2003年高考数学(理科)真题及答案[全国卷I]

2003年高考数学(理科)真题及答案[全国卷I]

‎2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）‎ 数 学（理工农医类）‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第Ⅰ卷（选择题共60分）‎ 一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 ‎1．已知，0），，则 （ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎2．圆锥曲线的准线方程是 （ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎3．设函数 ，若，则的取值范围是 （ ）‎ ‎ （A）（，1） （B）（，） ‎ ‎（C）（，）（0，） （D）（，）（1，）‎ ‎4．函数的最大值为 （ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）2‎ ‎5．已知圆C：（）及直线：，当直线被C截得的弦长为时，则 （ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎6．已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎7．已知方程的四个根组成一个首项为的的等差数列，则 （ ）‎ ‎ （A）1 （B） （C） （D）‎ ‎8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线 与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是 （ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎9．函数，的反函数 （ ）‎ ‎ （A） ，1] （B） ，1]‎ ‎ （C） ，1] （D） ，1]‎ ‎10．已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点沿与AB的夹角的方向射到BC上的点后，依次反射到CD、DA和AB上的点、和（入射角等于反射角），设的坐标为（，0），若，则tg的取值范围是 （ ）‎ ‎ （A）（，1） （B）（，） （C）（，） （D）（，）‎ ‎11． （ ）‎ ‎ （A）3 （B） （C） （D）6‎ ‎12．一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ 二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。‎ ‎13．的展开式中系数是 ‎ ‎14．使成立的的取值范围是 ‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种。（以数字作答）‎ P M N l P N M l N l P M l M N P N l P M ‎16．下列5个正方体图形中，是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出面MNP的图形的序号是 （写出所有符合要求的图形序号）‎ ‎ ① ② ③ ④ ⑤‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤 ‎17．（本小题满分12分）‎ ‎ 已知复数的辐角为，且是和的等比中项，求 ‎18．（本小题满分12分）‎ ‎ 如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，D、E分别是与的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G （I） 求与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）‎ D E K B C1‎ A1‎ B1‎ A F C G （II） 求点到平面AED的距离 ‎19．（本小题满分12分）‎ ‎ 已知，设 ‎ P：函数在R上单调递减 ‎ Q：不等式的解集为R 如果P和Q有且仅有一个正确，求的取值范围 ‎20．（本小题满分12分）‎ O 北 东O y 线 岸 O x O r(t)‎ P 海 ‎ 在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南）方向‎300km的海面P处，并以‎20km/h的速度向西偏北 方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为‎60km，并以‎10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？‎ ‎21．（本小题满分14分）‎ O P A G D F E C B x y ‎ 已知常数，在矩形ABCD中，，，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由。‎ ‎22．（本小题满分12分，附加题4 分）‎ ‎ （I）设是集合 且}中所有的数从小到大排列成的数列，即，，，，，，…‎ ‎ 将数列各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：‎ ‎3‎ 5 ‎6‎ ‎9 10 12‎ ‎— — — —‎ ‎…………‎ ‎ ⑴写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；‎ ‎⑵求 ‎（II）（本小题为附加题，如果解答正确，加4 分，但全卷总分不超过150分）‎ ‎ 设是集合，且中所有的数从小到大排列成的数列，已知，求.‎ ‎2003年普通高等学校招生全国统一考试 数 学(理工农医类)答案 一、选择题 ‎1．D 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．C 11．B 12．A 二、填空题 ‎13． 14．（-1，0） 15．72 16．①④⑤‎ 三、解答题：‎ ‎17． 解：设，则复数由题设 ‎18．（Ⅰ）解：连结BG，则BG是BE在ABD的射影，即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角.‎ 设F为AB中点，连结EF、FC，‎ ‎（Ⅱ）解：‎ ‎19．‎ 解：函数在R上单调递减 不等式 ‎20．解：如图建立坐标系以O为原点，正东方向为x轴正向.‎ ‎ 在时刻：（1）台风中心P（）的坐标为 ‎ 此时台风侵袭的区域是 ‎ 其中若在t时刻城市O受到台风的侵袭，则有 ‎ 即 ‎ ‎ ‎ 答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.‎ ‎21．根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P到两点距离的和为定值.‎ 按题意有A（－2，0），B（2，0），C（2，‎4a），D（－2，‎4a）设 由此有E（2，4ak），F（2－4k，‎4a），G（－2，‎4a－4ak）直线OF的方程为：①‎ 直线GE的方程为：②‎ 从①，②消去参数k，得点P（x,y）坐标满足方程 整理得 当时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.‎ ‎ 当时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长。‎ 当时，点P到椭圆两个焦点（的距离之和为定值。‎ 当时，点P 到椭圆两个焦点（0， 的距离之和为定值2.‎ ‎22．（本小题满分12分，附加题4分）‎ ‎ （Ⅰ）解：（i）第四行17 18 20 24 第五行 33 34 36 40 48‎ ‎ （i i）解：设，只须确定正整数 ‎ 数列中小于的项构成的子集为 ‎ 其元素个数为满足等式的最大整数为14，所以取 因为100－‎ ‎（Ⅱ）解：令 ‎ 因 ‎ 现在求M的元素个数：‎ 其元素个数为： ‎ 某元素个数为 某元素个数为