 0n nn n n n n nb b 恒成立 ∴ 1 13 4 3 1 2 0nn n 恒成立， ∴ 1 11 2n n 恒成立． （ⅰ）当 n为奇数时，即 12n 恒成立，当且仅当 1n 时， 12n 有最小值为 1， ∴ 1 ．（ⅱ）当 n为偶数时，即 12n 恒成立，当且仅当 2n 时， 12n 有最大值 2 ， ∴ 2 ． 即 2 1 ，又为非零整数，则 1 ．综上所述，存在 1 ，使得 对任意 *nN ，都有 1n nb b 6、设 3xxf )( ，等差数列 na 中 73 a ， 12321 aaa ，记 nS = 3 1naf ，令 nnn Sab ，数列 }1{ nb 的前 n 项和为 nT .（Ⅰ）求 na 的通项公式和 nS ；（Ⅱ）求证： 3 1 nT ； （Ⅲ）是否存在正整数 nm, ，且 nm 1 ，使得 nm TTT ,,1 成等比数列？若存在，求出 nm, 的值，若不存在，说明理由. 解：（Ⅰ）设数列 na 的公差为 d，由 7213 daa , 1233 1321 daaaa . 解得 11 a ， d =3 ∴ 23 nan ∵ 3xxf )( ∴Sn= 3 1naf = 131 nan . (Ⅱ) )13)(23( nnSab nnn ∴ ) 13 1 23 1( 3 1 )13)(23( 11 nnnnbn ∴ 3 1) 13 11( 3 1 n Tn (Ⅲ)由(2)知， nT 3 1 n n ∴ 13 , 4 1 1 m mTT m ， nT 3 1 n n ∵ nm TTT ,,1 成等比数列. ∴ 134 1) 13 ( 2 n n m m 即 2 6 1 3 4m n m n 当 1m 时，7 n n 43 ， n =1，不合题意； 当 2m 时， 4 13 n n 43 ， n =16，符合题意； 当 3m 时， 9 19 n n 43 ， n无正整数解； 当 4m 时， 16 25 n n 43 ，n无正整数解； 当 5m 时， 25 31 n n 43 ，n无正整数解； 当 6m 时， 36 37 n n 43 ，n无正整数解； 当 7m 时， 010)3(16 22 mmm ，则 116 2 m m ，而 34343 nn n ， 所以，此时不存在正整数 m,n,且 1查看更多
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