全国高考文科数学试题及答案湖北

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2011 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷） 数学试题（文史类） 本试题卷共 4 页，三大题 21 小题。全卷满分 150 分，考试用时 120 分钟。 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上。并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案标号涂黑， 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷、草稿纸上无效。 3．填空题和解答题的作答：用 0．5 毫米黑色黑水签字笔直接在答题卡上对应的答题区域内。 答在试题卷、草稿纸上无效。 4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1．已知 则 A． B． C． D． 2．若向量 ，则 2a+b 与 的夹角等于 A． B． C． D． 3．若定义在 R 上的偶函数 和奇函数 满足 ，则 = A． B． C． D． 4．将两个顶点在抛物线 上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为 ，则 A． B． C． D． 5．有一个容量为 200 的样本，其频率分布直方图如图所示， 根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间 内的频数为 A．18 B．36 C．54 D．72 { } { } { }1,2,3,4,5,6,7,8 , 1,3,5,7 , 2,4,5 ,U A B= = = ( )U A B∪ = { }6,8 { }5,7 { }4,6,7 { }1,3,5,6,8 ( ) ( )1,2 , 1, 1a b= = − a b− 4 π− 6 π 4 π 3 4 π ( )f x ( )g x ( ) ( ) xf x g x e+ = ( )g x xxe e −− 1 ( )2 xxe e −+ 1 ( )2 x xe e − − 1 ( )2 xxe e −− 2 2 ( 0)y px p= > n 0n = 1n = 2n = 3n ≥ )10,12 6．已知函数 ，若 ，则 x 的取值范围为 A． B． C． D． 7．设球的体积为 ，它的内接正方体的体积为 ，下列说法中最合适的是 A． 比 大约多一半B． 比 大约多两倍半 C． 比 大约多一倍D． 比 大约多一倍半 8．直线 与不等式组 表示的平面区域的公共点有 A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．无数个 9．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4 节的容积共 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，则第 5 节的容积为 A．1 升 B． 升 C． 升 D． 升 10．若实数 a，b 满足 ，且 ，则称 a 与 b 互补，记 那么 是 a 与 b 互补的 A．必要而不充分的条件 B．充分而不必要的条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上， 一题两空的题，其答案按先后次序填写，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。 11．某市有大型超市 200 家、中型超市 400 家、小型超市 1400 家。为掌握各类超市的营业情况， 现按分层抽样方法抽取一个容量为 100 的样本，应抽取中型超市__________家。 12． 的展开式中含 的项的系数为__________。（结果用数值表示） 13．在 30 瓶饮料中，有 3 瓶已过了保质期，从这 30 瓶饮料中任取 2 瓶，则至少取到 1 瓶已过保 质期饮料的概率为__________。（结果用最简分数表示） 14．过点（—1,—2）的直线 l 被圆 截得的弦长为 ，则直线 l 的斜率为 __________。 15．里氏震级 M 的计算公式为： ，其中 A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅， ( ) 3sin cos ,f x x x x R= − ∈ ( ) 1f x ≥ | 2 2 ,3x k x k k Z ππ π π + ≤ ≤ + ∈   | ,3x k x k k Z ππ π π + ≤ ≤ + ∈   5| 2 2 ,6 6x k x k k Z π ππ π + ≤ ≤ + ∈   5| ,6 6x k x k k Z π ππ π + ≤ ≤ + ∈   1V 2V 1V 2V 1V 2V 1V 2V 1V 2V 2 10 0x y+ − = 0 0 2 4 3 20 x y x y x y ≥  ≥ − ≥ −  + ≤ 67 66 47 44 37 33 0, 0a b≥ ≥ 0ab = 2 2( , ) ,a b a b a bϕ = + − − ( , ) 0a bϕ = 181 3 x x  −   15x 2 2 2 2 1 0x y x y+ − − + = 2 0lg lgM A A= − 是相应的标准地震的振幅。假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是 1000，此时标 准地震的振幅为 0.001，则此次地震的震级为 级；9 级地震的最大振幅是 5 级 地震最大振幅的 倍。 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（本小题满分 12 分） 设 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，已知 （I） 求 的周长； （II）求 的值。 17．（本小题满分 12 分） 成等差数列的三个正数的和等于 15，并且这三个数分别加上 2、5、13 后成为等比数列 中的 、 、 。 （I） 求数列 的通项公式； （II） 数列 的前 n 项和为 ，求证：数列 是等比数列。 18．（本小题满分 12 分） 如图，已知正三棱柱 - 的底面边长为 2，侧棱长为 ，点 E 在侧棱 上，点 F 在侧棱 上，且 , ． （I） 求证： ； （II） 求二面角 的大小。 ABC∆ 11, 2,cos 4a b C= = = ABC∆ cos( )A C− { }nb 3b 4b 5b { }nb { }nb nS 5 4nS +   ABC 1 1 1A B C 3 2 1AA 1BB 2 2AE = 2BF = 1CF C E⊥ 1E CF C− − 0A 19．（本小题满分 12 分） 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速 度 v（单位：千米/小时）是车流密度 x（单位：辆 /千米）的函数，当桥上的车流密度达到 200 辆 /千米时，造成堵塞，此时车流速度为 0；当车流密度不超过 20 辆 /千米时，车流速度为 60 千米/小时，研究表明：当 时，车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数。 （I）当 时，求函数 v（x）的表达式； （II）当车流密度 x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小 时） 可以达到最大，并求出最大值。（精确到 1 辆/小时）。 20．（本小题满分 13 分） 设函数 ， ，其中 ，a、b 为常数，已知曲 线 与 在点（2,0）处有相同的切线 l。 （I） 求 a、b 的值，并写出切线 l 的方程； （II）若方程 有三个互不相同的实根 0、 、 ，其中 ，且对任意的 ， 恒成立，求实数 m 的取值范围。 21．（本小题满分 14 分） 平面内与两定点 、 （ ）连线的斜率之积等于非零常数 m 的点的轨 迹，加上 、A2两点所成的曲线 C 可以是圆、椭圆或双曲线。 （Ⅰ）求曲线 C 的方程，并讨论 C 的形状与 m 值的关系； （Ⅱ）当 时，对应的曲线为 ；对给定的 ，对应的曲线为 ， 设 、 是 的两个焦点。试问：在 上，是否存在点 ，使得△ 的面积 。若存在，求 的值；若不存在，请说明理由。 20 200x≤ ≤ 0 200x≤ ≤ ( ) ( )f x x v x= ⋅ 3 2( ) 2f x x ax bx a= + + + 2( ) 3 2g x x x= − + x R∈ ( )y f x= ( )y g x= ( ) ( )f x g x mx+ = 1x 2x 1 2x x< [ ]1 2,x x x∈ ( ) ( ) ( 1)f x g x m x+ < − ( )1 ,0A a− ( )2 ,0A a 0a > 1A 2A 1m = − 1C 2C 1F 2F 2C 1C N 1F N 2F 2| |S m a= tan 1F N 2F ),0()0,1( +∞−∈ m 参考答案 一、选择题：本题主要考查基础知识和基本运算。每小题 5 分，满分 50 分。 A 卷：1—5ACDCB 6—10ADBBC B 卷：1—5DCABC 6—10ADBBC 二、填空题：本题主要考查基础知识和基本运算，每小题 5 分，满分 25 分。 11．20 12．17 13． 14．1 或 15．6，10000 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力。（满 分 12 分） 解：（Ⅰ） 的周长为 （Ⅱ） ，故 A 为锐角， 17．本小题主要考查等差数列，等比数列及其求和公式等基础知识，同时考查基本运算能力。（满 分 12 分） 解：（Ⅰ）设成等差数列的三个正数分别为 依题意，得 所以 中的 依次为 依题意，有 （舍去） 故 的第 3 项为 5，公比为 2。 28 145 17 7 2 2 2 12 cos 1 4 4 44c a b ab C= + − = + − × = 2.c∴ = ABC∴∆ 1 2 2 5.a b c+ + = + + = 2 21 1 15cos , sin 1 cos 1 ( ) .4 4 4C C C= ∴ = − = − = 15 sin 154sin 2 8 a CA c ∴ = = = ,a c A C< ∴ < 2 215 7cos 1 sin 1 ( ) .8 8A A∴ = − = − = 7 1 15 15 11cos( ) cos cos sin sin .8 4 8 8 16A C A C A C∴ − = + = × + × = , ,a d a a d− + 15, 5.a d a a d a− + + + = =解得 { }nb 3 4 5, ,b b b 7 ,10,18 .d d− + (7 )(18 ) 100, 2 13d d d d− + = = = −解得 或 { }nb 由 所以 是以 为首项，2 为以比的等比数列，其通项公式为 （Ⅱ）数列 的前 项和 ，即 所以 因此 为首项，公比为 2 的等比数列。 18．本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角的求法，同时考查空间想象能力和推理 论证能力。（满分 12 分） 解法 1：（Ⅰ）由已知可得 于是有 所以 又 由 （Ⅱ）在 中，由（Ⅰ）可得 于是有 EF2+CF2=CE2，所以 又由（Ⅰ）知 CF C1E，且 ，所以 CF 平面 C1EF， 又 平面 C1EF，故 CF C1F。 于是 即为二面角 E—CF—C1 的平面角。 由（Ⅰ）知 是等腰直角三角形，所以 ，即所求二面角 E—CF—C1 的大 小为 。 解法 2：建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得 （Ⅰ） 2 2 3 1 1 1 52 , 5 2 , . 4 b b b b= ⋅ = ⋅ =即 解得 { }nb 5 4 1 35 2 5 24 n n nb − −= ⋅ = ⋅ { }nb n 2 5 (1 2 ) 54 5 21 2 4 n n nS − − = = ⋅ −− 2254 5 −⋅=+ n nS 11 1 2 5 5 5 5 24, 2.54 2 5 2 4 nn n n S S S −+ − + ⋅+ = = =⋅+ 5 5{ }4 2nS + 是以 2 2 1 13 2, 2 (2 2) 2 3CC CE C F= = = + = 2 2 2 2 2 1( ) , 2 ( 2) 6EF AB AE BF EF C E= + − = = + = 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1,EF C E C F CE C E CC+ = + = 1 1,C E EF C E CE⊥ ⊥ 1, .EF CE E C E CEF∩ = ⊥所以 平面 1, .CF CEF CF C E⊂ ⊥平面 故 CEF∆ 6, 2 3EF CF CE= = = .CF EF⊥ ⊥ 1EF C E E∩ = ⊥ 1C F ⊂ ⊥ 1EFC∠ 1C EF∆ 1 45BFC∠ = ° 45° 1(0,0,0), ( 3,1,0), (0,2,0), (0,2,3 2), (0,0,2 2), ( 3,1, 2)A B C C E F 1 (0, 2, 2), ( 3, 1, 2)C E CF= − − = −  （Ⅱ） ，设平面 CEF 的一个法向量为 由 即 设 侧 面 BC1 的 一 个 法 向 量 为 设二面角 E—CF—C1 的大小为θ，于是由θ为锐角可得 ，所以 即所求二面角 E—CF—C1 的大小为 。 19．本小题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力。（满分 12 分） 解：（Ⅰ）由题意：当 ；当 再由已知得 故函数 的表达式为 （Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得 当 为增函数，故当 时，其最大值为 60×20=1200； 当 时， 当且仅当 ，即 时，等号成立。 1 0 2 2 0C E CF⋅ = + − =  1 .CF C E∴ ⊥ (0, 2,2 2)CE = − ( , , )m x y z= 0,, , 0, m CEm CE m CF m CF  ⋅ =⊥ ⊥  ⋅ =   得 2 2 2 0, (0, 2,1) 3 2 0 y z m x y z − + = = − + = 可取 1, , , ( 3, 1,0)n n BC n CC CB⊥ ⊥ = −  由 及 )0,3,1(),23,0,0(1 == nCC 可取 | | 6 2cos | | | | 23 2 m n m n θ ⋅= = =⋅ × 45θ = ° 45° 0 20 , ( ) 60x v x≤ ≤ =时 20 200 , ( )x v x ax b≤ ≤ = +时 设 1 ,200 0, 3 20 60, 200.3 aa b a b b  = −+ =  + =  = 解得 ( )v x 60, 0 20, ( ) 1 (200 ),20 2003 x v x x x ≤ ≤=  − ≤ ≤ 60 , 0 20, ( ) 1 (200 ),20 2003 x x f x x x x ≤ <=  − ≤ ≤ 0 20 , ( )x f x≤ ≤ 时 20x = 20 200x≤ ≤ 21 1 (200 ) 10000( ) (200 ) [ ]3 3 2 3 x xf x x x + −= − ≤ = 200x x= − 100x = 所以，当 在区间[20，200]上取得最大值 综上，当 时， 在区间[0，200]上取得最大值 。 即当车流密度为 100 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为 3333 辆/小时。 20．本题主要考查函数、导数、不等式等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的 能力，以及函数与方程和特殊与一般的思想，（满分 13 分） 解：（Ⅰ） 由于曲线 在点（2，0）处有相同的切线， 故有 由此得 所以 ，切线 的方程为 （Ⅱ）由（Ⅰ）得 ，所以 依题意，方程 有三个互不相同的实数 ， 故 是方程 的两相异的实根。 所以 又对任意的 成立， 特别地，取 时， 成立，得 由韦达定理，可得 对任意的 则 所以函数 的最大值为 0。 于是当 时，对任意的 恒成立， 综上， 的取值范围是 20．本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理运算的能力，以及分类与 整合和数形结合的思想。（满分 14 分） 100 , ( )x f x= 时 10000.3 100x = ( )f x 10000 33333 ≈ 2( ) 3 4 , ( ) 2 3.f x x ax b g x x′ ′= + + = − ( ) ( )y f x y g x= =与 (2) (2) 0, (2) (2) 1.f g f g′ ′= = = = 8 8 2 0, 2, 12 8 1, 5. a b a a a b b + + + = = −   + + = =  解得 2, 5a b= − = l 2 0x y− − = 3 2( ) 4 5 2f x x x x= − + − 3 2( ) ( ) 3 2 .f x g x x x x+ = − + 2( 3 2 ) 0x x x m− + − = 1 20, ,x x 1 2,x x 2 3 2 0x x m− + − = 19 4(2 ) 0, .4m m∆ = − − > > −即 1 2[ , ], ( ) ( ) ( 1)x x x f x g x m x∈ + < − 1x x= 1 1 1( ) ( )f x g x mx m+ − < − 0.m < 1 2 1 2 1 23 0, 2 0, 0 .x x x x m x x+ = > = − > < <故 1 2 2 1[ , ], 0, 0, 0x x x x x x∈ ≤ − ≥ >有x- x 1 2 1 1 1( ) ( ) ( )( ) 0, ( ) ( ) 0f x g x mx x x x x x f x g x mx+ − = − − ≤ + − =又 1 2( ) ( ) [ , ]f x g x mx x x x+ − ∈在 0m < 1 2[ , ], ( ) ( ) ( 1)x x x f x g x m x∈ + < − m 1( ,0).4 − 解：（I）设动点为 M，其坐标为 ， 当 时，由条件可得 即 ， 又 的坐标满足 故依题意，曲线 C 的方程为 当 曲线 C 的方程为 是焦点在 y 轴上的椭圆； 当 时，曲线 C 的方程为 ，C 是圆心在原点的圆； 当 时，曲线 C 的方程为 ，C 是焦点在 x 轴上的椭圆； 当 时，曲线 C 的方程为 C 是焦点在 x 轴上的双曲线。 （II）由（I）知，当 m=-1 时，C1 的方程为 当 时， C2 的两个焦点分别为 对于给定的 ， C1 上存在点 使得 的充要条件是 由①得 由②得 当 或 时， ( , )x y x a≠ ± 1 2 2 2 2 ,MA MA y y yk k mx a x a x a ⋅ = ⋅ = =− + − 2 2 2 ( )mx y ma x a− = ≠ ± 1 2( ,0), ( ,0)A a A A− 2 2 2 ,mx y ma− = 2 2 2.mx y ma− = 1 ,m < − 时 2 2 2 2 1,x y Ca ma + =− 1m = − 2 2 2x y a+ = 1 0m− < < 2 2 2 2 1x y a ma + =− 0m > 2 2 2 2 1,x y a ma − = 2 2 2;x y a+ = ( 1,0) (0, )m∈ − +∞ 1 2( 1 ,0), ( 1 ,0).F a m F a m− + + ( 1,0) (0, )m∈ − +∞ 0 0 0( , )( 0)N x y y ≠ 2| |S m a= 2 2 2 0 0 0 2 0 , 0, 1 2 1 | | | | .2 x y a y a m y m a  + = ≠ ⋅ + = 00 | | ,y a< ≤ 0 | || | . 1 m ay m = + | | 1 50 , 0,21 m a a m m −< ≤ ≤ < + 即 1 50 2m +< ≤ ① ② 存在点 N，使 S=|m|a2； 当 或 时， 不存在满足条件的点 N， 当 时， 由 ， 可得 令 ， 则由 ， 从而 ， 于是由 ， 可得 综上可得： 当 时，在 C1 上，存在点 N，使得 当 时，在 C1 上，存在点 N，使得 当 时，在 C1 上，不存在满足条件的点 N。 | | 1 5, ,21 m a a m −> + 即- 1 1 5 1 5,0 0,2 2m    − +∈        1 0 0 2 0 0( 1 ), ( 1 , )NF a m x y NF a m x y= − + − − = + − −  2 2 2 2 1 2 0 0(1 ) ,NF NF x m a y ma⋅ = − + + = −  1 1 2 2 1 2| | ,| | ,NF r NF r F NF θ= = ∠ =  2 2 1 2 1 2 1 2cos , cos maNF NF rr ma rrθ θ⋅ = = − = −  可得 2 2 1 2 1 sin 1sin tan2 2cos 2 maS rr ma θθ θθ= = − = − 2| |S m a= 2 21 2 | |tan | | , tan .2 mma m a m θ θ− = = −即 1 5 ,02m  −∈    2 1 2| | , tan 2;S m a F NF= =且 1 50, 2m  +∈   2 1 2| | , tan 2;S m a F NF= = −且 1 5 1 5( 1, ) ( , )2 2m − +− +∞